프리 아벨 그룹

수학에서 자유 아벨리안 집단은 근거가 있는 아벨리안 집단을 말한다. 아벨 그룹이 된다는 것은 연관성이 있고, 상호 작용하며, 되돌릴 수 없는 추가작전이 있는 집합체라는 것을 의미한다. 적분 기준이라고도 하는 기본은 그룹의 모든 요소가 미세하게 많은 기본 요소의 정수 조합으로 고유하게 표현될 수 있는 하위 집합이다. 예를 들어, 2차원 정수 격자는 자유 아벨 그룹을 형성하며, 좌표상 추가는 운영으로, 두 점(1,0)과 (0,1)을 기초로 한다. 자유 아벨리아 그룹은 벡터 공간과 유사하게 만드는 속성을 가지고 있으며, 정수를 초과하는 자유 모듈인 자유 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$-modules라고 동등하게 불릴 수 있다. 격자 이론은 실제 벡터 공간의 자유로운 아벨리아 하위그룹을 연구한다. 대수적 위상에서는 자유 아벨리안 그룹이 연쇄 그룹을 정의하는데 사용되며, 대수적 기하학에서는 구분자를 정의하는데 사용된다.

기본 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) 가진 자유 아벨리아 그룹의 요소는 몇 가지 동등한 방법으로 설명할 수 있다$$. 여기에는 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B$에 대한 공식 합계가 포함되며, $형식$$a_{}$ a ${}_{}{}_{}$$${\$textstyle \sum a_$${i$$}{i$$}}$은(는) 0이 아닌 정수이며$$, 각 b ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle$b_{$i}$은(는) 고유한 기본 요소이며$$, 합계는 매우 많은 용어를 가지고 있다. 또는, 자유 아벨리아 그룹의 원소는 공식 합계의 계수와 동일한 멀티셋 내의 원소의 다중성을 가진 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B$의 미세하게 많은 원소를 포함하는 서명된 다중 집합으로 생각할 수 있다. 자유 아벨리아 그룹의 요소를 나타내는 또 다른 방법은 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$부터 0이 아닌 값이 미세하게 많은 정수까지의$$ 함수로서, 이 기능적 표현을 위해 그룹 연산은 점으로 볼 때 기능의 추가다.

$모든{\displaystyle }$ B 세트 ${\displaystyle B}$에는 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$을(를) 기본으로$$ 하는 자유 아벨리안 그룹이 있다$$. 이 집단은 같은 근거를 가진 두 개의 자유 아벨리아 집단이 모두 이등형이라는 점에서 독특하다. 그것의 개별 요소를 설명하여 그것을 구성하는 대신에, $B{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle B}$을(를) 가진 자유 집단은 $B{\displaystyle }$ {\$displaystyle B}$의 멤버당 1개의 복사본으로 정수의 첨가 그룹 사본의 직접 합으로 구성될 수$$ 있다$.$ 또는 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$을(를) 가진 자유 아벨리아 집단은 descri일 수 있다$$.$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 요소를 생성자로$$ 하고 멤버 쌍의 정류자를 변경자로 하여 프레젠테이션을 준비한다. 자유 아벨리아 집단의 계급은 기초의 카디널리티로, 같은 집단의 두 베이스마다 같은 계급이 부여되며, 같은 계급의 자유 아벨리아 집단은 각각 이소모르프다. 자유 아벨리아 집단의 모든 하위 집단은 그 자체로 자유 아벨리아인이다. 이 사실은 일반 아벨리아 집단이 "관계"에 의해 자유 아벨리아 집단의 인용구로 이해되거나 자유 아벨리아 집단들 사이의 주입식 동형성의 코커넬로 이해되도록 한다. 자유 집단인 자유 아벨리아 집단은 하찮은 집단과 무한 순환 집단뿐이다.

정의 및 예제

자유 아벨리안 집단은 근거가 있는 아벨리안 집단을 말한다.^[1] 여기서 아벨 그룹이 된다는 것은 그 원소의 S ${\displaystyle S}$과 S ${\displaystyle S}$에 대한 이진 연산에 의해 설명된다는 것을 의미하는데$,$ 일반적으로 다음과 같은 속성에 따르는 $+{\displaystyle }$ ${\displaystyle +}$ 기호$$(일반적으로 숫자를 추가할 필요는 없지만)에 의해 첨가 그룹으로 표시된다.

