전위 흐름

전위 흐름은 NACA 0012 에어포일 주위에 11° 각도의 공격 각도로 흐르며, 상부 및 하부 스트림튜브가 식별된다.

유체 역학에서 전위 흐름은 속도장을 스칼라 함수의 구배, 즉 속도 전위라고 설명한다. 결과적으로, 잠재적 흐름은 몇 가지 용도에 대한 유효한 근사치인 비회전 속도장으로 특징지어진다. 잠재적 흐름의 비회전성은 스칼라의 구배가 항상 0과 같기 때문에 발생한다.

압축할 수 없는 흐름의 경우 속도 전위는 라플레이스의 방정식을 만족하며 전위 이론이 적용된다. 그러나 잠재적 흐름은 압축 가능한 흐름을 설명하는데도 사용되었다. 잠재적 흐름 접근방식은 정지해 있는 흐름뿐만 아니라 정지해 있는 흐름의 모델링에서 발생한다. 예를 들어, 잠재적 흐름의 적용은 에어로포일, 수파, 전기전자 흐름, 지하수 흐름의 외부 흐름이다. 강한 vorticity 효과가 있는 흐름(또는 그 부분)의 경우 잠재적 흐름 근사치는 적용되지 않는다.

특성 및 응용 프로그램

전위 흐름은 단순한 기초 흐름을 추가하고 그 결과를 관찰함으로써 형성된다.

균일한 온플로에서 원형 실린더 주위의 압축 불가능한 전위 흐름의 유선.

설명 및 특성

유체 역학에서 전위 흐름은 공간과 시간의 함수로서 속도 전위 $φ$ 을 통해 설명된다. 유속 $v$ 는 속도전위 $φ$ 의 경사도 $,$ 과 동일한 벡터장이다.^[1]

\mathbf {v} =\bla \varphi .

때로는 마이너스 부호가 있는 $v$ = - $\nabla φ$ 의 정의도 사용된다. 그러나 여기서 우리는 마이너스 부호 없이 위의 정의를 사용할 것이다. 벡터 미적분학에서는 그라데이션의 컬이 0과 같다고 알려져 있다.^[1]

\nabla \timesla \varphi =\mathbf {0} \...

따라서 vorticity, 즉 속도장 $v$ 의 컬은 0이다.^[1]

\nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} \,.

이것은 잠재적 흐름이 비회전적인 흐름이라는 것을 암시한다. 이것은 잠재적 흐름의 적용가능성에 직접적인 영향을 미친다. 웨이크·경계층 등 vorticity가 중요하다고 알려진 흐름 지역에서, 잠재적 흐름 이론은 흐름에 대한 합리적인 예측을 제공할 수 없다.^[2] 다행히도, 비회전성의 가정이 유효한 흐름의 넓은 지역이 종종 존재하는데, 이것이 잠재적 흐름이 다양한 용도에 사용되는 이유다. 예를 들어 항공기 주위의 흐름, 지하수 흐름, 음향, 수파 및 전기전자 흐름.^[3]

압축불가 흐름

액체 또는 낮은 마하 수치의 기체와 같은 압축 불가능한 흐름의 경우(음파는 아님) 속도 $v$ 는 0의 차이를 가진다.^[1]

\cdla \cdot \mathbf {v} =0\...

내부 제품을 나타내는 점으로 표시됨. 그 결과 속도전위 $potential$ 은 라플레이스의 방정식을^[1] 만족시켜야 한다.

\nabla ^{2}\varphi =0\...

여기서 $\nabla 2$ = ∇ ∇ $\nabla$ 은 라플라스 연산자(때로는 $Δ$ 도 표기)이다. 이 경우 흐름은 그 운동학에서 완전히 결정될 수 있다: 비회전성과 흐름의 영분산 가정이다. 역학은 컴퓨팅 압력에 관심이 있는 경우에만 그 후에 적용하면 된다. 예를 들어 베르누이의 원리를 이용한 에어포일 주위의 흐름과 같은 것이다.

