과소표본

그림 1: 상위 2개 그래프는 특정 비율로 표본 추출했을 때 동일한 결과를 생성하는 두 가지 다른 함수의 푸리에 변환을 보여준다. 베이스밴드 함수는 나이키스트 속도보다 빠르게 샘플링되고, 밴드패스 함수는 과소 샘플링되어 효과적으로 베이스밴드로 변환된다. 아래 그래프는 샘플링 프로세스의 별칭에 의해 동일한 스펙트럼 결과가 어떻게 생성되는지를 나타낸다.

폭 1의 밴드에 대한 샘플링 속도(y축) 대 상한 에지 주파수(x축)의 그림, 그래이 영역은 밴드 별칭에서 동일한 주파수에 대한 두 주파수가 없다는 점에서 "허용"된 조합이다. 어두운 회색 영역은 이 조의 방정식에서 최대 n의 값으로 과소표본에 해당한다.

신호 처리에서 과소 샘플링 또는 밴드패스 샘플링은 Nyquist 속도(상단 컷오프 주파수의 2배) 이하의 샘플링 속도로 밴드패스 필터링 신호를 샘플링하는 기술이지만 여전히 신호를 재구성할 수 있다.

대역 통과 신호를 강조하면 고주파 신호의 저주파 별칭 샘플과 구별할 수 없다. 이러한 샘플링은 또한 밴드패스 샘플링, 고조파 샘플링, IF 샘플링 및 IF-디지털 변환이라고도 한다.^[1]

설명

실제값 함수의 푸리에 변환은 0Hz 축을 중심으로 대칭이다. 표본 추출 후 푸리에 변환(이산 시간 푸리에 변환이라고 함)의 주기적인 합계만 여전히 사용할 수 있다. 원래 변환의 개별 주파수 변환 복사본을 별칭이라고 한다. 인접 별칭 사이의 주파수 오프셋은 f로_s 표시된 샘플링 속도다. 별칭이 상호 배타적일 때(예측적으로), 원래의 변환과 원래의 연속 함수 또는 그것의 주파수 변환 버전(원하는 경우)을 샘플에서 복구할 수 있다. 그림 1의 첫 번째와 세 번째 그래프는 별칭을 완전히 분리하는 비율로 샘플링되기 전과 후의 베이스밴드 스펙트럼을 나타낸다.

그림 1의 두 번째 그래프는 밴드(A, A+B)(파란색)를 점유하고 있는 밴드패스 기능의 주파수 프로파일과 그 미러 이미지(쉐이딩 베이지)를 나타낸다. 비파괴 샘플링 속도의 조건은 f의_s 모든 정수 배수로 이동할 때 두 밴드의 별칭이 겹치지 않는다는 것이다. 네 번째 그래프는 베이스밴드 함수와 동일한 속도로 샘플링한 스펙트럼 결과를 나타낸다. 이 비율은 A의 정수 하위배수인 가장 낮은 비율을 찾아 선택했으며 베이스밴드 나이키스트 기준_s f > 2B도 만족시켰다. 결과적으로, 밴드패스 기능은 베이스밴드로 효과적으로 전환되었다. 중복을 피하는 다른 모든 요율은 A와 A+B가 각각 f와_L f로_H 대체되는 보다 일반적인 기준에 의해 제시된다.^[2]^[3]

{\

H}{n}}\leq f_{s}\leq {2f_{L}}{n-1

}},

1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor

하는 정수 n은 1

1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor

1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor

1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor

1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor

- f

1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor

1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor

{\

n

\lprefloor {\frclac {f_{

n1

{\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}

H}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor }

조건이 충족되는 가장 높은 n은 가능한 가장 낮은 샘플링 속도로 이어진다.

이러한 종류의 중요한 신호는 라디오의 중간 주파수(IF), 무선 주파수(RF) 신호 및 필터 뱅크의 개별 채널을 포함한다.

n > 1인 경우, 그 조건은 때때로 과소 샘플링, 밴드패스 샘플링 또는 나이키스트 비율(2f_H)보다 적은 샘플링 속도를 사용하기도 한다. 주어진 샘플링 주파수의 경우 신호의 스펙트럼 대역의 제약 조건에 대한 간단한 공식은 다음과 같다.

44 MHz(n = 5) 샘플링 시 FM 라디오 대역(88–108 MHz)의 스펙트럼 및 베이스밴드 별칭. FM 라디오 대역에 상당히 밀착된 안티앨리어스 필터가 필요하며, 87.9와 같은 인근 확장 채널에 앨리어싱 없이 방송할 수 있는 공간이 없다.

56MHz(n = 4) 샘플링에 따른 FM 라디오 밴드(88–108MHz)의 스펙트럼과 베이스밴드 별칭으로 대역 통과 안티앨리어싱 필터 전환 대역을 위한 충분한 공간을 보여준다. 베이스밴드 이미지는 이 경우(짝수 n) 주파수가 역전된다.

예: FM 라디오를 통해 과소표현 아이디어를 설명하십시오.

미국에서는 FM라디오가 f_L = 88MHz ~ f_H = 108MHz의 주파수 대역에서 동작한다. 대역폭 제공:

W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrmat {MHz} -88\ \mathrm {MHz} = 20\ \mathrmatrm {MHz}}}

샘플링 조건은 다음에 대해 충족된다.

