복합 아핀 공간

아핀 기하학은 대체로 말해서 선, 평면 및 그 고차원 아날로그의 기하학적 특성에 대한 연구로서, "병렬"의 개념은 유지되지만 거리나 각도에 대한 계량적 개념은 없다.부착공간은 출발지 선택이 뚜렷하지 않다는 점에서 선형공간(즉, 벡터공간)과 다르다.그래서 마르셀 버거의 말에 의하면, "어핀 스페이스는 선형 지도에 번역을 추가함으로써 우리가 잊고자 하는 벡터 스페이스에 지나지 않는다."^[1]따라서 복잡한 숫자에 대한 아핀 공간인 복잡한 아핀 공간은 복잡한 벡터 공간과 같지만, 원점 역할을 할 뚜렷한 포인트가 없다.

아핀 기하학은 고전 대수 기하학의 두 가지 주요 가지 중 하나이며, 다른 하나는 투영 기하학이다.복잡한 아핀 공간은 하이퍼플레인 고정을 통해 복잡한 투영공간에서 얻을 수 있는데, 아핀 공간의 "무한도"에서 이상적인 포인트의 하이퍼플레인이라고 생각할 수 있다.차이를 설명하기 위해(실수치에서) 아핀 평면의 포물선은 무한대로 선을 교차하지만 타원은 교차하지 않는다.그러나 어떤 두 개의 원뿔형 구간도 프로젝트적으로 동일하다.그래서 포물선과 타원은 투영적으로 생각할 때는 같지만, 붙임물체로 볼 때는 다르다.다소 덜 직관적으로 복잡한 숫자에 걸쳐 타원은 한 쌍의 점에서 무한대로 선을 교차하는 반면 포물선은 한 점에서 무한대로 선을 교차한다.따라서 약간 다른 이유로 타원과 포물선은 복잡한 부속 평면에 대해 불평등하지만 (복잡한) 투영 평면에 대해서는 동등하게 유지된다.

모든 복잡한 벡터 공간은 아핀 공간이다: 사람은 그 기원을 잊으면 된다(그리고 내부 제품과 같은 추가적인 구조도 있을 수 있다.예를 들어, 복잡한 n-공간 $\mathbb {C} ^{n}$ ${\$ ^{ $n}}$ 은(예를 들어 선형 또는 계량적 속성과 반대로) 그 부속물성에만 관심이 있는 경우 복합 부속공간으로 간주할 $\mathbb {C} ^{n}$ 수 있다.동일한 차원의 두 개의 부속공간은 이형성이므로, 어떤 상황에서는 부속공간 개념만이 궁극적으로 의미 있다는 이해와 함께 $\mathbb {C} ^{n}$ ${\$ 과 $\mathbb {C} ^{n}$ 와) 식별하는 것이 적절하다.이 용법은 현대 대수 기하학에서 매우 흔하다.

아핀 구조

n차원 복합 아핀 공간 A의 아핀 구조를 지정하는 데는 몇 가지 동등한 방법이 있다.가장 간단한 것은 복잡한 숫자에 대한 벡터 공간인 차이 공간이라고 불리는 보조 공간 V를 포함한다.그러면 아핀 공간은 A에 V의 단순하고 타동적인 동작과 함께 세트 A이다. (즉, A는 V-tors이다.)

또 다른 방법은 특정 공리를 만족시키면서 아핀 결합의 개념을 정의하는 것이다. $p 1, \dots,$ $p k$ ∊ $A$ 의 어핀 조합은 형식의 합으로 표현된다.

a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}}}

여기서 $scars i$ a는 단결에 합치되는 복잡한 숫자들이다.

차이 공간은 "공식 차이" p - $q$ , modulo의 집합으로 식별될 수 있으며, 형식 차이가 명백한 방식으로 결합을 존중한다는 관계를 의미한다.

아핀 함수

$f:\mathbf {A} \mapsto \mathbb {C}$ : $f:\mathbf {A} \mapsto \mathbb {C}$ $f:\mathbf {A} \mapsto \mathbb {C}$ C ${\$ f $:\mathbf {A} \mapsto \mathb{C}$ \maptso \mathb {C} $}$ 함수는 아핀(appine)이라고 한다 $f:\mathbf {A} \mapsto \mathbb {C}$ .그렇게

f(a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}}\mathbf {p}_{k}}\mathbf {p}=a_{1}f(\mathb {p}_{k})

어떤 사투리 조합에 대해서도.

a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}

A의

a_1\mathbf p_1+\cdots+a_k\mathbf p_k

a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}

a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}

+

a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}

+

a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}

p

a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}

{\

아핀 함수 A $*$ 의 공간은 선형 공간이다. $A *$ 의 이중 벡터 공간은 자연적으로 (n+1)차원 벡터 공간 $F(A)$ 와 이형성이며, A의 아핀 결합이 $F(A)$ 의 아핀 결합과 일치하는 관계를 A modulo의 자유 벡터 공간이다.이 구조를 통해 아핀 공간 A의 아핀 구조를 아핀 함수의 공간으로부터 완전히 복구할 수 있다.