2차원에서 전위 흐름은 복잡한 분석을 사용하여 분석되는 매우 단순한 시스템으로 감소한다(아래 참조).

압축유동

안정적 흐름

전위 흐름 이론은 또한 비회전 압축 흐름을 모형화하는 데 사용될 수 있다. 안정적인 흐름을 설명하는 완전한 전위 방정식은 다음과 같이 주어진다.^[4]

\left(1-M_{x}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+\left(1-M_{y}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}+\left(1-M_{z}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}-2M_{x}M_{y}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\,\partial y}}-2M_{y}M_{z}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\,\partial z}}-2M_{z}M_{x}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z\,\partial x}=0\}

마하 수 구성 요소 포함

{\begin{aligned}M_{x}&={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\,,&M_{y}&={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\,,{\text{ and }}&M_{z}&={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,,\end{aligned}}

여기서 $a$ 는 소리의 국소 속도다. 유속 $v$ 는 다시 $\nablaφ$ 과 같으며, $φ$ 속도 전위는 φ이다. 전위 방정식은 비회전성의 가정이 적용 가능한 한 임의의 공격 각도에서의 서브, 트랜스 및 초음속 흐름에 유효하다.^[4]

아음속 또는 초음속(트랜소닉 또는 극초음속은 아님) 흐름의 경우 작은 공격각과 얇은 신체의 각도에서 속도 전위는 방해받지 않는 온유속 $V$ 로_∞ 분할되며, 이 흐름의 작은 섭동 속도 $φ$ 으로 분할된다. 자:^[4]

\displaystyle \nabla \Phi =V_{\infit }x+\nabla \varphi \,}

이 경우 선형화된 소정동 전위 방정식(전체 전위 방정식에 대한 근사치)을 사용할 수 있다.^[4]

\left(1-M_{\infty }^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0,

으로 M∞).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-.Parser-output이 들어오는 자유 기류의 마하수 .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}V∞/a∞. 이 선형 방정식은 완전한 전위 방정식보다 훨씬 풀기 쉽다: x-방향의 단순한 좌표 스트레칭에 의해 라플레이스의 방정식으로 재귀화될 수 있다.

전위 방정식의 도출

일정한 비결정적 흐름의 경우 질량 및 운동량 밀도에 대한 오일러 방정식은 첨자 표기법 및 비보존 형식이다.^[5]

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\rho \,v_{i}\right)&=0\,,\\\rho \,v_{j}\,{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}&=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}\,,\end{aligned}}

합계 규약을 사용하는 동안: $j$ 는 운동 방정식의 왼쪽에 있는 용어에서 두 번 이상 발생하므로, $j$ 는 그 모든 성분(이차원 흐름에서는 1에서 2까지, 그리고 3차원에서 1에서 3까지)에 걸쳐 요약된다. 추가:

$ρ$ 은 유체 밀도,
$p$ 는 압박이다,
$(x 1,$ x, $x 2 3) =$ ( $x,$ $y,$ z $)$ 는 좌표와
$(v 1,$ $v 2,$ $v 3)$ 는 속도 벡터 $v$ 의 해당 구성 요소다.

squared $a$ 의² 속도는 일정한 엔트로피 $S$ :^[6]에서 밀도 $ρ$ 에 대한 압력 $p$ 의 파생 속도와 동일하다.

a^{2}=\왼쪽[{\frac {\fract p}{\required \rho }}}\오른쪽]_{S

결과적으로 흐름 방정식은 다음과 같이 기록할 수 있다.

{\begin{aligned}v_{i}\,{\frac {\partial \rho }{\partial x_{i}}}+\rho \,{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}&=0\,,{\text{ and }}&\rho \,v_{j}\,{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}&=-a^{2}\,{\frac {\partial \rho }{\partial x_{i}}}\,.\end{정렬}}

모멘텀 방정식을 $v$ 와_i 곱(및 합계)하고 질량 방정식을 사용하여 밀도 구배를 제거하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

\rho \,v_{i}\,v_{j}\,{\fract v_{i}}}{\\fract x_{j}}}}}=\rho \,a^{2}\frac {\fract v_{i}}{\fri}}}}\,}}}\,

terms으로 $나누고$ , 모든 항을 방정식의 한쪽에 놓고, 압축 가능한 흐름 방정식은 다음과 같다.

