조화 결합체

In mathematics, a real-valued function ${\displaystyle u(x,y)}$ defined on a connected open set ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ is said to have a conjugate (function) ${\displaystyle v(x,y)}$ if and only if they are respectively the real and imaginary parts of a holomorphic ${\displaystyle \mathrm{복합}}$ $변수{\displaystyle }$ z ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \in \mathrm{\Omega }}$의 함수$$${\displaystyle }f{\displaystyle }$$$( z ) {\$displaystyle$ f$($z$)}:$$=x+iy\in \Omega .}$ That is, ${\displaystyle v}$ is conjugate to ${\displaystyle u}$ if ${\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}$ is holomorphic on ${\displaystyle \Omega .}$ As a first consequence of the definition, they are both harmonic real-valued functions on ${\disp$$laystyle$ \$Oomega$ $\}$ 게다가, $u{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle u,}$의 결합은, 만약 존재한다면$$, 첨가 상수까지 독특하다.또한 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) -${\displaystyle u}$ ${\displaystyle -u$과(와) 결합되는$$ 경우에만$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$과(와) 결합된다$$.

설명

동등하게, $v{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $v}$은(는)$$$\Omega$에서 u {\$displaystyle$$u}$과(와) $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ v}이$(가$) $\Omega$에서 Cauchy-Remann 방정식을 만족하는$$ 경우에만$$$\Omega$에서$$u {\$displaystystyle$$u}$과($으{\displaystyle }$)가 결합된다${\displaystyle .}$ ${\Oomega.$${\displaystyle u}$ is any harmonic function on ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2},}$ the function ${\displaystyle u_{x}}$ is conjugate to ${\displaystyle -u_{y},}$ for then the Cauchy–Riemann equations are just ${\displaystyle \Delta u=0}$ and the symmetry of the mixed 2차 파생 모델, $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{u}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$. ${\displaystyle u_{xy}=u_{yx}}$$$ 따라서 고조파 함수 u ${\displaystyle u}$은$($는) 홀모픽 함수 $g{\displaystyle (}$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle u_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{}}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle g(z$):인 경우에만 결합 고조파 함수를 허용한다$$.$=u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)}$ has a primitive ${\displaystyle f(z)}$ in ${\displaystyle \Omega ,}$ in which case a conjugate of ${\displaystyle u}$ is, of course, ${\displaystyle \mathrm {Im} f(x+iy).$$}$ 그래서$$ 어떤 조화함수는 그 영역이 단순히 연결될 때마다 항상 결합함수를 인정하고, 어떤 경우에도 그 영역의 어느 지점에서든 국소적으로 결합을 허용한다.

R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 단순하게 연결된 영역에서 고조파 함수 u를 해당 고조파 결합 v(예: v(x₀)=0을 주어진 x에₀ 입력하여 결합체의 불변성을 상수로 고정하는 연산자가 있다.이것은 (본질적으로) Hilbert 변환으로 응용분야에서 잘 알려져 있다. 또한 단일 적분 연산자와 관련하여 수학 분석에서 기본적인 예가 되기도 한다.결합 조화 함수(및 그것들 사이의 변환)는 베클룬트 변환의 가장 단순한 예들 중 하나이기도 하다(두 개의 PDE와 그 해결책과 관련된 변환). 이 경우 선형이다. 보다 복잡한 변환은 솔리톤과 통합형 시스템에 관심이 있다.

기하학적으로 u와 v는 기초적인 홀로모픽 함수의 영점으로부터 떨어져 직교 궤적을 갖는 것과 관련이 있다; u와 v가 직각에서 일정한 교차인 등고선이다.이 점에서 u+iv는 복잡한 전위일 것이며, 여기서 u는 잠재적 기능이고 v는 스트림 기능이다.

예

예를 들어, 함수를 고려하십시오.

${\displaystyle u(x,y)=e^{x}\sin y.}$

이후

${\displaystyle {\displaystyle {\cHB \over x}=e^{x}\sin y,\cHB {\i1}u \over x^{2}}=e^{x}\sin y}$

그리고

${\displaystyle {\displayy \over y}=e^{x}\cos y,\cos y,\properties {\n2}u \over y^{2}}=-e^}\sin y,}$

그것으로 만족하다

${\displaystyle \Delta u=\nabla ^{2}u=0}$

(${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$은(는) Laplace 연산자이므로 조화롭다.이제 Cauchy-Remann 방정식이 충족되는$$ $v{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle v(x,y)}$이(가) 있다고 가정합시다.

${\displaystyle {\display u \over \cHB x}={\datav v \over \cHB \over y}=e^{x}\sin y}$

그리고

$\displaystyle {\displayy \over y}=-{\display v \over x}=e^{x}\cos y.}$

단순화,

$\displaystyle {\display v \over \over y}=e^{x}\sin y}$

그리고

$\displaystyle {\display v \over \cHB x}=-e^{x}\cos y}$

해결하면 얻을 수 있는 것

${\displaystyle v=-e^{x}\cos y+C.}$

cauchy-Remann 방정식의 마이너스 부호는 관계를 비대칭으로 만들기 때문에 u와 v와 관련된 함수를 상호 교환했을 경우 함수가 조화 결합체가 되지 않는다는 것을 관찰한다.

분석함수의 정합성 매핑 특성(파생물이 0이 아닌 지점)은 조화 결합체의 기하학적 특성을 발생시킨다.분명히 x의 고조파 결합은 y이고, 상수 x와 상수 y의 선은 직교한다.Conformality에 따르면 상수 u(x,y)와 v(x,y)의 등고선은 f f(z)의 0에서 벗어나 교차하는 곳에서도 직교한다.즉, v는 u가 제공한 등고선 계열에 대한 직교 궤적 문제의 특정 해결책이라는 것을 의미한다(v는 유일한 해결책은 아니다, 우리가 v의 기능도 취할 수 있기 때문이다). 17세기의 수학으로 거슬러 올라가, 주어진 비 교차 곡선 계열을 오른쪽에서 교차하는 곡선을 찾는 문제.글레즈

기하학적 구조에서의 조화

수학에서는 조화 결합이라는 용어가 추가적으로 발생하며, 구체적으로는 투영 기하학에서 더욱 그러하다.두 점 A와 B는 교차비(ABCD)가 –1일 경우 다른 점 C, D에 대해 서로 조화되는 결합체라고 한다.

참조

• Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Complex variables and applications (6th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 61. ISBN 0-07-912147-0. If two given functions u and v are harmonic in a domain D and their first-order partial derivatives satisfy the Cauchy-Riemann equations (2) throughout D, v is said to be a harmonic conjugate of u.

외부 링크

• 조화비
• "Conjugate harmonic functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]