3변수 라플라스 방정식에 대한 그린의 함수

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물리학에서, 라플레이스의 방정식에 대한 그린의 함수(또는 근본적인 해결책)는 점원에 대한 특정 유형의 물리적 시스템의 반응을 설명하기 위해 사용된다.특히 이 그린의 함수는 포아송 방정식, 즉 형태의 부분 미분 방정식(PDE)으로 설명할 수 있는 시스템에서 발생한다.

${\displaystyle \nabla ^{2}u(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )}$

여기서 $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}$$R$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ ${\displaystyle f\mathbf{}}$( x )${\displaystyle f(\mathbf {x} )$는 시스템의 소스 용어, $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystystyle u(\mathbf {x}}$은 방정식의 솔루션이다$$.$\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}은 선형 미분 연산자이므로, $이{\displaystyle }$ 유형의 일반 시스템에 대한$$ 솔루션 $u{\displaystyle (x\mathbf{}}$ $){\displaystyle u(\mathbf {x}$)는 f${\displaystyle }$($){\displaystystyle$ f$(\mathbf {x} )}$에 의해 주어진 소스 분포에 대해 적분으로 쓸 수 있다$.$

${\displaystyle u(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x},\mathbf {x'}f(\mathbf {x'})d\mathbf {x} '}}$

여기서 세 변수 $G{\displaystyle (x\mathbf{}}$, ${\displaystyle x{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle )}$의$$라플레이스 방정식에 대한 Green 함수는 다음과 같이 x${\displaystyle {}^{}}x{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ {\$displaystyle$ $G(\mathbf {x} ,\mathbf$${x$$}$$)$에서 x$$′ ${\$에 위치한 점 소스에 $대한$ 시스템 응답을 설명한다$.$

${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x},\mathbf {x'})=\delta(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$

포인트 소스는 Dirac 델타 함수인$$$\Delta {\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$- ${\displaystyle x{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'})$에 의해 주어진다.null

동기

이러한 유형의 물리적 시스템 중 하나는 전기 공학에서의 전하 분포다.그러한 시스템에서는 전기장을 전위의 음의 구배라고 표현하며, 가우스의 법칙은 다음과 같이 차등 형태로 적용한다.

${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\barepsilon _{0}}}}}}}$

이 표현들을 조합하면

${\displaystyle }$-${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}(x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$( x )${\displaystyle \frac{}{}}$ρ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\$ -$\mathbf {\nabla }^{2}\phi(\mathbf {x} )={\frac {\rho(\mathbf {x} ){\varemon _{0}}}}}($포아송 방정식)

$임의{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ 전하 분포에 대한 솔루션 equation ( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \phi (\$$mathbf$$${$x}$)은 x $′ {\$ $q}$에 있는$$ 포인트 차지 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$$q}에 의해 생성된 분포를 일시적으로 고려함으로써 이 방정식에 대한$$$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle (x\mathbf{}}$ )을 찾을 수 있다$.$

$\\displaystyle \rho(\mathbf {x} )=q\matrix(\mathbf {x} -\mathbf {x'})}$

이 경우,

${\displaystyle -{\frac {\barepsilon _{0}}{q}}\mathbf {x}\phi(\mathbf {x} )=\mathbf {x'}}}$

which shows that ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$ for ${\displaystyle -{\frac {\varepsilon _{0}}{q}}\nabla ^{2}}$ will give the response of the system to the point charge ${\displaystyle q}$. Therefore, from the discussion above, if we can find the Green's function of th$연산자{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle )}$ ($$ ) {\$displaystyle \phi$ (\$mathbf$ {x}$)}$이(가) 다음이$$ 될 수 있음

${\displaystyle \phi(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} '}G(\mathbf {x},\mathbf {x'})\rho(\mathbf {x'})\d\mathbf {x}'"}"}"}"}"}$

일반적 요금 배부null

수학적 설명

자유공간 그린의 3가지 변수에서 라플레이스의 방정식에 대한 함수는 두 점 사이의 상호 거리 측면에서 주어지며, "뉴턴 커널" 또는 "뉴턴의 전위"로 알려져 있다.즉, 방정식의 해법은

${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x},\mathbf {x'})=\delta(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$

이다

${\displaystyle G(\mathbf {x},\mathbf {x'})=-{\frac {1}{4\pi}}\cdot {\frac {1}{\mathbf {x} -\mathbf {x'}}},},}$

여기서 $x{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$은 3차원 공간에 있는 표준 데카르트 좌표이며$$, ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \,\!\delta }$은 디락 델타 함수다.null

데카르트 좌표로 표현된$$ 상수 용어${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$/${\displaystyle }$( 4 ${\displaystyle \pi }$ )${\displaystyle \,\!-1/$ ($4\pi )}$을 제외하고 3변수 라플라스 방정식에 대한 그린 함수의 대수적 표현은 다음과 같이 언급해야 한다.