A의 아핀 함수에 있는 다항식 대수에는 대수 기하학에서 아핀 좌표 링이라고 하는 함수의 링이 정의되어 있다.이 고리는 아핀 기능에 있어서 여과가 있다.반대로, 아핀 좌표 링에서 복잡한 숫자로 대수 동음이의 집합으로서 아핀 공간의 포인트를 회복할 수 있다.이것을 반지의 최대 스펙트럼이라고 하는데, 그것이 그것의 최대 이상과 일치하기 때문이다.이 최대 스펙트럼에는 아핀 좌표 링의 여과와 호환되는 독특한 아핀 구조가 있다.

저차원 예

원차원

$\mathbb {C}$ 복합 아핀 공간, 즉 복합 아핀 선은 C ${\$ 위에 있는 1차원 선형 공간의 비틀림이다 $\mathbb {C}$ 가장 간단한 예는 복합 $\mathbb {C}$ C ${\$ 그 자체의 $\mathbb {C}$ 아간드 평면이다.이것은 표준적인 선형 구조를 가지며, 그래서 기원은 표준적인 아핀 구조를 갖게 된다.

다른 예로 X가 복잡한 숫자에 대한 2차원 벡터 공간이라고 가정해 보자. $\alpha :\mathbf {X} \to \mathbb {C}$ : $\alpha :\mathbf {X} \to \mathbb {C}$ → $\alpha :\mathbf {X} \to \mathbb {C}$ ${\$ \mathb {C}을(를) 선형 함수로 두십시오 $\alpha :\mathbf {X} \to \mathbb {C}$ . $α$ $(x)$ = $0$ 의 용액 집합, α의 커널은 1차원 선형 아공간(즉, X의 원점을 통과하는 복잡한 선)이라는 것은 잘 알려져 있다.그러나 c가 어떤 0이 아닌 복합수라면, $α (x)$ = $c$ 의 용액의 집합 A는 X의 아핀 선이지만 임의의 선형 결합에 의해 닫히지 않기 때문에 선형 아공간이 아니다.차이 공간 V는 $α$ 의 커널인데, 이는 비균형 방정식 $α (x)$ = $c$ 의 두 용액의 차이가 커널에 있기 때문이다.

유사한 구조는 1차 순서 선형 보통 미분 방정식의 해법에 적용된다.동질 미분 방정식의 해법

y'(x)+\mu(x)y(x)=0

1차원 선형 공간인 반면, 불균형 문제의 해법은

y'(x)+\mu(x)y(x)=f(x)

1차원 아핀 공간 A 입니다.일반 해법은 방정식의 특정 해법과 동일하며, 동질 방정식의 해법과 동일하다.균질 방정식의 해법 공간은 차이 공간 V이다.

선형 형태 $α$ 가 장착된 2차원 벡터 공간 X의 경우를 다시 한 번 일반적인 경우를 생각해 보십시오.아핀 공간 A(c)는 용액 $α(x)$ = $c$ 에 의해 주어진다. $c$ 와₁ $c$ 의₂ 0이 아닌 두 가지 $차이$ 에서 $아핀 1$ 공간 A( $c$ $)$ 와₂ A $($ c)는 자연적으로 이형성이라는 것을 관찰한다: $c 2$ $/$ $c 1$ 지도 A $(c 1 2)$ 에 의한 스케일링이다.따라서 이 상황에서 고려할 만한 아핀 공간은 정말로 단 하나, A라고 하는 것이 있는데, 그 포인트는 $α$ 의 알맹이에 놓여 있지 않은 X의 기원을 통과하는 선이다.

대수적으로, 방금 설명한 복잡한 부속 공간 A는 정확한 순서의 스플릿의 공간이다.

0\to \cker \alpha \lapha \c},{\overset {\subseteq }{\wrightarrow }\X\xrightarrow {\alpha }\mathb {C}\to.

