회전하지 않는 흐름을 위한 라플라스 방정식

비회전 흐름은 유체의 속도의 컬이 어디에서나 0인 곳에서 일어난다.그때가 바로 그때다.

\nabla \cHB{v}=0

마찬가지로 액이 압축할 수 없다고 가정할 경우:

\rho(x,y,z,t)=\rho {\text{(상수)}}

그런 다음 연속성 방정식부터 시작하십시오.

{\frac {\reship \rho }{\reshold t}+\cdla \cdot(\rho {\vec{v})=0

비압축성의 조건은 밀도의 시간파생물이 0이라는 것을 의미하며, 그 밀도를 발산에서 끌어내어 분리할 수 있으므로, 비압축성계통의 연속성 방정식은 다음과 같이 남는다.

\cdla \cdot {\v}=0

이제 헬름홀츠 분해는 속도를 스칼라 전위의 구배와 벡터 전위의 굴곡의 합으로 쓰는데 사용할 수 있다.즉,

{\vec{v}=-\nabla \phi +\nabla \time {\vec{A}

$\nabla \times {\vec {v}}=0$ $\nabla \times {\vec {v}}=0$ $\nabla \times {\vec {v}}=0$ → $\nabla \times {\vec {v}}=0$ = 0 ${\displaystyle \nabla \times {\vec{$ v}= $0}$ 이라는 조건을 붙이는 것은 다음을 의미한다는 점에 $\nabla \times {\vec {v}}=0$ 유의하십시오.

\nabla \time(\nabla \time {\vec{A})=0

그라데이션의 컬은 항상 0이다.벡터 전위가 0인 경우 함수의 컬은 균일하게 0일 뿐이라는 점에 유의하십시오.따라서, 비회전적 흐름의 조건에 따라:

{\vec{v}=-\bla \phi

$\nabla \cdot {\vec {v}}=0$ 연속성 $\nabla \cdot {\vec {v}}=0$ ∇ $\nabla \cdot {\vec {v}}=0$ v $\nabla \cdot {\vec {v}}=0$ → $\nabla \cdot {\vec {v}}=0$ = 0 ${\displaystyle \nabla$ \nabla $\cdot$ {\v}= $0}$ 을(를) 사용하여 스칼라 전위를 다시 대체하여 비회전성 흐름에 대한 라플레이스의 방정식을 찾을 수 있다 $\nabla \cdot {\vec {v}}=0$

$\phla ^{2}\phi =0\,$

라플라스 방정식은 잘 연구된 선형 부분 미분 방정식이라는 점에 유의하십시오.그것의 해결책은 무한하다. 그러나 경계 조건이 속도 전위를 완전히 결정하므로 물리적 시스템을 고려할 때 대부분의 해결책은 폐기될 수 있다.

공통 경계 조건의 예로는 ${\vec {v}}=-\nabla \phi$ → ${\vec {v}}=-\nabla \phi$ = - ${\vec {v}}=-\nabla \phi$ ${\vec {v}}=-\nabla \phi$ ${\displaystyle {\v}=-\nabla \phi$ 에 의해 결정되는 유체의 속도가 시스템 경계에 0이 된다.

라플라스 방정식도 진공에서 정전기 전위를 모델링하기 때문에 일반적으로 이 방정식을 풀 때 전자석학과 겹치는 부분이 많다.

그 중에서도 비회전적 흐름을 연구해야 할 많은 이유가 있다.

많은 현실 세계의 문제들은 비회전적인 흐름의 넓은 지역을 포함하고 있다.
그것은 분석적으로 연구될 수 있다.
그것은 우리에게 경계층과 점성력의 중요성을 보여준다.
그것은 우리에게 양력과 항력의 개념을 연구하기 위한 도구를 제공한다.

참고 항목

참조

Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1984). Fluid Mechanics (2nd ed.). ISBN 0-7506-2767-0.

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