경계요소법

Boundary element method

유체 역학, 음향 상태, 전자기학(어디서 얻는 기술이 순간의 방법으로 또는 단축 MoM으로 알려져 있)[1]골절 mechan을 포함 적분 방정식(즉에 경계가 건전한 형태)로 구성하였는가 선형 편미분 방정식,를 해결하는 경계 요소 법(경계)은 수치 계산 방법이다.ics,[2] 그리고 접촉 역학.[3][4]

수학적 근거

적분 방정식은 지배적인 부분 미분 방정식의 정확한 해법으로 간주될 수 있다. 경계 요소 방법은 부분 미분 방정식으로 정의된 공간 전체의 값이 아니라 주어진 경계 조건을 사용하여 경계 값을 적분 방정식에 맞추려고 시도한다. 일단 이것이 이루어지면, 후처리 단계에서 적분 방정식을 다시 사용하여 솔루션 영역 내부의 원하는 지점에서 직접 수치로 솔루션을 계산할 수 있다.

BEM은 그린의 기능을 계산할 수 있는 문제에 적용된다. 이것들은 보통 선형 균질 미디어의 필드를 포함한다. 이것은 경계 요소를 유용하게 적용할 수 있는 문제의 범위와 일반성에 상당한 제약을 가한다. 비선형성은 일반적으로 볼륨 통합을 도입할 수 있지만, BEM의[citation needed] 가장 자주 인용되는 장점 중 하나를 제거하여 솔루션을 시도하기 전에 볼륨을 확인해야 한다. 볼륨의 변별 없이 볼륨 일체형 처리 시 유용한 기법은 듀얼 리큐프로시티 방법이다. 이 기법은 방사상 기준 함수(로컬 보간 함수)를 사용하여 통합의 일부에 근사하며, 볼륨 영역 전체에 분포된 선택된 지점(경계 포함)에서 결합한 후 적분된 볼륨을 경계 적분된 볼륨을 경계 적분으로 변환한다. 이중 이력 BEM에서, 비록 볼륨을 메쉬로 분해할 필요는 없지만, 솔루션 영역 내에서 선택된 지점들에서 알 수 없는 것들이 고려되는 문제에 근접한 선형 대수 방정식에 관여한다.

메쉬에 의해 정의된 소스 패치와 필드 패치의 쌍을 연결하는 그린의 기능 요소는 행렬을 형성하며, 이는 수치로 해결된다. 적어도 서로 가까운 패치의 경우 그린의 기능이 제대로 동작하지 않는 한, 그린의 기능은 소스 패치와 필드 패치 중 하나 또는 둘 다에 걸쳐 통합되어야 한다. 소스 패치와 필드 패치를 통한 통합이 동일한 방식을 "Galerkin's method"라고 한다. Galerkin의 방법은 소스와 필드 포인트의 교환과 관련하여 대칭적인 문제에 대한 분명한 접근법이다. 주파수 영역 전자기학에서 이것은 전자기 상호주의에 의해 보장된다. 순진한 Galerkin 구현에 관련된 계산 비용은 일반적으로 상당히 심각하다. 각 요소 쌍에 대해 루프해야 하며(그래서2 n개의 상호작용을 얻는다) 각 요소 쌍에 대해 우리는 제곱된 가우스 포인트 수에 비례하는 곱셈 계수를 생성하는 요소에서 가우스 포인트를 반복한다. 또한, 요구되는 기능 평가는 삼각함수/하이퍼볼릭 함수 호출을 포함하여 일반적으로 상당히 비용이 많이 든다. 그럼에도 불구하고 계산 비용의 주요 원천은 완전하게 채워진 매트릭스를 생성하는 요소들에 대한 이 이중 루프다.

그린의 기능 또는 기본 해결책은 종종 특이점 부하(예: 점 전하로부터 발생하는 전기장)를 받는 시스템 방정식의 해법에 기초하기 때문에 통합하는 데 문제가 있다. 그러한 단수 분야를 통합하는 것은 쉽지 않다. 간단한 요소 기하형상(예: 평면 삼각형)의 경우 해석 통합을 사용할 수 있다. 보다 일반적인 요소의 경우, 특이점에 적응하는 순수하게 수치적 체계를 설계할 수 있지만, 계산 비용이 많이 든다. 물론 소스 포인트와 대상 요소(통합이 이루어지는 곳)가 멀리 떨어져 있을 때, 포인트를 둘러싼 국부적인 기울기를 정확히 정량화할 필요는 없으며, 기본 해결책의 원활한 붕괴로 인해 쉽게 통합할 수 있게 된다. 경계 요소 문제 계산을 가속화하기 위해 고안된 제도에 일반적으로 사용되는 것이 이 특징이다.

