극-제로 플롯

수학, 신호 처리 및 제어 이론에서 극-제로 플롯은 복잡한 평면에서 합리적인 전달 함수를 그래픽으로 표현한 것으로, 다음과 같은 시스템의 특정 특성을 전달하는 데 도움이 된다.

극 영도 표시는 제어기, 보상기, 센서, 이퀄라이저, 필터 또는 통신 채널과 같은 동적 시스템의 전송 기능의 극과 0의 복잡한 평면에서의 위치를 나타낸다. 관례에 따라, 시스템의 극은 X로 표시되고, 0은 원 또는 O로 표시된다.

극 영점도는 연속 시간(CT) 또는 이산 시간(DT) 시스템을 나타낼 수 있다. CT 시스템의 경우 극과 0이 나타나는 평면은 라플라스 변환의 s 평면이다. 이 맥락에서 파라미터 s는 CT 전송 기능의 영역인 복잡한 각도 주파수를 나타낸다. DT 시스템의 경우 평면은 z 평면이며 여기서 z는 Z 변환의 도메인을 나타낸다.

연속시간제

일반적으로 연속 시간 LTI 시스템의 합리적인 전송 함수는 다음과 같은 형태를 가진다.

H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m}} \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N}}}

어디에

$B$ $B$ 및 A $B$ $A$ 은 $A$ s ${\$ displaystyle $s$ 의 다항식이다.
$M$ $M$ 은 $M$ (는) 분자 다항식의 순서,
$b_{m}$ $b_{m}$ ${\$ 은 $b_{m}$ (는) 분자 다항식의 m-th 계수,
$N$ $N$ 은 $N$ (는) 분모 다항식의 순서이며
$a_{n}$ n ${\$ 는 분모 다항식의 n번째 계수다 $a_{n}$ .

M 또는 N 또는 둘 다 0일 수 있지만, 실제 시스템에서는 $M\leq N$ $M\leq N$ $M\leq N$ $M\leq N$ 의 경우여야 한다 $M\leq N$ 그렇지 않으면 높은 주파수에서 이득이 제한되지 않을 것이다.

극과 영

시스템의 0은 분자 다항식의 루트임:

 $s=\{\beta _{m}|m\in 1,\ldots M\}$  $B(s)|_{s=\beta _{m}}=0$  $s=\{\beta _{m}|m\in 1,\ldots M\}$ = { $s=\{\beta _{m}|m\in 1,\ldots M\}$   $s=\{\beta _{m}|m\in 1,\ldots M\}$   $s=\{\beta _{m}|m\in 1,\ldots M\}$  1 $s=\{\beta _{m}|m\in 1,\ldots M\}$ , $s=\{\beta _{m}|m\in 1,\ldots M\}$ …  $s=\{\beta _{m}|m\in 1,\ldots M\}$   $s=\{\beta _{m}|m\in 1,\ldots M\}$   ${\displaystyle$  s $=\{\beta _{m}m\in$  1 $,\ldots$  M $\}},$  B $s=\{\beta _{m}|m\in 1,\ldots M\}$ ( s ) $B(s)|_{s=\beta _{m}}=0$   $B(s)|_{s=\beta _{m}}=0$ =  $B(s)|_{s=\beta _{m}}=0$   ${\displaystyle$ B $(s) _{s=\m=0}$

시스템의 극은 분모 다항식의 뿌리:

 $s=\{\alpha _{n}|n\in 1,\ldots N\}$  $A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0$  $s=\{\alpha _{n}|n\in 1,\ldots N\}$ = { $s=\{\alpha _{n}|n\in 1,\ldots N\}$   $s=\{\alpha _{n}|n\in 1,\ldots N\}$  1 $s=\{\alpha _{n}|n\in 1,\ldots N\}$ , $s=\{\alpha _{n}|n\in 1,\ldots N\}$ …  $s=\{\alpha _{n}|n\in 1,\ldots N\}$   $s=\{\alpha _{n}|n\in 1,\ldots N\}$   ${\displaystyle$  s $=\{\alpha _{n}n\in$  1,\ $ldots$  N $\}},$  A $s=\{\alpha _{n}|n\in 1,\ldots N\}$  $A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0$   $s$ ) $A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0$ = $A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0$ =  $A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0$   ${\displaystyle$  A = $_{s=\n}=0}.$

수렴영역

주어진 CT 전송 기능에 대한 수렴 영역(ROC)은 반평면 또는 수직 스트립이며, 둘 중 하나에 극이 없다. 일반적으로 ROC는 고유하지 않으며, 어떤 경우든 특정 ROC는 시스템이 인과인지 반관심인지에 따라 달라진다.

