고급 z 변환기

수학 및 신호 처리에서, 고급 z-변환기는 z-변환기의 연장선으로, 샘플링 시간의 배수가 아닌 이상적인 지연을 통합한다. 그것은 형식을 취한다.

${\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infit }f(kT+m)z^{-k}}}$

어디에

• T는 샘플링 기간이다.
• m("지연 매개변수")은 샘플링 주기${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathrm{T}}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle [0,T]$의 일부분이다.$}$

변형된 z-변환이라고도 한다.

첨단 z-변환기는 디지털 제어에서 처리 지연을 정확하게 모델링하기 위해 광범위하게 적용된다.

특성.

지연 매개변수 m이 고정된 것으로 간주되면 z 변환의 모든 특성이 고급 z 변환에 대해 유지된다.

선형성

${\displaystyle {\mathcal {Z}\왼쪽\{\sum _{k=1}^{n1}c_{k}f_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}}F_{k}(z,m).}$

타임 시프트

${\displaystyle {\mathcal {Z}\좌측\{u(t-nT)f(t-nT)\우측\}=z^{-n}F(z,m)}$

댐핑

${\displaystyle {\mathcal {Z}\왼쪽\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m)}$

시간 곱하기

${\displaystyle {\mathcal {Z}\좌측\{t^{y}f(t)\우측\}=\좌측(-Tz{\frac{d}{dz}}+m\우측)^{y}F(z,m).}$

최종값 정리

${\displaystyle \lim _{k\to \infit }f(kT+m)=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1}m)F(z,m).}$

예

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (\Omega }$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f(t)=\cos(\omega t)}$인 경우 다음 예를 고려해 보십시오$.$

${\displaystyle{\begin{정렬}(z,m)&, ={{Z\mathcal}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\&, ={{Z\mathcal}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(m\omega)-\sin(\omega kT)\sin(m\omega)\right\}\\&, =\cos(m\omega){{Z\mathcal}}\left\ᆸ-\sin(m\omega){{Z\mathcal}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\&, =\cos(\o.메가 m){\frac{z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\\&={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}.\end{정렬}}}$

$m{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle m=0}$이면 $F{\displaystyle (z}$ ,${\displaystyle m}$ )${\displaystyle F(z,m)}$이(가) 변환으로 감소함$$

${\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1},}$

그것은 분명히 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f(t)}$의 z-discuit일 뿐이다$.$

참조

• Eliahu Ibraham Jury, 이론과 적용, z-Transform Method, Krieger Pub Co, 1973. ISBN0-88275-122-0.