{\frac{\fract v_{i}}{\\frac x_{i}}-{\frac {v_{i}\,v_{j}}{a^{2}}:{\frac {\frac v_{i}}{\frac x_}}}=0\,.}}

이 단계까지는 흐름과 관련하여 어떠한 가정도 이루어지지 않았다는 점에 유의하십시오(일관적인 흐름이라는 것 외에).

자, 비회전 흐름의 경우 v $속도$ 는 속도 전위 $potential$ 의 구배이며, 국소 마하 수 성분 $M$ 은_i 다음과 같이 정의된다.

{\begin{aligned}v_{i}&={\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}\,,{\text{ and }}&M_{i}&={\frac {v_{i}}{a}}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}\,.\end{정렬}}

흐름 방정식에 사용할 경우 최대 전위 방정식은 다음과 같다.

{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{i}\,\partial x_{i}}}-M_{i}\,M_{j}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}=0\,.

구성요소에 기재되어 있으며, 이 조의 시작 부분에 제시된 양식을 구한다. 압력 $p$ 와 밀도 $ρ$ 과 관련된 상태 방정식이 제공될 때, 소리의 속도를 결정할 수 있다. 이후 적절한 경계 조건과 함께 완전한 전위 방정식을 해결할 수 있다(대부분은 전산 유체 역학 코드를 사용하여).

불안정한 흐름

전위 흐름 이론은 또한 비회전 압축 흐름을 모형화하는 데 사용될 수 있다. 불안정한 흐름을 설명하는 완전한 전위 방정식은 다음을 통해 주어진다.^[4]

{\displaystyle{\begin{정렬}0=-{\frac{1}{a^{2}}}\left[{\frac{}\partial{\partial t}}(\nabla \Phi\cdot \nabla \Phi)+{\frac{\partial ^{2}\Phi}{\partial t^{2}}}\right]&, +\left(1-M_{x}^{2}\right){\frac{\partial ^{2}\Phi}{\partial x^{2}}}+\left(1-M_{y}^{2}\right){\frac{\partial ^{2}\Phi}{\partial y^{2}}}+\left(1-M_{z}^{2}\right){\frac{년.부분ial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\\[3pt]&-2M_{x}M_{y}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\,\partial y}}-2M_{y}M_{z}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\,\partial z}}-2M_{z}M_{x}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z\,\partial x}}\end{aligned}}}

마하 수 구성 요소 포함

{\begin{aligned}M_{x}&={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\,,&M_{y}&={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\,,{\text{ and }}&M_{z}&={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,,\end{aligned}}

여기서 $a$ 는 소리의 국소 속도다. 유속 $v$ 는 다시 $\nablaφ$ 과 같으며, $φ$ 속도 전위는 φ이다. 전위 방정식은 비회전성의 가정이 적용 가능한 한 임의의 공격 각도에서의 서브, 트랜스 및 초음속 흐름에 유효하다.^[4]

아음속 또는 초음속(트랜소닉 또는 극초음속은 아님) 흐름의 경우 작은 공격각과 얇은 신체의 각도에서 속도 전위는 방해받지 않는 온유속 $V$ 로_∞ 분할되며, 이 흐름의 작은 섭동 속도 $φ$ 으로 분할된다. 자:^[4]

\displaystyle \nabla \Phi =V_{\infit }x+\nabla \varphi \,}

이 경우 선형화된 소정동 전위 방정식(전체 전위 방정식에 대한 근사치)을 사용할 수 있다.^[4]

-{\frac {1}{a^{2}}\왼쪽[2]V_{\infty }{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}\right]+\left(1-M_{\infty }^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0,

$M \infty$ = $V \infty / a \infty$ 수신 자유 스트림의 마하 번호.

전위 방정식의 도출

우리는 대량 보존 방정식으로 시작할 것이다.

