가우스 사분법

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2018년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수치 분석에서, 4차 규칙은 함수의 한정된 적분의 근사치로, 일반적으로 통합 영역 내의 지정된 지점에서 함수 값의 가중 합으로 언급된다. (자세한 내용은 숫자 통합을 참조하십시오. 칼 프리드리히 가우스의 이름을 딴 n-point 가우스 사분법 규칙은 ^[1]2n - 1 이하의 다항식에 대해 i = 1, ..., n에 대한_i 적절한 선택으로_i 정확한 결과를 산출하기 위해 구성된 사분법 규칙이다. 직교 다항식을 사용하는 현대식 공식은 칼 구스타프 자코비 1826에 의해 개발되었다.^[2] 그러한 규칙에 대한 통합의 가장 일반적인 도메인은 [-1, 1]로 간주되므로 규칙은 다음과 같이 명시된다.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\관련 \sum _{i=1}^{n}w_{i_{i}f(x_{i}),}$

2n - 1 이하의 다항식에 대해 정확하다. 이 정확한 규칙은 Gauss-Legendre 사분법 규칙으로 알려져 있다. 사분법 규칙은 [-1, 1]에서 f(x)가 2n - 1 이하의 다항식으로 잘 추정된 경우에만 위 적분법에 대한 정확한 근사치가 될 것이다.

Gauss-Legendre 사분법 규칙은 일반적으로 엔드포인트 특이치를 가진 통합 기능에 사용되지 않는다. 대신, 통합과 통합이 다음과 같이 기록될 수 있는 경우

${\displaystyle f(x)=\좌측(1-x\우측)^{\cHB }\좌측(1+x\우측)^{\cHB }g(x),\cHB \cHB \\cHB >-1,}$

여기서 g(x)는 낮은 수준의 다항식으로 잘 추정되며, 대체 노드 x ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle {we}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$이(가) 있는 가중치는 일반적으로 보다 정확한 4각 규칙을 제공한다$$. 이런 것들은 가우스-자코비 사분법칙으로 알려져 있다.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}'g\left(x_{i}'\right).}$

Common weights include ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ (Chebyshev–Gauss) and ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$. One may also want to integrate over semi-infinite (Gauss-Laguerre quadrature) and infinite intervals (Gauss–Hermite quadrature).

4차 노드 x가_i 직교 다항식(가중된 내부 제품에 대한 직교 등급)에 속하는 다항식의 루트임을 보여줄 수 있다(Press, et al, 또는 Stoer and Bulirsch 참조). 이것은 Gauss 4차 노드와 가중치를 계산하기 위한 핵심 관찰이다.

가우스-레젠드르 사분법

위에서 언급된 가장 간단한 통합 문제의 경우$,{\displaystyle }$ 즉 f(x)는 [${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-1,1]}$에서 다항식으로 잘 추정되며$,$ 관련 직교 다항식은 P_n(x)로 표기된 범례 다항식이다. n번째 다항식이 P_n(1) = 1을 주기 위해 정규화된 상태에서 i번째 가우스 노드, x는_in P의 i번째 루트가 되며 가중치는 공식(Abramowitz & Stegun 1972, p.87) harv 오류: 대상 없음: CITREFAbramowitzStegun72 (도움말)

${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{2}^{2}\오른쪽)\왼쪽[P'_{n}(x_{i}\right]^{2}}.}$

일부 저차 4차 규칙은 아래에 표로 표시된다(전체 구간 [-1, 1], 다른 구간은 아래 절을 참조하십시오).

점 수, n	점i, x		무게i, w
1	0		2
2	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt{3}}}}}$	±0.57735...	1
3	0		${\displaystyle {\frac {8}{9}}$	0.888889...
	${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {3}{5}}}}}}$	±0.774597...	${\displaystyle {\frac {5}{9}}$	0.555556...
4	${\displaystyle \pm{\sqrt{3}{7}-{\frac {2}{7}{\sqrt{\frac {6}{5}}}}}}}}}}}}}}}}$	±0.339981...	${\displaystyle {\frac {18+{\sqrt{30}}{36}}}$	0.652145...
	${\displaystyle \pm{\sqrt{3}{7}}{7}+{\frac {2}{7}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	±0.861136...	${\displaystyle {\frac {18-{\sqrt{30}}{36}}}$	0.347855...
5	0		${\displaystyle {\frac}{filename}}$	0.568889...
	${\displaystyle \pm{\frac {1}{3}{5-2}\sqrt{\frac{10}{7}}}}}}}{\sqrt{5-2}}}}}}}}}}}}$	±0.538469...	${\displaystyle {\frac {322+13{\sqrt{70}}{900}}}$	0.478629...
	${\displaystyle \pm{\frac {1}{3}{5+2}{\sqrt{\frac{10}{7}}}}}}}}{\preqrt{5+2}}}}}}}}}}}}}}}$	±0.90618...	${\displaystyle {\frac {322-13{\sqrt{70}}{900}}}$	0.236927...

