함수 변환 생성 중

수학에서, 수열의 생성함수의 변환은 한 수열의 생성함수를 다른 수열의 생성함수로 변환하는 방법을 제공한다.이러한 변환은 일반적으로 시퀀스 생성 함수에 적용되는 정수 공식(적분 변환 참조) 또는 이러한 함수의 고차 파생상품에 대한 가중 합계(파생상품 변환 참조)를 포함한다.

Given a sequence, ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$, the ordinary generating function (OGF) of the sequence, denoted ${\displaystyle F(z)}$, and the exponential generating function (EGF) of the sequence, denoted ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$, are defined by the form알 파워 시리즈

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{\inf_{n}z^{n}=f_{0}+f_{1}z+f_{2}z^{2}+{2}z^{2}+\cdots }}}$

${\displaystyle {\widehat {F}(z)=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {f_{n}}{n!}}}}}={\frac {f_{0}}{0}}{0!}}}+{\frac{f_{1}:{1!}}}}{\frac{f_{2}}:{2!}}}}{2}+\cdots .}$

In this article, we use the convention that the ordinary (exponential) generating function for a sequence ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ is denoted by the uppercase function ${\displaystyle F(z)}$ / ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$ for some fixed or formal ${\displaystyle z}$ when the co이 표기법의 ntext는 명확하다.또한${\displaystyle }$[${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle F}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$에 의해 주어진 콘크리트 수학 참조에서 계수 추출에 괄호 표기법을 사용한다$.$주요 기사는 많은 시퀀스에 대해 함수를 생성하는 예를 제시한다.기능 변형의 다른 예로는 디리클레 생성 함수(DGF), 램버트 시리즈, 뉴턴 시리즈가 있다.이 글에서는 수학에서 함수 생성의 변환에 초점을 맞추고 유용한 변환 및 변환 공식의 실행 목록을 유지한다.

시퀀스의 산술 진행률 추출

시리즈 multisection 기능이 순서를 열거하는 생성하는 데({\displaystyle\와 같이{f_{an+b}\}}이 a, b∈ N{\displaystyle a,b\in \mathbb{N}}, ≥ 2{\displaystyle a\geq 2} 평범한 발전 기능 F(z){F(z)\displaystyle}, 0≤ b<>;{\displ 공식을 제공한다.ays$tyle$ ${\displaystyle 0}$$\leq b<a$ $(,{\displaystyle }$ b${\displaystyle }$) :${\displaystyle (,0}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$(, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (a,b):=(2,$${\displaystyle 0}$$),$ (2,1$)}$의 경우$,$ $우리$는 F ( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle F(z)}$의 측면에서 이러한 산술 연속 생성 함수를 직접 확장할 수 있다$.$

${\displaystyle \sum_{0n\geq}f_{2n}z^{2n}={\frac{1}{2}}\left(F(z)+F(-z)\right)}.$

${\displaystyle \sum_{0n\geq}f_{2n+1}z^{2n+1}={\frac{1}{2}}\left(F(z)-F(-z)\right cm이다.}$

더 일반적으로 말해서, 한 ≥ 3{\displaystyle a\geq 3}, ω≡ 지수 함수 ⁡(2π ı){\displaystyle \omega_{}\equiv \exp \left({\frac{2\pi \imath}{}}\right)}의 단결이 바래{\displaystyle a^{월}}원시적인 뿌리를 의미한다고 가정해 보자.그러면 우리는 formula[1]다.

${\displaystyle \sum_{0n\geq}f_{an+b}z^{an+b}={\frac{1}{를}}\sum _{m=0}^{a-1}\omega _ᆰ^ᆱF\left(\omega_{1}^{m}z\right)\times.}$

정수 들어 ≥ 1{\displaystyle m\geq 1}, 또 다른 유용한 공식은 다소 반전되긴 했지만 기절해 버려 산술 진행 제공 identity[2]에 의해 유발된다.

${\displaystyle \sum_{0n\geq}f_{\lfloor{\frac{n}{m}}\rfloor}z^{n}={\frac{1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).}$

OGF의 힘 및 함수를 포함한 구성

그 기하 급수적인 벨은 다항식, B, k(x1,…,)n):= n!⋅[tn니가 k]Φ(t,마){\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\ldots{n,x_}):.=n!\cdot[t^{n}u^{k}]\파이(t,u)},이 기하 급수적으로 발전 function[3]에 의해 정의된다.

${\displaystyle \Phi(t,u)=\exp \reft(u\times \sum_{m\geq 1}x_{m}{\frac{t^{m}}{m!}}}\오른쪽)=1+\sum _{n\geq 1}\왼쪽\{\\sum _{k=1}{n_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )u^{k^{k}\}\frac{t^{n}{n!}}.}$

형식 전력 시리즈의 힘, 로그 및 구성에 대한 다음 공식은 원래 생성함수의 계수에 변수가 있는 이러한 다항식으로 확장된다.^[4][5]생성함수의 지수화 공식은 이전 공식에서 정의된${\displaystyle }$일부 시퀀스인 {${\displaystyle {xi}_{}}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}$에 대해 EGF에 의해 Bell 다항식을 통해 암시적으로 주어진다$.$

OGF의 왕복선(전력 공식의 특별한 경우)

생성함수의 역수인 $F{\displaystyle (}$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle F(z)}$에 대한 전원 시리즈는 다음 방법으로 확장된다.

${\displaystyle {\frac {1}{F(z)}}={\frac {1}{f_{0}}}-{\frac {f_{1}}{f_{0}^{2}}}z+{\frac {\left(f_{1}^{2}-f_{0}f_{2}\right)}{f_{0}^{3}}}z^{2}-{\frac {f_{1}^{3}-2f_{0}f_{1}f_{2}+f_{0}^{2}f_{3}}{f_{0}^{4}}}+\cdots .}$

$b{\displaystyle {}_{}}$ :${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle :=}$[ ${\displaystyle z^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle b_{n}}=[z^{n}]1/F(z)}$가 역수생성함수의 팽창에 있는 계수를 나타내도록$$ 하면 다음과 같은 재발 관계가 있다.

${\displaystyle b_{n}=-{\frac {1}{f_{0}}}\좌측(f_{1}b_{n-1}+f_{2}b_{n-2}+\cdots +f_{n}b_{0}\right),n\geq 1.}$

OGF의 힘

Let ${\displaystyle m\in \mathbb {C} }$ be fixed, suppose that ${\displaystyle f_{0}=1}$, and denote ${\displaystyle b_{n}^{(m)}:=[z^{n}]F(z)^{m}}$. Then we have a series expansion for ${\displaystyle F(z)^{m}}$ given by

${\displaystyle F(z)^{m}=1+mf_{1}z+m\left((m-1)f_{1}^{2}+2f_{2}\right){\frac {z^{2}}{2}}+\left(m(m-1)(m-2)f_{1}^{3}+6m(m-1)f_{2}+6mf_{3}\right){\frac {z^{3}}{6}}+\cdots ,}$

그리고 $계수{\displaystyle {}_{}^{}}$ b${\displaystyle {}_n^{}}$ (${\displaystyle m_{}^{}}$ $){\$은(는) 양식의 재발 관계를 만족한다$$.

${\displaystyle n\cdot b_{n}^{(m)}=(m-n+1)f_{1}b_{n-1}^{(m)}+(2m-n+2)f_{2}b_{n-2}^{(m)}+\cdots +((n-1)m-1)f_{n-1}b_{1}^{(m)}+nmf_{n},n\geq 1.}$

계수에 대한 또 다른 $공식$인 ${\displaystyle b_{}^{}}$n (${\displaystyle m_{}^{}}$ )$${\$displaystyle b_{n}^{(m$은(는) 벨 다항식에 의해 확장된다.

${\displaystyle F(z)^{m}=f_{0}^{m}+\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(m)_{k}f_{0}^{m-k}B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}},}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서${\displaystyle }$( ${\displaystyle r{}_{}}$) n ${\$은(는) Pochhammer 기호를 나타낸다$$.

OGF 로그

$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f_{0}=1$}을$($를$)$ 그대로$$ 두고 ${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle :=}$[ z$]$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ $⁡$ $z$)를$$정의하면$다음$과 같은 $방법$으로 복합 생성 $기능$에 대한 파워 시리즈 확장이 가능하다$.$

${\displaystyle \log F(z)=f_{1}+\left(2f_{2}-f_{1}^{1}{1}\right){\frac {z}{2}}+\{3}-3f_{1}f_{1}f_{1}+f_{1}{1}+f_{1}{1}1}}}^{3}\오른쪽){\frac {z^{2}}:{3}+\cdots,}$

여기서 이전 확장의 계수 ${\displaystyle {qn}_{}}$ ${\$은$($는) 다음에 의해 주어진 반복 관계를 만족한다.