• The operation ${\displaystyle +}$ is commutative and associative, meaning for all elements ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, and ${\displaystyle z}$ of ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle x+y=y+x}$ and ${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$. 따라서 이 연산을 사용하여$$ 둘 $이상$의$$S {\$displaystyle$ S$}$ 요소를 결합할 때 요소의 순서와 그룹화는 결과에 영향을 미치지 않는다.
• ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$에는 모든 $요소{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에$$$대해{\displaystyle \mathrm{x}}$ +${\displaystyle }$0 =${\displaystyle 0}$ + ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ x$+0=0+x=x}$ 속성이 포함된 ID 요소(컨벤션적으로 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystystyle$ 0$\})$가 포함되어$$ 있다$.$
• $S$ ${\displaystyle S}$의 모든 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$$}$에는$$${\displaystyle x}$${\displaystyle -x}$과 ${\displaystyle \mathrm{같은}}$ 역 요소가 있다$.{\displaystyle }$

기본은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 모든 요소가 B ${\displaystyle B}$의 여러 기본 $요소{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ i$${\$displaystyle b_{i$$\}$를 선택하고 0이 아닌 ${\displaystyle {정수}_{}}$ k i$${\$dis$}를 선택하여 $고유$한 방식으로 형성될$$ 수 있는 속성을 가진$$ S ${\displaystyle S}$ 요소의 $하위$ 집합 B ${\\$disposet B {\$daystylease$ stylease $stylease$ b$}$이다.선택한 각 기본 요소에 대해$$ 재생 $스타일 k_{i}}$을(를) 추가하고 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$displaystyle$ $k_{i}}$에 대한$$ 기본 $요소{\displaystyle {}_{}}$ b {\$displaystyle b_{$$i$$}$을(를) 합쳐서 k i ${\$$}}$을(를) 각 ${\displaystyle b_{}}$에 대해$$${\displaystyle }$-$}$$k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 음수인$$ asis 요소.^[2] 특수한 경우로서, 공금에 대한 통상적인 관례에 따라, 0 베이시스 원소의 조합으로서 신분 요소는 항상 이와 같이 형성될 수 있으며, 신분성을 나타내는 다른 조합을 찾을 수 있어서는 안 된다.^[3]

$일반적$인 추가 작업에서$정수$ Z {\displaystyle $\mathb$ {$Z} }$은$($는) {${\displaystyle 1\}}$ ${\displaystyle \{1\}$을(를) 기준으로 자유 아벨리아 그룹을 형성한다$.$ 정수는 0을 첨가물로 하고 각 정수는 첨가된 역인 부정을 갖는 등, 교감적이고 연관성이 있다. 각 비음수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 1}의 x {\displaystyle $x}$개의$$ 합이고$,$ 각 음수 정수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$의 -${\displaystyle }$x ${\displaystytyty -x}$ 복사본의$$ 합이므로 기본 속성도 충족된다.^[1]

그룹 연산이 통상적인 숫자의 추가와 다른 예는 양의 이성적 $숫자{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ Q${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$에 의해 주어지는데$,$ 이 숫자는 일반적인 곱셈 연산을 기본으로 하고 소수 수는 프라임 숫자를 기초로 하여 자유 아벨리아 그룹을 형성한다. 곱셈은 숫자 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$을(를) ID로$$ $하고{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$/ x ${\displaystyle 1/x}$을(를) 각 양의 이성적 $숫자{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle$x}에 대한 역 요소로 하는 역법 및 연관성이 있다$.$ 소수들이 이러한 숫자들의 곱셈을 위한 기초를 형성한다는 사실은 모든 양의 정수를 산술의 기본 정리에서 따온 것인데, 산술에 따르면 모든 양의 정수는 미세하게 많은 소수 또는 그 반대들의 산물에 고유하게 고려될 수 있다. $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle a}$/ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle q=a/b}$이(가) 가장 단순한 용어로 표현되는 양의 합리적 수인 경우, $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $q$$}$은(는) ${\$$displaystyle$ $a}$과$($와$)$의 인수화에 나타나는 프리임의 유한 조합으로 표현될$$ 수 있다$.$ 이 조합에 사용할 각 프라임의 복사본 수는 ${\displaystyle a}$의 인수화에 대한 그것의 지수$$또는 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$의 인수화에 대한 지수 부정이 된다$.$^[4]

정수 계수를 가진 단일 변수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$\}$의 다항식은 다항식 추가 하에서 자유 아벨리아 그룹을 형성하며, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 힘을 기초로 한다$$. 추상적인 집단으로서, 이것은 (이형적인 집단에 대한) 양의 이성적인 숫자의 곱셈 집단과 같다. 이 두 그룹을 서로 매핑하여 이형체임을 보여주는 한 가지 방법은 $이성계$의$$곱셈 $그룹$에서 i {\displaystyle $i}$ th$$ prime number의 지수를$$ ${\displaystyle {해당\mathrm{다항식}}^{}}$에서$$x i - 1 {\$displaystyle$ x^{$i-1}$의 계수를 대신 부여하는 것으로 재해석하는 것이다. 예를 들어 합리적인 숫자 $5{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle 27}$ ${\displaystyle 5/27}$은(는${\displaystyle )}$ $처음{\displaystyle \mathrm{}}$ 3개의 소수 $2{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle 3}$${\displaystyle ,}$${\displaystyle }$${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$1 ${\$$displaystyle 0,-3,1}$의 지수를 가지며$$$$, 다항식 -${\displaystyle 3{x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\$에 해당된다.$}}$은(는) 상수, 선형 및 2차 항에 대한$$ 계수 $0{\displaystyle \mathrm{},}$- ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0,-3,1$}이(가) 동일함$$. 이러한 매핑은 단지 같은 숫자를 재해석할 뿐이기 때문에, 두 그룹의 요소들 사이의 편차를 정의한다. 그리고 긍정적인 이성들을 곱한 그룹 운영은 소수 지수에 부가적으로 작용하기 때문에, 다항식을 추가하는 그룹 운영이 다항식의 계수에 작용하는 것과 같은 방식으로, 이 지도들은 그룹 구조를 보존한다; 그것들은 동항형성이다. 편향적 동형성을 이형성이라고 하는데, 그 존재는 이 두 집단이 같은 성질을 가지고 있다는 것을 증명한다.^[5]

