잭 변환

수학에서 Zak 변환^[1][2](Gelfand mapping이라고도 함)은 한 변수의 함수를 입력하여 두 변수의 함수를 출력하는 특정한 연산이다. 출력함수를 입력함수의 Zak 변환이라고 한다. 변환은 각 용어가 함수의 정수와 지수함수에 의한 번역의 확장의 산물인 무한 계열로 정의된다. 신호 처리를 위한 Zak 변환의 적용에서 입력 함수는 신호를 나타내며 변환은 신호의 혼합 시간-주파수 표현이 될 것이다. 신호는 연속형 집합(예: 실제 숫자) 또는 이산형 집합(예: 정수 또는 한정된 정수 부분 집합)에서 정의되는 실제 값 또는 복합 값일 수 있다. Zak 변환은 이산 푸리에 변환을 일반화한 것이다.^[1][2]

Zak 변환은 다른 분야의 여러 사람들에 의해 발견되었고 다른 이름으로 불려졌다. 이스라엘 겔판드가 고유기능 확장에 관한 연구에서 이를 소개했기 때문에 "헬프랜드 지도"라고 불렸다. 이 변형은 1967년 조슈아 잭에 의해 독자적으로 재발견되었는데, 그는 이것을 "k-q 표현"이라고 불렀다. 좀 더 일반적인 환경에서 변혁을 체계적으로 연구하고 그 유용성을 인정한 것은 자크가 처음이었기 때문에 이 분야의 전문가들 사이에서는 자크 변환이라고 부르는 것에 대한 일반적인 동의가 있는 것 같다.^[1][2]

연속 시간 잭 변환: 정의

연속 시간 잭 변환을 정의할 때 입력 함수는 실제 변수의 함수다. 따라서 f(t)를 실제 변수 t의 함수가 되게 한다. f(t)의 연속 시간 잭 변환은 두 개의 실제 변수의 함수인데, 그 중 하나는 t이다. 다른 변수는 w로 나타낼 수 있다. 연속 시간 잭 변환은 다양하게 정의되었다.

정의 1

긍정적인 상수가 되게 하라. Z_a[f]가 나타내는 f(t)의 Zak 변환은 t와 w가^[1] 정의한 함수다.

${\displaystyle Z_{a}[f](t,w)={\sqrt {a}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(at+ak)e^{-2\pi kwi}}$.

정의 2

a = 1을 취함으로써 얻은 Definition 1의 특별한 경우를 Zak 변환의 정의로 삼기도 한다.^[2] 이 특별한 경우, f(t)의 Zak 변환은 Z[f]로 표시된다.

${\displaystyle Z}$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$( t${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$= -${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{\infty }}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$( ${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle k}$) e${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ k ${\displaystyle w^{}}$ i ${\$

정의 3

Z[f]라는 표기법은 Zak 변환의 다른 형태를 나타내기 위해 사용된다. 이 형태에서 f(t)의 Zak 변환은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{Z}}}$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$( t ,${\displaystyle \nu }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ k${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= -${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{\infty }}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$(${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ) ${\displaystyle e^{}}$- k ${\displaystyle {\nu }^{}}$ i ${\$ Z$[f](t,\nu )=\sum _{k=-\inft }^{\inf(t+k)e^{-k\nu i$

정의 4

T를 양의 상수가 되게 하라. Z_T[f]가 나타내는 f(t)의 Zak 변환은 t와 w가^[2] 정의한 함수다.

${\displaystyle Z_{T}[f](t,w)={\sqrt {T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+kT)e^{-2\pi kwTi}}$.

여기서 t와 w는 조건 0 ≤ t ≤ T와 0 ≤ w ≤ 1/T를 만족하는 것으로 가정한다.

예

함수의 Zak 변환

${\displaystyle \phi(t)={\pase}1,&0\leq t<1\\0,&{\text}}\case}}}$

에 의해 주어지다

${\displaystyle Z[\phi ](t,w)=e^{-2\pi \lceil -t\rceil wi}}$

여기서 $\lceil {\displaystyle }$- ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \rceil }$ ${\displaystyle \lceil -t\rceil }$은$({\displaystyle }$는) - ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle -t}($ceil 함수)보다 작은 정수를 의미한다$$.

Zak 변환의 속성

다음에서 Zak 변환은 Definition 2에 제시된 것으로 가정한다.

1. 선형성

a와 b를 실제 또는 복잡한 숫자로 두어라. 그러면

${\displaystyle Z[af+bg](t,w)=aZ[f](t,w)+bZ[g](t,w)}$

2. 주기성

${\displaystyle Z[f](t,w+1)=Z[f](t,w)}$

3. 준주기성

${\displaystyle Z[f](t+1,w)=e^{2\pi wi}Z[f](t,w)}$

4. 결합

${\displaystyle Z[{\bar{f}}(t,w)={\overline {Z[f]}}}(t,-w)}$

5. 대칭

f(t)가 Z${\displaystyle }$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$( t${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle Z}$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle t}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle$ Z$[f](t,w)=Z[-t,-w)}$

f(t)가 홀수일 경우 Z${\displaystyle }$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ](t}$ ,${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- Z${\displaystyle }$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ](}$- t${\displaystyle }$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle w}$ )${\displaystyle Z[f](t,w)=-Z[-t,-w)]}$

6. 콘볼루션

$\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star }$이(가) 변수 t에 대한 콘볼루션을 나타내도록$$ 한다.

${\displaystyle Z[f\star g](t,w)=Z[f](t,w)\star Z[g](t,w)}$

반전식

함수의 Zak 변환에 따라 다음 공식을 사용하여 함수를 재구성할 수 있다.

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{1}Z[f](t,w)\,dw.}$

이산 잭 변환: 정의

이산 Zak 변환을 정의할 때 입력 함수는 정수 변수의 함수다. 따라서 f(n)를 정수 변수 n(n 모든 양의 정수, 0의 정수 및 음의 정수를 값으로 함수로 한다. f(n)의 이산 Zak 변환은 두 개의 실제 변수의 함수인데, 그 중 하나가 정수 변수 n이다. 다른 변수는 w로 나타낼 수 있는 실제 변수다. 이산 Zak 변환도 다양하게 정의되었다. 단, 아래의 정의는 하나만 제시되어 있다.

정의

함수 f(n)의 이산 Zak 변환(n) 여기서 n은 Z[f]로 표시된 정수 변수임.

${\displaystyle Z[f](n,w)=\sum _{k=--\infit }^{\f(n+k)e^{-2\pi kwi}.}$

반전식

함수 f(n)의 이산형 변환에 따라 다음 공식을 사용하여 함수를 재구성할 수 있다.

${\displaystyle f(n)=\int _{0}^{1}Z[f](n,w)\,dw.}$

적용들

Zak 변환은 양자장 이론에서 물리학, ^[3]신호의 시간 주파수 표현에서 전기 공학, 디지털 데이터 전송에서 성공적으로 사용되었다. Zak 변환은 수학에도 응용이 있다. 예를 들어 가보르 대표 문제에서 사용되어 왔다.

참조