기초 흐름

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기초 흐름은 중첩에 의해 더 복잡한 흐름을 형성할 수 있는 기초 흐름의 집합이다.일부 흐름은 잠재 흐름의 경우와 같이 압축할 수 없는, 비회전적인 또는 둘 다와 같은 특정 사례와 제약조건을 반영한다.^[1]null

2차원 균일 흐름

공간의 어느 위치에서나 균일한 유체 속도 제공:

${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =v_{0}\cos(\theta _{0})\mathbf {e} _{x}+v_{0}\sin(\theta _{0}\mathbf {e} _{y}}}}).$

이 흐름은 속도가 일정하고, 속도 구성요소의 첫 번째 파생 모델이 0이며, 총 차이점은 0:${\displaystyle \mathrm{}}$∇ ${\displaystyle \cdot }$ v = ${\displaystyle$ \$nabla \cdla \mathbf {v} =0}$

순환이 항상 영(0)임을 감안할 때 흐름도 비회전적임을 감안할 때 켈빈의 순환 정리 및 vorticity의 명시적 계산에서 이를 도출할 수 있다.

${\displaystyle \omega_{z}={\frac {\frac v_{x}}{\frac y}-{\fract v_{y}}{\frac}{\frac x}=0}$

이 흐름은 스트림 함수로 인해 2차원 및 압축 불가

${\displaystyle v_{x}=-{\frac {\reason \reason \reason }{\reason y}}}$

${\displaystyle v_{y}={\frac {\frac {\reason \reason }{\reason x}}}$

어느 것에서

${\displaystyle \cHB =-v_{0}\sin(\theta _{0}x+v_{0)}}\cos(\theta _{0}y})$

원통형 좌표:

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\frac {\reason \reason }{\reason \theta }}}}}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {\fract \reason \reason }{\reason r}}}$

어느 것에서

${\displaystyle \cHB =-v_{0}r\sin(\theta -\theta _{0})}$

항상 그렇듯이 스트림 함수는 여기서 0으로 간주되는 상수 값까지 정의된다.우리는 또한 그 흐름이 로부터 비회전적이라는 것을 확인할 수 있다.

${\displaystyle \nabla ^{2}\reason =0}$

비회전적이기 때문에 잠재적 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle v_{x}=-{\frac {\frac}\phi }{\properties x}}$

${\displaystyle v_{y}=-{\frac {\fract \phi }{\property y}}$

따라서

${\displaystyle \phi =-v_{0}\cos(\theta _{0}x-v_{0}\sin(\theta _{0}y})$

원통형 좌표에서

${\displaystyle v_{r}={\frac {\fract \phi }{\properties r}}}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {1}{r}{\frac {\fract \phi }{\property \theta }}}}}$

${\displaystyle \phi =-v_{0}r\cos(\theta -\theta _{0})}$

2차원 선원

단위 길이당 일정한 양의 유체 Q를 일정한 비율로 방출하는 수직 라인의 경우는 선원이 된다.이 문제는 원통형 대칭을 가지며 직교면에서 2차원으로 처리할 수 있다.null

라인 소스와 라인 싱크(아래)는 압축할 수 없는 유체에 대해 단극(s) 역할을 하기 때문에 중요한 기초 흐름이다(예: 솔레노이드 장(예: 자유장)의 예로 간주될 수 있다).일반적인 흐름 패턴은 또한 다중홀 팽창의 측면에서, 단층이 본질적으로 팽창의 첫 번째 비사소한(예: 상수) 기간인 전기장과 같은 방식으로 디컴파일 수 있다.null

이 흐름 패턴은 또한 비회전적인 흐름과 압축할 수 없는 흐름이다.null

이것은 원통형 대칭으로 특징지어진다.

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{r}(r)\mathbf {e} _{r}}$

총 나가는 유속이 일정한 경우

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {S} =\int _{0}^{2\pi }(v_{r}(r)\,\mathbf {e} _{r})\cdot (\mathbf {e} _{r}\,r\,d\theta )=\!2\pi \,r\,v_{r}(r)=Q}$

그러므로

${\displaystyle v_{r}={\frac {Q}{2\pi r}}}}$

이것은 스트림 함수에서 파생된 것이다.

${\displaystyle \psi(r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\theta }$

또는 잠재적인 함수로부터.

${\displaystyle \phi(r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\ln r}$

2차원 라인 싱크

단위 길이당 일정한 양의 유체 Q를 일정한 비율로 흡수하는 수직 라인의 경우는 라인 싱크다.모든 것은 부정적인 기호의 한 부분 선원의 경우와 같다.null

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {Q}{2\pi r}}}$

이것은 스트림 함수에서 파생된 것이다.

${\displaystyle \psi(r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\theta }$

또는 잠재적인 함수로부터.

${\displaystyle \phi(r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\ln r}$

두 결과가 마이너스 부호의 한 부분이라는 점을 고려할 때, 우리는 Q가 양과 음의 값을 모두 가정하고 마이너스 부호를 Q의 정의로 흡수할 수 있도록 하는 동일한 스트림과 잠재적 기능을 가진 라인 소스와 라인 싱크를 투명하게 처리할 수 있다.

2차원 더블트 또는 쌍극선 소스

만약 우리가 선원과 선 싱크를 거리 d에서 고려한다면 우리는 위의 결과를 재사용할 수 있고 스트림 기능은

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {d} /2)-\psi _{Q}(\mathbf {r} +\mathbf {d} /2)\ \simeq \mathbf {d} \cdot \nabla \psi _{Q}(\mathbf {r} )}$

마지막 근사치는 d 단위의 첫 번째 순서와 같다.