간격 변경

[a, b] 이상의 적분은 가우스 사분법 규칙을 적용하기 전에 [-1, 1] 이상의 적분으로 변경해야 한다. 이러한 간격의 변경은 다음과 같은 방법으로 수행할 수 있다.

${\displaystyle \int_{a}^{b(x)\,dx=\int_{-1}f\left\flac\flac{b-a}{2}}\xi +{\frac {a+b}{2}{2}}}}\,{\frac {dx}{d\xi }}}}$

$d{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\xi }{}}$= ${\displaystyle b\frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ {$dx}{d\xi }={\frac {b-a}{2}}:}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 지점$$ 가우스 사분법$({\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle(\xi ,w)}$ 규칙을$$ 적용하면 다음과 같은 근사치가 발생한다.

${\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx\약 {\frac {b-a}{2}}\sum_{i=1}w_{n}f\{b-a}f\fac {b}{b-a}}}{b-a}}xi}{2}{2}}}\오른쪽).}$

2점 가우스 4차 규칙 예제

2점 가우스 사분법 규칙을 사용하여 $t{\displaystyle }$ =${\displaystyle 8초\mathrm{}}$ ${\$에서 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 30초\mathrm{},}$ ${\displaystyle t=30\mathrm {s}$까지 로켓에 의해 덮인 미터 단위의 거리를$$ 대략적으로 측정한다.

표 1에 제시된 가중치와 가위표를 사용할 수 있도록 한계를 변경한다. 또한 절대적 상대적 참 오차를 찾으십시오. 참값은 11061로 주어진다.34m

해결책

먼저 통합의 한계를${\displaystyle }$[${\displaystyle 8\mathrm{}}$, ${\displaystyle 30}$] ${\$에서${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$, 1${\displaystyle ]}$ ${\$이(가) 제공하는$$ [ - 1,${\displaystyle 1}$\right]로$$ 변경하십시오.

다음으로 표 1의 2점 규칙에 대한 가중 요소와 함수 인수 값을 구한다.

• ${\displaystyle c_{1}=1.000000000}$
• ${\displaystyle x_{1}=-0.577350269}$
• ${\displaystyle c_{2}=1.000000000}$
• ${\displaystyle x_{2}=0.577350269}$

이제 우리는 Gauss 사분법 공식을 사용할 수 있다.

그 이후

참 값이 절대 상대 참 오류인 11061.34m임을 감안할 때 given ${\displaystyle t_{}}$ $displaystyle \left \varepsilon _{t$}\$오른쪽$}은$($는)

기타 양식

통합 문제는 Ω 양의 중량 함수를 통합에 도입하고 [-1, 1] 이외의 간격을 허용함으로써 약간 더 일반적인 방법으로 표현할 수 있다. 즉, 문제는 계산하는 것이다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}\오메가(x)\,f(x)\,dx}$

a, b, Ω의 일부 선택. a = -1, b = 1, Ω(x) = 1의 경우 문제는 위에서 고려한 것과 동일하다. 다른 선택은 다른 통합 규칙으로 이어진다. 이것들 중 일부는 아래에 표로 되어 있다. 등식 번호는 아브라모위츠와 스테건(A&S)에 주어진다.

간격	Ω(x)	직교 다항식	A&S	자세한 내용은 다음을 참조하십시오.
[−1, 1]	1	레전드르 다항식	25.4.29	§ 가우스-레전드르 쿼드라처
(−1, 1)	${\displaystyle \left(1-x\right)^{\reft }\reft(1+x\right)^{\reft }\reft \reft ,\reft;-1}$	자코비 다항식	25.4.33 (β = 0)	가우스-자코비 사분법
(−1, 1)	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}$	체비셰프 다항식(제1종)	25.4.38	체비셰프-가우스 사분법
[−1, 1]	${\displaystyle {\sqrt{1-x^{2}}:$	체비셰프 다항식(두 번째 종류)	25.4.40	체비셰프-가우스 사분법
[0, ∞)	${\displaystyle e^{-x}\,}$	라구에르 다항식	25.4.45	가우스-라게르 사분법
[0, ∞)	${\displaystyle x^{\displaystyle x^{}e^{-x},\display \cHB >-1}$	일반화된 라구에르 다항식		가우스-라게르 사분법
(−∞, ∞)	${\displaystyle e^{-x^{2}}$	헤르미트 다항식	25.4.46	가우스-헤르미트 사분법

기본 정리

p는_n 다음과 같은 정도의 비종교 다항식이 되도록 한다.