\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor =\lfloor =\lfloor {108\\\lfloor}\mathrm {MHz}\over 20\ \mathrmatrm {MHz}}\right\rfloor }

따라서 n은 1, 2, 3, 4, 5가 될 수 있다.

n = 5 값은 가장 낮은 샘플링 주파수 간격

43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}

2

43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}

43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}

z

43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}

< f

43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}

<

43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}

M

43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}

43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}

>

{\

을(를) 제공하며, 이는

43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}

과소 샘플링 시나리오다. 이 경우 신호 스펙트럼은 샘플링 속도의 2~2.5배(86.4~88MHz보다 높지만 108~110MHz보다 낮음)에 적합하다.

n 값이 낮으면 유용한 샘플링 속도도 얻을 수 있다. 예를 들어, n = 4를 사용하여 FM 대역 스펙트럼은 56 MHz에 가까운 샘플링 속도(Nyquist 주파수의 배수는 28, 56, 84, 112 등)에 대해 샘플링 속도의 1.5배와 2.0배 사이에 쉽게 들어맞는다. 오른쪽의 삽화를 보십시오.

실제 신호를 과대표현할 때, 샘플링 회로는 관심의 가장 높은 신호 주파수를 캡처할 수 있을 만큼 충분히 빨라야 한다. 이론적으로 각 표본은 극히 짧은 간격으로 채취해야 하지만 이는 현실적으로 불가능하다. 대신 신호의 샘플링은 주파수가 가장 높은 신호의 순간 값을 나타낼 수 있을 정도로 짧은 간격으로 이루어져야 한다. 이는 위의 FM 라디오 예에서 샘플링 회로가 43.2 MHz가 아닌 108 MHz의 주파수로 신호를 캡처할 수 있어야 함을 의미한다. 따라서 샘플링 주파수는 43.2 MHz보다 약간 클 수 있지만 시스템의 입력 대역폭은 108 MHz 이상이어야 한다. 마찬가지로 샘플링 타이밍의 정확도 또는 샘플러의 조리개 불확실성, 즉 아날로그-디지털 변환기가 낮은 샘플링 속도가 아닌 108MHz를 샘플링하는 주파수에 적합해야 한다.

샘플링 정리가 가장 높은 주파수의 2배를 요구하는 것으로 해석될 경우, 필요한 샘플링 속도는 나이키스트 속도 216 MHz보다 큰 것으로 가정할 것이다. 이것이 샘플링 속도의 마지막 조건을 만족시키기는 하지만, 그것은 엄청나게 과대 샘플링된다.

밴드를 n > 1로 샘플링할 경우 저역 통과 필터 대신 안티앨리어싱 필터에 대한 대역 통과 필터가 필요하다는 점에 유의하십시오.

앞서 살펴본 바와 같이, 가역 샘플링에 대한 일반적인 베이스밴드 조건은 X(f) = 간격 바깥에 0, ( $\scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),$ - 1 $\scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),$ $\scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),$ , $\scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),$ $\scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),$ $\scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),$ ) , ${\$ 2}} $f_{$ 1}, ${mathrm}{1},{2}}f_{mathrmatrmiss}}}{s}}}}}}}}}} 오른쪽$ )이다 $.$

재구성 보간 기능 또는 저역 통과 필터 임펄스 응답은 $\scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).$ $\scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).$ ( $\scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).$ / $\scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).$ ) $\scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).$ . ${\$ \script $style \operatorname {sinc} \left(t/T\right$ ) 입니다 $.$ $}$

과소표현을 수용하기 위해 밴드패스 조건은 X(f) = 개방된 양의 주파수 대역과 음의 주파수 대역의 결합 바깥에서 0인 것이다.

\left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)

for some positive integer

n\,

.

여기에는 대소문자 n = 1과 같은 일반적인 베이스밴드 조건이 포함된다(간격이 0 주파수에서 결합되는 경우는 제외한다, 그것들은 닫힐 수 있다).

해당 보간 기능은 다음과 같은 저역 통과 임펄스 반응의 차이에 의해 주어지는 대역 통과 필터다.

{\

T}}\오른쪽)-(n-1)\운영자 이름 {sinc} \왼쪽({\frac {(n-1)t}{

T}\오른쪽

반면에 재구성은 IF 또는 RF 신호 샘플링을 사용하는 것이 보통 목표는 아니다. 오히려 샘플 시퀀스는 신호 주파수가 근 베이스밴드로 변환된 일반적인 샘플로 취급할 수 있으며, 디지털 디모데이션은 n이 짝수일 때 주파수 미러링을 인식하여 그 기반으로 진행할 수 있다.

다중 대역을 가진 신호의 경우 과소표현을 더 일반화할 수 있으며, 다차원 영역(공간 또는 공간 시간)을 통한 신호는 Igor Kluvanek에 의해 상세하게 작성되었다.

참고 항목

이슬비(이미지 처리)

참조

^ Walt Kester (2003). Mixed-signal and DSP design techniques. Newnes. p. 20. ISBN 978-0-7506-7611-3.
^ Hiroshi Harada, Ramjee Prasad (2002). Simulation and Software Radio for Mobile Communications. Artech House. ISBN 1-58053-044-3.
^ Angelo Ricotta. "Undersampling SODAR Signals".

[1] Walt Kester (2003). Mixed-signal and DSP design techniques. Newnes. p. 20. ISBN 978-0-7506-7611-3.

[2] Hiroshi Harada, Ramjee Prasad (2002). Simulation and Software Radio for Mobile Communications. Artech House. ISBN 1-58053-044-3.

[3] Angelo Ricotta. "Undersampling SODAR Signals".

[1]

[2]

[3]

v t 디지털 신호 처리
이론	검출이론 이산 신호 추정 이론 니키스트-샤논 샘플링 정리
하위 필드	오디오 신호 처리 디지털 이미지 처리 음성 처리 통계 신호 처리
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