{\frac {1}{\rho}{\frac {\reho}{\fract t}{\frac {{\v}\cdot \rho}}{\rho }}}}}}\cdcdot {\v}=0

첫 번째 임기를 고려하십시오. 베르누이의 원리를 이용해서 우리는 글을 쓴다.

{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {1}{a^{2}\rho }}{\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{d\rho ({\tilde {p}})}}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\오른쪽]

비슷한 방법으로, 두 번째 학기가 쓰여질 수도 있다.

{\frac {{\vec {v}}\cdot \nabla \rho }{\rho }}={\frac {{\vec {v}}\cdot \nabla p}{a^{2}\rho }}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {v}}\cdot \nabla \left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right]=-{\frac {1}{a^{2}}}\nabla \Phi \cdot \nabla \left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\오른쪽]

용어를 수집하고, 대량 보존 방정식을 재배치하는 것은

{\displaystyle{\begin{정렬}\nabla ^{2}\Phi -{\frac{1}{a^{2}}}{\frac{\partial}{\partial지}}\left[{\frac{\partial \Phi}{\partial t}}와{\frac{\nabla \Phi\cdot \nabla \Phi}{2}}\right]-{\frac{1}{a^{2}}}\nabla\Phi\cdot \nabla \left[{\frac{\partial \Phi}{\partial t}}와{\frac{\nabla \Phi\cdot \nabla \Phi}{2}}\right]&, =0\\\Rightarrow \n.abla ^{2}\Phi -{\frac {1}{a^{2}}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi )+\nabla \Phi \cdot \nabla \left({\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right)\right]&=0\end{aligned}}}

음파

소진도 음파는 다음과 같은 전위 흐름 모델로 근사하게 추정할 수 있다.^[7]

{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}={\overline {a}^{2}\Delta \varphi ,

이것은 속도전위 $φ$ 에 대한 선형파 방정식이다. 다시 속도 벡터 $v$ 의 진동 부분은 $v =$ ∇ $φ$ 에 의한 속도 전위와 관계가 있는 반면, $Δ$ 는 라플라스 연산자, $ā$ 은 균질 매체에서 소리의 평균 속도다. 또한 압력 $p$ 와 밀도 $ρ$ 의 진동 부분은 이 근사치에서 파동 방정식을 개별적으로 만족한다는 점에 유의한다.

적용가능성 및 한계

잠재적 흐름은 현실 세계에서 접하는 흐름의 모든 특성을 포함하지는 않는다. 비스코스 내부 흐름에는 밀접하게 간격을 두고 있는 판 사이의 흐름을 제외하고는 전위 흐름 이론을 적용할 수 없다.^[2] 리차드 파인만은 잠재적인 흐름이 너무 비물리적이라 가정들을 따를 수 있는 유일한 유동체는 "건수"(존 폰 노이만 인용)라고 생각했다.^[8] 압축할 수 없는 전위 흐름은 또한 달렘버트의 역설과 같이 여러 가지 잘못된 예측을 하는데, 이 역설은 그렇지 않으면 정지 상태에서 무한 유체를 통해 움직이는 물체의 끌림이 0이라는 것을 말한다.^[9] 더 정확히 말하면, 잠재적 흐름은 경계층을 포함하는 흐름의 행동을 설명할 수 없다.^[2] 그럼에도 불구하고 유체역학의 많은 분야에서는 잠재적 흐름을 이해하는 것이 중요하다. 특히 자유 소용돌이와 포인트 소스와 같은 단순한 전위 흐름(초기 흐름이라고 함)은 준비된 분석 솔루션을 가지고 있다. 이러한 해결책은 다양한 경계 조건을 만족시키는 보다 복잡한 흐름을 생성하기 위해 중첩될 수 있다. 이러한 흐름은 전체 유동역학에 걸친 실제의 흐름과 밀접하게 일치한다. 또한 관찰된 흐름과 그에 상응하는 잠재적 흐름 사이의 편차(흔히 경미한)를 고려할 때 많은 귀중한 통찰력이 발생한다. 잠재적 흐름은 항공기 설계와 같은 분야에서 많은 응용 프로그램을 발견한다. 예를 들어, 계산 유체 역학에서, 한 가지 기법은 경계층 밖의 잠재적 유동 용액을 경계층 내부의 경계층 방정식의 용액에 결합하는 것이다. 경계층 효과가 없다는 것은 모든 능률화가 흐름장 변화 없이 견고한 경계로 대체될 수 있다는 것을 의미하며, 이는 많은 공기역학적 설계 접근법에 사용되는 기법이다. 또 다른 기술은 리아부친스키 고형분의 사용일 것이다.^{[dubious – discuss]}