${\displaystyle n\cdot q_{n}=nf_{n}-(n-1)f_{1}q_{1}-{n-1}-{n-1}-{n-1}-{2}-{n-2}-\cdots -f_{n-1}q_{1}, {1},}$

그리고 다음과 같은 생성함수의 파워 시리즈 계수 형태로 Bell 다항식들에 의해 확장된 상응하는 공식:

${\displaystyle \log F(z)=\sum _{n\geq 1}\왼쪽(\sum _{1\leq k\leq n}(1)^{k-1(k-1)!B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\오른쪽){\frac {z^{n}{n}{n!}}.}$

파아디 브루노 공식

Let ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$ denote the EGF of the sequence, ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$, and suppose that ${\displaystyle {\widehat {G}}(z)}$ is the EGF of the sequence, ${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\geq 0}}$.$구성$의 지수 생성 ${\displaystyle {함수}_{}}$인 H$^$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}{}_{}}$${\displaystyle z}$) ${\displaystyle :=}$ F${\displaystyle \stackrel{}{^}}$( ${\displaystyle G^}$( ( )${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ {$H_{n}\}\displaystyle \{n}\displaystyle$ \{n_$}\$displaystystyle$\{H}}}}(z):$$={\widehat{F}({\widehat {G}(z)})}$는 지수 Bell 다항식의 관점에서 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle h_{n}=\sum _{1\leq k\leq n_{k}\cdot B_{n,k}(g_{1},g_{2},\cdots,g_{n-k+1}+f_{0}\cdot \delta _{n,0}}.$

이 결과의 문구를 위에서 정의한$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$의 두 함수의 파생상품 측면에서 복합함수의 ${\displaystyle n^{}}$ $t{\displaystyle {}^{}}$ h ${\$ 파생상품과 유사한$$ 확장을 제공하는 Faaa di Bruno 공식의 다른 알려진 문장과 비교한다.

적분 변환

OGF ⟷ EGF 변환 공식

$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$이(가) 형식 파워 시리즈 변수로 간주될$$ 때 z ${\displaystyle z}$에 대해 용어로 적용할 수 있는$$ ,${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $∈$ Z${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ {$Z} ^+}$에 대한 다음과 같은 통합 공식이 있다.^[6]

${\displaystyle \sum \{n\geq 0}f_{n}z^{n}=\int_{0}^{0}{0}^{F}(tz)e^{-t}dt=z^{-1}{\mathcal{L}[{\wide {F}}}}(z^{-1})})})}}}}}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\감마(an+b)\cdot f_{n}z^{n}=\int_{0}^{0}{b-1}e^{-t(t^{a}z)dt.}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}}}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{-\pi }{{-\imath \vartheta }\오른쪽)e^{e^{\imath \vartheta }}}{{}d\imath \vartheta .}$

이러한 통합이 수렴될 때마다 이러한 통합 공식의 첫 번째와 마지막을 사용해 EGF를 시퀀스의 OGF로 변환하고 OGF에서 EGF로 변환한다.

첫 번째 적분 공식은 $L{\displaystyle \mathcal{}}$[ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ]}$( $){\displaystyle {\mathcal{L}[F](z)}$로 표시된 생성함수의 라플라스 변환(또는 때로는 공식 라플라스-보렐 변환)에 해당한다$.$^[7]물론 이전 공식의 두 번째 공식에서 감마 함수에 대한 다른 적분 표현도 유사한 적분 변환을 구성하는 데 사용될 수 있다.하나의 특정한 공식은 이 절에서 바로 아래에 제시된 이중 요인 함수의 예를 나타낸다.마지막 적분 공식은 $F{\displaystyle }$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle F(z)}$의 파워 시리즈에 용어적으로 적용된 역수 감마함수에 대한 한클의 루프 적분식과 비교된다$.$

예제: 두 번째 유형의 스털링 번호의 EGF에 대한 이중 요인 적분

단일 요인 함수$,{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle \mathrm{2n})!}$ ${\displaystyle(2n)!}$은$($는) 형식의 두 이중 요인 함수의 곱으로 표현된다.

$[\displaystyle(2n)!=(2n)!!\times (2n-1)!!={\frac {4^{n}\cdot n!}}{\sqrt{\pi }\time \Gamma \left(n+{\frac {1}{1}{2}}\오른쪽),}$

여기서 이중 요인 함수 또는 이성 감마 함수의 적분은

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot(2n-1)!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {4\pi }}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times \int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}t^{2n}\,dt,}$

자연수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\geq$ 0$}$의 경우$.$$({\displaystyle \mathrm{2n}}$- ${\displaystyle 1}$)의 이 일체형 표현${\displaystyle !!}$ ${\디스플레이$ 스타일($2n-1)!!$$}}$은(는) 0이 아닌 ${\displaystyle q\mathbb{}}$fixed C ${\$과(와) 일체형 power $k{\displaystyle 0}$ 0 ${\displaysty k\geq$ 0$\}$에 대해 공식을 가지고 있음을 암시한다.

${\displaystyle {\frac {\log(q)^{k}}{k!}}}={\frac{1}{(2k)!}}}\cdm \reft[\int _{0}^{\inflt }{2e^{-t^{2}/2}}{\sqrt{2\pi }}}\left\{2\log(q)}}\cdot t\rig)^{2k}\dt\t\dt\rig].}$

따라서 규정된 정수 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle j\geq$ 0$\}$에 대해, 우리는 위에 주어진 수열 OGF에서 산술 진행률을 추출하기 위한 공식과 함께 이전의 적분 표현을 사용할 수 있으며, 다음과 같이 용어가 수정된 스털링 수 EGF에 대한 다음 적분 표현을 공식화할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\좌측\{\\\put}2n\\j\end}\right\}{\frac {\log(q)^{n}{n!}}}=\int _{0}^{0}^{\inflt }{e^{-t^{2}/2}}{{\sqrt{2\pi }}}\cdot j!}}}\왼쪽[\sum _{b=\pm 1}\왼쪽(e^{b{\sqrt{2\log(q)}}}\cdot t}-1\오른쪽)^{j}\right]dt,}$

즉, 변수 < < 1{\$displaystyle$0 <$q$<1}에 적절한 조건을 제공한 수렴이다^[8]

예:기하계열의 고차파생물을 위한 EGF식

For fixed non-zero ${\displaystyle c,z\in \mathbb {C} }$ defined such that ${\displaystyle cz <1}$, let the geometric series over the non-negative integral powers of ${\displaystyle (cz)^{n}}$ be denoted by ${\displaystyle G(z):=1/(1-cz)}$.$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$에 대한 기하학적 계열의 해당 $고차{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ h$${\$displaystyle j^{th}}$ 파생상품은$$ 함수 순서에 의해 표시된다$$.

${\displaystyle G_{j}(z):={\frac {(cz)^{j}{1-cz}}\time \left({\frac {d}{dz}\오른쪽)^{(j)}\left[G(z)\right],}$

음이 아닌 정수 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle j\geq$ 0$}$의 경우$.$$일반적$인 기하학적 ${\displaystyle {\mathrm{시리즈}}^{}}$의 이러한$$j t h {\$displaystyle$ j$^{th}}$파생물은$$ 예를 들어 유도에 의해 제시된 명시적인 폐쇄 형태 공식을 만족시킬 수 있다.

${\displaystyle G_{j}(z)={\frac {(cz)^{j}\cdot j!}{{(1-cz)^{j+2}}:}}$

{\longmapsto\displaystyle}EGF 변환 공식 위에 설명한 어떤 j≥ 0{\displaystyle j\geq 0} 때마다 cz<1{\displaystyle cz<1}. 예를 들면, 세번째 OGF ⟼의 한 예로, 우리는 발전 기능의 Gj 다음 해당 지수 형태({\displaystyle G_{j}(z)}을 계산할 수 있다. :

${\displaystyle {\widehat{G}_{j}(z)={\frac {1}{2\pi }\int_{-\pi }^{+\pi }}G_{j}\(제^{-\imath t}\오른쪽)e^{e^{\imath t={\frac(cz)^{j}e^{cz}}}{{(j+1)}}}}\왼쪽(j+1+z\오른쪽).}$

부분적 통합 및 파생 모델

부분적 통합과 부분적 파생상품(본문 참조)은 시퀀스의 OGF에 적용하여 변환된 시퀀스의 해당 OGF를 형성할 수 있는 또 다른 일반화된 통합 및 분화 운영의 클래스를 형성한다.()> ${\displaystyle \Re (\alpha )>0}$의 경우 적분 변환에^[9] 의해 부분 적분 연산자(순서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$ $\})$를 정의한다.

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)={\frac {1}{1}{\Gamma(\alpha )}}\int _{0}^{z-t)^{\alpha -1}F(t)dt,}}$

다음이 제공하는 (계속) 파워 시리즈에 해당함

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)=\sum _{n\geq 0}{\frac {n!}}{\감마(n+\alpha +1)}f_{n}z^{n+\alpha }}$

고정 α 들어,β∈ C{\displaystyle \alpha ,\beta\in \mathbb{C}}다는 ℜ(α),ℜ(β)>0{\displaystyle \Re(\alpha),\Re(\beta)>0}, 우리가 사실은 α의 이동 통신사는 나는)전}. 게다가,+β{\displaystyle I^{\alpha}I^{\beta}=I^{\alpha +\beta}α 고정 α에 ∈ C{\displaystyle β할 수 있다. \alpha$\in \mathb {C}$과() 0< <n {\$displaystyle 0<\Re$ (\alpha)<n$$}을(를) $만족$하는$$정수 n {\$displaystyle n}$은(는) 다음과 같은 특성을 만족하는 부분파생물의 개념을 정의할 수 있다.

