위상 비교

수학의 위상 및 관련 영역에서, 주어진 집합에서 가능한 모든 위상 집합은 부분적으로 순서 집합을 형성한다.이 순서 관계는 위상 비교에 사용될 수 있다.

정의

집합의 위상은 "열림"으로 간주되는 하위 집합의 집합으로 정의할 수 있다.다른 정의는 그것이 "폐쇄"로 간주되는 하위 집합의 집합이라는 것이다.토폴로지를 정의하는 이 두 가지 방법은 기본적으로 동일하다. 왜냐하면 오픈 세트의 보수가 닫히기 때문이다.다음 내용에서는 어떤 정의를 사용하든 상관없다.

τ과₁ τ은₂ τ에₁₂ 포함된 것과 같이 set과 τ을 하나의 X에 두 개의 위상이 되게 하라.

${\displaystyle {\tau }_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$2}}.$

즉, of의₁ 모든 원소도 of의₂ 원소라고 할 수 있다.그러면 위상 τ은₁ τ보다₂ 코아저(취약 또는 더 작은) 위상이고, τ은₂ than보다₁ 미세한(강하거나 더 큰) 위상이라고 한다.

추가로 할 경우

${\displaystyle \tau _{1}\neq \tau _{2}$

우리는 τ이₁ τ보다₂ 엄밀히 따지고 τ보다₂₁ 엄밀히 따지면 and다고 말한다.^[1]

이진 관계 ⊆은 X에서 가능한 모든 위상 집합에 대한 부분 순서 관계를 정의한다.

예

X에서 가장 좋은 위상은 이산 위상이다. 이 위상은 모든 하위 세트를 개방한다.X에서 가장 강력한 위상은 사소한 위상이다. 이 위상은 빈 세트와 전체 공간만 열린 세트로 인정한다.

함수 공간과 측정 공간에는 종종 가능한 여러 토폴로지가 있다.복잡한 관계는 Hilbert 공간의 운영자 집합에서 토폴로지를 참조하십시오.

이중 쌍에서 가능한 모든 극성 위상은 약한 위상보다 더 미세하고 강한 위상보다 더 조밀하다.

복합 벡터 공간 C는ⁿ 통상적인 (유클리드) 위상 또는 자리스키 위상 중 하나를 장착할 수 있다.후자에서 C의ⁿ 부분집합 V는 다항식의 일부 시스템에 대한 모든 해법으로 구성된 경우에만 닫힌다.그런 어떤 V도 보통의 의미에서는 폐쇄적인 세트지만 그 반대는 아니기 때문에 자리스키 위상은 일반 위상보다 엄격히 약하다.

특성.

τ과₁ τ을₂ 하나의 X에 두 개의 위상이 되게 하라.그렇다면 다음과 같은 진술이 동일하다.

• τ₁ ⊆ τ₂
• ID맵 ID_X : (X, τ₂) → (X, τ₁)는 연속적인 맵이다.
• ID 지도 ID_X : (X, τ₁) → (X, τ₂)는 공개 지도 입니다.

이 진술의 즉각적인 두 가지 요점은

• 연속 지도 f : X → Y는 Y의 위상이 더 커지거나 X의 위상이 더 미세해지면 연속적으로 유지된다.
• 개방형(resp. closed) 지도 f : X → Y는 Y의 위상이 미세해지거나 X 코어의 위상이 미세해지면 열린(resp. closed) 상태를 유지한다.

근린기반을 이용해 위상학을 비교할 수도 있다.τ과₁ τ을₂ 하나의 X에 두 개의 위상이 되게 하고, b_i(x)를 i = 1,2에 대해 x x X에서 위상 τ의_i 국부적 기초가 되게 한다.그₁ 다음, 모든₁₂ x x ∈ X에 대해, B(x)의 각 오픈 세트 U는₁ B₂(x)의 일부 오픈 세트 U를₂ 포함한다.직관적으로, 이것은 이치에 맞는다: 더 미세한 토폴로지는 더 작은 이웃을 가져야 한다.

위상 격자

집합 X의 모든 위상 집합과 부분 순서 관계 ⊆은 임의 교차점에서도 닫히는 완전한 격자를 형성한다.즉, X의 모든 토폴로지의 집합에는 모임(또는 최소)과 조인(또는 우월)이 있다.위상의 집합은 위상의 교차점이다.그러나 결합은 일반적으로 그러한 위상의 결합(두 위상의 결합이 위상이 될 필요는 없음)이 아니라, 오히려 위상이 조합에 의해 생성되는 위상이 된다.

모든 완전한 격자 역시 경계 격자인데, 이것은 그것이 가장 크고 가장 적은 요소를 가지고 있다는 것을 의미한다.위상의 경우 가장 큰 요소는 이산 위상이고 최소 요소는 사소한 위상이다.

메모들

참고 항목

• 초기 토폴로지, 집합에서 연속된 집합에서 매핑 패밀리를 만드는 가장 강력한 토폴로지
• 최종 위상, 연속된 집합에 대한 매핑 패밀리를 만드는 집합에서 가장 우수한 위상

참조