${\displaystyle \int_{a}^{b}\오메가(x)\,x^{k}p_{n}(x)\,dx=0,\text{\text{}모든 }k=0,1,\ldots,n-1.}$

각 p는_n j≠n에 대해 다른 다항식_j p와 직교하도록 구성되고 x는^k 해당 집합의 범위에 있으므로 위의 모든 직교 다항식에도 이 값이 적용된다.

n개 노드 x를_i p의_n 0으로 선택하면 2n - 1 이하의 모든 다항식 h(x)에 대해 Gauss-quadrature 계산 적분을 정확하게 만드는 n개의_i 가중치가 존재한다. 또한 이러한 모든 노드 x는_i 개방 간격(a, b)에 위치한다(Stoer & Bulirsch 2002, 페이지 172–175).

이 주장의 첫 번째 부분을 증명하려면 h(x)를 2n - 1 이하의 다항식이 되도록 한다. 직교 다항식 p로_n 나누면

${\displaystyle h(x)=p_{n}(x)\,q(x)+r(x).}$

여기서 q(x)는 n - 1 이하(divisor p의_n 정도와 divisor p의 값의 합계가 배당금의 합계와 같아야 하기 때문)의 몫이고, r(x)는 n - 1 이하(divisor의 정도가 항상 divisor의 몫보다 작기 때문에)의 몫이다. p는_n n보다 작은 모든 단수들에 직교한다고 가정하기 때문에 q(x)의 몫에 직교해야 한다. 그러므로

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,{\big (}\,p_{n}(x)q(x)+r(x)\,{\big )}\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx.}$

나머지 r(x)은 n - 1 이하이므로, lagrange 다항식 l_i(x)로 보간점을 사용하여 정확히 보간할 수 있다.

${\displaystyle l_{i}(x)=\prod _{j\neq i}{\frac {x-x_{j}{x_{i}-x_{j}}}.}$

우리는 가지고 있다.

${\displaystyle r(x)=\sum _{i=1}^{nl_{i}(x)\,r(x_{i}).}$

그러면 그것의 적분은 같을 것이다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,\sum _{i=1}^{n}l_{i}(x)\,r(x_{i})\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,\int _{a}^{b}\omega (x)\,l_{i}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,w_{i},}$

여기서_i, x_i 노드와 관련된 중량은 l_i(x)의 가중 적분과 같도록 정의된다(중량에 대한 다른 공식은 아래 참조). 그러나 x는_i 모두 p의_n 뿌리여서 위의 나누기 공식은 다음과 같은 것을 말해준다.

${\displaystyle h(x_{i}=p_{n}(x_{i})\,q(x_{i})+r(x_{i})=r(x_{i}),}$

나로서는 그래서 우리는 마침내 갖게 되었다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,r(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,h(x_{i}).}$

이는 2n - 1 이하의 모든 다항식 h(x)에 대해 그 적분은 가우스 4차 합계에 의해 정확히 주어진다는 것을 증명한다.

청구서의 두 번째 부분을 입증하려면 다항식 p의_n 인수 형식을 고려한다. 어떤 복잡한 결합 뿌리는 전체 실선에 대해 엄격히 긍정적이거나 엄격히 부정적인 2차 인자를 산출할 것이다. a에서 b까지의 구간을 벗어난 루트에 대한 어떤 요인도 그 구간에서 부호를 변경하지 않을 것이다. 마지막으로, a에서 b까지의 간격 내에 기형적인 x에_i 해당하는 인자의 경우, p에_n 1개의 인자를 더 곱하여 새로운 다항식을 만든다.

${\displaystyle p_{n}(x)\,\prod _{i}(x-x_{i}).}$

이 다항식은 현재 모든 뿌리가 고른 다항성을 가지고 있기 때문에 a에서 b까지의 간격에 걸쳐 부호를 변경할 수 없다. 그래서 일체형

${\displaystyle \int_{a}^{b}p_{n}(x)\,\좌측(\prod)_{i}(x-x_{i}\우측)\,\omega(x)\,dx\neq 0,}$

중량 함수 Ω(x)은 항상 음수가 아니므로 그러나 p는_n n-1 이하의 모든 다항식과 직교하므로 제품의 정도

${\displaystyle \prod _{i}(x-x_{i})}$

적어도 n은 되어야 한다. 그러므로 p는_n a에서 b까지의 간격에 모두 진짜인 뚜렷한 뿌리를 가지고 있지 않다.

가중치에 대한 일반 공식

가중치는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle w_{i}={\frac {a_{n1}{n-1}:{a_{n-1}:{b}\int_{a}\오메가(x)p_{n-1}\좌측(x\right)^{2}dx}{p_{n-1}(x_{n}p){n-1}(x_{n}{n}}}{n}}}}}{n-{n-{i}}}}}}}}.}}}$

(1)

여기서 ${\displaystyle k_{}}$ ${\$${\displaystyle k}$$}}$는 $p{\displaystyle {}_{}{k}_{}}$ ( x $){\displaystyle p_{k}(x)}$의 x $k{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ x$^{k}}$의 계수임$.$ 이를 입증하기 위해 Lagrange 보간법을 $사용$하면 r$){\displaystystyle r(x_{i})$를 다음과$$ 같이 나타낼 수 있다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle r(x)=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\prod_{\\\leq j\\\j\neq i\end{smallmatrix}{\frac {x-x_}{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:$

