별자형 변환

응용 수학에서 별 변환 또는 항성 변환은 라플라스 변환의 이산 시간 변화로, 샘플링된 신호의 관례적인 표기법에서 별자리 또는 "별" 때문에 그렇게 명명된다. 변환은 연속 시간 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ x${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ x$(t$의 연산자로, 다음과 같은 방법으로$$ $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle X^{*}}s}$ 함수로 변환된다.^[1]

${\displaystyle{\begin}X^{*}}={\mathcal {{L}[x(t)]\cdot \delta _{T}(t)]={\mathcal {{L}[x^{*}(t)],\end{arged}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle T_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \delta _{T}(t)}$은 Dirac comb 함수로서$$, 기간 T이다.

별표 변환은 임펄스 ${\displaystyle \mathrm{샘플링}}$ 함수 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( t$){\displaystyle$ x$^{*}(t)}$의 라플라스 변환을 나타내는 편리한 수학 추상화로서, 입력은 ${\displaystyle \mathrm{연속함수인}}$ x${\displaystyle }$( t )${\displaysty$ x $(t$의 출력이다$.$

별표가 표시된 변환은 Z 변환과 유사하며, 단순한 변수의 변화로 별표가 표시된 변환은 샘플링 기간(T)에 따라 명시적으로 선언되는 반면, Z 변환은 이산 신호에 수행되며 샘플링 기간과 독립적이다. 이는 별자 변환이 샘플링 파라미터 T에 대한 의존성을 회복하기 때문에 단측 Z-변환기의 비정규화된 버전을 만든다.

라플라스 변환과의 관계

$X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle L}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ X$^{*}(s)={\mathcal{L}[x^{*}(t$ 여기서:

${\displaystyle {\begin}x^{*(t)}\\stackrel {\mathrm {def}{}}}}\cdot \delta _{T}&=x(t)\cdot \sum _{n=0}^{\nt(t-nT)\end{정렬}}}$

Then per the convolution theorem, the starred transform is equivalent to the complex convolution of ${\displaystyle {\mathcal {L}}[x(t)]=X(s)}$ and ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\delta _{T}(t)]={\frac {1}{1-e^{-Ts}}}}$, hence:^[1]

${\displaystyle X^{*}={\frac {1}{2\pi j}\int_{c-j+j\infit }{X(p)\cdot {\frac {1}{1-e^{-T(s-p)}}\cdot dp}.}$

이 선 통합은 그러한 선에 의해 형성된 닫힌 윤곽과 p의 왼쪽 반면에 X의 극을 둘러싸는 무한 반원을 따라 양의 의미로 통합되는 것과 같다. (잔류 정리당) 그러한 통합의 결과는 다음과 같을 것이다.

${\displaystyle X^{*}}=\sum _{\lambda ={\text{poles of }}\limits _{p=\lambda }}{\bigg [}X(p){1-e^{1-t(s-p)}{big.}$

또는 앞에서 언급한 선 통합은 그러한 선과 p의 ${\displaystyle \frac{오른쪽\mathrm{}}{}}$ 반면에 1 - e${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$-${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ (${\displaystyle \frac{s^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{p^{}}{}}$ $){\${1$}{1-e^{-T(s-p)}}}}}$의 무한 극을 둘러싸는 무한 반원(infinite cemircle)으로 형성된 닫힌 윤곽선을 따라 음의 통합과 동등하다. 그러한 통합의 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle X^{*}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\inflit }^{}\nflit }X\왼쪽(s-j{\tfrac {2\pi }{T}k\right)+{\frac {x(0)}{2}.}$

Z 변환과의 관계

Z 변환 X(z)를 사용할 경우 해당 별표 변환은 단순 대체:

$디스플레이 스타일}X^{*}=X(z){\bigg }_{\displaystyle z=e^{s.T}}$ ^[2]

이 대체는 T에 대한 의존도를 회복시킨다.

교환이 ^{[citation needed]}가능하지만

${\displaystyle {\bigg .}X(z)=X^{*}{\bigg }_{\displaystyle e^{s}T}=z}$

${\displaystyle {\bigg .}X(z)=X^{*}{\bigg }_{\displaystyle s={\frac {\ln(z)}{{T}}}}$

별표로 표시된 변환의 속성

속성 1: $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle$ X$^{*}}$은(는$)$ $주기{\displaystyle }$ $j{\displaystyle }$ 2 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\pi <img\; alt="s"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.09ex;\; height:1.676ex;">}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}.}$ ${\displaystyle j{\tfrac$ {$2\pi }{T}$인 s ${\displaystystyle s}$에서 주기적임$$.$}$

${\displaystyle X^{*}(s+j{\tfrac {2\pi }{T}k)=X^{*}s}$

Property 2: If ${\displaystyle X(s)}$ has a pole at ${\displaystyle s=s_{1}}$, then ${\displaystyle X^{*}(s)}$ must have poles at ${\displaystyle s=s_{1}+j{\tfrac {2\pi }{T}}k}$, where ${\displaystyle \scriptstyle k=0,\pm 1,\pm 2,$$\ldots }$

인용구

참조

• Bech, Michael M. "Digital Control Theory" (PDF). AALBORG University. Retrieved 5 February 2014.
• Gopal, M. (March 1989). Digital Control Engineering. John Wiley & Sons. ISBN 0852263082.
• Phillips and Nagle, "디지털 제어 시스템 분석 및 설계", 제3판 프렌티스 홀, 1995. ISBN 0-13-309832-X