푸앵카레-스테클로프 연산자

수학에서 푸앵카레-스테클로프 연산자(헨리 푸앵카레와 블라디미르 스테클로프 이후)는 한 영역의 타원 부분 미분 방정식 해법의 한 경계 조건 값을 다른 경계 조건의 값에 매핑한다. 일반적으로 경계 조건 중 어느 것이든 해결책을 결정한다. 따라서 Poincaré-Steklov 연산자는 부분 미분 방정식에 의해 모델링된 시스템의 경계 응답을 캡슐화한다. 예를 들어 유한요소나 유한차이에 의해 부분 미분방정식이 탈증될 때, 푸앵카레-스테클로프 연산자의 탈증식은 영역 내부의 모든 자유도를 제거하여 얻은 슈르 보충물이다.

주어진 부분 미분 방정식에 대해 여러 가지 서로 다른 경계 조건이 있을 수 있으며, Poincaré-Steklov 연산자가 하나의 값을 다른 것으로 매핑하는 방향은 하나의 관례에 의해서만 주어진다.^[1]

경계 도메인의 Dirichlet-to-Neuman 연산자

신체 표면의 주어진 온도 값에 대한 신체 내 온도의 정상 상태 분포를 고려한다. 그런 다음 경계(즉, 주어진 표면 온도를 유지하는 데 필요한 열량)를 통해 발생하는 열량을 고유하게 결정한다. 표면 온도의 표면 열량에 대한 매핑은 Poincaré-Steklov 연산자다. 이 특별한 푸앵카레-스테클로프 연산자는 디리클레트 투 노이만(DtN) 연산자라고 불린다. 지표면 온도의 값은 라플라스 방정식의 디리클레 경계조건으로, 체내 온도의 분포를 설명한다. 표면을 통과하는 열 유량은 노이만 경계 조건이다(온도의 정상 파생물과 비례).

Mathematically, for a function ${\displaystyle u}$ harmonic in a domain ${\displaystyle \Omega \subset R^{n}}$, the Dirichlet-to-Neumann operator maps the values of ${\displaystyle u}$ on the boundary of ${\displaystyle \Omega }$ to the normal derivative ${\displaystyle \partial u/\partial$$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$의 경계에 n$$$\}.$ 이 푸앵카레-스테클로프 연산자는 반복적인 하위구조의 기초에 있다.^[2]

칼데론의 역경계 문제는 디리클레-뉴만 연산자로부터 타원형 부분미분방정식 형태의 발산계수를 찾는 문제다. 이것은 전기 임피던스 단층 촬영의 수학적 공식이다.

무한대 경계 조건의 Dirichlet-to-Neuman 연산자

외부 영역의 부분 미분 방정식의 해법은 무한에서 경계로 경계 조건을 가져오는 푸앵카레-스테클로프 연산자를 발생시킨다. 무한히 온도가 0인 무한 매질의 캐비티 경계에서 주어진 온도를 캐비티 경계의 열유속까지 매핑하는 디리클레-뉴만 연산자가 한 예다. 마찬가지로, 구면 외부의 헬름홀츠 방정식에 대한 해법에 대한 구의 경계에서 디리클레-뉴만 연산자를 정의할 수 있다. 이 연산자의 근사치는 무한 매체에서의 음향 산란 모델링을 위한 방법의 종류에 기초하며, 산포자는 구체에 둘러싸여 있고 푸앵카레-스테클로프 연산자는 비반사(또는 흡수) 경계 조건의 역할을 한다.^[3]

푸앵카레-스테클로프 전자공학 연산자

푸앵카레-스테클로프 연산자는 시간-하모니크(${\displaystyle {ei}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ t ${\$ t$\})$를 경계에서 해당 경계상의 접선 전기장을 그 경계에서 등가 전류에 매핑하는 연산자로 정의된다.^[4]

참고 항목

• 유체-구조물 상호작용(경계/인터페이스) 분석
• Schur는 도메인 분해 방법을 보완한다.

참조

• 레베데프, V. I.; 아고쉬코프, V. I. 공작원 푸안카레-스테클로바 이익 프릴로제니야 대 항문 분석. (러시아어) [Puincaré Steklov 연산자와 분석 중인 응용 프로그램] Akad. Nauck SSSR, Vychisl. 1983년 모스크바 첸트르 184 페이지 MR827980
• 타원차 문제를 위한 P. S. Poincaré-Steklov 연산자 바실레프스키. C. R. 아카드. Bulgare Sci. 38 (1985년), 제 5,543호 - 546호. MR799809