왜냐하면 r(x)은 n보다 작은 정도를 가지며, 따라서 n개의 다른 지점에서 얻는 값에 의해 고정되기 때문이다. 양쪽에 Ω(x)을 곱하고 a에서 b로 통합

${\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)r(x)dx=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx}$

따라서 w는_i 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle w_{i}=\int _{a}^{b}\omega(x)\prod _{\\\leq j\\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x_}{x_{j}}}dx}}dx}$

$w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${\displaystyle i}$$}}$에 대한 이 통합 표현은 다음과 같이$$ 직교 다항식 $p{\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle p_{n}(x)$ 및$$ ${\displaystyle p_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystystyle p_{n-1}(x)}$의 단위로 표현할$$ 수 있다.

우리는 쓸 수 있다.

${\displaystyle \prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x-x_{j}\right)={\frac {\prod _{1\leq j\leq n}\left(x-x_{j}\right)}{x-x_{i}}}={\frac {p_{n}(x)}{a_{n}\left(x-x_{i}\right)}}}$

여기서 ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) p $n{\displaystyle {}_{}{x}_{}}$ $){\displaystyle p_{n}}}$의 x n ${\$displaystyle $x_{n}}}$의 계수임$.$ ${\displaystyle x_{}}$의 한도를 $x{\displaystyle {}_{}}$ i ${\$에 적용함. L'Hepitale를 사용하여 산출량$$

${\displaystyle \p'prod _{\req j\leq n\\\neq i\end{smallmatrix}\왼쪽(x_{i}-x_{j}\right)={\frac {p'_{n}(x_{i})}}{a_{n}}}}}$

따라서 우리는 다음과 같이 가중치에 대한 일체적 표현을 쓸 수 있다.

${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p'_{n}(x_{i})}}}}\{a}^{b}\오메가(x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}dx}$

(2)

통합 및 쓰기

${\displaystyle {\frac {1}{x-x_{i}}={\frac {1-\좌측값\frac {x}{x_{i}}\오른쪽)^{k}}{x-x_{i}}+\좌측값\frac {x}{x_{i}}\오른쪽)^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}}}$

수확하다

${\displaystyle \int_{a}^{b}\omega (x){x^{k_{n}}{x_{n}}}{x_{n}}}}dx=x_{k}}\int _{a}^{b}\omega(x){p_{n}x_{i}d}}}}d}}}}}$

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le n}$ ${\displaystyle k\leq n}$을(를) 제공했다$.$

${\displaystyle {\frac {1-\왼쪽 사진\frac {x}{x_{i}}\오른쪽)^{k}}{x-x_{i}}}}}$

${\displaystyle p_{}}$ ( x ) {\$displaystyle p_{n}(x)}$에 직교하는 k - 1의 다항식이다$.$ 따라서, q(x)가 최대 n번째 수준의 다항식이라면, 우리는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}\오메가(x){p_{n}(x)}{x-x_{i}dx={\frac {1}{q(x_{i})}}}}}\{a}^{b}\오메가(x){\frac {q(x)p_{n(x)}{x-x_{i}dx}}$

우측에 있는${\displaystyle q}$( ${\displaystyle x_{}}$ ) = p ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle q(x$)=$p_{n-1}(x)}$에 대한 적분을 다음과 같이$$ 평가할 수 있다. $p{\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$ ${\$은(는) n - 1의 다항식이기 때문에 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}=a_{n}x^{n-1}+s(x)}$

여기서 s(x)는 $n{\displaystyle }$- 2 ${\displaystyle n-2}$의 다항식이다$.$ s(x)는 ${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle p_{n-1(x)}$과 직교하기 때문에 우리는$$ 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \int_{a}^{b}\오메가(x){p_{n}}{x-x_{n}dx={\frac {a_{n}}{p_{n1}(x_{i}){p_{n-1}(x_{i})}}}\{a}^{b}\오메가(x)p_{n-1(x)^{n-1}dx}$

그러면 우리는 쓸 수 있다.

${\displaystyle x^{n-1}=\왼쪽(x^{n-1}-{p_{n-1}-{n-1}(x)}{a_{n-1}\right)+{\frac {p_{n-1}{n-1}}}{n-1}:{n-1}:{n-1}:{n-1}:{n-1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

괄호 안의 용어는 $도{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n-2}$의 다항식이며$,$ 따라서 ${\displaystyle p}$ $n{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle p_{n-1}(x)}$에 직교한다$.$ 따라서 적분은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \int_{a}^{b}\오메가(x){p_{n}}{x-x_{i}}dx={\frac {a_{n}{n1}p_{n-1}(x_{i}){n-1}}}}}\{a}^{b}\오메가(x)p_{n-1(x)^{2}dx}$

등식 (2)에 따라 이를 ${\displaystyle p_{}^{}}$ n${\displaystyle {}_{}^{}}$′ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ) $displaystyle p'_{n}(x_{i})$로 나누어 가중치를 구하며, 이$$ 가중치는 등식 (1)로 식을 산출한다.