${\displaystyle D^{\alpha }F(z)={\frac {d^{(n)}{dz^{(n)}}}}}I^{n-\alpha }F(z),}$

그리고

${\$$I^{\alpha }=D^{n}$$I{\displaystyle }$$^{\알파 +n-k}$에 대한$$ k${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle k=1,2,\ldots,n,}$

where we have the semigroup property that ${\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }=D^{\alpha +\beta }}$ only when none of ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta }$ is integer-valued.

다각측량 시리즈 변환

고정 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$에 대해, (Nielsen 일반화 다변량 함수에 대한 적분 공식의 특별한 경우와 비교)가^[10] 있다$.$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n+1)^{s}}z^{n}={\frac{(-1)^{s-1}{{s-1)!}}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt.}$

Notice that if we set ${\displaystyle g_{n}\equiv f_{n+1}}$, the integral with respect to the generating function, ${\displaystyle G(z)}$, in the last equation when ${\displaystyle z\equiv 1}$ corresponds to the Dirichlet generating function, or DGF, ${\displaystyle {\wideti$통합이$$ ${\displaystyle {}_{}}$될 ${\displaystyle {경우}_{}}$ {$fn$$\}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}\}$의 시퀀스 중 $lde{F}}.$이러한 종류의 폴리로그리듬 관련 적분 변환은 다음 절에 정의된 파생 기반 제타 시리즈 변환과 관련이 있다.

사각 시리즈 생성 함수 변환

고정 0이 아니면 q, c, z∈ C{\displaystyle q,c,z\in \mathbb{C}}우리는 그so-termed 광장 시리즈에 대해 다음과 같은 적분 표현 기능은 시퀀스{fn}과 관련된 발전이 q<1{\displaystyle q<1}과 cz<1{\displaystyle cz<1},{\dis.playstyle\와 같이{${$$n}\},$ z {\$displaystyle$ z$}$에 대해 용어로 통합할 수 있는$:$^[12]

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}q^{n^{2}}f_{n}\cdot (cz)^{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}\left[F\left(e^{t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)+F\왼쪽(e^{-t{\sqrt {2\log(q)}}\cdot cz\right)\오른쪽]dt.}$

참고문헌에서 입증된 이 결과는 위의 예로서 주어진 두 번째 종류의 스털링 숫자에 대해 통합된 이중 요인 함수 변환의 변종에서 나온 것이다.특히 그 이후로는

${\displaystyle q^{n^{2}}=\exp(n^{2}\cdot \log(q)=1+n^{2}\log(q)+n^{4}{\frac {\log(q)^{2}}!}}}+n^{6}{\frac {\log(q)^{3}}{3}{3!}}}+\cdots,}$

우리는 두 번째 종류의 스털링 숫자를 포함하는 다음 절에 정의된 양의 순서 파생상품 기반 OGF 변환의 변형을 사용하여 시퀀스 생성 기능에 대한 통합 공식$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle S}$($j$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle n!\}}$ ${\$ style $\left\{S(2n,j)/n!\\}$을(를)를 구한 다음$,$ 에 대해 합계를 수행할 수 있다.${\displaystyle j^{}}$$$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle h^{}}$ ${\$ 형식 OGF, ${\displaystyle F}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle F(z)}$의 파생상품으로, 수중의 산술적 추이 생성함수를 나타내는 이전 방정식의 결과를 얻음

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\좌측\{\\\n1}{\\n1}{\n3\n\n\\j\end}}\right\}{\frac{z^{2n}}{n)!}}}={\frac{1}{2j!}}}}\좌(e^{z}-1)^{j}+(e^{-z}-1)^{j}\오른쪽),}$

각 고정 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$에 대해 $.$

Hadamard 제품 및 대각선 발생 기능

$우리$는 F${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle F(z)}$ 및 $G$ ( ${\displaystyle z)}$ ${\displaystyle G(z)}$의 두 가지 발생 함수의 Hadamard 제품에 대한 일체형 표현을 다음과 같은 형식으로 명시하였다$.$

${\displaystyle (F\odot G)(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}g_{n}z^{n}}}={\frac {1}{2\pi }\int _{0}^{2\pi }F\왼쪽({\sqrit}오른쪽)G\왼쪽({\sqrt{z}e^{-It}\오른쪽)dt,}$

내가 가상의 단위인 곳이지

다변량 시퀀스 및/또는 생성 함수의 대각선 생성 함수와 이러한 대각선 OGF가 속한 생성 함수의 클래스로서 Hadamard 제품에 대한 자세한 내용은 스탠리의 저서에서 확인할 수 있다.^[13]참조는 폼의 내포 계수 추출 공식도 제공한다.

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(F_{1}\cdots F_{k}\right):=\sum _{n\geq 0}f_{1,n}\cdots f_{k,n}z^{n}=[x_{k-1}^{0}\cdots x_{2}^{0}x_{1}^{1}^{0}}]F_{k}\왼쪽({\frac {z}{x_{k-1}\오른쪽)F_{k-1}\좌({\frac {x_{k-1}{x_{k-2}}\우)\cdots F_{2}\좌({\frac {x_{2}}}{x_{1}}}\우)F_{1}(x_{1}),}$

구성 요소 시퀀스 생성 기능인 ${\displaystyle \mathrm{Fi}{}_{}}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle F_{i}(z)}$이$($가) Z ${\displaystyle$ z$}$에서 Laurent 시리즈 또는 분수 시리즈로 확장될 수 있는 경우에 특히 유용하며, 이는 모든 구성 요소 생성 기능이 합리적이어서 대수학으로 이어지는 특수한 경우에 해당한다$.$해당 대각선 발생 함수의 형태.

예:합리적인 생성 기능을 갖춘 하다마드 제품

일반적으로 두 가지 합리적인 생성 기능의 하다마드 제품은 그 자체로 합리적이다.^[14]이는 합리적인 생성함수의 계수가 양식의 준항명 항을 형성한다는 것을 알아봄으로써 나타난다.

${\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{p_(n)\rho _{\ell }^{n}}}}$

where the reciprocal roots, ${\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }$, are fixed scalars and where ${\displaystyle p_{i}(n)}$ is a polynomial in ${\displaystyle n}$ for all ${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$. For example, the Hadamard product of the two generating functions

${\displaystyle F(z):={\frac {1}{1+a_{1}z+a_{2}z^{2}}:$

그리고

$[\displaystyle G(z):={\frac {1}{1+b_{1}z+b_{2}z^{2}}:$

합리적인 생성 함수 공식에^[15] 의해 주어진다.

${\displaystyle (F\odot G)={\frac {1-a_{2}b_{2}z^{2}}:{1-a_{1}b_{1}z+\좌측(a_{2}b_{1}^{1}^{2}+a_{1}1]}^{2}b_{2}-a_{2}b_{2}b_{2}\right)z^{2}-a_{1}a_{1}b_{1}b_{2}z^{3}+a_{2}}^{2}b_{2}^{2}z^{4}}}}.}$

예:요인(대략 랩레이스) 변환

일반화된 요인 함수에 대한 일반 생성 함수는 일반화된 상승 요인 제품 함수의 특수한 경우 또는 Pochhammer k-symbol로 정의됨

${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots(R+(n-1)\alpha )=\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}}\right)_{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 고정되어 있고, ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \alpha \neq$ 0$}$및${\displaystyle }$( x${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은 참조에 설정된 Jacobi-type J-frace(또는 연속 분수의 특수 형태)에 의해 포하머 기호가 생성됨을 나타낸다$$.^[16]${\displaystyle {\mathrm{Conv}}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (\alpha }$, R${\displaystyle }$; z${\displaystyle }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {FP}_{}}$ h ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle R}$; ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle {\mathrm{FQ}}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle R}$; z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;$z)를 허용하면$:$$=\operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)/\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)}$ denote the ${\displaystyle h^{\text{th}}}$ convergent to these infinite continued fractions where the component convergent functions are defined for all integers ${\displaystyle h\geq 2}$ by

${\displaystyle \operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{n=0}\{h-1}\좌측[\sum _{k=0}^{n}}}}{n}\binom {h-{{R}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}오른쪽)_{k}\left({\frac {R}{\alpha }}}}\right)_{n-k}\right](\alpha z)^{n}}}}$