주어진 기준으로 각 그룹 요소의 표현은 독특하지만, 자유 아벨리아 집단은 일반적으로 둘 이상의 기초를 가지며, 다른 기초는 일반적으로 그 요소들을 다르게 표현하게 될 것이다. 예를 들어, 어떤 기준의 요소를 그 반비례로 대체하면, 다른 기준을 얻게 된다. 좀 더 엄격한 예로서, 2차원 정수 격자 Z2{\displaystyle \mathbb{Z}^{2}}, 정수 데카르트 좌표를 사용하여 비행기에 있는 각 지점으로 구성된 벡터 가법에 기초{(1,0),(0,1)}{\displaystyle\와 같이{(1,0),(0,1)\}} 이러한 기준은 .[1], elem과 자유abelian 그룹을 형성한다.ent ${\displaystyle (4,3)}$ can be written ${\displaystyle (4,3)=4\cdot (1,0)+3\cdot (0,1)}$, where 'multiplication' is defined so that, for instance, ${\displaystyle \ 4\cdot (1,0):=(1,0)+(1,0)+(1,0)+(1,0)}$. 같은 기준으로${\displaystyle }$(${\displaystyle 4}$, $){\displaystyle (4,3)}$을(를) 쓰는 다른 방법은 없다. However, with a different basis such as ${\displaystyle \{(1,0),(1,1)\}}$, it can be written as ${\displaystyle (4,3)=(1,0)+3\cdot (1,1)}$. Generalizing this example, every lattice forms a finitely-generated free abelian group.^[6] $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ -차원$$ 정수 격자 ${\displaystyle {}^{}}$ $d{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$은(는) 양의 정수 단위 벡터로 구성되는 자연적인 기초를 가지고$$ 있지만, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 결정성${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$의 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\d$ $표시방식$ $d\time d$$}$ 정수$$ 행렬인 경우 다른 기준도 많다.$\pm 1$ 그 $다음{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle$ M$}$의 행이 기본을$$ 이루고, 반대로 정수 격자의 모든 기초에는 이러한 형식이 있다.^[7] 2차원 사례에 대한 자세한 내용은 기본 기간의 쌍을 참조하십시오.

시공

모든 세트는 자유로운 아벨리아 집단의 기본이 될 수 있는데, 이것은 집단의 이형성까지 독특하다. 주어진 기준 집합에 대한 자유 아벨리아 그룹은 정수의 직접적인 합계로서, 정수 값의 함수 패밀리로서, 서명된 다중 집합으로 또는 그룹의 표시로 구성될 수 있다.

제품 및 합계

그룹의 직접 생산물은 제품의 각 그룹에서 원소의 튜플과 포인트 추가로 구성된다. 두 개의 자유 아벨리아 집단의 직접 생산물은 그 자체로 자유 아벨리안이며, 두 집단의 근거지를 해체한 결합을 기초로 한다.^[8] 더 일반적으로는 어떤 유한한 수의 자유 아벨리안 집단의 직접 생산물은 자유 아벨리안이다. $예$를 들어 d ${\displaystyle d}$ -차원$$ 정수 격자는 정수 $그룹{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$의 d ${\displaystyle d}$ 복사본에$$ 대해 이형성이 있으며$,$ ${\displaystyle \mathrm{사소한}}$ 그룹${\displaystyle }${ 0$}{}{\displaystystyle$\{$0\}$도 비어 있는 아벨리안인 것으로 간주된다$$.^[9] $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 제로 카피의 직접 제품인 빈 제품으로 해석할 수 있다$.$^[10]

자유 아벨리아 집단의 무한한 가족들에게 직접 생산물이 반드시 자유 아벨리아인 것만은 아니다.^[8] abelian,[11]지만 에른스트 Specker 1950년에 증명했다로 Z{\displaystyle \mathbb{Z}의 셀 수 있게 많은 수의 복사}의 직접적인 제품, 1937년에 라인홀트 베어에 의해 자유롭지 않는 것으로 나타났다 예를 들어 Baer–Specker 그룹 ZN(^{\mathbb{N}}}, 불가산 그룹을 형성했다는 가산 su.bgroups는 자유 아벨리안이다.^[12] 그 대신 무수한 집단의 무제한 집단으로부터 자유로운 아벨리아 집단을 얻기 위해서는 직접 생산물보다는 직접 합을 사용해야 한다. 직계금액과 직계산은 미세하게 많은 집단에 적용했을 때 동일하지만 집단의 무한 계열에 따라 차이가 있다. 직접적인 합에서 원소들은 다시 각 그룹에서 나온 원소들의 투플이지만, 이들 원소들 중 거의 모든 것이 그들 집단의 정체성이라는 제한과 함께. 무한히 많은 자유 아벨리아 집단의 직접적인 합은 자유 아벨리아인으로 남아 있다. 그것은 하나의 요소를 제외한 모든 요소가 정체성이라는 튜플과 그것의 그룹을 위한 기초의 나머지 요소 부분으로 구성된다.^[8]