폐쇄형 그린의 함수 도출은 경계 요소 방법, 특히 전자기학에 특히 관심이 있다. 특히 레이어드 미디어의 분석에서 공간 영역 그린의 함수의 파생은 소머펠트 경로 적분을 통해 분석 가능한 스펙트럼 영역 그린의 함수의 역전을 필요로 한다. 이 적분은 분석적으로 평가할 수 없으며 진동 및 천천히 수렴되는 동작으로 인해 수치적 통합이 비용이 많이 든다. 견실한 분석을 위해 공간 그린의 함수는 프론의 방법이나 일반화된 함수의 연필과 같은 방법을 가진 복잡한 지수로서 근사치되며, 적분은 소머펠트 아이덴티티로 평가된다.[5][6][7][8] 이 방법은 이산형 복합 영상법으로 알려져 있다.[7][8]

다른 방법과의 비교

경계요소법은 표면/체적 비율이 작은 문제에 대한 계산 자원의 측면에서 유한요소를 포함한 다른 방법보다 효율적인 경우가 많다.[9] 개념적으로 모델링된 표면에 "메쉬"를 구성함으로써 작동한다. 단, 많은 문제에서 경계 요소 방법은 부피 분산 방법(완료 요소 방법, 유한 차이 방법, 유한 체적 방법)에 비해 효율성이 현저히 떨어진다. 경계 요소 방법의 적용의 좋은 예는 탱크 내 액체 슬로싱의 자연 주파수의 효율적인 계산이다.[10][11][12] 경계 요소 방법은 특히 접착제 접점의 시뮬레이션을 위해 접촉 문제의 수치 시뮬레이션에 가장 효과적인 방법 중 하나이다.[13][14]

경계 요소 제형은 일반적으로 완전하게 채워진 행렬을 생성한다. 이는 문제 크기의 제곱에 따라 스토리지 요구 사항과 계산 시간이 증가하는 경향이 있음을 의미한다. 대조적으로, 유한 요소 행렬은 일반적으로 띠를 이루며(요소는 국소적으로만 연결된다) 시스템 행렬에 대한 스토리지 요구사항은 일반적으로 문제 크기에 따라 상당히 선형적으로 증가한다. 압축 기법(예: 다중 홀 확장 또는 적응형 교차 근사치/계층적 행렬)은 복잡성을 가중시키고 해결되는 문제의 특성과 관련된 기하학적 특성에 크게 의존하는 성공률로 이러한 문제를 개선하는데 사용될 수 있다.