ROC에 가상 축이 포함된 경우 시스템은 BIBO(Bounded-input) 안정적이다.
ROC가 가장 큰 실제 부품을 가진 극에서 오른쪽으로 확장되는 경우(그러나 무한대는 아님), 시스템은 인과적이다.
ROC가 가장 작은 실제 부품을 가진 극에서 왼쪽으로 확장되는 경우(그러나 음의 무한대는 아님), 시스템은 반독성이다.

ROC는 대부분의 실제 시스템이 BIBO 안정성을 갖는 것이 중요하기 때문에 일반적으로 상상 축을 포함하도록 선택된다.

예

H(s)={25 \over s^{2}+6s+25}

이 시스템에는 0(마인드)이 없고 두 개의 극이 있다.

s=\filename _{1}=-3+4j

그리고

s=\filename _{2}=-3-4j

극 영점 플롯은 다음과 같다.

이 두 극은 시스템을 나타내는 미분 방정식에 실제 값 계수를 갖기 위해 필요하고 충분한 조건인 복합 결합체라는 점에 유의하십시오.

이산 시간 시스템

일반적으로 이산 시간 LTI 시스템의 합리적인 전송 함수는 다음과 같은 형태를 가진다.

H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^{-m}}}{1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N}}}

어디에

$M$ $M$ 은 $M$ (는) 분자 다항식의 순서,
$b_{m}$ $b_{m}$ ${\$ 은 $b_{m}$ (는) 분자 다항식의 m-th 계수,
$N$ $N$ 은 $N$ (는) 분모 다항식의 순서이며
$a_{n}$ n ${\$ 는 $a_{n}$ 분모 다항식의 n번째 계수다.

M, N 또는 둘 다 0일 수 있다.

극과 영

$z=\beta _{m}$ = $z=\beta _{m}$ $z=\beta _{m}$ ${\$ $P(z)|_{z=\beta _{m}}=0$ ) = $P(z)|_{z=\beta _{m}}=0$ $P(z)|_{z=\beta _{m}}=0$ = $P(z)|_{z=\beta _{m}}=0$ $P(z) _{z=\beta _{m}=0$ 이 $z=\beta _{m}$ 시스템의 0이 되도록 $P(z)|_{z=\beta _{m}}=0$ 한다.
$z=\alpha _{n}$ = $z=\alpha _{n}$ ${\$ $Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0$ Q $Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0$ ) = $Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0$ = $Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0$ 0 $Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0$ {\ $displaystyle$ Q( $z) _{z=\alpha$ _ ${n}=0}$ 이 시스템의 $Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0$ 극이다.

수렴영역

특정 DT 전송 기능에 대한 수렴 영역(ROC)은 극이 없는 디스크 또는 환형물이다. 일반적으로 ROC는 고유하지 않으며, 어떤 경우든 특정 ROC는 시스템이 인과인지 반관심인지에 따라 달라진다.

ROC에 단위 원이 포함되는 경우 시스템은 BIBO(Bound-input, Bound-output) 안정적이다.
ROC가 가장 큰(무한하지는 않지만) 크기의 극에서 바깥쪽으로 확장되는 경우, 시스템은 우측 충격 반응을 가진다. ROC가 가장 큰 규모의 극에서 바깥쪽으로 확장되고 무한대에 극이 없다면 그 계통은 인과적이다.
ROC가 가장 작은 (비영(0) 크기의 극에서 안쪽으로 확장되는 경우, 시스템은 반독성이다.

ROC는 대부분의 실제 시스템이 BIBO 안정성을 갖는 것이 중요하기 때문에 일반적으로 단위 원을 포함하도록 선택된다.

예

$P(z)$ ( $P(z)$ ) $P(z)$ 과 $P(z)$ $Q(z)$ $Q(z)$ 을(를) 완전히 인수하면 $Q(z)$ 해당 솔루션을 z 면에 쉽게 플로팅할 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 전송 기능이 제공된다.

H(z)={\frac {z+2}{z^{2}+{\frac {1}{4}}}}}

유일한 (완료) 0은 $z=-2$ = - $z=-2$ ${\displaystyle$ z $=-2}$ 에 위치하며 $z=\pm {\frac {j}{2}}$ 두 극은 $z=\pm {\frac {j}{2}}$ = ± $z=\pm {\frac {j}{2}}$ 2 ${\$ }에 위치하며 $z=\pm {\frac {j}{2}}$ $z=\pm {\frac {j}{2}}$ 서 j는 가상 단위다.

극-제로 플롯은 다음과 같다.

참고 항목

참고 문헌 목록

Haag, Michael (June 22, 2005). "Understanding Pole/Zero Plots on the Z-Plane". OpenStax CNX. Retrieved June 9, 2018.
Eric W. Weisstein. "Z-Transform". MathWorld. Retrieved January 24, 2010.

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