2차원 유동 해석

2차원의 잠재적 흐름은 복잡한 평면의 변환을 사용하여 등각 매핑을 사용하여 분석하는 것이 간단하다. 그러나 예를 들어 실린더를 통과하는 유체 흐름의 고전적 분석에서와 같이 복잡한 숫자의 사용은 필요하지 않다. 복잡한 숫자의 3차원을 이용하여 전위 흐름을 해결할 수 없다.^[10]

기본이념은 물리적 영역 $(x,$ $y)$ 을 변환된 영역 $(φ$ , $ψ)$ 에 매핑하는 홀로모르픽(분석이라고도 함) 또는 메로모르픽 함수 $f$ 를 사용하는 것이다. $x$ , $y$ , $φ$ , $ψ$ 은 모두 실제 가치로 평가되지만, 복잡한 수량을 규정하는 것이 편리하다.

{\regated}z&=x+iy\r.{\text{ 및 }}&w&=\varphi +i\i\cHB\, \,\end{정렬}}

자, 우리가 지도 $f$ 를 다음과 같이^[10] 쓰면.

{\displaysty}f(x+iy)=\varphi +i\i\i1}{\text{} 또는 }}&f(z)&=w\,\end{정렬}}

그렇다면 $f$ 는 홀로모르픽 또는 메로모르픽 함수이기 때문에 카우치-리만 방정식을^[10] 만족시켜야 한다.

{\frac{\fraigned}{\frac }{\frac }{\frac }{\frac }{\fraphy y}}}}{\fraphy y}=-{\frac \frac \}}}, \frappropax\}, },.\end{정렬}}

각각 ( $x,$ $y)$ 방향의 속도 성분(u, v)은 $z$ 를 기준으로 구별하여 $f$ 로부터 직접 얻을 수 있다 $.$ 즉^[10]

{\frac {df}{dz}=u-iv

따라서 속도 필드 $v =$ ( $u,$ $v)$ 는 다음과^[10] 같이 지정된다.

{\frac{aigned}u&={\fract \barphi }{\fract \barphi }{\fract y}},&v&={\fract \v&={\fract y}=-{\fract \frac \frapprog}, \cappropropropropropropropropropropropropropross }, },},},},},},\end{정렬}}

그러면 $φ$ 과 $ψ$ 둘 다 라플레이스의 방정식을 만족시킨다.^[10]

{\begin{aligned}\Delta \varphi &={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=0\,,{\text{ and }}&\Delta \psi &={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0\,.\end{정렬}}

그래서 $φ$ 은 속도전위로 식별할 수 있고 $ψ$ 은 스트림함수라고 한다.^[10] 상수 $ψ$ 의 선은 유선, 상수 $φ$ 의 선은 등전위선(등전위 표면 참조)으로 알려져 있다.

이후부터^[10] 유선형과 등전위선이 서로 직교한다.

\nabla \varphi \cdot \nabla \psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0\,.

따라서 흐름은 상수 $ψ$ 의 선을 따라 상수 $φ$ 의 선에 직각으로 발생한다.^[10]

Δψ = $0도$ 만족하며, 이 관계는 ∇× $v$ = $0$ 과 같다. 따라서 흐름은 비회전적이다. 자동조건 $2 \partialψ /\partial x$ $\partial y$ = $2 \partialψ /\partial y$ $\partial x$ 는 그 다음 $\nabla$ · $v$ = $0$ 을 준다.