그리고

${\displaystyle {\begin}\operatorname {FQ} _{h}(\alpha,R;z)&=(-\alpha z)^{h}^{h}\time L_{h}^{{h}^{\(R/\alpha -1\right)}\좌(\lapa z)^{-1}\linea z)\la z)\ik)\ik)\ik)\ik)\line\&=\sum _{k=0}^{h}{\binom {h}{k}\왼쪽[\j=0}^{j=0}^{k-1}(R+(j-1-j)\alpha )\right](-z)^{k},\end{aigned}}}$

where ${\displaystyle L_{n}^{(\beta )}(x)}$ denotes an associated Laguerre polynomial, then we have that the ${\displaystyle h^{th}}$ convergent function, ${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)}$, exactly enumerates the product sequences, ${\displaystyle p_n(\alpha ,}$${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R)}$, for all ${\displaystyle 0\leq n<2h}$. For each ${\displaystyle h\geq 2}$, the ${\displaystyle h^{th}}$ convergent function is expanded as a finite sum involving only paired reciprocals of the Laguerre polynomials in the form of

${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {{\frac {R}{\alpha }}+i-1}{i}}\times {\frac {(-\alpha z)^{-1}}{(i+1)\cdot L_{i}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)L_{i+1}^{\왼쪽(R/\알파 -1\오른쪽)}\왼쪽(\알파 z)^{-1}\오른쪽)}}}$

더욱이 단일 요인 함수는 $n{\displaystyle }$!${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1}$)$displaystyle n!=p_{n}(1$$,$1)과 $n{\displaystyle !}$= p ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$n )${\displaystyle$ n$!=p_{n}(-1,n)}$에 의해 모두 주어지기 때문에$,$ 최대 ${\displaystyle \mathrm{2h}}$ ${\style}$까지 대략적인 합리적 수렴함수를 사용하여 단일 요인 함수 항을 생성할 수 있다.$$. 이 관찰은 Hadamard 제품 또는 대각선 효율의 생성 함수에 의한 이전 절의 적분 표현 측면에서 주어진 정확한 (공식) Laplace-Borel 변환에 대한 접근방식을 제안한다.특히 OGF ${\displaystyle G}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle G(z)}$이(가) 있을 경우, 위에$$ 제시된 대각선 계수 추출 $공식$에 의해 ${\displaystyle 약}$ 2시간$(\displaystyle$ 2h$}-$순서$$ 정확도)인 대략적인 Laplace 변환을 구성할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\mathcal {L}}}_{h}[G](z)&:=[x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\frac {z}{x}}\right)G(x)\\&\ ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\sqrt {z}}e^{It}\right)G\왼쪽({\sqrt{z}e^{-It}\오른쪽)dt.\end{정렬}}}$

이러한 대각선 계수 생성 함수를 통해 열거된 시퀀스의 예는 합리적인 수렴 함수에 의해 제공되는 시퀀스 요인 함수 승수에서 비롯된다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}n!^{2}&=[z^{n}][x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;x\right),h\geq n\\{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n;{\frac {z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n-1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-1;{\frac {3z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-2;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}})\\n&=n!\time \sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}}=[z^{n}x^{0}]\왼쪽({\frac {e^{-x}}}}}}}\operatorname {Conv} _{n}\좌(-1,n;{\frac}{x}\오른쪽)\\\\\\\bename {af}(n)&=\sum _{k=1}^{n(-1)^{n-k}k!=[z^{n}]\left({\frac {\operatorname {Conv} _{n}(1,1;z)-1}{1+z}}\right)\\(t-1)^{n}P_{n}\left({\frac {t+1}{t-1}}\right)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}t^{k}\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}][z^{n}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {z}{x_{1}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {t\cdot x_{2}})I_{0}(2{\sqrt {x_{2}}}\오른쪽),n\geq 1\\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{{(k-1)!2}}k\cdot (2k-3)!!\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}x_{3}^{n-1}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{3}}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(2,1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right){\frac {(x_{1}+1)e^{x_{1}}}{(1-x_{2})}}\right),\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle I_{0}(z)}$ denotes a modified Bessel function, ${\displaystyle !n}$ denotes the subfactorial function, ${\displaystyle \operatorname {af} (n)}$ denotes the alternating factorial function, and ${\displaystyle P_{n}(x)}$ is a Legendre polynomial.기사에 제시된 이러한 합리적인 Hadamard 제품 생성 함수의 응용을 통해 열거된 다른 시퀀스의 예로는 Barnes G-기능, 이중 요인 함수를 포함하는 결합합계, 파워 시퀀스의 합계, 이항 분포의 시퀀스가 있다.

파생변환

양수 및 음수 제타 시리즈 변환

For fixed ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$, we have that if the sequence OGF ${\displaystyle F(z)}$ has ${\displaystyle j^{th}}$ derivatives of all required orders for ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$, that the positive-order zeta series transformation is given by^[17]

${\displaystyle \sum \sum \{n\geq 0}f_{n}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\ft}\{\begin{matrix}k\j\end{matrix}\rigin}\j^{j}F^{j}(z)},},},},},},}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서${\displaystyle }${${\displaystyle n\begin{array}{c}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}k\\ \}\end{array}}$ ${\$은 두 번째 유형의 스털링 번호를 의미한다.특히$$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm{\forall }n}$ ${\displaystyle f_{n}\equiv$ 1\$n},$${\displaystyle }$$nn$ ${\displaystyle \begin{array}{}m\\ \end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}⟩\end{array}}$ ${\$이 1차 오일러 숫자의 삼각형을 나타낼$$ 때 다음과 같은 특수 사례 ID가 있다.^[18]

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{j}\cdot j!}{(1-z)^{j+1}}}={\frac {1}{(1-z)^{k+1}}}\times \sum _{0\leq m<k}\left\langle {\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\rangle z^{m+1}.}$

${\displaystyle {또한}^{}}$ 일부 $F{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$)$∞$ ${\displaystyle {}^{}}$ ∞${\displaystyle$ j$^{$$th$$}$의 $파생$ 모델과 무한하고 비삼각형적인 일반화 스털링 수의 역, 또는 genet으로 주어진 확대와 유사한 절차에 의해 음순 제타 시리즈 변환을 확장할 수 있다$.$이 맥락에서 정의된 두 번째 유형의 스털링 숫자를 에리얼화했다.

특히, 정수 $k{\displaystyle }$, ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k,j\geq 0}$의 경우$,$ 공식에 의해 두 번째 종류의 스털링 숫자의 일반화된 클래스를 정의한다.

${\displaystyle \left\{\put}k+2\\j\end}\j\end}\right\}{\ast }}={\frac {1}{j!}}}\cHB \sum _{m=1}^{j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}{m^{k}}}}}.}$

Then for ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ and some prescribed OGF, ${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$, i.e., so that the higher-order ${\displaystyle j^{th}}$ derivatives of ${\displaystyle F(z)}$ exist for all ${\displaystyle j\geq 0}$, we have that

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{n_{n}}{n^{n}}z^{n}}=\sum _{j\geq 1}\left\{\gin{matrix}k+2\j\end}\right\}}_{}z^{j}F^{}}}}}z}}}}}z.}$

처음 몇 개의 제타 시리즈 변환 계수 $\{{\displaystyle {k\begin{array}{c}\end{array}}_{}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{}j\\ \end{array}}_{}}$} ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}}}}}의 표가 아래에 나타난다.이러한 가중 조화 수 확장은 팽창의 가중 조화 수 항에 대한 선행 부호까지 첫 번째 종류의 스털링 수식에 대해 알려진 공식과 거의 동일하다.

k	${\displaystyle \left\{\put}k\\j\end{put}\right\}}{\ast }\not (-1)^{j-1j!}}$
2	${\displaystyle 1}$
3	${\displaystyle H_{j}}$
4	${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(H_{j}^{2}+)H_{j}^{(2)}\오른쪽)}$
5	${\displaystyle {\frac {1}{6}\왼쪽(H_{j}^{3}+3}H_{j}H_{j}^{(2)+2H_{j}^{(3)}\오른쪽)}$
6	${\displaystyle {\frac {1}{24}}\왼쪽(H_{j}^{4}+6)H_{j}^{2}H_{j}^{{j}^{{j}^{{j}^{(2)\오른쪽)^{2}+8H_{j}H_{j}^{(3)}+6H_{j}^{(4)}\오른쪽)}$

음순 제타 시리즈 변환 예제

다음 시리즈는 다중로그 함수(각각 dilogarithm 및 trimogarithm 함수), 교류 제타 함수 및 리만 제타 함수는 참조에서 발견된 이전의 음순 시리즈 결과로부터 공식화된다.특히 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle s:=2}($또는 위의 표에$$ $있는{\displaystyle }$ k ${\displaystyle :=4}${\$displaystyle k:=4}$일 때)에는 dilogarithm에 대한 다음과 같은 특수 사례 영상 시리즈와 교대 제타 함수의 해당 상수 값이 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\text{Li}_{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac{(1)^{j-1}}}{2}}\왼쪽(H_{j}^{2}+)H_{j}^{j}^{{j}}\오른쪽){\frac {z^{j}}{{j-z)}{{j+1}}}\\zeta ^{\ast }(2)&={\frac {\pi ^{12}}}=\sum _{j\geq 1}{{j_{j_{j}^}}}}}+}+}}}}}}}}}}}}}+}H_{j}^{{j}^{(2)}\오른쪽)}{4\cdot 2^{j}}.\end{정렬}}}$

$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle s:=3}($또는 이전 하위섹션에서 사용된 표기법에서$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=5}$ ${\displaystyle k:=5}$인 경우)에 의해 제공된 이러한 기능에 대한 특수 사례 시리즈를 비슷하게 얻는다.