${\displaystyle w_{i}}$ can also be expressed in terms of the orthogonal polynomials ${\displaystyle p_{n}(x)}$ and now ${\displaystyle p_{n+1}(x)}$. In the 3-term recurrence relation ${\displaystyle p_{$$n+1}(x_{i})=(a)p_{n}(x_{i})+(b)p_{n-1}(x_{i})}$ the term with ${\displaystyle p_{n}(x_{i})}$ vanishes, so ${\displaystyle p_{n-1}(x_{i})}$ in Eq. (1) can be replaced by ${\textstyle {\frac {1}{b}}p_{n+1}\left(x_{i}\right)}$.

가중치가 양수라는 증거

다음 다항식의 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2n-2}$을(를) 고려하십시오.

${\displaystyle f(x)=\prod _{\\\leq j\\\j\neq i\end{smallmatrix}{\frac {\refrac(x-x_{j}\right)}^{2}}:{{{{{i}-x_-x_{j}\rig}\}}}}}}}}}}}}}^{2}}:}}}:{2}}:$

여기서, ${\displaystyle 위}$와 같이 x는_j 다항식 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle p_{n}(x)}$의 루트$.$ $분명히{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$=\delta _{ij$ f $){\displaystyle f(x)}$의 정도가 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$- 1 ${\displaystyle 2n-1}$보다 작기$$ 때문에 ${\displaystyle {pn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}x}$) ${\displaystyp p_{n}(x)$에서 얻은 가중치와 노드를 포함하는 가우스 4차 공식이 적용된다$.$ j에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle f(x_{j}=0})$가 i와 같지 않기 때문에, 우리는 다음과 같은 결과를 얻었다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}\opene (x)f(x)dx=\sum _{j=1}w_{j}f(x_{j})=\sum _{j=1}{j=1}^{j}w_{j}={i}}0.}$

$\Omega {\displaystyle (x}$) ${\displaystyle \omega(x)}$ 및$$ $f{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ 모두 음이 함수가므로 w i$$ > $displaystyle w_{i}>0$을 따른다.

가우스 사분법 규칙 계산

가우스 사분법 규칙의 노드 x와_i 가중치를_i 계산하는 알고리즘은 많다. 가장 인기 있는 것은 O(n²) 연산이 필요한 골루브-웰슈 알고리즘, O(n²) 연산이 필요한 평가에 3개월의 재발을$$ 이용한 뉴턴의 $p{\displaystyle {}_{}\mathrm{x}}$ ${\displaystyle )}$= 0 $[\displaystyle p_{n}(x)=0}$ 해결 방법, O(n) 연산이 필요한 대형 n에 대한 점증식이다.

재발관계

Orthogonal polynomials ${\displaystyle p_{r}}$ with ${\displaystyle (p_{r},p_{s})=0}$ for ${\displaystyle r\neq s}$ for a scalar product ${\displaystyle (\,\,)}$, degree ${\displaystyle (p_{r})=r}$ and leading coefficient one (i.e. monic orthogonal polynomials) 재발 관계를 만족한다.

${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r,r}p_{r}-a_{r-1}p_{r-1(x)\cdots -a_{r,0}p_{0}(x)}$

및 스칼라 제품 정의

${\displaystyle (f(x),g(x)=\int _{a}^{b}\omega(x)f(x)g(x)dx}$

for ${\displaystyle r=0,1,\ldots ,n-1}$ where n is the maximal degree which can be taken to be infinity, and where ${\textstyle a_{r,s}={\frac {\left(xp_{r},p_{s}\right)}{\left(p_{s},p_{s}\right)}}}$. First of all, the polynomials defined by th${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle p_{0}(x)=1}$으로 시작하는 e 반복 관계는 선행 계수 1과 올바른 정도를 갖는다$$. $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 의한 시작점을 부여하면 $p{\displaystyle {}_{}}$ r ${\$의 직교성을 유도로 나타낼 수 있다$$$.$ $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r=s=0}$의 경우

${\displaystyle (p_{1},p_{0}=(x-a_{0,0})(p_{0},p_{0})=(p_{0},p_{0})-a_{0,0}(p_{0},p_{0})-((_{0},p_{0})=0}.}$

이제 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이 직교라면$$, $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ {\displaystyle p_{r+1}, 그 다음에도 p + 1 ${\$ 그 이유는 다음과 같다$.$

${\displaystyle (p_{r+1},p_{s}=(으)_{r}-a_{r}(p_{r},p_{s})-a_{r-1}(p_-1},p_{s})-a_{r-1}(p_{0},p_{s})\cdots}$