모든 자유 아벨리아 그룹은 $그{\displaystyle \mathbb{}}$ 기본 구성원에 대해 하나의 복사본이 있는 Z ${\$의 직접 합으로 설명될 수 있다.^[13][14] 이 구조는 어떤 세트 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가)든 자유 아벨리안 집단의 기초가 될 수 있도록$$ 한다.^[15]

정수 함수 및 공식 합계

$세트{\displaystyle }$ B$${\$displaystyle B}$을(를$)$ 지정하면, $B{\displaystyle }${\$displaystyle B}$부터 정수까지의 $기능$이 있는 Z$($B)} 그룹을 정의할 수 있으며, 여기서 위첨자의 괄호 안에 있는 괄호만 0이 아닌 값을 가진 함수만 포함되었음을 나타낸다. If ${\displaystyle f(x)}$ and ${\displaystyle g(x)}$ are two such functions, then ${\displaystyle f+g}$ is the function whose values are sums of the values in ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g}$: that is, ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$. 이 점증적 덧셈 연산을 $통해{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$Z ($){\$아벨리안 그룹의 구조가$$ 주어진다.^[16]

Each element ${\displaystyle x}$ from the given set ${\displaystyle B}$ corresponds to a member of ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$, the function ${\displaystyle e_{x}}$ for which ${\displaystyle e_{x}(x)=1}$ and for which ${\displaystyle e_{x}(y)=0$$모든{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\neq$x}에$$ 대한$$$\}.$ Z (${\displaystyle {B)}^{}}$ ${\$의 모든 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystystyle f}$는 고유하게 유한 수의 기준 요소의 선형 결합이다$$.

따라서 이러한 요소 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$(${\displaystyle B^{}}$ $){\$${\displaystyle {}^{}}$Z (${\displaystyle {B)}^{}}${\$displaystyle \mathb {Z}{(B)}}}$는 $자유{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 아벨 그룹이다$$$$. 이렇게 해서 모든 세트 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$는 자유 아벨리아 집단의 기초가 될 수$$ 있다.^[16]

$Z{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$(${\displaystyle B^{}}$) ${\$의 요소도 형식적인 합으로 쓸 수 있으며$$, 여기서 각 용어는 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 구별되는 멤버를 가진 0이 아닌 정수의 산물로 쓰여진다$.$ 이러한 표현식은 항 순서에 관계없이 항이 같은 경우 등가로 간주되며, 항들의 조합을 형성하고, 같은 기본 요소와 항을 결합하기 위해 정수 계수를 추가하며, 이 조합이 0 계수를 생성하는 항을 제거하여 추가할 수 있다.^[4] 그것들은 $또한{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$의 많은 요소들의 서명된 다중 집합으로 해석될 수 있다$.$^[17]

프리젠테이션

그룹의 표시는 ID 요소를 제공하는 생성자의 생산물인 "relator"와 함께 그룹을 생성하는 요소 집합(모든 그룹 요소는 정밀하게 많은 생성자의 생산물로 표현될 수 있다는 의미)이다. 이러한 방식으로 정의된 그룹의 요소는 연속적인 연속성으로서 모든 리제너 또는 제너레이터-역방향 쌍을 삽입하거나 제거할 수 있는 동등성 관계 하에서 발전기와 그 역순의 동등성 등급이다. 기본 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) 가진 자유 아벨리아 그룹은 $생성자$가 B ${\displaystyle B}$의 요소인 프레젠테이션을 하고$$$,$ 재조정자는 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $B$$}$의 요소 쌍의 정류자$.$ 여기서 두 요소 $x{\displaystyle }$ ${\$$displaysty$ x$}$와 y$}$의 정류자는 p이다$$.roduct $x{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ y${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ x$^{-1}y^{-1}xy$ 이 제품을 ID로 설정하면 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ $xy$$}$이(가) $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle yx$과($가{\displaystyle }$) 같게 되어 $x{\displaystyle }$ ${\displaystysty y}$와 y} 통근로가$$ 된다. 보다 일반적으로 모든 발전기 쌍이 통근하면 모든 발전기 쌍도 통근한다. 따라서, 이 프레젠테이션에 의해 생성된 그룹은 아벨리안이며, 프리젠테이션의 전달자는 아벨리안임을 확실히 하는 데 필요한 최소한의 전달자 집합을 형성한다.^[18]