주어진

${\displaystyle \mathbf {d} =d[\cos(\theta _{0})\mathbf {e} _{x}+\sin(\theta _{0})\mathbf {e} _{y}]=d[\cos(\theta -\theta _{0})\mathbf {e} _{r}+\sin(\theta -\theta _{0})\mathbf {e} _{\theta }]}$

그것은 남아 있다.

${\displaystyle \psi(r,\theta )=-{\frac {Qd}{2\pi }{{\frac {\sin(\theta -\theta _{0}}}}}{r}}}}}}}$

그 속도는 그때다.

${\displaystyle v_{r}(r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\cos(\theta -\theta _{0}}}}{r^{2}}:$

${\displaystyle v_{\theta }(r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\sin(\theta -\thea _{0}}}{r^2}}:$

그리고 그 대신 잠재력이 있다.

${\displaystyle \phi(r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }{\frac {\cos(\theta -\theta _{0}}}}{r}}}}}}}}$

2차원 소용돌이 선

볼텍스 필라멘트가 일정한 속도로 회전하는 경우인데 원통형 대칭이 있어 직교면에서 문제를 해결할 수 있다.null

선원의 위 사례에 이중으로, 소용돌이 선은 비회전적 흐름의 단면체의 역할을 한다.null

또한 이 경우 흐름은 또한 회전성이 없고 압축이 불가능하며 따라서 잠재적 흐름의 경우다.null

이것은 원통형 대칭으로 특징지어진다.

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{\theta }(r)\,\mathbf {e} _{\theta }}}$

중심 소용돌이를 둘러싼 모든 닫힌 선에 대해 총 순환이 일정한 위치

${\displaystyle \oint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {s} =\int _{0}^{2\pi }(v_{\theta }(r)\,\mathbf {e} _{\theta })\cdot (\mathbf {e} _{\theta }\,r\,d\theta )=\!2\pi \,r\,v_{\theta }(r)=\Gamma }$

소용돌이를 포함하지 않는 선에 대해서는 0이다.null

그러므로

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$

이것은 스트림 함수에서 파생된 것이다.

${\displaystyle \psi(r,\theta )={\frac {\Gamma }{2\pi }\ln r}$

또는 잠재적인 함수로부터.

${\displaystyle \phi(r,\theta )=-{\frac {\Gamma }{2\pi }}\theta }$

선원의 이전 사례와 이중화된 형태

일반 2차원 전위 흐름

압축할 수 없는 2차원 흐름으로 인해 또한 비회전적인 흐름은 다음과 같다.

${\displaystyle \nabla ^{2}\reason =0}$

원통형 좌표에 있는 것

${\displaystyle {\frac{1}{r}{\frac {\frac}{\propert r}\{\frac {\fract \}}{r^{1}{r^}}{1}{r^}}{{2}\fract }{{2}\fracte \capthe}=0}}}}$

우리는 다음과 같은 분리된 변수를 가진 해결책을 찾는다.

$\displaystyle \psi(r,\theta )=R(r)\세타(\theta )}$

어떤 것을 주는지

${\displaystyle {\frac {r}{R(r)}{dr}}{dr}\왼쪽(r{\frac {dR(r)}{dr}\right)=-{\frac {1}{1}{\\frac{dr}{dr}}세타(\theta )}{\frac {d^{2}\세타(\theta )}{d\theta ^{2}}:$

왼쪽 부분이 r에만 의존하고 오른쪽 부분은 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$에만 의존하는 경우$,$ 두 부분은 r 및 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$에서 독립된 상수와 같아야 한다$.$ 상수는 양수여야^{[clarification needed]} 한다.그러므로

${\displaystyle r{\frac {d}{dr}\왼쪽(r{\frac {d}{d}{dr}{dr}R(r)\right)=m^{2}R(r)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\세타(\theta )}{d\theta ^{2}}=-m^{2}\세타(\theta )}$

두 번째 방정식의 해법은 ${\displaystyle {ei}^{}}$ m ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$ e$^{im\theta}$와 e${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$의 선형 결합이며, 단일$$ 값 스트림 함수 m을 갖기 위해서는 양의 정수여야 한다.null

따라서 가장 일반적인 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle \property_{0}+\put_{0}\ln r+\sum_{m}{m}{m}+\put_{m}r^{-m}\put_{m}\m(\ta -\teta _{m}\m})\sin {m}}}}$

그 전위는 그 대신 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \phi =\filename _{0}-\m}-{0}-\theta +\sum _{m\m\m}{m}{m}{m}-m}}}}}{{m}r^-m}}}}}}}}} {m(\ta -\ta \ta \ta \ta _\ta _\ta _\ta _\ta _\ta _\ta _\ta _\ta _}}}$

참조

• Fitzpatrick, Richard (2017), Theoretical fluid dynamics, IOP science, ISBN 978-0-7503-1554-8
• Faber, T.E. (1995), Fluid Dynamics for Physicists, Cambridge university press, ISBN 9780511806735

특정

추가 읽기

• Batchelor, G.K. (1973), An introduction to fluid dynamics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09817-5
• Chanson, H. (2009), Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 478 pages, ISBN 978-0-415-49271-3
• Lamb, H. (1994) [1932], Hydrodynamics (6th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
• Milne-Thomson, L.M. (1996) [1968], Theoretical hydrodynamics (5th ed.), Dover, ISBN 978-0-486-68970-8

외부 링크

• Richard Fitzpatrick University of Texas, Austin (2017). "Fluid Mechanics". University of Texas, Austin. Retrieved 2018-02-07.

• (c) Aerospace, Mechanical & Mechatronic Engg. 2005 University of Sydney (2005). "Elements of Potential Flow". University of Sydney. Retrieved 2019-04-19.