참고 항목

참조

  1. ^ 전자석에서는 "경계요소법"의 동의어로 "순간방법"이라는 전통적인 용어가 자주 사용되지만 항상은 아니다. 주제에 대한 자세한 정보는 (Gibson 2008)을 참조하라.
  2. ^ 경계요소법은 고형물의 균열 분석에 적합하다. 균열 문제에 대한 몇 가지 경계 요소 접근법이 있다. 그러한 접근법 중 하나는 초경계 적분 방정식의 관점에서 균열의 조건을 공식화하는 것이다(Ang 2013 참조).
  3. ^ Pohrt, R.; Li, Q. (2014-10-01). "Complete boundary element formulation for normal and tangential contact problems". Physical Mesomechanics. 17 (4): 334–340. doi:10.1134/S1029959914040109. ISSN 1029-9599.
  4. ^ "BEM Based Contact Pressure Calculation Tutorial". www.tribonet.org.
  5. ^ Chow, Y. L.; Yang, J. J.; Fang, D. G.; Howard, G. E. (March 1991). "A closed-form spatial Green's function for the thick microstrip substrate". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 39 (3): 588–592. doi:10.1109/22.75309.
  6. ^ Aksun, M. I. (February 2003). "A robust approach for the derivation of closed-form Green's functions". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 44 (5): 651–658. doi:10.1109/22.493917. hdl:11693/10779.
  7. ^ a b Teo, Swee-Ann (2000). "Discrete complex image method for Green's functions of general multilayer media". IEEE Microwave Guided Wave Letters. 10 (10): 400–402. doi:10.1109/75.877225.
  8. ^ a b Teo, Swee-Ann; Chew, Siou-Teck; Leong, Mook-Seng (February 2003). "Error analysis of the discrete complex image method and pole extraction". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 51 (2): 406–412. doi:10.1109/TMTT.2002.807834.
  9. ^ (Katsikadelis 2002)를 참조하십시오.
  10. ^ Kolaei, Amir; Rakheja, Subhash; Richard, Marc J. (2015-09-01). "Three-dimensional dynamic liquid slosh in partially-filled horizontal tanks subject to simultaneous longitudinal and lateral excitations". European Journal of Mechanics B. 53: 251–263. Bibcode:2015EJMF...53..251K. doi:10.1016/j.euromechflu.2015.06.001.
  11. ^ Kolaei, Amir; Rakheja, Subhash; Richard, Marc J. (2015-01-31). "A coupled multimodal and boundary-element method for analysis of anti-slosh effectiveness of partial baffles in a partly-filled container". Computers & Fluids. 107: 43–58. doi:10.1016/j.compfluid.2014.10.013.
  12. ^ Kolaei, Amir; Rakheja, Subhash; Richard, Marc J. (2014-11-14). Volume 4A: Dynamics, Vibration, and Control. pp. V04AT04A067. doi:10.1115/IMECE2014-37271. ISBN 978-0-7918-4647-6.
  13. ^ Popov, Valentin (2017). Contact Mechanics and Friction - Physical Principles and (Chapter 19). Springer. pp. 337–341. ISBN 9783662530801.
  14. ^ Pohrt, Roman; Popov, Valentin L. (2015-04-09). "Adhesive contact simulation of elastic solids using local mesh-dependent detachment criterion in boundary elements method". Facta Universitatis, Series: Mechanical Engineering. 13 (1): 3–10.

참고 문헌 목록

추가 읽기

  • Constanda, Christian; Doty, Dale; Hamill, William (2016). Boundary Integral Equation Methods and Numerical Solutions: Thin Plates on an Elastic Foundation. New York: Springer. ISBN 978-3-319-26307-6.

외부 링크

무료 소프트웨어

  • Laplace, Helmholtz 및 Maxwell을 위한 Bembel A 3D, icogeometric, 고차 오픈 소스 BEM 소프트웨어(컴퓨팅 비용 절감 및 압축에 빠른 멀티폴 방법을 사용하는 문제)
  • boundary-element-method.com 음향/헬름홀츠 및 라플라스 문제 해결을 위한 오픈 소스 BEM 소프트웨어
  • Puma-EM 오픈 소스 및 고성능 모멘트 방법 / 다중 고속 다중 홀 방법 병렬 프로그램
  • AcouSTO 음향 시뮬레이션 TOOL, Kirchhoff-Helmholtz 적분방정식(KHIE)을 위한 무료 오픈소스 병렬 BEM 해결기
  • FastBEM 2D/3D 잠재력, 탄력성, 스톡스 흐름 및 음향 문제 해결을 위한 무료 다중 홀 경계 요소 프로그램
  • ParaFEM: Gernot Beer, Ian Smith, Christian Duenser, Programming을 사용한 경계 요소 방법에서 설명한 탄력성 문제를 위한 무료 및 오픈 소스 병렬 BEM 해결사 포함: Springer, ISBN 978-3-211-71574-1(2008)
  • 경계 요소 템플릿 라이브러리(BETL) 경계 통합 연산자의 분리를 위한 범용 C++ 소프트웨어 라이브러리
  • Nemoh 해상 구조물에 대한 1차 파동 하중 계산 전용 오픈 소스 유체역학 BEM 소프트웨어(추가된 질량, 방사선 댐핑, 회절력)
  • Bempp, 3D Laplace, Helmholtz 및 Maxwell 문제를 위한 오픈 소스 BEM 소프트웨어
  • MNPBEM, 임의의 나노구조체에 대한 맥스웰의 방정식을 해결하기 위한 오픈 소스 Matlab 도구 상자
  • Contact Mechanics and Tribology Simulator, Free, BEM 기반 소프트웨어