시간에 대한 위치 벡터의 상위 파생 모델
물리학 에서 네 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 위치 파생상품 은 시간 에 관한 위치 벡터 의 파생상품 으로 정의되며, 첫 번째, 두 번째, 세 번째 파생상품은 각각 속도 , 가속도 , 저크다 .초기의 3가지 파생상품과 달리 고차 파생상품은 거의 등장하지 않으며,[1] 로봇공학 에서 최소 스냅궤적 개념을 사용, MATLAB 에서 구현했지만 이름이 표준화된 것은 아니다.[2]
네 번째 파생상품은 종종 스냅 또는 justs 라고 불린다. 네 번째 파생상품의 '스냅'이라는 이름은 라이스 크리스피스 마스코트 스냅, 크래클, 팝 에서 영감을 받아 각각 다섯 번째와 여섯 번째 파생상품의 크래클 과 팝 으로 이어졌다.[3] [4] 이 용어들은 가끔 사용되지만 "때로는 다소 우스꽝스러운"[4]
스냅 ([5] [1] 위치 벡터 의 네 번째 파생 모델 또는 시간에 대한 저크 (buck)의 변화율 이다.[4] 동등하게, 가속도 의 두 번째 파생상품 또는 속도의 세 번째 파생상품이며, 다음 등가식 중 하나로 정의된다.
s → = d ȷ → d t = d 2 a → d t 2 = d 3 v → d t 3 = d 4 r → d t 4 . {\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}. } 고정 스냅에 사용되는 방정식은 다음과 같다.
ȷ → = ȷ → 0 + s → t , {\displaystyle {\vec{\jmath }}={\vec {\jmath }}{0}+{\vec {s}t,} a → = a → 0 + ȷ → 0 t + 1 2 s → t 2 , {\displaystyle {\vec{a}={\vec {a}_{0}+{0}t+{\tfrac{1}{1}{{1}{\vec}{s}t^{2},} v → = v → 0 + a → 0 t + 1 2 ȷ → 0 t 2 + 1 6 s → t 3 , {\displaystyle {\vec{v}}={\vec {v}_{0}}+{0}t+{1}{1}{{0}{0}t^{0}}{0}t^{1}{6}{\vec {s}t^{3}}}}}}}}}}}} r → = r → 0 + v → 0 t + 1 2 a → 0 t 2 + 1 6 ȷ → 0 t 3 + 1 24 s → t 4 , {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},} 어디에
s {\ displaystyle {\vec{s}} ȷ 0 {\ displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}}} ȷ {\ displaystyle {\vec {\jmath }}}} a 0 {\ displaystyle{\vec{a}_{0}} a {\ displaystyle {\vec{a}}} v 0 {\ displaystyle{\vec{v} 0}} v {\ displaystyle {\vec{v}}} r 0 {\ displaystyle {\vec{r}_{0}}} r {\ displaystyle {\vec{r}} t [\displaystyle t} s→{\displaystyle{\vec{s}(Visser에서[4]사용)은 일반적으로 유사하게 표시된 변위 벡터와 혼동해서는 안 된다표기법.
스냅의 치수는 시간의 네 번째 동력당 거리이다. SI 단위 에서 이 값은 "4번째 단위까지 초당 미터", m/s4 −4 , m³ 또는 CGS 단위로 제곱한 초당 100 gal 이다.
시간 에 관한 위치 벡터 의 다섯 번째 파생상품 은 크래클이라고도 한다.[3] 시간에 대한 스냅의 변화율이다.[3] [4] 크래클은 다음 등가 식 중 하나로 정의된다.
c → = d s → d t = d 2 ȷ → d t 2 = d 3 a → d t 3 = d 4 v → d t 4 = d 5 r → d t 5 {\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}} 연속 크래클에는 다음과 같은 방정식이 사용된다.
s → = s → 0 + c → t {\displaystyle {\vec{s}={\vec {s}_{0}+{\vec}\,t} ȷ → = ȷ → 0 + s → 0 t + 1 2 c → t 2 {\displaystyle{\vec{\jmath }}={\vec {\jmath }}+{\vec {s}}\{0}\\vec}\t+{1}{1}{1}{1}{\vec}\,t^{2}}: a → = a → 0 + ȷ → 0 t + 1 2 s → 0 t 2 + 1 6 c → t 3 {\displaystyle{\vec{a}}={\vec{a}_{0}}+{\vec {\bec{0}\\\jmath }\,t+{1}{{1}{{0}}}}}}{\vecc{{0}}}}}}{{{{{{6}},t^{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}. v → = v → 0 + a → 0 t + 1 2 ȷ → 0 t 2 + 1 6 s → 0 t 3 + 1 24 c → t 4 {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}} r → = r → 0 + v → 0 t + 1 2 a → 0 t 2 + 1 6 ȷ → 0 t 3 + 1 24 s → 0 t 4 + 1 120 c → t 5 {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}} 어디에
c {\ displaystyle {\vec{c} s 0 {\ displaystyle {\vec{s}_{0 s {\ displaystyle {\vec{s}} ȷ 0 {\ displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}} ȷ {\ displaystyle {\vec {\jmath }} a 0 {\ displaystyle{\vec{a}_{0} a {\ displaystyle {\vec{a} v 0 {\ displaystyle {\v}_{0} v {\ displaystyle {\vec{v} r 0 {\ displaystyle{\vec{r}_{0}} r {\ displaystyle {\vec{r} t [\displaystyle t} 크래클의 치수는 LT이다−5 . SI 단위 에서 이것은 m/s이고5 CGS 단위에서는 초당 100 gal 이다.