2차원 흐름의 예

$f$ 에는 어떤 다른 기능도 사용할 수 있다. 다음에 나오는 예들은 다양한 기본 기능을 사용한다. 특별한 기능도 사용할 수 있다. 자연 로그와 같은 다중값 함수를 사용할 수 있지만 주의는 단일 리만 표면에만 국한되어야 한다는 점에 유의하십시오.

전력법칙

전력법

w

=

Az

에ⁿ 대한 정합 지도 예제

전력법

w

=

Az

에ⁿ 대한 정합 지도 예제, 전력

n

의 다른 값에 대한 예. 표시된 것은 z-평면으로, 일정한 전위 +과 스트림 기능

ψ

의 선과

w

=

φ

+

iψ

를 나타낸다.

$z$ = $x$ + $iy$ 에서 $w$ = $φ$ + $iψ$ 까지 다음과 같은 파워 로 컨포멀 맵을 적용하는 경우:^[11]

[\displaystyle w=Az^{n}\...}

$그리고$ ^[11] 극좌표에서 $z$ = $x$ + $iy$ = $re$ 로^iθ z를 쓰세요.

\varphi =Ar^{n}\cosn\theta \qquad {\text{and}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,

올바른 예에 대한 그림에서 $n$ 의 몇 가지 값에 대해 제시한다. 검은색 선은 흐름의 경계인 반면, 진한 파란색 선은 흐름이고, 밝은 파란색 선은 등가선이다. $몇$ 가지 흥미로운 능력 n은 다음과 같다.^[11]

N=1/2. 여기는 semi-infinite plate,에 흐름에 상응합니다.
N=2/3:권리 corner,에 흐른다.
N=1:교복 flow,의 하찮은 사례다.
N=2:은 구석에서 흐름, 또는 정체점 근처에 살고,.
N)−1:소스 이항 요소 때문에 흐른다.

계속되는 A은 확장의 매개 변수:해당 인수 arg(A)회전(만약 0이 아닌)을 소개한다 절대 값 A규모를 결정한다.

n과 권력 법)1:수류.

만약 w)Az1, n과 그것은, 힘의 법칙)1, 직선들 X와 나란히의(상수 ψ의 즉 라인) 있는 시스템은 유선. 이 현실과 상상의 구성 요소의 관점에서 쓰는 것을 통해 보는 법:가장 쉬운 것이다.

f(x+iy)=A\,(x+iy)=Ax+iAy

따라서)만세 φ)액스와 ψ. 이 흐름은 x 축에 수류 평행으로 해석될 수 있다.

nx2전력 법.

만약 nx2, w)Az2과 유선형 ψ의 특별한 값에 해당하는 그런 점들을 만족시키고 있다.

{\displaystyle\psi =Ar^{2}\sin 2\theta \,,}

직사각형 hyperbolae 있는 시스템이다. 이것은 또 다시 현실과 상상의 구성 요소의 관점에서 개정에 의해 보일 수도 있다. 점은 이순신 2θ=2sinθ. 왜냐하면 θ고 다시 죄 θ)y/r과 오리온 θ)x/r 그것은 보(단순화에)은 유선이 주어집니다.

\psi =2Axy\,.

그 속도 분야 ∇φ에 의해,거나 주어진다.

{\displaystyle{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac{\partial \varphi}{x\partial}}\\[2px]{\frac{\partial \varphi}{이\partial}}\end{pmatrix}}=ᆲ+ᆳ\\[2px]-{\partial\psi \over\partial)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2.Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.}

유체 역학에서, 발신지 근처의 flowfield 정체 지점에 해당합니다. 는 발신지에서 유체 휴식(이 f의 분화(z을 따르))다음에 z로)은 0)습니다. 그 ψ 0유선형이 특히 재미 있게:그것은 좌표 축 아래의 두가지(또는 4)개 지점, 즉 x=0과 y)0습니다. X축을 가로질러 전혀 없으며 유체 흐름,(x 축)확실한 경계로 할 수 있 일고 있다. 그것은 따라서 하단 단면에서 y는<>흐름을 무시하는 것;0과 상단 halfplane의 흐름에 초점을 맞추는 것이 가능하다. 이 해석으로 유량은 수직적으로 연출한 제트 수평의 평평한 접시에 표시된 부분이다. 만약 그 지역( 말한다)에 의해 지정된 흐름은 또한 90도 모퉁이에 흐름으로), y<0무시되고 해석될 수 있다.