${\displaystyle {\frac{1}{ \mathbf {x} -\mathbf {x'}}}}}}}}}}}}^{2}+(y-y^{\premy }}}^{2}+(z-z^{\premium })^{-{-\frac {1}{1}{2}}.}$

그린의 함수에 대한 대수적 표현으로 볼 때, 많은 확장 공식들이 가능하다.이들 중 가장 잘 알려진 것 중 하나인 3변수 라플라스 방정식에 대한 라플라스 확장은 레전드르 다항식의 생성 함수 측면에서 주어진다.

${\displaystyle {\frac{1}{\mathbf {x} -\mathbf {x'}}}}}}}}}}\mathbf {x'}}}}}}}}{l=0}^{\frac {r_{{l}}^{l+1}}}}}}}}}}}}}P_{l}(\cos \gamma ),}$

구면 좌표${\displaystyle (r,}$ ${\displaystyle \theta ,\phi }$ ) ${\displaystyle \,\!(r,\theta,\varphi )}$의 용어로 쓰여진 것이다$.$(보다 큼) 이하의 표기법은 어느 것이 다른 것보다 (보다 큼) 작은지에 따라 프라이밍된 구형 반지름을 취한다.${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle$\,\!\$gamma }$은(는) 제공된$$ 두 임의 벡터$({\displaystyle x\mathbf{}}$,${\displaystyle x{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle(\mathbf {x},\mathbf {x'})$ 사이의 각도를 나타낸다$$.

$\displaystyle \cos \cos =\cos \cos \cos \cos \cos \theta ^{\premy ^}\cos(\varphi -\varphi ^{\premy }).}$

자유공간 원형 원통형 그린의 함수(아래 참조)는 두 점 사이의 상호 거리 측면에서 주어진다.이 표현은 잭슨의 고전 전기역학에서 유래되었다.^[1]3변수 라플라스 방정식에 그린의 함수를 사용하면 포아송 방정식을 통합하여 잠재적 함수를 결정할 수 있다.그린의 기능은 선형 부분 미분방정식에 대한 분리 가능한 좌표계를 사용하여 결정되는 기본요소(조화함수)의 관점에서 확장될 수 있다.그린의 기능을 위한 특별한 기능 측면에서 많은 확장성이 있다.경계조건이 0을 무한대로 설정하고 무한대로 배치된 경계의 경우, 무한대로 그린의 함수가 무한대로 설정된다.예를 들어 3변수 라플라스 방정식의 경우, 변수의 분리가 가능한 회전 불변 좌표계로 확장할 수 있다.예를 들어,

${\displaystyle {\frac {1}{ \mathbf {x} -\mathbf {x'} }}={\frac {1}{\pi {\sqrt {RR^{\prime }}}}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{im(\varphi -\varphi ^{\prime })}Q_{m-{\frac {1}{2}}}(\chi )}$

어디에

${\displaystyle \chi ={\frac {R^{2}+{R^{\premy }}}^{2}+(z-z^{\premy }}}^{2}}:{2}RR^{\premium }}}}$

및 ${\displaystyle Q{}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$- ${\displaystyle {1\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}_{}}$ (${\displaystyle \chi }$ ) ${\디스플레이$ 스타일 $\,\!$$Q_{m-{\frac {1}{$1}:{$2}}(\chi )}$은 두 번째 종류의 홀수 반정수 Legendere 함수로서, 토로이드 고조파다.여기서 팽창은 원통형 좌표${\displaystyle (R,}$ ${\displaystyle \phi ,}$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \,\!(R,\varphi ,z)}$의 단위로 작성되었다$.$ 예를 들어 Toroidal 좌표를 참조하십시오.null

토로이드 고조파용 휘플 공식 중 하나를 사용하여 우리는 그린의 함수의 대체 형태를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{ \mathbf {x} -\mathbf {x'}}}}}}}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}RR^{\prime }(\chi ^{2}-1)^{1/2}}:\sum _{m=-\inflt }{\fract{(-1)^{m}{\Gamma (m+1/2)}}}P_{-{\frac {1}{1}:{1}:{m}{\biggl (}{\frac {\chi }{\sqrt{\ci ^{2}-1}{\biggr )}e^{im(\varphi -\varphi ^{\prime}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