${\displaystyle {\begin{ligin}{\text{Li}_{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac{(1)^{j-1}}}{6}}}\왼쪽(H_{j}^{3}+3)H_{j}H_{j}^{(2)+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(3)&={\frac {3}{4}}\zeta (3)=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)+2H_{j}^{{j}^{(3)}\오른쪽)}{12\cdot 2^{j}}\\&={\frac {1}{6}\log(2)^{3}+\sum _{j\geq 0}{\frac {H_{j}}H_{j}^{(2){2^{j+1}}}.\end{정렬}}}$

1차 고조파 숫자들은 자연 로그, 불완전한 감마함수, 그리고 다음과 같이 주어지는 지수 적분으로 확장된 폐쇄형 지수 생성 함수를 가지고 있는 것으로 알려져 있다.

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}}{n!}}}}{n}=e^{z}\left({\mbox{E}_{1}(z)+\gamma +\log z\right)=e^{z}\e^{z}\left(\Gamma (0,z)+\gamma +\log z\rig.}$

정수 $r{\displaystyle }$≥ $[\displaystyle r\geq 2}$에 대한 r-오더 고조파 수 지수 생성 함수에 대한 추가 시리즈 표현은 이러한 음순 파생 기반 시리즈 변환 결과의 특별한 사례로 형성된다$$.예를 들어, 2차 고조파 번호는 시리즈에 의해 확장된 해당 지수 생성 함수를 가진다.

${\displaystyle \sum \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}^{{n}}{{n!}}}}}}{n!}}}}}}}}{j\geq 1}{{j_{j}^{2}++}H_{j}^{(2){2\cdot (j+1)!}}}}}{j}e^{z}\왼쪽(j+1+z\오른쪽).}$

일반화된 음순 제타 시리즈 변환

위에서 정의한 음순 시리즈 변환의 추가 일반화는 더 많은 허위츠제타 유사, 또는 레르치 트랜센던트 유사 생성 기능과 관련이 있다.특히, 만약 우리가 두번째 종류의 스털링의 더 일반적인 파라메트릭을 정의한다면,

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}:={\frac {1}{j!$$}}}\cHB \sum _{0\leq m\leq j}{\binom {j}{{m}{\frac {(-1)^{j-m}}{{{(\m+\cHB )^{k$

for non-zero ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ such that ${\displaystyle -{\frac {\beta }{\alpha }}\notin \mathbb {Z} ^{+}}$, and some fixed ${\displaystyle k\geq 1}$, we have that

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}z^{j}F^{(j)}(z).}$

더욱이, ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u,u_{0}\geq 0}$의 모든 정수에 대해$,$ 우리는 다음과 같이 주어진 이전 방정식의 전체 무한 시리즈에 대한 부분적인 직렬 근사를 가지고 있다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{u}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=[w^{u}]\left(\sum _{j=1}^{u+u_{0}}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}{\frac {(wz)^{j}F^{(j)}(wz)}{1-w}}\오른쪽).}$

일반화된 음순 제타 시리즈 변환 예제

Series for special constants and zeta-related functions resulting from these generalized derivative-based series transformations typically involve the generalized r-order harmonic numbers defined by ${\displaystyle H_{n}^{(r)}(\alpha ,\beta ):=\sum _{1\leq k\leq n}(\alpha k+\bet$a $)^{-r}$ 정수 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r\geq 1$ n$$ ${\displaystyle ^}$ Z + {\$displaystyn\in \mathb {Z} ^+}$이(가) 고정된 경우 다음과 같은 상수에 대한 특정 시리즈 확장 쌍.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {4{\sqrt {3}}\pi }{9}}&=\sum _{j\geq 0}{\frac {8}{9^{j+1}}}\left(2{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {1}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right)\\\log \left({\frac {n^{2}-n+1}{n^{2}}}\right)&=\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{(n^{2}+1)^{j+1}}}\left({\frac {2}{3\cdot (j+1)}}-n^{2}{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {n}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right).\end{정렬}}}$

레전드레치함수, 다감마함수, 리만제타함수의 제타함수 관련 사례에 대한 몇 가지 다른 시리즈는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}{\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\chi _{2}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}\left(1+H_{j}^{(1)}(2,1)\right){\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{2}}}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+z}{z}}^{-1}\좌측값\frac {1}{z^{2}}+{\frac{1}{z}}}}}}}H_{j}^{(1)}(2,z)\right){\frac {1}{2^{j+1}}}\\{\frac {13}{18}}\zeta (3)&=\sum _{i=1,2}\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {i}{3}}}{\frac {i}{3}}}^{-1}\left({\frac {1}{i^{3}}}+{\frac {1}{i^{2}}}H_{j}^{{j}^{1}^{1}(i)+{\frac{1}{1}i}^{1}{{j}^{2}+H_{j}^{{j}^{2}({{i)\right){\frac {(-1)^{i+1}:{2}{i+1}{2}}{{{2}}}}}{{{{{{i+1}:{2}}}}}}{2}}}}}}}}}{{{{2}}}}}}}}{{{{^{j+1}}.\end{정렬}}}$

또한 참조에서처럼 확장된 피보나치 수와의^[19] 관계를 통해 역 탄젠트 함수의 또 다른 명시적 시리즈 표현을 제공할 수 있다.

${\displaystyle \tan ^{-1}(x)={\frac {\sqrt {5}}{2\imath }}\times \sum _{b=\pm 1}\sum _{j\geq 0}{\frac {b}{\sqrt {5}}}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{j}}^{-1}\left[{\frac {\left(b\imath \varphi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{{{\frac(1-{\frac {b\imath \varphi t}{\sqrt{5}}\^{j+1}}-{\frac {\좌(b\imath \Phi t/{\sqrt{5}}\우)^{j}}{{j}}\좌(1+{\frac {b\imath \Phi t}{\sqrt{5}}\우)^{j+1}}\오른쪽,}$

for ${\displaystyle t\equiv 2x/\left(1+{\sqrt {1+{\frac {4}{5}}x^{2}}}\right)}$ and where the golden ratio (and its reciprocal) are respectively defined by ${\displaystyle \varphi ,\Phi :={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\sqrt {5}}\right)}$.

반전 관계 및 함수 ID 생성

반전 관계

반전 관계는 형태의 한 쌍의 방정식이다.

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}}A_{n,k}\cdot f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{n,k}\cdot g_{k}}}}}}}}}}$

직교 관계와 동등한 관계

${\displaystyle \sum _{k=j}^{n}A_{n,k}\cdot B_{k,j}=\delta _{n,j}.}$

이전 양식의 역관계와 관련된 $\{$${\displaystyle {fn}_{}}$ ${\displaystyle \{f_$${n$$}\}$ 및 {${\displaystyle {}_{}}$} {n$}}${$n$}\n$}\}$의 두 시퀀스를 고려할 때, 우리는 때때로 역관계에서 암시하는 기능 방정식으로 시퀀스 쌍의 OGF와 EGF를 연관시키려 한다.어떤 면에서 이 목표는 뫼비우스 반전 공식에 의해 보장된 더 많은 수의 이론적(Lambert 시리즈) 생성 기능 관계를 반영하며, 이는 언제나 이를 제공한다.

${\displaystyle a_{n}=\sum \{d n}b_{d}\sum \long leftrightarrow \long leftrightarrow \n}=\sum \{dn}\frac{d}}}a_{d}}}}}},}$

시퀀스에$$ 대한 생성 함수$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 및${\displaystyle }${${\displaystyle b_{}}$ {\$displaystyle$\{$b_{$n}\}}}}은$($는) 다음이 제공하는 Möbius 변환과 관련이 있다.

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}a_{n}z^{n}=\sum_{n\geq 1}{\frac {b_{n}z^{n}}}{1-z^{n}}}}}.}$

마찬가지로, 두 시퀀스$,{\displaystyle }$ 즉 {${\displaystyle n_{}}$}$${\$displaystyle$\{$a_{n}\}}$ 및$$ {${\displaystyle b_{}}$ $\}$ ${\displaystyle$\{$b_{n}\}}}$에 대한 생성 함수의 오일러 변환이 관계를^[20] 만족함

${\displaystyle 1+\sum _{n\geq 1}b_{n}z^{n}=\prod _{i\geq 1}{\frac{1}{1}{1-z^{i}}},}$

의 형태로 주어지다

${\displaystyle 1+B(z)=\exp \left(\sum _{k\geq 1}{\frac {A(z^{k})}}}{k}\오른쪽),}$

여기서 두 시퀀스 사이의 해당 반전 공식은 참조에 제공된다.

이 절에 제시된 결과와 사례의 나머지 부분은 반전 공식(이항 변환 및 스털링 변환)에 의해 관련되는 시퀀스에 의해 제공되는 보다 잘 알려진 생성 함수 변환의 일부를 스케치하고, 리오르단의 결합론 IDE에 인용된 다양한 유형의 알려진 반전 관계에 대한 여러 표를 제공한다.ntities 책많은 경우, 우리는 두 시퀀스 사이의 반전 관계에 의해 암시되는 해당 기능 방정식을 생략한다(기사의 이 부분은 더 많은 작업을 필요로 한다).