$n$ = $3인$ 전원 법칙

$n$ = $3$ 인 경우, 그 결과 흐름은 위에서 $고려$ 한n = 2 $케이스$ 의 일종의 육각형 버전이다. 흐름은 $ψ$ = $3xy 2$ - y로 $주어지며 3$ , 이 경우 흐름은 60° 코너로 흐르는 것으로 해석될 수 있다.

$n$ = $-1$ : doublet를 사용하는 전원 법칙

$n$ = $-1일$ 경우, 다음과 같이 스트림선이 주어진다.

\psi =-{\frac {A}{r}\sin \theta .

이는 실제 및 가상 구성요소의 측면에서 보다 쉽게 해석된다.

{\begin}\psi ={\frac {-Aay}{r^{2}}}&={\frac {-Ay}{x^{2}+y^{2}}}}\,,\\x^{2}+y^{2}+{\frac {Ay}{\psi }}&=0\,,\\x^{2}+\left(y+{\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}&=\left({\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}\,.\end{정렬}}

따라서 흐름선은 원점에서 x축에 접하는 원이다. 따라서 상단 반면의 원은 시계 방향으로 흐른다. 하단 반면의 원은 반시계 방향으로 흐른다. 속도 구성요소는 $r$ 에⁻² 비례하며, 출발지에서의 값은 무한하다는 점에 유의하십시오. 이 흐름 패턴은 보통 더블트 또는 쌍극자(dipole)라고 불리며, 무한대의 힘을 가진 원천-싱크 쌍의 조합으로 해석할 수 있다. 속도 장은 다음에 의해 주어진다.

(u,v)=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=\left(A{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},-A{\frac {2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right)\,.

또는 극좌표:

(u_{r},u_{\theta })=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)=\left(-{\frac {A}{r^{2}}}\cos \theta ,-{\frac {A}{r^{2}}}\sin \theta \right)\,.

$n$ = $-2$ : 쿼드폴을 사용하는 전력 법칙

$n$ = $-2$ 인 경우, 다음과 같이 스트림선이 주어진다.

\psi =-{\frac {A}{r^{2}}\\sin 2\theta \,

이것은 4극과 관련된 흐름의 장이다.^[12]

라인 소스 및 싱크

강도 $Q$ ${\displaystyle Q}($ 소스의 경우 $Q>0$ $Q>0$ > 0 ${\displaystyle$ Q $>0},$ 싱크의 경우 $Q<0$ $Q<0$ < $Q<0$ ${\displaystyle Q<0})$ 의 라인 소스 또는 싱크는 잠재력에 의해 주어진다.

w={\frac {Q}{2\pi }}}\ln z

여기서 $Q$ $Q$ 는 $Q$ 실제로 선원이나 싱크대를 둘러싸고 있는 표면을 가로질러 단위 길이당 부피 유량이다. 극좌표에서의 속도장은

u_{r}={\frac {Q}{2\pi r},\quad u_{\theta }=0

즉, 순전히 방사상의 흐름이다.

선 소용돌이

강도 $\Gamma$ $\Gamma$ 의 선 소용돌이는 다음에 의해 주어진다 $\Gamma$ .

w={\frac {\\Gamma }{2\pi i}\ln z

여기서 $\Gamma$ $\Gamma$ 은 소용돌이를 둘러싸고 있는 모든 단순 닫힌 윤곽선 주위의 순환이다 $\Gamma$ . 극좌표에서의 속도장은

u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}}}

즉, 순전히 방위적 흐름이다.

3차원 유동 해석

3차원 흐름의 경우 복잡한 전위를 얻을 수 없다.