발전기 집합이 유한할 때 프리 아벨리안 집단의 표시도 유한하다. 왜냐하면 프리 아벨리안 집단은 프레젠테이션에 포함할 서로 다른 정류자만 매우 많기 때문이다. 이 사실은 자유 아벨리아 집단의 모든 하위 집단이 자유 아벨리안(아래)이라는 사실과 함께 정밀하게 생성된 모든 아벨리아 집단이 정밀하게 제시되어 있음을 보여주는 데 사용될 수 있다. $예$를 들어$,$ G {\$displaystyle$ G$}$이($가{\displaystyle }$)$$세트 B {\$displaystyle$ B$}$에 의해 미세하게 생성된다면$,$ 그것은 자유 아벨리안 서브그룹에 의해$$ $B{\displaystyle }${\$displaystyle$ $B$$}$에 대한 자유 아벨리안 집단의 몫이다$.$ $그러나{\displaystyle }$ 이 하위그룹 자체가 자유 아벨리안이기 때문에, 또한 자유 아벨리안이다. 정확히 생성되었으며, 그 근거($B{\displaystyle }${\$displaystyle B}$ 위의 정류자와 함께$)$는 G ${\displaystyle G}$의 발표를 위한 한정된 릴레이터 집합을 형성한다$.$^[19]

모듈로서

정수 위의 모듈들은 실제 숫자나 합리적인 숫자에 걸친 벡터 공간과 유사하게 정의된다. 그것들은 서로 추가될 수 있는 요소의 시스템으로 구성되며, 이 추가 연산과 호환되는 정수에 의한 스칼라 곱셈 연산이 있다. 모든 아벨 그룹들은 다음과 같이 정의된 스칼라 곱셈 연산을 통해 정수에 대한 모듈로 간주될 수 있다.^[20]

${\displaystyle 0\,x=0}$
$1\,x=x}$
${\displaystyle n\,x=x+(n-1)\,x,\displaystyle }$	n> ${\displaystyle \property n>1}$인 경우
${\displaystyle n\,x=-(-n)\,x),}$	< ${\displaystyle \cHB n<0}$인 경우

그러나 벡터 공간과는 달리 모든 아벨 그룹들이 근거를 가지고 있는 것은 아니며, 따라서 그러한 그룹들에 대한 특별한 명칭이 있다. 자유 모듈은 기본 링 위에 직접 합으로 나타낼 수 있는 모듈이므로 자유 아벨리아 그룹과 자유 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\$$mathb {Z} }$ -module은 동등한 개념이다: 각 자유 아벨리아 그룹은 (위의 곱셈 연산을 통해) $자유{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\${Z$$} -module, 각 $자유$ Z ${\$$ystyle \mathb {Z} }$ -모듈은 이러한 방식으로 자유 아벨리아 그룹에서 나온다.^[21] 직접 합계뿐만 아니라 $자유{\displaystyle \mathbb{}}$ 아벨리아 그룹을 결합하는 또 다른 방법은 Z ${\$-modules의 텐서 제품을 사용하는 것이다. 두 개의 자유 아벨리안 그룹의 텐서 제품은 항상 자유 아벨리안이며, 제품 내 두 그룹에 대한 베이스의 데카르트 제품이다.^[22]

자유 아벨리아 집단의 많은 중요한 특성들은 주요한 이상적인 영역에 걸쳐 모듈을 자유롭게 하기 위해 일반화될 수 있다. 예를 들어, Hatcher(2002)의 쓰기가 이러한 모듈에 대한 "자동 일반화"를 허용한다는 사실에서, 주요 이상영역보다 자유로운 모듈의 하위모듈은 무료다.^[23] 또한 모든 투영 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$-module이$$ 같은 방식으로 자유롭게 일반화하는 정리도 있다.^[24]

특성.

보편적 재산

기본 $B$가 ${\displaystyle B}$인 $자유{\displaystyle }$ 아벨리아 그룹 F ${\displaystyle F}$은$($는) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에서 $아벨{\displaystyle }$ 그룹 A ${\$$displaysty$ $A}$에 이르는 모든 함수 $f{\displaystyle }${\$displaystystyf}$에 대해 $}$에서 $A{\displaystyle }$ ${\displays$에 $이르는$ 고유한 그룹 동형식이 있다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 확장하는$$ $tyle A}$ 여기서 그룹 동형성은 그룹 제품 법칙에 부합하는 그룹 간 매핑이다$.$^[4][9] 매핑 전이나 후에 제품을 수행하는 것이 동일한 결과를 낳는다. 보편적 속성의 일반적 속성에 의해, 이것은 베이스 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 "아벨 그룹"이$$ 이소모르피즘에 이르기까지 독특하다는 것을 보여준다. 따라서, 보편적 속성은 베이스 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 자유 아벨리아 집단의 정의로 사용될 수 있다$.$ 이 속성에 의해 정의된 집단의 고유성은 다른 모든 정의가 동등하다는 것을 보여준다.^[15]