이 섹션은 다음 하위 섹션의 반전 쌍에 의해 관련된 함수 생성 사이에 기능 방정식을 추가할 필요가 있다.For example, by exercise 5.71 of Concrete Mathematics, if ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {n+k}{m+2k}}a_{k}}$, then ${\displaystyle S(z)={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}$$A\left({\frac$ {z$}{(1-z)^{2}}\\$오른쪽$)\}.$ 추가하면 도움이 된다.(2017년 3월)

이항 변환

이항 변환에 대한 암묵적인 아래에 제공된 첫 번째 반전 관계는 아마도 이 절에서 고려할 모든 반전 관계 중 가장 간단한 것일 것이다.임의의 두 시퀀스에 대해${\displaystyle }${$}$ {\$displaystyle \{f_{$n}\}} 및$$${\displaystyle }${$}$ {\$displaystyle$\{$g_{n$ 반전 공식과 관련됨

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n}}{n}^{k}{k}}^{n1}=\long leftrightarrow \long leftrightarrow \f_{n}{k=0}^{n}}}}{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

우리는 이항 변환에 의해 제공되는 이러한 시퀀스의 OGF와 EGF 사이에 기능 방정식을 가지고 있다.

${\displaystyle G(z)={\frac {1}{1-z}F\왼쪽({\frac {-z}{1-z}}\오른쪽)}$

그리고

${\displaystyle {\widehat{G}(z)=e^{z}{\widehat {F}(-z)}$

스털링 변신

모든 시퀀스 쌍에 대해 스털링 숫자 반전 공식과 관련된${\displaystyle }${${\displaystyle {fn}_{}}$} ${\displaystyle \{f_{n}\}$ ${\displaystyle {}_{}}$ { g ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{g_{n$

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-1)^{n-k}g_{k},}$

두 시퀀스 사이의 이러한 반전 관계는 스털링 변환이 다음과 같이 제공한 시퀀스 EGF 사이의 함수 방정식으로 해석된다.

${\displaystyle {\widehat {G}(z)={\widehat {F}\왼쪽(e^{z}-1\오른쪽)}$

그리고

${\displaystyle {\widehat {F}(z)={\widehat {G}\왼쪽(\log(1+z)\오른쪽).}$

리오르단 책의 반전 쌍 표

이 표들은 리오르단의 저서에서 2장과 3장에 나타나 많은 예와 역관계에 대한 소개를 제공하지만, 이러한 역행 관계에 의해 관련되는 시퀀스의 생성 함수 사이의 함수 방정식을 강조하지는 않는다.관심 있는 독자는 원서를 한 부씩 더 자세히 읽도록 권한다.

가장 단순한 역관계의 여러 형태

관계	공식	역 공식	함수 생성(OGF)	함수 생성(EGF)	참고/참고
1	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}b_{k}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{n}(-1)^{n-k}a_{k}}}}}}$	${\displaystyle B(z)={\frac {1}{1-z}}A\왼쪽(-{\frac {z}{1-z}}\오른쪽)}$	${\displaystyle {\widehat{B}(z)=e^{z}{\widehat{A}(-z)}$	이항 변환 참조
2	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p-k}{p-n}b_{k}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p-k}{p-n}(-1)^{n-k}a_{k}}}}}}}$	$\displaystyle \ast }$	$\displaystyle \ast }$
3	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+p}{k+p}b_{k}}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+p}{k+p}(-1)^{n-k}a_{k}}}}}}}$	${\displaystyle B(z)={\frac {1}{{(1+z)^{p+1}}A\왼쪽({\frac {z}{1+z}\오른쪽)}$	$\displaystyle \ast }$
4	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {k+p}{n+p}b_{k}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {k+p}{n+p}(-1)^{n-k}a_{k}}}}}}}$	$\displaystyle \ast }$	$\displaystyle \ast }$
5	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}}{k!}{\binom {n-1}{k-1}b_{k}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}}{k!}}{\binom {n-1}{k-1}(-1)^{n-k}a_{k}}}}}$	$\displaystyle \ast }$	${\displaystyle {\widehat {B}(z)={\widehat{A}\왼쪽({\frac {z}{1+z}\오른쪽)}$
6	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom{n}}^{2}k!b_{n-k}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n}}{\binom{n}}}^{2}(-1)^{k!a_{n-k}}}}}$	$\displaystyle \ast }$	${\displaystyle {\widehat{B}}(z)={\frac {1}{1+z}{\widehat{A}}}{\frac {z}{1+z}\오른쪽)}}$
7	${\displaystyle {\frac {n!a_{n}{{n}{(n+p)!}}}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {k!b_{k}}{(k+p)!}}}$	${\displaystyle {\frac {n!b_{n}{{n}{(n+p)!}}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{{n-k}k!a_{k+p!}}}$	${\displaystyle B(z)={\frac {1}{{(1+z)^{p+1}}A\왼쪽({\frac {z}{1+z}\오른쪽)}$	$\displaystyle \ast }$
8	${\displaystyle s_{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {n+k}{m+2k}a_{k}}}}{k}}}}}$	$\displaystyle \ast }$	${\displaystyle S(z)={\frac {z^{m}{{{(1-z)^{m+1}}}A\왼쪽({\frac {z}{(1-z)^{2}}\\오른쪽)}$	$\displaystyle \ast }$	봐봐[21]
9	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}a^{k}(-c)^{n-k}b_{k}}}}}}}$	$\displaystyle \ast }$	${\displaystyle A(z)={\frac {1}{1+cx}}B\왼쪽({\frac {ax}{1+cx}}\오른쪽)}$	$\displaystyle \ast }$	$x$/(${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle )}$< B${\$ a$,b,c\in \mathb {C}$에 대한 이항 변환 일반화 ($1+cx$ $<\$sigma _{B}).
10	${\displaystyle w_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{n}k^{n}a_{i}}\k\neq 0}$	$\displaystyle \ast }$	$\displaystyle \ast }$	${\displaystyle {\widehat{W}(A,k;z)=e^{kz}{\widehat{A}(kz)}$	$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ - 이항$$ 변환( 참조)
11	${\displaystyle f_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{n}k^{n-i}a_{i}}\k\neq 0}$	$\displaystyle \ast }$	$\displaystyle \ast }$	${\displaystyle {\widehat{F}(A,k;z)=e^{kz}{\widehat{A}(z)}$	하강 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -이항$$ 변환(의 Spivey 기사 참조)
12	${\displaystyle r_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{n}}{i}k^{i}a_{i}}\k\neq 0}$	$\displaystyle \ast }$	$\displaystyle \ast }$	${\displaystyle {\widehat{R}(A,k;z)=e^{z}{\widehat{A}(kz)}$	상승 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -이항$$ 변환(의 Spivey 기사 참조)

굴드계급 역관계

양식의 반전 공식에서$$${\displaystyle {An,}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {\mathrm{Bn},}_{}}$ k ${\$라는 용어

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot(-1)^{n-k}a_{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

굴드 등급의 역관계의 몇 가지 특별한 경우를 구성하는 것이 다음 표에 제시되어 있다.

클래스	${\displaystyle A_{n,k}}$	${\displaystyle B_{n,k}}$
1	${\displaystyle {\binom {p+qk-k}{n-k}}$	${\displaystyle {\binom {p+qn-k}{n-k}-q{n-k}{p+qn-k-1}{n-k-1}}$
2	${\displaystyle {\binom {p+qk-k}{n-k}{n-k}}+q{\binom {p+qk-k}{n-1-k}}}}$	${\displaystyle {\binom {p+qn-k}{n-k}}$
3	${\displaystyle {\binom {p+qn-n}{k-n}}$	${\displaystyle {\binom {p+qk-n}{k-n}-q{\binom {p+qk-n-1}{k-n-1}}$
4	${\displaystyle {\binom {p+qn-n-n}{k-n}+q{\binom {p+qn-n}{k-1-n}}}$	${\displaystyle {\binom {p+qk-n}{k-n}}$

클래스 1과 2의 경우, 합계의 범위는 $k{\displaystyle }$∈${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ k$\in [0,n]}$을 만족하며$,$ 클래스 3과 4의 경우 합계의 한계는 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle k=n,n+1,\ldots }$으로 주어진다$.$ 이러한 용어들은 ID에 의해 표의 원래 형태로부터 다소 단순화되기도 한다.

${\displaystyle {\binom {p+qn-k}{n-k}-q\p}{n-k-1}{n-k-1}={\p+qk-k}{p+qn-k}{n-k}}}}}}}}$

${\displaystyle {\binom {p+qk-k}{n-k}{n-k}}{n-k}{n-k}}={\binom {p+qk-k-k}{n-k}}}}.}$

더 단순한 체비셰프 역관계

아래 하위섹션에서 역관계의 체비셰프 등급의 더 단순한 사례가 다음 표에 제시되어 있다.