점원 및 싱크

구형 극좌표에서 점 소스 또는 강도 $Q$ 의 속도전위 Q ${\displaystyle Q}($ 소스의 $Q>0$ $Q<0$ Q $Q>0$ > 0 ${\displaystyle Q>0)$ 및 $Q<0$ < $Q<0$ ${\displaystyle Q<0})$ 은 다음과 같이 주어진다.

\phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}

여기서 $Q$ $Q$ 는 $Q$ 사실 선원이나 싱크대를 둘러싸고 있는 닫힌 표면을 가로지르는 부피 플럭스다. 구형 극좌표에서의 속도장은

u_{r}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}:},\quad u_{\pi }}},\quad u_{\pi }=0=0.

참고 항목

메모들

^ ^a ^b ^c ^d ^e 배첼러(1973) 페이지 99-101.
^ ^a ^b ^c 배첼러(1973) 페이지 378–380.
^ Kirby, B.J. (2010), Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Anderson, J. D. (2002). Modern compressible flow. McGraw-Hill. pp. 358–359. ISBN 0-07-242443-5.
^ 양(1994) §6–§7, 페이지 3–6.
^ 배첼러(1973) 페이지 161.
^ 양(1994) §287, 페이지 492–495.
^ Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1964), The Feynman Lectures on Physics, vol. 2, Addison-Wesley, 페이지 40-3. 40장에는 다음과 같은 제목이 있다. 건조한 물의 흐름.
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^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ 배첼러(1973) 페이지 106-108.
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^ Kyrala, A. (1972). Applied Functions of a Complex Variable. Wiley-Interscience. pp. 116–117. ISBN 9780471511298.

참조

Batchelor, G.K. (1973), An introduction to fluid dynamics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
Chanson, H. (2009), Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 478 pages, ISBN 978-0-415-49271-3
Lamb, H. (1994) [1932], Hydrodynamics (6th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
Milne-Thomson, L.M. (1996) [1968], Theoretical hydrodynamics (5th ed.), Dover, ISBN 0-486-68970-0

추가 읽기

Chanson, H. (2007), "Le potentiel de vitesse pour les écoulements de fluides réels: la contribution de Joseph-Louis Lagrange [Velocity potential in real fluid flows: Joseph-Louis Lagrange's contribution]", La Houille Blanche (in French) (5): 127–131, doi:10.1051/lhb:2007072
Wehausen, J.V.; Laitone, E.V. (1960), "Surface waves", in Flügge, S.; Truesdell, C. (eds.), Encyclopedia of Physics, vol. IX, Springer Verlag, pp. 446–778, archived from the original on 2009-01-05, retrieved 2009-03-29

외부 링크

"Irrotational flow of an inviscid fluid". University of Genoa, Faculty of Engineering. Retrieved 2009-03-29.
"Conformal Maps Gallery". 3D-XplorMath. Retrieved 2009-03-29. — 정합 지도 탐색을 위한 Java 애플릿
잠재적 흐름 시각화 - 대화형 WebApp

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[B_378_380-2] 배첼러(1973) 페이지 378–380.

[Kirby-3] Kirby, B.J. (2010), Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0

[Anderson-4] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Anderson, J. D. (2002). Modern compressible flow. McGraw-Hill. pp. 358–359. ISBN 0-07-242443-5.

[Lamb_3_6-5] 양(1994) §6–§7, 페이지 3–6.

[6] 배첼러(1973) 페이지 161.

[7] 양(1994) §287, 페이지 492–495.

[8] Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1964), The Feynman Lectures on Physics, vol. 2, Addison-Wesley, 페이지 40-3. 40장에는 다음과 같은 제목이 있다. 건조한 물의 흐름.

[B_404_405-9] 배첼러(1973) 페이지 404–405.

[B_106_108-10] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ 배첼러(1973) 페이지 106-108.

[B_409_413-11] 배첼러(1973) 페이지 409–413.

[12] Kyrala, A. (1972). Applied Functions of a Complex Variable. Wiley-Interscience. pp. 116–117. ISBN 9780471511298.

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