첫 ${\displaystyle {번째}_{}}$ 스칼라 제품 $및{\displaystyle {}_{}}$ p$${\$displaystyle p_{s}}$가 동일한 직교 다항식을 만나는$$ 제품을 제외하고 모든 스칼라 제품이 사라진다. 그러므로

${\displaystyle (p_{r+1},p_{s}=(s)_{r}-a_{r}-{r}(p_{s},p_{s})=(s)_{r_{s}=0.}$

그러나 스칼라 제품이${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$, g${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle (xf,g)=(f,xg)}($가우스 사분법의 경우)를 만족하면 재발 관계는 3개월의 재발 관계로 감소한다. < - , ${\displaystyle s{s}$는 r - 1.보다 작거나 같은 수준의 다항식이다. 반면에 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$는 r - 1보다 작거나 같은 수준의 모든 다항식과 직교한다$$. 따라서 s < r - 1에 대해$$${\displaystyle }$( x ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ s${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p_{}}$ s${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$=$$0 ${\displaystyle$(xp_{r},$p_{s}}=(p_{r$},$xp_{s})=0},$${\displaystyle {}_{}{r}_{}}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystystyle a_{r,s}=0}$이 있다. 그런 다음 다음과 같은 반복 관계를 단순화하십시오.

${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r}p_{r}p_{r-1p_{r-1}(x)}$

또는

${\displaystyle p_{r+1}(x)=(x-a_{r}p_{r}b_{r-p_{r-1}(x)}$

(${\displaystyle \mathrm{p}{}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$( x ) ${\displaystyle \equiv }$0${\displaystyle }${\$displaystyle p_{-1}(x)\equiv$ 0$\})$ 여기서

${\displaystyle a_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r})}{(p_{r},p_{r})}},\qquad b_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r-1})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}={\frac {(p_{r},p_{r})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}}$

(the last because of ${\displaystyle (xp_{r},p_{r-1})=(p_{r},xp_{r-1})=(p_{r},p_{r})}$, since ${\displaystyle xp_{r-1}}$ differs from ${\displaystyle p_{r}}$ by a degree less than r).

골럽-웰슈 알고리즘

The three-term recurrence relation can be written in matrix form ${\displaystyle J{\tilde {P}}=x{\tilde {P}}-p_{n}(x)\times \mathbf {e} _{n}}$ where ${\displaystyle {\tilde {P}}={\begin{bmatrix}p_{$0}일 경우())&, p_ᆬ())&, \ldots, p_ᆭ())\end{bmatrix}}^{\mathsf{T}}&},나 n{\displaystyle \mathbf{e}_{n}}은 n{n\displaystyle}을 표준 기준 벡터, 즉, enx[0 달려가서 01]T{\displaystyle \mathbf{e}_{n}={\begin{bmatrix}0&, \ldots &, 0&, 1\end{bmatrix}}^{\mathsf{T}}.},, J는so-cal 있다.납 자코비 행렬:

${\displaystyle \mathbf{J}={\begin{pmatrix}a_{0}&, 1&, 0&, \ldots, \ldots &, \ldots \\b_{1}&, a_{1}&, 1&, 0&, \ldots &, \ldots \\0&, b_{2}&, a_{2}&, 1&, 0&, \ldots \\0&, \ldots &, \ldots &, \ldots &, \ldots &, 0\\\ldots &, \ldots &, 0&, b_{n-2}&, a_{n-2}&, 1\\\ldots &, \ldots &, \ldots &0&.&b_{n-1}&, a_{n-1}\end{pmatrix}}}$

가우스 사분법의 노드로 사용되는 n도까지의 다항식의 $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ j ${\$는 이 3각형 행렬의 고유값을 계산하여 찾을 수 있다. 이 절차는 골럽-웰슈 알고리즘으로 알려져 있다.

가중치와 노드를 계산하려면 요소가 있는$$ 대칭 3각형 $행렬{\displaystyle \mathcal{}}$ J ${\$을(를) 고려하는 것이 바람직하다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\mathcal {J}_{i,i}=J_{i,i}&=a_{i-1}&&i=1,\ldots ,n\\{\mathcal {J}}_{i-1,i}={\mathcal {J}}_{i,i-1}={\sqrt {J_{i,i-1}J_{i-1,i}}}&={\sqrt {b_{i-1}}}&&i=2,\ldots ,n.\end{aligned}}}$

J와 $J{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 행렬이 비슷하므로$$ 동일한 고유값(노드)을 갖는다. 가중치는 해당 고유 벡터로 계산할 수 있다. $\varphi {\displaystyle {}^{}}$($){\$이 고유값_j x와 연관된 정규화된 고유벡터(즉, 유클리드 규범이 1과 동일한 고유벡터)인$$ 경우, 해당 중량은 이 고유벡터의 첫 번째 성분, 즉 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle w_{j}=\mu _{0}\left(\phi _{1}^{1}^{(j)\right)^{2}}$

여기서 $\mu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 중량 함수의 정수임

${\displaystyle \mu _{0}=\int _{a}^{b}\omega(x)dx.}$

자세한 내용은 (Gil, Segura & Temme 2007)을 참조하십시오.

