평행 투영

Parallel projection

3차원 기하학에서 평행 투영(또는 축선 투영)은 3차원 공간에 있는 물체를 투영 평면 또는 이미지 평면이라고 알려진 고정 평면에 투영하는 것으로, 시선 또는 투영 선으로 알려진 광선이 서로 평행합니다.이것은 기술 기하학의 기본 도구입니다.광선이 영상 평면에 수직(직교)인 경우 투영을 직교라고 하며, 그렇지 않은 경우 경사 또는 기울기라고 합니다.

개요

병렬 투영 용어 및 표기법.오른쪽에 있는 두 개의 파란색 평행선 세그먼트는 왼쪽에 있는 영상 평면에 투영될 때 평행 상태를 유지합니다.

병렬 투영이란 수학에서의 투영기술 도면에서의 그래픽 투영의 특별한 경우입니다.평행투영은 중심 또는 원근투영법의 한계로 볼 수 있으며, 중심 또는 시점이라고 하는 고정점을 통과하는 광선은 무한대로 이동하기 때문에 이 점을 통과합니다.달리 말하면, 평행 투영이란 무한 초점 거리(사진에서 렌즈와 초점 사이의 거리) 또는 ""을 가진 투시 투영에 해당합니다.또, 평행 투영에서는, 2 차원 투영 화상내에 3 차원 공간내에서 평행한 선이 평행인 채로 있다.

사물의 투시 투영법은 평행 투영법보다 더 사실적인 것으로 여겨지는데, 이는 사물이 인간의 시각과 사진을 더 많이 닮았기 때문이다.그러나 물체의 선과 면의 평행도가 유지되고 이미지에서 직접 측정이 가능하기 때문에 기술 어플리케이션에서는 평행 투영법이 인기입니다.평행투영법 중에서 정자투영법이 가장 사실적이며 엔지니어에 의해 일반적으로 사용됩니다.한편, 특정 유형의 사선 투영(예: 카발 투사, 군사 투사)은 구현이 매우 간단하며, 빠르고 비공식적인 객체 화보를 만드는 데 사용됩니다.

문헌에서 병렬 투영이라는 용어는 절차 자체(수학적 매핑 함수)와 절차에서 생성된 결과 이미지를 모두 설명하기 위해 사용됩니다.

특성.

입방체의 두 개의 평행 투영입니다.직교 투영(왼쪽)에서 투영 선은 영상 평면(핑크)에 수직입니다.경사 투영(오른쪽)에서는 투영 선이 영상 평면에 대해 기울어진 각도에 있습니다.

모든 병렬 투영에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

  • 투영 평면 δ 및 (표준) 투영 라인의 v {\ 의해 고유하게 정의됩니다.방향이 투영 평면에 평행하면 안 됩니다.
  • 공간의 어느 점이라도 투영면 δ 내의 고유 화상을 가지며 δ의 점은 고정된다.
  • v {displaystyle 평행하지 않은 선은 선에 매핑되고, v {\ 평행한 선은 점 위에 매핑됩니다.
  • 평행선은 평행선 또는 한 쌍의 점에 매핑됩니다(v {\에 평행한 ).
  • 선상의 두 선분의 길이 비율은 변경되지 않습니다.특별한 경우로서 중간점은 중간점에 매핑됩니다.
  • 투영 평면에 평행한 선분의 길이는 변경되지 않습니다.투영법이 맞춤법인 [clarification needed]경우 선분의 길이가 짧아집니다.
  • 투영 평면에 평행한 평면에 있는 모든 원은 동일한 반지름을 가진 원에 매핑됩니다.다른 원은 타원 또는 선분에 매핑됩니다(방향 {\ 원의 평면에 평행한 경우).
  • 일반적으로 각도는 유지되지 않습니다.그러나 투영 평면에 평행한 선 하나가 있는 직각은 변경되지 않습니다.
  • 모든 직사각형이 평행 사변형 또는 선분에 매핑됩니다(v {(가) 직사각형의 평면에 평행한 ).
  • 이미지 평면에 평행한 평면 내의 모든 그림은 이미지와 일치합니다.

종류들

병렬 투영 및 일부 3D 투영 분류
평행투영은 가상의 시점을 가진 투시투영에 대응합니다.즉, 카메라가 물체로부터 무한히 떨어져 있고 무한초점거리 또는 "줌"을 갖는 투시투영에 대응합니다.
다양한 예상과 그 제작 방법

