원형 실린더 주위의 전위 흐름

수학에서, 원형 실린더 주위의 전위 흐름은 흐름과 횡방향인 실린더 주위의 비침습성, 비압축성 유체의 흐름을 위한 고전적인 해법이다. 실린더에서 멀리 떨어져 있으며, 유량은 단방향이고 균일하다. 이 흐름은 유동성이 없으며 따라서 속도장은 비회전적이며 잠재적 흐름으로 모델링될 수 있다. 실제 액체와 달리, 이 해결책은 몸에 순 제로 드래그(zero drag)를 나타내며, 그 결과는 달렘베트의 역설로 알려져 있다.

수학적 해법^[1]

반지름 R의 실린더(또는 디스크)는 2차원, 압축할 수 없는, 비결정적인 흐름 속에 위치한다. 목표는 평면에서 일정한 속도 벡터 V와 압력 p를 찾는 것이며, 속도 벡터(단위 벡터 i와 j에 상대적)는 실린더에서 멀리 떨어져 있는 조건에 따른다.

${\displaystyle \mathbf {V} =U\mathbf {i} +0\mathbf {j} \...}$

여기서 U는 상수이며 실린더의 경계에 있다.

${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {\n} =0\}$

여기서 n̂는 실린더 표면과 정상적인 벡터다. 업스트림 흐름이 균일하고 변덕이 없다. 흐름은 비침습적이며, 압축이 불가능하며, 질량 밀도가 일정하다 ρ 따라서 그 흐름은 vorticity 없이 그대로 남아 있거나, everywhere × V = 0이 도처에 존재하며, 비회전적이라고 한다. 비회전적이기 때문에 속도 전위 potential이 존재해야 한다.

${\displaystyle \mathbf {V} =\nabla \phi \,}$

압축할 수 없는 0 · V = 0이므로 φ은 라플레이스의 방정식을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle \phla ^{2}\phi =0\,.}$

φ에 대한 용액은 x = r cos θ 및 y = r sin θ에 의한 전통적인 데카르트 좌표와 관련하여 극좌표 r과 θ에서 가장 쉽게 구할 수 있다. 극좌표에서 라플레이스의 방정식은 다음과 같다(원통형 및 구형 좌표의 델 참조).

${\displaystyle {\frac{1}{r}{\frac {\fract }{\frac }{\frac }{\frac }{\phi }{{1}{r^}}{{2}\fract ^{{2}\phi }{{{nota ^}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\frac \fracta \fracta }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

경계^[2] 조건을 만족시키는 해결책은

${\displaystyle \phi(r,\theta )=Ur\left(1+{\frac{R^{2}}:{r^{2}}\오른쪽)\cos \theta \,}$

극좌표에서의 속도 구성요소는 극좌표에서의 ∇φ 성분으로부터 얻는다.

${\displaystyle V_{r}={\frac {\partial \phi }{\partial r}}=U\left(1-{\frac{R^{2}}}\오른쪽)\cos \theta }}$

그리고

${\displaystyle V_{\theta }={\frac {1}{{\frac {1}{{1}{\frace \partial \phi }{\partial \phi }}}{\partial \theta }}}}}}}}}}}{{R^{2}}:\pripa \, sin, .}$

베르누이의 방정식은 비논리적이고 비논리적이기 때문에 압력장에 대한 용액을 속도장으로부터 직접 얻을 수 있다.

${\displaystyle p={\tfrac {1}{1}:{2}}\rho \left(U^{2}-V^{2}\오른쪽)+p_{\inflt}}}$

여기서 상수 U와 p가_∞ 나타나서 p → p가_∞ 실린더에서 멀리 떨어져 있고, 여기서 V = U.를² 사용한다. V²
_r = V + V²
_θ,

${\displaystyle p={\tfrac{1}{1}:{2}}: 왼쪽(2{\frac {R^{2}}:{R^{2}}:}}\cos(2\theta )-{R^{4}}}}{R^{4}}}\p_\flotty }, }, },.}$

그림에서 "압력"이라고 하는 색소화된 장은 다음과 같은 그림이다.

${\displaystyle 2{\r^{p-p_{\inflt}{\rho U^{2}}:2}{{R^{2}}:}\cos(2\theta )-{R^{4}}{r^{r^{4}}}},}}.}$

실린더 또는 r)의 표면에 R, 압력 1(레드의 도표에서 표시한)의 θ에서 부진이 포인트에서 최대 1−3( 파란 색으로 표시)의 최저 한도까지 실린더의 옆에 θ에서 0과 θ)π,).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{ 다르다.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π/2과 θ)3π/2. 마찬가지로 V는 저압에서 정체 지점의 V = 0에서 측면의 V = 2U까지 다양하다.