2차원

복잡한 아핀 평면은 복잡한 숫자에 대한 2차원 아핀 공간이다.그 예가 2차원 복합 $\mathbb {C} ^{2}$ $\mathbb {C} ^{2}$ C $\mathbb {C} ^{2}$ 2 {\ $displaystyle \mathb{C$ } $^{2$ 이것은 자연적인 선형 구조를 가지고 있으므로 건망증이 심한 펑터 아래 아핀 구조를 계승한다.또 다른 예는 (복잡한 숫자에 걸쳐) 이차선 이질적인 선형 보통 미분 방정식의 해법 집합이다.마지막으로, 1차원 사례와 유사하게, 정확한 시퀀스의 스플릿 공간

0\to \mathb {C} ^{2}\to \mathb {C} \mathb {C}to 0

2차원의 부속 공간이다.

4차원

로렌츠 그룹의 등각 스핀 그룹은 SU(2,2)로, 4차원 복합 벡터 공간 T(트위너 공간이라고 함)에 작용한다.순정 푸앵카레 그룹은, SU(2,2)의 하위 그룹으로서, 폼의 정확한 순서를 안정화한다.

0\to \Pi \to \mathbf {T} \to \Oomega \to 0

여기서 $π$ 은 T의 최대 등방성 아공간이다.이 시퀀스의 스플릿의 공간은 4차원 아핀 공간: (복잡한) 밍코우스키 공간이다.

아핀 좌표

A를 n차원 아핀 공간이 되게 하라.n개의 상냥하게 독립적인 아핀 $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ z 1, $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ … $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ , $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ z $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ : $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ → $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ ${\$ 는 A의 $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ 아핀 좌표계이다.A의 어핀 좌표계는 복합 좌표 공간 $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ ${\$ 을(를) 사용하여 A의 편차를 설정하며, 복합 좌표 공간은 복합 숫자의 n-touple이다.

반대로 $\mathbb {C} ^{n}$ ${\$ 은(는) 때로는 복잡한 아핀 n-공간이라고 부르기도 하는데 $\mathbb {C} ^{n}$ , 여기서 관심 있는 아핀 공간으로서의 구조(예를 들어, 선형 공간으로서의 상태나 좌표 공간으로서의 상태와는 반대)라고 이해된다.그러한 용법은 대수 기하학에서 전형적이다.

연관된 투영 공간

복합 부속 공간 A에는 다음과 같이 정의되는 표준 투사 완료 P(A)가 있다.F(A)의 아핀 조합이 A의 아핀 조합과 일치하는 관계인 A 모듈로의 자유 벡터 공간 F(A)를 형성한다. $그런$ 다음 $희미$ 한 F $(A)$ = $n$ + $1$ 이며, 여기서 n은 A의 치수다.A의 투영적 완성은 F(A)의 1차원 복합 선형 서브스페이스의 투영 공간이다.

구조군 및 자동화

그룹 $Aut(A)$ = $PGL(F(A))$ ) $PGL(n$ + 1 $, C)$ 은 P(A)에 작용한다.무한대의 하이퍼플레인 안정기는 포물선 부분군으로 A의 자동형성 그룹이다.그룹 $GL(V)$ 과 V의 반간접 제품에 대해 이형(단, 자연적으로 이형)이다.부분군 $GL(V)$ 은 A에서 일부 고정 기준점 o("원점")의 스태빌라이저로, o에서 발산되는 벡터 공간의 선형 자동형성 그룹 역할을 하며, V는 번역에 의해 작용한다.

대수적 품종으로서 투영 $공간$ P( $A)$ 의 자동형 집단은 다름아닌 콜라인레이션 $PGL(F(A$ )의 집단이다 $.$ 대조적으로, 아핀 공간 A의 자동형 집단은 대수적 다양성이 훨씬 크다.예를 들어, 다음에 의해 부착 좌표 쌍의 관점에서 정의되는 부착 평면의 자기 지도를 고려한다.

{\displaystyle(z_{1},z_{2})\mapsto(z_{1},z_{2}+f(z_{1})}}

여기서 f는 단일 변수의 다항식이다.이것은 대수적 다양성의 자동형이지만 아핀 구조의 자동형은 아니다.그러한 대수적 자동형성의 자코비안적 결정요인은 반드시 0이 아닌 상수일 수밖에 없다.복잡한 아핀 공간의 자기지도의 자코비안이 0이 아닌 상수라면, 그 지도는 (알지브라질) 자동화된 것이라고 생각된다.이것은 제이콥의 추측으로 알려져 있다.

복합구조

복합 아핀 공간에 대한 함수는 그 복합 결합체가 차이공간 V를 따라 파생된 Lie일 경우 홀로모르핀이다.이것은 복잡한 부속 공간을 복합 다지관의 구조로 제공한다.