맞춤법 투영법

맞춤법 투영법은 기술 기하학의 원리에서 파생되며 투영 광선이 투영 평면에 수직인 평행 투영 유형입니다.작업 도면의 투영 유형입니다.정자법이라는 용어는 객체의 주축 또는 평면이 투영 평면(또는 정자법 또는 평행 투영이 그려진 용지)과 평행한 객체의 묘사를 위해 특별히 예약되는 경우가 있습니다.단, 프라이머리 뷰라는 용어도 사용됩니다.멀티뷰 투영에서는 각 투영 평면이 좌표 축 중 하나에 수직인 최대 6개의 객체 사진이 생성됩니다.그러나 객체의 주 평면 또는 축이 투영 평면과 평행하지 않고 객체의 여러 변을 드러내기 위해 다소 기울어진 경우에는 보조 뷰 또는 그림이라고 합니다.때로는 축도 투영이라는 용어가 이러한 뷰만을 위해 예약되어 있으며, 직교 투영이라는 용어와 병렬되어 있습니다.그러나 축삭 투영법은 평행 투영법과 동의어이며, 정자 투영법축삭 투영법의 한 종류라고 더 정확하게 설명할 수 있습니다.

기본 뷰에는 평면도, 입면도 및 단면이 포함되며, 등축도, 치수도 및 트리메트릭 투영도보조 뷰로 간주할 수 있다.다중 뷰 맞춤법 투영법의 일반적인(비필수) 특성은 일반적으로 공간의 한 축이 수직으로 표시된다는 것입니다.

보기 방향이 표시된 객체의 표면에 수직인 경우 객체의 방향에 관계없이 일반 투영이라고 합니다.따라서 공간의 좌표계를 기준으로 한 입방체의 경우 입방체의 기본 뷰는 일반 투영으로 간주됩니다.

경사 투영

여러 유형의 그래픽 투영 비교.하나 이상의 90° 주각이 있는 것은 일반적으로 원근법이 비스듬하다는 좋은 표시이다.

대각선 투영에서는 평행한 투영광은 시야면에 수직이 아니라 90도 [1]이외의 각도로 투영면을 타격한다.직교 투영과 경사 투영 모두에서 공간의 평행선이 투영된 영상에 평행하게 나타납니다.사선 투영은 단순하기 때문에 형식적인 작업 도면이 아닌 그림 용도로만 사용됩니다.사선도면에서는 좌표축을 구분하는 표시각도와 전단률(스케일링)이 임의이다.이에 따라 생성된 왜곡은 일반적으로 이미지화된 객체의 한 평면을 투영 평면에 평행하게 정렬하여 감쇠되며 선택한 평면의 실제 형상의 실물 크기 이미지를 만듭니다.특수 사선 투영은 군사용, 카발리어캐비닛 [2]투영이 포함됩니다.

분석 표현

: - 0 ( \ Pi : ~ { \ { n } } } \ { } { display style } - d =} {\ the the through through through through through through through through through → p: : p :\ p p p p p p p p p p p p x x p p p p through through through through through through through through through through through through through if if if if if if if if if if

: + v {\ g R { t

P})의 이미지P({ P g({g})와 평면({displaystyle \Pi의 교차점입니다. 이 값은 다음과 같습니다.

경우에 따라서는, 이러한 식을 간단하게 할 수 있습니다.

(S1) 벡터 {→ {displaystyle { 1displaystyle {v}} = }} 1 {\ {}} the the the the { v} 을 선택할 수 있는 경우, 이미지의 공식은 다음과 같이 단순화됩니다.

(S2) 맞춤법 투영에서 n {\ v {\ 평행하다.이 경우 v , { { } = vec {} , \ ; \ { } 수 있습니다.

(S3) 벡터 v {{ 1{\= {v}}{\} 을 할 수 있고, 이미지 평면에 원본을 포함하는 경우에는 d 및 displaystyleline을 .ng:

(서 I3 아이덴티티 매트릭스,【{ 외부 제품입니다.)

병렬 투영에 대한 이 분석적 표현으로부터 이전 섹션에서 설명한 대부분의 특성을 추론할 수 있다.

역사

축삭측정법은 중국에서 [3]유래했다.중국 미술에서 그것의 기능은 객관적이거나 외부에서 보는 관점이 없었기 때문에 유럽 미술의 직선적 관점과 달랐다.대신에, 그것의 패턴은 그림 안에 평행한 투영을 사용했고, 이는 보는 이로 하여금 한 두루마리 안에서 공간과 진행 중인 시간의 [4]진행을 모두 고려할 수 있게 했다.과학 작가이자 매체 저널리스트인 얀 크리케에 따르면, 축삭측정법과 그에 따르는 그림 문법은 시각 컴퓨팅공학 [4][3][5][6]드로잉의 도입과 함께 새로운 의미를 띠게 되었다.

등각도의 개념은 케임브리지 대학의 윌리엄 패리쉬 교수가 등각도에 [7][8]대한 상세한 규칙을 최초로 제시하기 훨씬 전에 수 세기 동안 대략적인 경험적 형태로 존재했습니다.