스트림 함수

흐름은 압축할 수 없는 것으로, 스트림 기능은 다음과 같은 것을 찾을 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {V} =\nabla \psi \times \mathbf {k} \,.}$

벡터 아이덴티티를 사용해서

${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \nabla {\psi }=0\,.}$

따라서 ψ의 상수 값의 등고선은 V에 접하는 능률적인 선이 될 것이다. 실린더를 통과하는 흐름은 다음과 같다.

${\displaystyle \psi =U\왼쪽(r-{\frac {R^{2}}:{r}\오른쪽)\sin \theta \,}$

물리적 해석

라플레이스의 방정식은 선형이며, 가장 기본적인 부분 미분 방정식 중 하나이다. 이 간단한 방정식은 비회전성과 비압축성의 제약 때문에 V와 p 모두에 대해 전체 해답을 산출한다. V와 p에 대한 솔루션을 얻었을 때 압력 구배와 가속도의 일관성을 파악할 수 있다.

업스트림 정체 지점의 동적 압력은 1/2²˚U의 값을 가지며, 속도 U의 자유 스트림 흐름을 감속하는데 필요한 값이다. 이 같은 값은 하류 정체점에 나타나며, 이 고압은 유량을 0으로 감속하기 위해 다시 필요하다. 이 대칭은 흐름이 완전히 무마찰이기 때문에 발생한다.

유량의 구심 가속도를 제공하려면 실린더의 측면에 있는 저압이 필요하다.

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial r}={\frac {\rho V^{2}}:{L}\}}}$

여기서 L은 흐름의 곡률 반지름이다.^{[citation needed]} 그러나 L ≈ R 및 V ≈ U. 거리 Δr ≈ R에 대한 구심 가속 방정식의 적분은 따라서 산출된다.

${\displaystyle p-p_{\fty }\cHB -\rho U^{2}\,}$

정확한 용액은, 가장 낮은 압력으로,

${\displaystyle p-p_{\inflt }=-{\tfrac {3}{2}}\rho U^{2}\,}$

구심 가속도를 제공하기 위해 존재해야 하는 저기압도 유체가 더 높은 압력 값에서 더 낮은 압력 값으로 이동함에 따라 유속이 증가하게 된다. 따라서 우리는 유량에서 최대 속도 V = 2U를 실린더 측면의 저압에서 찾는다.

V > U 값은 유체의 부피 보존과 일치한다. 실린더가 흐름을 일부 차단한 상태에서 V는 실린더의 중심을 통과하고 흐름과 횡방향으로 평면 어딘가에 있는 U보다 커야 한다.

실린더를 통과하는 실제 오일의 흐름과 비교

이 이상적인 용액의 대칭은 앞면뿐만 아니라 실린더 뒷면에도 정체점이 있다. 앞면과 뒷면의 압력 분포가 같아 실린더에 드래그를 전혀 하지 않는 독특한 성질이 나타나는데, 달랑베르트의 역설로 알려진 성질이다. 이상적인 비점성 유체와 달리, 아무리 점성이 작더라도 실린더를 통과하는 점성 유량은 실린더 표면에 인접한 얇은 경계층을 획득할 것이다. 경계층 분리가 발생하며, 실린더 뒤의 흐름에는 후행 웨이크가 존재할 것이다. 실린더의 웨이크 측 각 지점에서 압력이 업스트림 측보다 낮아져 하류 방향으로 드래그력이 발생한다.

얀젠-레이리 확장

원형 실린더를 통한 잠재적 압축성 흐름의 문제는 1913년^[3] O. 잔젠에 의해 처음 연구되었고, 1916년^[4] 레일리 경이 작은 압축 효과를 가지고 연구하였다. 여기서 작은 파라미터는 마하 수 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= U ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ c ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {M} ^{2}=U^{$2}/$c^{2}\ll$ 1$\}$의 제곱이고 여기서 c는 음속이다. 그러면 속도 전위 측면에서 1차 근사치에 대한 해법은 다음과 같다.

${\displaystyle \phi (r,\theta )=Ur\left(1+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta -\mathrm {M} ^{2}{\frac {Ur}{12}}\left[\left({\frac {13a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {6a^{4}}{r^{4}}}+{\frac {a^{6}}{r^{6}}}\right)\cos \theta +\left({\frac {a^{4}}{r^{4}}}-{\frac {3a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos 3\theta \right]+\mathrm {O} \left(\mathrm {M} ^{4}\right)\,}$

$여기$서 ${\displaystyle a}$은(는) 실린더의 반지름이다.