자유 아벨리아 집단을 "자유"라고 부르는 것은 이 보편적 속성 때문이다: 그들은 아벨리아 집단의 범주에 속하는 자유 개체들, 아벨리아 집단을 대상으로 하는 범주, 동형체를 화살로 하는 범주다. 기초에서 자유 아벨리아 그룹에 이르는 지도는 펑터(functor)이며, 세트에서 아벨리아 그룹에 이르기까지 범주를 구조적으로 보존하는 지도이며, 아벨리아 그룹에서 세트까지 망각하는 펑터(functor)에 보조된다.^[25] 그러나 자유 아벨리아 집단은 두 가지 경우를 제외하고는 자유 집단이 아니다. 즉 자유 아벨리아 집단은 빈 기초가 있거나(0위, 하찮은 집단을 주는 것) 그 기초가 하나뿐(위, 무한 순환 집단을 주는 것)이다.^[9][26] $자유{\displaystyle }$ 그룹에서는 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$과 $b{\displaystyle }$ ${\$displaystyle b}이(가) 기본의 다른 요소인 $경우$$$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b$$}$과(와) 달라야$$ 하는 반면 자유 아벨 그룹에서는 두 제품이 모든 요소 쌍에 대해 동일해야 하기 때문에 다른 아벨 그룹에서는 자유 그룹이 아니다. 일반적인 그룹 범주에서 ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ab=ba}$을(를) 요구하는 것은 추가 제약조건인 반면$,$ 이것은 아벨리아 그룹 범주에서 필요한 속성이다.^[27]

순위

같은 자유 아벨 그룹의 두 베이스마다 같은 카디널리티를 가지고 있기 때문에, 베이스의 카디널리티는 그 계급으로 알려진 그룹의 불변성을 형성한다.^[28][29] 두 개의 자유 아벨 그룹들은 같은 순위를 가진 경우에만 이등형이다.^[4] 자유 아벨리아 그룹은 그 순위가 유한한 $숫자{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$인 경우에만 미세하게 생성되며$,$ 이 경우 그룹은 ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$에 대해 이형성이 있다$.$^[30]

이러한 계급 관념은 자유 아벨리아 집단에서 반드시 자유롭지 않은 아벨리아 집단까지 일반화할 수 있다. 아벨 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 순위는 G ${\displaystyle G}$의 자유 아벨리아 하위 그룹 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $F$$}$의 순위로 정의되며$$, $여기$서 몫 그룹 G${\displaystyle /F}$ ${\displaystystyle$ G$/F}$은 비틀림 그룹이다. 마찬가지로 자유 부분군을 생성하는 것은$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 최대 부분 집합의 카디널리티다. 순위는 집단이 불변하는 것으로, 하위집단의 선택에 따라 달라지지 않는다.^[31]

부분군

자유 아벨리아 집단의 모든 하위 집단은 그 자체가 자유 아벨리아 집단이다. 리차드 데데킨드의^[32] 이 결과는 자유집단의 모든 하위집단이 자유롭다는 유추적 닐슨-슈레이어 정리의 전조였으며, 무한순환집단의 모든 비경쟁집단이 무한순환이라는 사실을 일반화한 것이다. 그 증거는 선택의 공리가 필요하다.^[25] 조른의 보조정리(선택의 공리에 상당하는 여러 가정 중 하나)를 사용한 증거는 서지 랭의 대수학에서 찾을 수 있다.^[33] 솔로몬 렙체츠와 어빙 카플란스키는 조른의 보조정리 대신에 잘 정돈된 원칙을 사용하는 것이 보다 직관적인 증거로 이어진다고 주장한다.^[14]

미세하게 생성된 자유 아벨리아 집단의 경우 증거가 더 쉬워지고 선택의 공리가 필요 없으며 보다 정확한 결과로 이어진다. $G{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $G}$이(가) 정밀하게 생성된 자유 아벨리안 그룹 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 하위 그룹인 경우$,$ $G{\displaystyle }${\$displaystyle G}$은(${\displaystyle {e1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {en}_{}}$)$$${\$$displaystyle$$F}$과($e_dots, e_{n})$ 양의 정수 ${\displaystyle d1d{}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$…이 있다$.{\displaystyle }$${\displaystyle d_{1} d_{2} \ldots d_{k}}$ (that is, each one divides the next one) such that ${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$ is a basis of ${\displaystyle G.}$ Moreover, the sequence ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$ depends는 $기초$가$$아닌$$F {\$displaystyle$ $F$} 및 G {\$displaystyle$ G$$}에만 적용됨.^[34] 정리의 존재 부분에 대한 건설적인 증거는 정수의 행렬의 스미스 정규 형식을 계산하는 알고리즘에 의해 제공된다.^[35] 고유성은 모든 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle$ r$\leq k}$에 대해$$매트릭스 $순위$ r$${\$displaystyle r}$의 Minor가 Smith 일반 폼 계산 중에 변경되지 않으며, 계산이 끝날$$ 때 d ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}${\$displaystyle d_{$1}\$cdots d_{$^[36]r}.