관계	${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대한 공식	$b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대한 역 공식
1	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{binom {n}{k}b_{n-2k}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n-k}{k}{k}}+{n-k-1}{k-1}\right](-1)^{k}a_{n-2k}}}}}$
2	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n}-{k}-{n}-{n}{k-1}\right]b_{n-2}}:$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n-k}{k}(-1)^{k}a_{n-2k}}}}$
3	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{k}{k}b_{n+2k}}}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+k}{k}}{k}+{k}}+{n+k-1}{n+1}{k-1}}(-1)^{k}a_{n+2k}}}}}}}$
4	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}\왼쪽[{\binom {n+2k}{k}-{\binom {n+2k}{k-1}\right]b_{n+2k}}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{k}(-1)^{k}a_{n+2k}}}}}}$
5	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n-k}{k}b_{n-k}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\왼쪽[{\binom {n+k-1}{k}-{k}-{n+k-1}-{n+k-1}{k-1}(-1)^{k}a_{n-k}}}}$
6	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}\왼쪽[{\binom {n+1-k}{k}}}}+{\binom {n-k}{k-1}\right]b_{n-k}}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+k}{k}(-1)^{k}a_{n-k}}}$
7	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}b_{n+ck}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+ck+k}}}{{k}}{\frac{n(-1)^{k}{n+ck+k}a_{n+ck}}}}{n+ck}}}$

표의 공식은 다음과 같은 정체성에 의해 다소 단순화된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\binom{n-k}{k}}+{\binom{n-k-1}{k-1}}&={\frac{n}{n-k}}{\binom{n-k}{k}}\\{\binom{n}{k}}-{\binom{n}{k-1}}&={\frac{n+1-k}{n+1-2k}}{\binom{n}{k}}\\{\binom{n+2k}{k}}-{\binom{n+2k}{k-1}}&={\frac{n+1}{n+1+k}}{\binom{n+2k}{k}}\\{\binom{n+k-1}{k}}-{\binom{n+k-1}{k-1}}&={\frac{n-k}{n+k}}{\binom{n.+k}{k}}.\end{정렬}}}$

또한 표에 제시된 반전 관계는 특정 관계에서$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⟼n}$+ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\longmapsto$ n$+p}$일 때도 유지된다.

체비셰프 계급 역관계

양식의 반전 공식에서$$${\displaystyle {An,}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {\mathrm{Bn},}_{}}$ k ${\$라는 용어

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n+ck}\quad \long leftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}^{n+ck}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

체비셰프 반역 관계의 몇 가지 특별한 경우를 구성하는$$ 0이 아닌 정수 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$의 경우 다음 표에 제시되어 있다.

클래스	${\displaystyle A_{n,k}}$	${\displaystyle B_{n,k}}$
1	${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$	${\displaystyle {\binom {n+ck+k}}}{k}-(c+1){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}$
2	${\displaystyle {\binom {n}{k}+(c+1){\binom {n}{k-1}}$	${\displaystyle {\binom {n+ck+k}}{k}}}$
3	${\displaystyle {\binom {n+ck}{k}}}$	${\displaystyle {\binom {n-1+k}{k}{k}{k}}{k-1}}}$
4	${\displaystyle {\binom {n+ck}{k-}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}$	${\displaystyle {\binom {n+k}{k}}}$

Additionally, these inversion relations also hold when ${\displaystyle n\longmapsto n+p}$ for some ${\displaystyle p=0,1,2,\ldots ,}$ or when the sign factor of ${\displaystyle (-1)^{k}}$ is shifted from the terms ${\displaystyle B_{n,k}}$ to the terms ${\displaystyle A_{n,k}}$${\displaystyle A_{n,k$ 앞의 표에 제시된 공식은 ID에 의해 다소 단순화된다.

${\displaystyle {\binom {n+ck+k}{\binom {n+ck+k}}}{k}-(c+1){\binom {n+ck+k-1}{k-1}{n-1}={\frac {n}{n+ck+k}}{\binom {n+c+k+k}}{\binom {n+c+k+k}}{k}}\\{\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1+ck}{n+1-k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n-1+k}{k}}+c{\binom {n-1+k}{k-1}}&={\frac {n+ck}{n}}{\binom {n-1+k}{k}}\\{\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+ck-k}}{\binom {n+ck}{k}}.\end{정렬}}}$

더 단순한 레전드르 역관계

관계	${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대한 공식	$b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대한 역 공식
1	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+p+k}{n-k}b_{k}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {2n+p}{n-k}-{n-k-1}\right](-1)^{n-k}a_{k}}}}}{k}}}}}}$
2	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{binom {2n+p}{n-k}b_{k}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\왼쪽[{\binom {n+p+k}{n-k}-{n-k}-{n+p-1}-{n+p-1}{n-k-1}}{n-k-1}(-1)^{n-k}a_{k}}}}}}}}}}}}}$
3	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k\geq n}{\binom {n+p+k}{k-n}b_{k}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k\geqn}\왼쪽[{\binom {2k+p}{k-n}-{k+p}-{2k+p}{k-n-1}\right](-1)^{n-k}a_{k}}}}}}}}{k}}}}}}}}}}}}}}}}}$
4	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k\geq n}{\binom {2k+p}{k-n}b_{k}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k\geq n}\왼쪽[{\binom {n+p+k}{k-n}-{k-n}-{n+p+k-1}{k-n-1}}{n-k-k-1}(-1)^{n-k}a_{k}}}}}}}}}$
5	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{binom {2n+p}{k}{k}b_{n-2}}:$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\왼쪽[{\binom {2n+p-3k}{k}}}}}}{k-1}{n+p-3k-1}{k-1}}{k-1}(-1)^{k}a_{n-2}}:$
6	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}\왼쪽[{\binom {2n+p}{k}}-3{\binom {2n+p}{k-1}\right]b_{n-2}}:$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{binom {2n+p-3k}{k}}{k}(-1)^{k}a_{n-2k}}}}$
7	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}{\binom {3n}{k}b_{n-2k}}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}}\왼쪽[{\binom {3n-5k}{k}}}}}}}+5{k}{3n-5k-1}{k-1}\binom {3n-5k-1}{k-1}(-1)^{k}a_{n-2}}:}$
8	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{[n/3]}{\binom {2n}{k}b_{n-3k}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{[n/3]}}\왼쪽[{\binom {2n-5k}{k}}}}}+5{k}{n-5k-5}}{k-1}}{k-1}(-1)^{k}a_{n-3k}}}}}$

레전드레-체비셰프 역관계 등급

역관계의 레전드레-체비셰프 등급은 형태의 반전 관계에 해당한다.

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot(-1)^{n-k}a_{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {용어}_{}}$는 A${\displaystyle n_{}}$,$$k {\$displaystyle A_{n$$,$k} ${\displaystyle {및}_{}}$ $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {n,}_{}}$ k$${\$displaystyle B_{n,$k$\},$ 어떤 고정된 0이 아닌 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle fixed\mathbb{}}$Z ${\$에 암묵적으로 의존한다$.$ 일반적으로 형식의 역쌍이 주어진다.

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n-ck}\quad \long leftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}^{k}a_{n-ck}}}}}}}}}}}}}.$

if ${\displaystyle c}$ a prime, the substitution of ${\displaystyle n\longmapsto cn+p}$, ${\displaystyle a_{cn+p}\longmapsto A_{n}}$, and ${\displaystyle b_{cn+p}\longmapsto B_{n}}$ (possibly replacing ${\displaystyle k\longmapsto n-k}$) leads to a레전드르-체비셰프 양식^[23] 쌍

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{cn+p,k}B_{n-k}\quad \long leftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{cn+p,k(1)^{k}A_{n-k-k}.}$

마찬가지로 양의 정수 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=d}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle c:=de}$이(가$$) 복합적인 경우 폼의 반전 쌍을 도출할 수 있다.

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{dn+p,k}B_{n-ek}\quad \long leftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{dn+p,k(1)^{n-ek}.}$

다음 표에는 0이 아닌 $정수{\displaystyle }$ c ${\displaystyle c}$에 대한 범례-체비셰프 역관계의 몇 가지 일반화된 클래스가 요약되어 있다$.$

클래스	${\displaystyle A_{n,k}}$	${\displaystyle B_{n,k}}$
1	${\displaystyle {\binom{n-k}}$	${\displaystyle {\binom {n+p-1+ck-k}{n-k}{n-k}}{n-k-1}{n-k-1}$
2	${\displaystyle {\binom {cn+p}{k-n}}$	${\displaystyle {\binom {ck+k+p-n-1}{k-n}-c{\binom {ck+k+p-1}{k-n-1}$
3	${\displaystyle {\binom {ck+p}{n-p}}$	${\displaystyle {\binom {n+n+p-k-1}{n-k}-c{n-k}{n-k-1}{n-k-1}$
4	${\displaystyle {\binom {ck+p}{k-n}}$	${\displaystyle {\binom {n-n+p+k-1}{k-n}+c{\binom {n-n+p+k-1}{k-n-1}$
5	${\displaystyle {\binom {pin+p}{n-k-}-(c-1){\binom {pin+p}{n-k-1}}$	${\displaystyle {\binom {n+p+ck-k}{n-k}}}$
6	${\displaystyle {\binom {pin+p}{k-n}+(c+1){\binom {pin+p}{k-n-1}}$	${\displaystyle {\binom {ck+k+p-n}{k-n}}$
7	${\displaystyle {\binom {ck+p}{n-k}+(c+1){\binom {ck+p}{n-k-1}}$	${\displaystyle {\binom { {+n+p-k}{n-k}}}$
8	${\displaystyle {\binom {ck+p}{k-n1}-(c-1){\binom {ck+p}{k-n-1}}$	${\displaystyle {\binom {n-n+p+k}{k-n}}$

아벨 역관계

아벨 역관계는 형태의 아벨 역쌍에 해당한다.