오차 추정치

가우스 사분법 규칙의 오류는 다음과 같이 말할 수 있다(Stoer & Bulirsch 2002, Thm 3.6.24). 연속 파생 모델이 2n개인 통합의 경우,

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mobe (x)\,f(x)\,dx-\sum _{i}{i}\i={i=1^{n1}w_{i}\,f(x_{i}})={\f^{f^{(2n}(xi )}}}}!}}}\,(p_{n},p_{n}})}$

(a, b)의 일부 ξ에 대해, 여기서 p는_n 단수(즉, 선행 계수는 1) 직교 다항식 n 도 및 where

${\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}\오메가(x)f(x)g(x)\,dx.}$

Ω(x) = 1의 중요한 특수 사례에서 오류 추정치가 있다(Kahaner, Moler & Nash 1989, §5.2).

${\displaystyle {\frac(b-a\오른쪽)^{2n+1}\왼쪽(n!\오른쪽)^{4}{{n+1)\왼쪽[\n\오른쪽]!\right]^{3}}f^{(2n)}(\xi ),\qquad a<\xi <b.}$

스토어와 Bulirsch는 이 오류 추정치는 주문 2n 파생상품의 추정이 어려울 수 있고 나아가 실제 오류는 파생상품에 의해 설정된 한계보다 훨씬 적을 수 있기 때문에 실무상 불편하다고 말한다. 또 다른 접근방식은 순서가 다른 두 가지 가우스 사분법 규칙을 사용하고, 두 결과의 차이로 오차를 추정하는 것이다. 이를 위해 가우스-크론로드 사분법 규칙이 유용할 수 있다.

가우스-크론로드 규칙

간격 [a, b]을 세분화하면, 새로운 하위절차의 Gauss 평가 지점은 이전의 평가 지점(홀수 번호의 경우 0 제외)과 절대 일치하지 않으므로, 통합은 모든 지점에서 평가되어야 한다. Gauss-Kronrod 규칙은 결과 규칙이 순서가 2n + 1인 방식으로 n 포인트 규칙에 n + 1 포인트를 추가함으로써 생성된 Gauss 4차 규칙의 확장이다. 이를 통해 저차 추정치의 함수 값을 재사용하면서 고차 추정치를 계산할 수 있다. 가우스 사분법 규칙과 그 크론로드 확장자 사이의 차이는 근사 오차의 추정치로 종종 사용된다.

가우스-로바토 규칙

로바토 사분법(Abramowitz & Stegun 1972, 페이지 888)이라고도 알려져 있는 harv error: no target: CITREFABramowitzStegun1972 (도움말)은 네덜란드의 수학자 르후엘 로바토의 이름을 딴 것이다. 다음과 같은 차이가 있는 가우스 사분법과 유사하다.

1. 통합점에는 통합구간의 끝점이 포함된다.
2. 2n – 3까지 다항식에 대해 정확하다. 여기서 n은 통합 포인트 수(Quartoni, Sacco & Saleri 2000)이다.

주기 [-1, 1]에 f(x) 함수의 로바토 사분법:

${\displaystyle \int_{1}^{1}{f(x)\,dx}={\frac {2}{n1}{n(n-1)}}}}}[f(1)+f(-1)]+\sum _{i=2}^{w_{i-1}{i_{i}}+R_{n}.}$

Abscissas: x는_i${\displaystyle }$(${\displaystyle i_{}^{}}$ -${\displaystyle }$${\displaystyle 1_{}^{}}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle (i-1)}$ P${\displaystyle {}_{}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle P'_{n-1(x)}$의 0이며$,$ 여기서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle P_{m}(x)$는 m-th도의 표준 범례와 대시를 나타낸다$$.

가중치:

${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{n(n-1)\왼쪽[P_{n-1}\왼쪽(x_{i}\오른쪽)\오른쪽]^{2}},\qquad x_{i}\neqpm 1.}$

나머지:

${\displaystyle R_{n}={\frac {-n\left(n-1\right)^{32}^{2n-1}\left[\left(n-2\right)!\right]^{4}:{4}{(2n-1)\왼쪽[\왼쪽(2n-2\오른쪽)!\right]^{3}^{3}f^{(2n-2)}(\xi ),\qquad -1<\xi <1.}$

일부 가중치는 다음과 같다.