A에서 복잡한 숫자에 이르는 모든 아핀 함수는 홀모픽이다.따라서, 아핀 함수의 모든 다항식도 그렇다.

토폴로지

복잡한 아핀 공간에는 흔히 사용되는 두 가지 위상이 있다.

분석 위상은 아핀 함수 계열의 초기 위상으로서 복잡한 절대값으로 유도되는 일반적인 유클리드 위상(Uclidean topology)을 복잡한 숫자로 전달하는 것이다.이것은 또한 홀로모르픽 함수 계열의 초기 위상이다.

분석 위상에는 다분해로 구성된 기초가 있다.모든 n개의 독립적 아핀 $z_{1},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ z $z_{1},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ , $z_{1},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ … $z_{1},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ , $z_{1},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ : $z_{1},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ → $z_{1},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}:\mathb {A} \to \mathb$ {C $}$ 에 관련, A의 $z_{1},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C}$ \mathb ${$ C}에 의해 단위가 정의된다.

B(z_{1},\dots,z_{n}}=\좌측\\\mathbf {z} \mathbf {A}\,\,\좌측 z_{1}(\mathbf {z})\우측 <1\우측>.

분석 위상에서의 모든 개방형 세트는 단위 폴리디스크의 계수 가능한 집합의 결합이다.

자리스키 위상은 아핀 복합 가치 함수의 초기 위상이지만, 대신 복합 선에 유한 완성 위상(Limited-Complement Topology)을 부여한다.그래서 Zariski 위상에서는 A의 부분집합이 A의 복잡한 값 다항함수의 일부 집합의 0 집합인 경우에만 닫힌다.자리스키 위상의 하위 기반은 불가해한 대수 집합의 보완물 모음입니다.

분석 위상은 Zariski 위상보다 미세하며, Zariski 위상에 열려 있는 모든 집합은 분석 위상에서도 열린다는 것을 의미한다.그 반대는 사실이 아니다.예를 들어 폴리디스크는 분석 위상에서는 열려 있지만 자리스키 위상은 열려 있지 않다.

미터법은 V에서 내부 제품을 선택하여 복잡한 부속 공간에 정의하여 유클리드 공간으로 만들 수 있다.그런 다음 A의 두 점 p와 q 사이의 거리는 V에 대한 관련 표준의 관점에서 다음과 같이 주어진다.

d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\왼쪽\\\mathbf {p} -\mathbf {q} \right\ .

미터법과 연관된 열린 공은 위상의 기초를 형성하는데, 이것은 분석 위상과 동일하다.

분석 함수의 피복

복잡한 아핀 공간에서 홀로모픽 기능의 집단은 그 위에 한 무더기의 고리를 형성한다.정의에 따라, 그러한 피복은 A의 ( ${\mathcal {O}}(U)$ ) 열린 서브셋 U에 연결되며, U의 모든 복합 값 홀로모르픽 함수의 ${\mathcal {O}}(U)$ ( U $){\displaystyle {\mathcal{O}(U)}}.$

분석적 연속성의 고유성은 C의ⁿ 연결된 오픈 서브셋 U에 두 개의 홀모픽 함수가 주어진다면, 그것들이 U의 비어 있지 않은 오픈 서브셋에서 일치한다면, 그들은 U에 동의한다고 말한다. 피복 이론의 관점에서, 그 고유성은 에탈레 공간으로 볼 때 ${\mathcal {O}}$ ${\mathcal {O}}$ ${\$ 가 Hausdorff topological sp topological sp topological sp.

Oka의 일관성 정리에는 복합 부속 공간의 ${\mathcal {O}}$ 구조체 ${\mathcal {O}}$ O ${\$ {\ $mathcal{O}}$ 이(가) 일관성이 있다고 명시되어 있다.이것은 몇 가지 복잡한 변수의 함수 이론의 근본적인 결과물이다. 예를 들어, 그것은 즉시 복합 분석적 공간(예: 복합 다지관)의 구조 피복이 일관성이 있음을 암시한다.

모든 복잡한 아핀 공간은 홀로모피의 영역이다.특히 스타인 다지관이다.

참고 항목

참조

^ *Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3

MK Bennett (1995), Affine and projective geometry, Wiley
Nicolas Bourbaki (1970), Algèbre, vol. I, Masson, §II.9.
Harold Scott Macdonald Coxeter (1987), Projective geometry (2nd ed.), Springer.
Harold Scott Macdonald Coxeter (1961), Introduction to geometry, Wiley
Hans Grauert; Reinhold Remmert (1984), Coherent Analytic Sheaves, Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften, Springer.

[1] *Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3

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