약간의 변화를 가진 원형 실린더 위의 전위 흐름

구성에서 약간의 동요가 있는 실린더 주위의 흐름에 대한 정기적인 섭동 분석은 밀턴 반 다이크(1975)에서 확인할 수 있다.^[5] 다음에서 ε은 작은 양의 파라미터를 나타내며 a는 실린더의 반지름이다. 보다 자세한 분석과 논의를 위해 독자들은 밀턴 반 다이크의 1975년 저서 '유체역학에서의 섭동 방법'을 참고한다.^[5]

약간 일그러진 실린더

여기서 실린더의 반경은 r = a가 아니라 약간 일그러진 형태 r = a(1 - ε sin² θ)이다. 그러면 1차 근사치의 해결책은

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{2}}\left({\frac {3a^{2}}{r^{2}}}\sin \theta -{\frac {a^{4}}{r^{4}}}\sin 3\theta \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)}$

약간 맥동 원

여기서 실린더의 반경은 시간에 따라 약간 달라지기 때문에 r = a(1 + ε f(t)) 그러면 1차 근사치의 해결책은

${\displaystyle \psi (r,\theta ,t)=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon Ur\left({\frac {a^{2}}{Ur}}\theta f'(t)-{\frac {2a^{2}}{r^{2}}}f(t)\sin \theta \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)}$

약간의 vorticity로 흐름

일반적으로 자유류 속도 U는 균일하며, 다시 말해서 = = Uy이지만, 여기서는 외류에서 작은 vorticity가 부과된다.

선형전단

여기서 속도의 선형 전단(linear shear)이 도입된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=U\left(y+{\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {y^{2}}{a}}\right)\,,\\[3pt]\omega &=-\nabla ^{2}\psi =-\varepsilon {\frac {U}{a}}\quad {\text{as }}x\rightarrow -\infty \,,\end{aligned}}}$

여기서 ε은 작은 매개변수다. 지배 방정식은

$\displaystyle \bla ^{2}\beca =-\omega(\beca)\,}$

그러면 1차 근사치의 해결책은

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{4}}\left({\frac {r}{a}}(1-\cos 2\theta )+{\frac {a^{3}}{r^{3}}}\cos 2\theta -{\frac {a}{r}}\right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,.}$

포물선 전단

여기서 외부 속도의 포물선 전단(parabolic sharer)이 도입된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=U\left(y+{\tfrac {1}{6}}\varepsilon {\frac {y^{3}}{a^{2}}}\right)\,,\\\omega &=-\nabla ^{2}\psi =-\varepsilon U{\frac {y}{a^{2}}}\quad {\text{as }}x\rightarrow -\infty \,.\end{정렬}}}$

그러면 1차 근사치의 해법은

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{6}}\left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta -3r\ln r\sin \theta +\chi \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,,}$

여기서 χ은 경계 조건을 복원하는 라플라스 방정식에 대한 균일한 해법이다.

약간 다공성 실린더

C가_ps 불침투성 실린더의 표면 압력 계수를 나타내도록 한다.

${\displaystyle C_{\mathrm {ps}}={\frac {p_{s}-p_{\nflac{1}{1}{{1}}}{{\tfrac {1}{1}}}}=1-4\rho U^{2}}={2}\cos 2\ta -1\}$

여기서 p는_s 불침투성 실린더의 표면 압력이다. 이제 C를_pi 실린더 내부의 내부 압력 계수가 되게 한 다음, 약간의 다공성으로 인한 약간의 정상 속도가 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}=\varepsilon U\left(C_{\mathrm {pi} }-C_{\mathrm {ps} }\right)=\varepsilon U\left(C_{\mathrm {pi} }+1-2\cos 2\theta \right)\quad {\text{at }}r=a\,,}$

하지만 순유속 제로 조건

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1}{{r}{\frac {\fract \\cHB \}{\theta }\mathrm {d} \theta =0}$

C_pi = -1이 필요하다. 그러므로

${\displaystyle {\frac {\partial \psi}{\partial \partial \theta }}--2\varepsilon rU\cos 2\theta \quad{\text{}r=a\,}$

그러면 1차 근사치의 해법은

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta -\varepsilon U{\frac {a^{3}}{r^{2}}}\sin 2\theta +\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,.}$

골판지 준실린더

실린더가 축 방향, z축, r = a (1 + ε sin z/b)에서 가변 반경을 갖는 경우, 3차원 속도 전위 측면에서 1차 근사치에 대한 해법은 다음과 같다.

${\displaystyle \phi (r,\theta ,z)=Ur\left(1+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta -2\varepsilon Ub{\frac {K_{1}\left({\frac {r}{b}}\right)}{K_{1}'\left({\frac {r}{b}}\right)}}}\cos \theta \sin {\frac {z}{b}+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\}$

여기서 K₁(r/b)는 첫 번째 종류의 주문의 변형된 베셀 함수다.

참고 항목

• 주코프스키 변환
• 쿠타 조건
• 마그너스 효과

참조