비틀림과 부차성

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 자유 아벨리아 그룹은 비틀림 없는 $그룹$으로서, n $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$}$과 nonzero 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $n}$이$($$가)$ 없다는 것을 의미한다$.$ 반대로 미세하게 생성된 모든 자유 토션 무 아벨리아 그룹은 자유 아벨리앙이다.^[9][37]

합리적인 숫자 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 첨가물 그룹은 자유 아벨리안이 아닌 비틀림 없는(정확하게 생성되지는 않음)^[38] 아벨리안 그룹의 예를 제공한다$$. $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 자유 아벨리안이 아닌$$ 한 가지 이유는 분리가 가능하기 때문인데, 이는 모든 원소 ${\displaystyle x\mathbb{}}$∈ Q ${\$x$\in \mathb {Q$$}$ 및 모든$$ 0이 아닌 정수 $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystylease$ $ny$ ny $ny}$에 대해 x${\}$을 스칼라 다중 $}$로 표현할 수 있다는 것이다$.$nother 요소 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y=x/n$ 대조적으로 자유 아벨리아 그룹에서 기본 요소는 다른 원소의 배수로 표현할 수 없기 때문에, 비경쟁 자유 아벨리아 그룹은 결코 분리할 수 없다.^[39]

대칭

어떤 집단의 대칭도 집단 자동화로 설명할 수 있는데, 집단에서 그 자체로 변형될 수 없는 동형체라고 할 수 있다. 비-아벨라 그룹에서는 이러한 것들이 내적 및 외적 자동화로 더욱 세분화되지만, 아벨 그룹에서는 모든 비식별성 자동화가 외적이다. 그들은 구성의 운용 하에 주어진 집단의 오토모피즘 그룹인 또 다른 집단을 형성한다. 유한 계급 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 자유 아벨리아 그룹의 자동형 집단은 일반 선형 $집단{\displaystyle }$ G ${\displaystyle L}$(${\displaystyle n}$, $){\displaystyle GL(n,\mathbb$ {Z} )으로$,$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaysty n\times n}$의 집합으로 구체적으로 설명할 수 있다.행렬 곱셈의 연산 자유 아벨리아 그룹 ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$에서 대칭으로 작용하는 이들의 행동은 행렬-벡터 곱셈에 불과하다$$.^[40]

두 개의 무한계급 자유 아벨리아 집단의 오토모르피즘 집단은 2차 논리학의 관점에서 그들의 계급이 동등한 추기경일 경우에만 서로 같은 1차 이론을 가지고 있다. 이 결과는 자유 아벨리아 집단의 비자발 구조, 즉 그들 자신의 역행인 자동화에 따라 달라진다. 자유 아벨리아 그룹에 대한 근거를 제공하면, 기본 원소의 쌍을 서로 매핑하거나, 기본 원소의 선택된 부분집합을 부정하여 다른 기본 원소를 고정시키는 비자발성을 발견할 수 있다. 반대로, 자유 아벨리아 집단의 모든 비자발성에 대해, 모든 기본 원소가 쌍으로 교환되거나 부정되거나 비자발적으로 변하지 않은 채로 남아 있는 집단의 근거를 찾을 수 있다.^[41]

다른 그룹과의 관계

자유 아벨리안 그룹이 $두{\displaystyle }$ ${\displaystyle 그룹}$ A${\displaystyle }$/ B ${\displaystyle A/B}$의 몫이라면$,$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은 직접 합계 ${\displaystyle B}$ sum A /${\displaystyle }$B $displaystyle B\oplus A/B}$이다$.$^[4]

임의의 아벨리아 $그룹{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle A}$이$($가) 주어질 $때{\displaystyle }$,$$F {\$displaystyle$$F$}에서$$A {\$displaystyle A$}까지의 자유 $아벨리아{\displaystyle }$ 그룹 F$${\$displaystyle$ $A}$과(가)의 허탈적 그룹 동형성이 항상 존재한다$.$ 주어진 그룹 $A{\displaystyle }$ ${\disposition$을 $구성$하는 한 가지 방법은$$ F${\displaystyle }$= Z ${\displaystyle {A)}^{}}$이다.공식 합계로 표현되는$$${\$$displaystyle F=\mathb {Z} ^{(A)}}$은(는) $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ A$}$에 대한 자유 아벨리아 그룹이다$$. 그런 다음 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 공식 합계를 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 멤버의 해당 합계에$$ 매핑하여 추출을 정의할 수 있다$.$ 즉, 추론 맵이다.

은 기능 e)↦ 있는 기초 요소 e){\displaystyle e_{)}지정된 공식적인 합은 어디를 x{\displaystyle a_{)}}은 정수 계수}, 첫번째 돈 F{F\displaystyle}에서, 그리고 두번째 금액 A{A\displaystyle}에 있다 .[29][42]이 전사는 특별한 그룹 불완전 변태. ){\d$isplaystyle e_{x}\mapsto x$ . 따라서 그것의 구성은 보편적 속성의 한 예로 볼 수 있다.