Farish는 1822년 "등각 원근법에 대하여"라는 논문에서 "광학적 왜곡이 없는 정확한 기술적 작업 도면의 필요성"을 인식하였다.이 때문에 등각계를 만들 수 있어요Isometry는 높이, 폭 및 [9]깊이에 동일한 척도를 사용하기 때문에 "동일한 측정"을 의미합니다.

19세기 중반부터, 얀 크리케(2006)[9]에 따르면, 등각계는 "엔지니어들에게 가치 없는 도구"가 되었고, 곧이어 축삭계와 등각계가 유럽과 미국건축 훈련 과정 커리큘럼에 통합되었다.축삭측정법이 널리 받아들여진 것은 1920년대 바우하우스와 데 스틸모더니즘 건축가들이 이를 수용하면서부터다.[9]Theo van Doesburg와 같은 De Stijl 건축가들은 그들의 건축 디자인에 축삭측정법을 사용했는데, 1923년 파리에서 전시되었을 때 큰 반향을 일으켰다.[9]

1920년대부터 축삭측정법, 즉 평행투시법은 예술가, 건축가, 엔지니어들에게 중요한 그래픽 기술을 제공해 왔다.선형 원근법과 마찬가지로 축삭측정법은 2차원 영상 평면에 3차원 공간을 묘사하는 데 도움이 됩니다.일반적으로 CAD 시스템 및 기타 비주얼 컴퓨팅 [4]도구의 표준 기능으로 제공됩니다.

제한 사항

이 그림에서 파란색 구는 빨간색보다 두 단위 높다.그러나 사진의 오른쪽 절반을 덮는 경우에는 이 표고 차이가 뚜렷하지 않습니다.
펜로즈 계단은 시계방향으로 오르거나 내리거나(시계방향으로) 연속적인 고리를 형성하는 계단을 묘사합니다.

평행 투영으로 그려진 개체는 뷰어에 더 가깝거나 더 멀리 있기 때문에 더 크거나 더 작게 나타나지 않습니다.이미지에서 직접 측정해야 하는 건축 도면에는 유리하지만, 투시 투영과 달리 인간의 시각이나 사진은 일반적으로 이렇게 작동하지 않기 때문에 그 결과는 왜곡을 인지할 수 있습니다.또한 오른쪽 그림과 같이 깊이와 고도를 측정하기 어려운 상황에서도 쉽게 발생할 수 있습니다.

이러한 시각적 모호성은 "불가능한 객체" 도면뿐만 아니라 opart에서도 이용되었습니다.엄밀하게 평행하지는 않지만, M. C. 에셔 폭포(1961)는 잘 알려진 이미지인데, 이 이미지에서는 물의 흐름이 도움을 받지 않고 아래쪽으로 이동하는 것처럼 보이지만, 다시 원점으로 돌아오면서 역설적으로 다시 떨어진다.따라서 물은 에너지 보존의 법칙에 위배되는 것으로 보인다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  • 샤움 개요:기술 기하학, McGraw-Hill, (1962년 6월 1일), ISBN978-0070272903
  • Joseph Malkevitch (April 2003), "Mathematics and Art", Feature Column Archive, American Mathematical Society
  • Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (December 1978), "Planar Geometric Projections and Viewing Transformations", ACM Computing Surveys, 10 (4): 465–502, doi:10.1145/356744.356750, S2CID 708008
  1. ^ Maynard, Patric (2005). Drawing distinctions: the varieties of graphic expression. Cornell University Press. p. 22. ISBN 0-8014-7280-6.
  2. ^ Desai, Apurva A. (22 October 2008). Computer Graphics. PHI Learning Pvt. Ltd. p. 242. ISBN 978-81-203-3524-0.
  3. ^ a b Krikke, Jan (2018-01-02). "Why the world relies on a Chinese "perspective"".
  4. ^ a b c 얀 크리케(2000)."축도측정법: 원근법의 문제"입력: 컴퓨터 그래픽스애플리케이션, IEEE 2000년 7월/8월제20권(4), 페이지 7-11.
  5. ^ Krikke, J. (July 2000). "Axonometry: A Matter of Perspective". IEEE Computer Graphics and Applications. 20 (4): 7–11. doi:10.1109/38.851742.
  6. ^ "A Chinese Perspective for Cyberspace?".
  7. ^ 바클레이 G. 존스(1986년).자연재해로부터 역사적 건축물과 박물관 소장품을 보호한다.미시건 대학교.ISBN 0-409-90035-4. 페이지 243.
  8. ^ 찰스 에드먼드 무어하우스(1974년).비주얼 메시지: 상급생용 그래픽 커뮤니케이션.
  9. ^ a b c d J. 크리케(1996년)."사이버 공간에 대한 중국인의 시각?Wayback Machine에서 2009-06-01 아카이브 완료": 국제아시아문제연구소 뉴스레터, 9, 1996년 여름.
  10. ^ 윌리엄 패리쉬(1822) 등각 원근법.인: 케임브리지 철학적 거래. 1 (1822)