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}}}A_{nk}b_{k}\quad \long leftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n}{n}}{binom {n}{n}{n}}(-1)^{n-k}a_{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 A ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ 및$$ $B{\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle k_{}}$ ${\$라는$$용어는 일부 불확실한 합계 $매개변수{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에 따라 암시적으로 달라질 수 있다$.$이러한 관계는${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$) ${\displaystyle ⟼}$ ${\displaystyle (n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$+ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{k}}$ + $){\${\$binom {n}{k}}\longmapsto${\$binom{n+p}{k+p}}}$의 이항계수 대체가 일부$$ 음이 아닌 정수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$p}에 대해 수행되는 경우에도 유지된다$.$다음 표에는 이러한 아벨 역관계의 몇 가지 주목할 만한 형태가 요약되어 있다.

숫자	${\displaystyle A_{n,k}}$	${\displaystyle B_{n,k}}$	함수 ID 생성 중
1	${\displaystyle x(x+n-k)^{n-k-1}$	${\displaystyle x(x-n+k)^{n-k-1}$	$\displaystyle \ast }$
2	${\displaystyle(x+n-k)^{n-k}}}$	${\displaystyle (x^{2}-n+k)(x-n+k)^{n-k-2}}$	$\displaystyle \ast }$
3	${\displaystyle (x+k)^{n-k}}$	${\displaystyle (x+k)(x+n)^{n-k-1}$	$\displaystyle \ast }$
3a	${\displaystyle (x+n)(x+k)^{n-k-1}$	${\displaystyle (x+n)^{n-k}}$	$\displaystyle \ast }$
4	${\displaystyle(x+2n)(x+n+k)^{n-k-1}$	${\displaystyle(x+2n)(x+n+k)^{n-k-1}$	$\displaystyle \ast }$
4a	${\displaystyle(x+2k)(x+n+k)^{n-k-1}$	${\displaystyle(x+2k)(x+n+k)^{n-k-1}$	$\displaystyle \ast }$
5	${\displaystyle (n+k)^{n-k}}$	${\displaystyle \left[n+k(4n-1)\right](n+k)^{n-k-2}}$	$\displaystyle \ast }$

일반 생성함수에서 파생된 역관계

만약 우리가 convolved Fibonacci 수, $f{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$(${\displaystyle {}_{}^{}}$± $){\$ p$)}}}}}}}$에 의해 정의된다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}^{(p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p+n-j-1}{n-j}}{\binom {n-j}{j}}\\f_{n}^{(-p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p}{n+j}}{\binom {n-j}{j}}(-1)^{n-j},\end{aligned}}}$

우리는 리오르단 책의 3.3절과 같이 증명된 일반적인 시퀀스 생성 함수의 속성에서 얻은 다음 역관계 표를 가지고 있다.

관계	${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대한 공식	$b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대한 역 공식
1	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p+k}{k}b_{n-k}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p+1}{k}(-1)^{k}a_{n-k}}}$
2	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {p+k}{k}{n-qk}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {p+1}{k}(-1)^{k}a_{n-qk}}}}$
3	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}f_{k}^{(p)b_{n-k}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}f_{k}^{(-p)a_{n-k}}}}$
4	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}b_{n-k}}}$	${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\frac {a_{n-k}}{(1~2k)}}}}$
5	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\frac {b_{n-k}}{(k+1)}}}}$	${\displaystyle b_{n}=a_{n}-\sum _{k=1}^{n}{\binom {2k}{k}}{\frac {a_{n-k}}{k}}}}}}}}$
6	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n}{p+k}{p+k}{p+k}}{\binom {2p}{p}}}}{p}}}}^{-1}b_{n-k}}}}}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{{n}}{2k}{2k}{\binom {p+k}{2k}}}}{\binom {p+k}}^{-1}(-1)^{n-k}a_{n-k}}}}}}}:{n-k}}}}}}}}}}$
7	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{4k}{2k}{n-2}}:$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{4k}{2k}{2k}}{\frac {(8k+1)a_{n-2k}{(2k+1)}}}}}$
8	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {4k+2}{2k+1}b_{n-2}}:$	${\displaystyle b_{n}={\frac {a_{n}}{2}}-\sum _{k\geq-1}{4k-1}{2k-1}{\frac {(8k-3)a_{n-2k-3)}{2k(4k-3)}}}}}}}}}}}$
9	${\displaystyle a_{n}={\binom {4k}{2k}}{\frac {b_{n-2k}}{(1-4k)}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{4k}{2k}}{\frac {a_{n-2k}}{{k+1)}}}}}}$

Note that relations 3, 4, 5, and 6 in the table may be transformed according to the substitutions ${\displaystyle a_{n-k}\longmapsto a_{n-qk}}$ and ${\displaystyle b_{n-k}\longmapsto b_{n-qk}}$ for some fixed non-zero integer ${\displaystyle q\geq 1}$.

지수 생성함수에서 도출된 역관계

Let ${\displaystyle B_{n}}$ and ${\displaystyle E_{n}}$ denote the Bernoulli numbers and Euler numbers, respectively, and suppose that the sequences, ${\displaystyle \{d_{2n}\}}$, ${\displaystyle \{e_{2n}\}}$, and ${\displaystyle \{f_{2n}\}}$ are defined by the다음 지수 생성 함수:^[24]

${\displaystyle {\reged}\sum _{n\geq 0}{\frac {d_{2n}z^{2n}}}{{n}}}}{{n}}}}{{n)!}}}={\frac {2z}{e^{e^-e^{-z}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {e_{2n}z^{2n}}}{n}}}{n(2n)!}}}&={\frac{z^{2}}:{e^{z}+e^{-z}-2}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{2n}z^{2n}}}{n){{n(2n)!}}}&={\frac{z^{3}}{3}{3(e^{z}-e^{-z}-2z)}}}}}.\end{정렬}}}$

다음 표에는 리오르단 책의 3.4절의 지수 생성 함수에서 얻은 몇 가지 주목할 만한 반전 관계 사례가 요약되어 있다.^[25]

관계	${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대한 공식	$b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대한 역 공식
1	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {b_{k}}}{(k+1)}}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{k}a_{n-k}}}}$
2	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+k}{k}}{\frac {b_{n+k}}{(k+1)}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{binom {n+k}{k}{k}B_{k}a_{n+k}}}}}}}$
3	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{binom {n}{2k}b_{n-2k}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}}E_{2k}a_{n-2k}}}$
4	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{2k}{2k}{{n+2k}}}}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{2k}}{2k}}}}E_{2k}a_{n+2k}}}$
5	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{n}{n}{2k}}{\frac {b_{n-2k}}}{{{k+1}}}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{binom {n}{2k}d_{2k}a_{n-2}}:$
6	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+1}{2k+1}b_{n-2}}:$	${\displaystyle (n+1)\cdot b_{n}=\sum _{k}{\binom{n+1}{2k}d_{2k}a_{n-2}}:$
7	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{n}{{n}{2k+2}}:{\binom {2k+2}}^{-1}b_{n-2k}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{binom {n}{2k}e_{2k}a_{n-2}}:$
8	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2}{2k+2}}b_{n-2k}}}}$	${\displaystyle {\binom {n+2}{2}}:\cdot b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2}{2k}e_{2k}a_{n-2k}}}}}}}}}$
9	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{n}{{n}{2k+3}{3}}}}{\binom{-1}b_{n-2k}}}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{binom {n}{2k}f_{2k}a_{n-2}}:$
10	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{n+3}{2k+3}{n-2}}:$	${\displaystyle {\binom {n+3}{3}}}}\cdot b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+3}{2k}f_{2k}a_{n-2k}}}}}}}$

다항상체

앞 항에서 인용한 이항 변환을 형성하는 데 사용된 역관계는 두 지수의 순서에 대한 해당 2-지수 역관계와 리오르단의 이항계수를 $포함$하는 j${\displaystyle 3}$ 3$[\displaystyle j\geq$3} 지수의$$ 순서에 대한 다항 반전 공식으로 일반화된다.^[26]특히 우리는 다음과 같이 주어지는 2-지수 역관계의 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle a_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}b_{jk}\quad \longleftrightarrow \quad b_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}a_{jk},}$

그리고 다항식 쌍의 보다 일반적인 형태의 반전 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle a_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}b_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}a_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}.}$

메모들

참조

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