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$과 A ${\displaystyle A}$이(가) 위와 같을$$ 때 $F{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle F}$에서 A ${\displaystyle A}$까지 추리하는$$ $커널{\displaystyle }$ G ${\displaysty G}$도 $F{\displaystyle }$ {\$displaystysty F}($정체에 매핑된 요소의 부분군)의 부분군)이므로$$ 자유 아벨리안이다. 따라서, 이 그룹들은 짧은 정확한 순서를 형성한다.

어느 F{F\displaystyle}, 그리고 G{G\displaystyle}둘 다 자유 abelian과{A\displaystyle}의 요소 그룹 F/G{F/G\displaystyle}에 동형니다.{A\displaystyle}.[2]의 이것은 무료 해결 게다가, choice,[43]자유abelian 단체들은 정확하게 proje의 원리 가정합니다.ctive아벨 그룹 범주에 속하는 ^[4][44]물체

적용들

대수 위상

대수적 토폴로지에서는 $k{\displaystyle }${\$displaystyle k$} -dimplic simplices의 공식 $합$을 k {\displaystyle$$ $k}$ -chain이라고 하며, k {\$displaystyle k}$ -simplices의$$ 집합을 기초로 하는 자유 아벨리아 그룹을 체인 그룹이라고 한다.^[45] 단순화 단지의 k {\$displaystyle k}$ -simplices$$ 집합 또는 다지관의 단일 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -simplices$$ 집합과 같은 일부 위상학적 공간에서 일반적으로 단순화를 취한다. $임의$의 k ${\displaystyle k$${\displaystyle \}}$ -dimplacement$$ simplex는${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{k}}$-$1$ ) {\displaystyle ($k-1)$-dimplic$$ simples의 공식 합으로 나타낼 수 있는 경계를 가지며, 자유 아벨리아 집단의 보편적 속성은 이 경계 $연산자$를 k$${\$displaysty k$} -chains에서${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{k}}$ -${\displaystyle }$1 )까지 그룹 동형성으로 확장하도록 한다.$[\displaystyle (k-1)}$ -reason$$. 이런 식으로 경계 사업자에 의해 연계된 체인 집단의 체계는 체인 콤플렉스를 형성하고, 체인 콤플렉스에 대한 연구는 호몰로지 이론의 기초를 형성한다.^[46]

대수기하학 및 복합해석

복잡한 숫자에 대한 모든 합리적인 함수는 함수의 0과 극$($값이 0 또는 무한인 지점)인 복합 숫자 ${\displaystyle c_{}}$ i${\$의 서명된 다중 집합과 연관될 수 있다. 이 멀티셋에서 한 점의$$ $다중성{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ i ${\$는 함수의 0으로서 그것의 순서 또는 극으로서 그 순서를 부정하는 것이다. 그런 다음 함수 자체는 이 데이터에서 다음과 같이 스칼라 계수까지 복구할 수 있다.

만약 이러한 멀티셋이 복잡한 숫자에 걸쳐 자유 아벨 그룹의 멤버로 해석된다면, 두 개의 합리적인 함수의 제품이나 지수는 두 그룹 멤버의 합이나 차이에 해당한다. 따라서 합리적 함수의 곱셈 집단은 복잡한 숫자의 곱셈 집단(각 함수의 관련 스칼라 인자)과 복잡한 숫자에 대한 자유 아벨리아 집단에 인수될 수 있다. 무한대에서 0이 아닌 한계값을 갖는 합리적 함수(리만 구에 대한 공형 함수)는 승수의 합이 0인 이 그룹의 하위 그룹을 형성한다.^[47]

이 구조는 디비저의 개념에 따라 대수 기하학에서 일반화되었다. 구분자에 대한 정의는 서로 다르지만, 일반적으로 그것들은 다항식 시스템의 해답점 집합인 대수적 다양성의 코드인 1 하위 변수의 추상화를 형성한다. 방정식 시스템이 1도 자유도를 갖는 경우(해법은 대수 곡선 또는 리만 표면을 형성함), 하위변수는 격리된 점으로 구성될 때 코드변수를 가지며, 이 경우 점수는 다시 품종에서 부호화된 여러 점의 집합이다.^[48] 콤팩트한 리만 표면의 메로모르픽 함수는 미세하게 많은 0과 극을 가지며, 그 점들은 표면의 점 위에 자유 아벨리아 그룹의 한 부분군을 형성하며, 그룹 요소의 덧셈이나 뺄셈에 해당하는 함수의 곱이나 나눗셈을 가지고 있다. 디비저가 되려면 자유 아벨리아 집단의 원소는 0에 합한 승수를 가져야 하며, 표면에 따라 일정한 추가 제약조건을 충족해야 한다.^[47]

그룹 링

이 단체}, 어떤 단체 G{G\displaystyle}을 위한 G{G\displaystyle}.[49]에, 반지의 가군은 자유abelian 그룹 때 G{G\displaystyle}과abelian 유한, 유닛의 Z[G]{\displaystyle \mathbb{Z}[G]의 승군}t.다 Z[G]{\displaystyle \mathbb{Z}[G]을 울린다.그는유한집단의 직접생산과 정밀하게 생성된 자유 아벨리아 집단의 ^[50][51]계보

참조