제1종류의 토로이드 조화란 용어로null

이 공식은 1999년 하워드 콜과 조엘 톨라인에 의해 출판된 "천체물리학 저널"에 발표된 논문에서 천체물리학적 적용에 사용되었다.^[2]위에 언급한 공식은 공학계에서도 잘 알려져 있다.예를 들어, 1947년 제 18권 562-577의 응용물리학 저널에 쓰여진 논문은 N.G. 드 브루옌과 C.J. 부캄프가 위의 관계를 알고 있었다는 것을 보여준다.사실, 최근 논문에서 발견된 거의 모든 수학은 이미 체스터 스노우가 했다.이것은 1952년 국립 표준 응용 수학 시리즈 19,520 표준국의 "전위 이론의 통합 방정식에 응용하는 초지하계와 레전드르 함수"라는 책에서 발견된다.228-263페이지를 자세히 보아라.체스터 스노우의 기사 「원통형 코일과 환형 코일의 자기장」(국가표준국, 응용수학시리즈 38, 1953년 12월 30일)은 원통형 좌표에서의 자유공간 그린의 기능과 Q-기능 표현 사이의 관계를 명확히 보여주고 있다.마찬가지로, 1954년 9월 10일 표준 순환 544, 페이지 13-41의 "캐패시턴스 및 인덕턴스 계산용 포뮬라"라는 제목의 스노우 작품의 또 다른 작품을 보라.실제로, 최근 토로이드 기능과 공학이나 물리학에서의 그들의 응용에 대해 별로 발표되지 않았다.그러나 많은 엔지니어링 응용 프로그램이 존재한다.한 신청서가 출판되었는데, 그 기사는 J.P에 의해 쓰여졌다.셀박기, 살롱, 오권, 엠빅.Chari, "영구 자석 모터에서 영구 자석으로부터 외부 자장 계산-대안 방법," IEEE의 자석 거래, 2004년 9월 5일자 1권 40호.이 작가들은 레전드르 함수의 제2종반 통합도 또는 제로드 함수의 토로이드 함수로 광범위한 연구를 수행했다.그들은 원통형 대칭을 나타내는 많은 문제들을 토로이드 기능을 사용하여 해결했다.null

3변수 라플라스 방정식에 대한 그린의 함수에 대한 위의 표현식은 이 그린의 함수에 대한 단일 합계 표현식의 예들이다.이 그린의 기능에 대한 단일 통합 표현도 있다.이것들의 예는 커널이 다음과 같은 제1종류의 순서제로 베셀 함수의 관점에서 주어지는 수직 높이의 차이에 통합된 라플라스 변환으로서 회전 원통형 좌표에 존재한다고 볼 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{ \mathbf {x} -\mathbf {x'} }}=\int _{0}^{\infty }J_{0}{\biggl (}k{\sqrt {R^{2}+{R^{\prime }}^{2}-2RR^{\prime }\cos(\varphi -\varphi ^{\prime })}}{\biggr )}e^{-k(z_{>}-z_{<})}\,dk,}$

여기에서 z>(z<>){\displaystyle \,\!z_{>}(z_{<>})}은 더 큰( 작은)변수}{\displaystyle \,\!z}와 z′{\displaystyle \,\!z^{\prime}z. 마찬가지로,three-variable 라플라스 방정식은 그린 함수의 다른 푸우리에 적분 코사인 변환이 주어져야 할 수 있다. 응 수직두 번째 종류의 수정 Besel 함수의 순서에 따라 커널이 주어지는 ghts

${\displaystyle {\frac {1}{ \mathbf {x} -\mathbf {x'} }}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }K_{0}{\biggl (}k{\sqrt {R^{2}+{R^{\prime }}^{2}-2RR^{\prime }\cos(\varphi -\varphi ^{\prime })}}{\biggr )}\cos {k(z-z^{\prime })}\,dk.}$

3변수 라플라스 방정식에 대한 회전 불변 그린의 함수

그린의 함수 팽창은 변수 기법의 분리를 통해 3변수 라플라스 방정식에 대한 해답을 산출하는 것으로 알려진 회전 불변 좌표계에 모두 존재한다.null

참고 항목

• 뉴턴 포텐셜
• 라플라스 확장

참조