시간 에 관한 위치 벡터 의 여섯 번째 파생상품 은 때때로 pop이라고 불린다.[3] 그것은 시간에 대한 크랙클의 변화율이다.[3] [4] 팝은 다음 등가 식 중 하나로 정의된다.
p → = d c → d t = d 2 s → d t 2 = d 3 ȷ → d t 3 = d 4 a → d t 4 = d 5 v → d t 5 = d 6 r → d t 6 {\displaystyle {\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}} 상수 팝에 사용되는 방정식은 다음과 같다.
c → = c → 0 + p → t {\displaystyle {\vec}={\vec{c}_{0}+{\vec {p}\,t} s → = s → 0 + c → 0 t + 1 2 p → t 2 {\displaystyle {\vec{s}={\vec{s}}_{0}+{\vec}{0}\\\vec}{{1}{1}{\vec{p}\,t^{2}}: ȷ → = ȷ → 0 + s → 0 t + 1 2 c → 0 t 2 + 1 6 p → t 3 {\displaystyle{\vec{\jmath }}={\vec {\jmath }}{{0}}\{\vec {s}}\{0}\,t+{1}{1}{1}{{1}}}}{\vec{{0}}}}}}}}{\vecc{p\,t^3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} a → = a → 0 + ȷ → 0 t + 1 2 s → 0 t 2 + 1 6 c → 0 t 3 + 1 24 p → t 4 {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}} v → = v → 0 + a → 0 t + 1 2 ȷ → 0 t 2 + 1 6 s → 0 t 3 + 1 24 c → 0 t 4 + 1 120 p → t 5 {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}} r → = r → 0 + v → 0 t + 1 2 a → 0 t 2 + 1 6 ȷ → 0 t 3 + 1 24 s → 0 t 4 + 1 120 c → 0 t 5 + 1 720 p → t 6 {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\tfrac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}} 어디에
p {\ displaystyle {\vec{p}} c 0 {\ displaystyle{\vec}_{0} c {\ displaystyle {\vec{c} s 0 {\ displaystyle {\vec{s}_{0 s {\ displaystyle {\vec{s}} ȷ 0 {\ displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}} ȷ {\ displaystyle {\vec {\jmath }} a 0 {\ displaystyle{\vec{a}_{0} a {\ displaystyle {\vec{a} v 0 {\ displaystyle {\v}_{0} v {\ displaystyle {\vec{v} r 0 {\ displaystyle{\vec{r}_{0}} r {\ displaystyle {\vec{r} t [\displaystyle t} 팝의 치수는 LT이다−6 . SI 단위 에서는, 이것은 m6 /s 이고, CGS 단위에서는, 4분의 1초당 100 gal 이다.
참조 ^ a b c Gragert, Stephanie; Gibbs, Philip (November 1998). "What is the term used for the third derivative of position?" . Usenet Physics and Relativity FAQ . Math Dept., University of California, Riverside . Retrieved 2015-10-24 . ^ "MATLAB Documentation: minsnappolytraj" .^ a b c d e f Thompson, Peter M. (5 May 2011). "Snap, Crackle, and Pop" (PDF) . AIAA Info . Hawthorne, California: Systems Technology. p. 1. Archived from the original on 26 June 2018. Retrieved 3 March 2017 . The common names for the first three derivatives are velocity, acceleration, and jerk. The not so common names for the next three derivatives are snap, crackle, and pop. {{cite web }}: CS1 maint : 부적합한 URL(링크 ) ^ a b c d e f g Visser, Matt (31 March 2004). "Jerk, snap and the cosmological equation of state". Classical and Quantum Gravity 21 (11): 2603–2616. arXiv :gr-qc/0309109 Bibcode :2004CQGra..21.2603V . doi :10.1088/0264-9381/21/11/006 . ISSN 0264-9381 . Snap [the fourth time derivative] is also sometimes called jounce. The fifth and sixth time derivatives are sometimes somewhat facetiously referred to as crackle and pop. ^ Mellinger, Daniel; Kumar, Vijay (2011). "Minimum snap trajectory generation and control for quadrotors". 2011 IEEE International Conference on Robotics and Automation . pp. 2520–2525. doi :10.1109/ICRA.2011.5980409 . ISBN 978-1-61284-386-5
(는) 일정한 스냅이며,
(는) 초기 jerk,
(가) 최종 jerk,
(는) 초기 가속도임,
(가) 최종 가속이며,
(는) 초기 속도,
(는) 최종 속도,
(가) 초기 위치,
(가) 최종 위치,
(는) 초기 상태와 최종 상태 사이의 시간이다.