점 수, n	점i, x	무게i, w
$(\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}$
	$\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}$
$(\displaystyle 4}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {1}{5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{6}}$
	$\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}$
$(\displaystyle 5)$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {32}{45}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac{3}{7}}}}}$	${\displaystyle {\frac {49}{90}}$
	$\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle \pm{\sqrt{1}{3}-{\frac {2}\sqrt{7}{21}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {14+{\sqrt{7}}{30}}}$
	${\displaystyle \pm{\sqrt{1}{3}+{\frac {2}\sqrt{7}{21}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {14-{\sqrt{7}}{30}}}$
	$\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}$
$(\displaystyle 7)$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {256}{525}}$
	${\displaystyle \pm{\sqrt{5}{11}-{\frac {2}{11}{\sqrt{5}{3}}}}}}}}}}}}:{\sqrt {\frac {5}{3}}}}}}}}}}}}}}}}$	${\displaystyle {\frac { {+7{\sqrt{15}}{350}}}$
	${\displaystyle \pm{\sqrt{5}{11}}+{\frac {2}{11}{\sqrt{5}{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1987{\sqrt{15}}{350}}}$
	$\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{21}}$

2개의 내부 노드가^[3] 있는 이 알고리즘의 적응형 변형은 GNU 옥타브와 MATLAB에서 다음과 같이 발견된다. quadl 그리고 integrate.^[4][5]

참조

• 동질 비등방성 매체에서 탄성장을 찾기 위한 정확한 일반화된 가우스 4중법 솔루션 구현
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 25.4, Integration". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Anderson, Donald G. (1965). "Gaussian quadrature formulae for ${\displaystyle \int _{0}^{1}-\ln(x)f(x)dx}$". Math. Comp. 19 (91): 477–481. doi:10.1090/s0025-5718-1965-0178569-1.
• Golub, Gene H.; Welsch, John H. (1969), "Calculation of Gauss Quadrature Rules", Mathematics of Computation, 23 (106): 221–230, doi:10.1090/S0025-5718-69-99647-1, JSTOR 2004418
• Gautschi, Walter (1968). "Construction of Gauss–Christoffel Quadrature Formulas". Math. Comp. Vol. 22, no. 102. pp. 251–270. doi:10.1090/S0025-5718-1968-0228171-0. MR 0228171.
• Gautschi, Walter (1970). "On the construction of Gaussian quadrature rules from modified moments". Math. Comp. Vol. 24. pp. 245–260. doi:10.1090/S0025-5718-1970-0285117-6. MR 0285177.
• Piessens, R. (1971). "Gaussian quadrature formulas for the numerical integration of Bromwich's integral and the inversion of the laplace transform". J. Eng. Math. Vol. 5, no. 1. pp. 1–9. Bibcode:1971JEnMa...5....1P. doi:10.1007/BF01535429.
• Danloy, Bernard (1973). "Numerical construction of Gaussian quadrature formulas for ${\displaystyle \int _{0}^{1}(-\log x)x^{\alpha }f(x)dx}$ and ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }E_{m}(x)f(x)dx}$". Math. Comp. Vol. 27, no. 124. pp. 861–869. doi:10.1090/S0025-5718-1973-0331730-X. MR 0331730.
• Kahaner, David; Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989), Numerical Methods and Software, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-627258-8
• Sagar, Robin P. (1991). "A Gaussian quadrature for the calculation of generalized Fermi-Dirac integrals". Comput. Phys. Commun. 66 (2–3): 271–275. Bibcode:1991CoPhC..66..271S. doi:10.1016/0010-4655(91)90076-W.
• Yakimiw, E. (1996). "Accurate computation of weights in classical Gauss-Christoffel quadrature rules". J. Comput. Phys. 129 (2): 406–430. Bibcode:1996JCoPh.129..406Y. doi:10.1006/jcph.1996.0258.
• Laurie, Dirk P. (1999), "Accurate recovery of recursion coefficients from Gaussian quadrature formulas", J. Comput. Appl. Math., 112 (1–2): 165–180, doi:10.1016/S0377-0427(99)00228-9
• Laurie, Dirk P. (2001). "Computation of Gauss-type quadrature formulas". J. Comput. Appl. Math. 127 (1–2): 201–217. Bibcode:2001JCoAM.127..201L. doi:10.1016/S0377-0427(00)00506-9.
• Riener, Cordian; Schweighofer, Markus (2018). "Optimization approaches to quadrature: New characterizations of Gaussian quadrature on the line and quadrature with few nodes on plane algebraic curves, on the plane and in higher dimensions". Journal of Complexity. 45: 22–54. arXiv:1607.08404. doi:10.1016/j.jco.2017.10.002.
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3.
• Temme, Nico M. (2010), "§3.5(v): Gauss Quadrature", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 4.6. Gaussian Quadratures and Orthogonal Polynomials", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Gil, Amparo; Segura, Javier; Temme, Nico M. (2007), "§5.3: Gauss quadrature", Numerical Methods for Special Functions, SIAM, ISBN 978-0-89871-634-4
• Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2000). Numerical Mathematics. New York: Springer-Verlag. pp. 422, 425. ISBN 0-387-98959-5.
• Walter Gautschi: "A Software Repository for Gaussian Quadratures and Christoffel Functions," SIAM, ISBN 978-1-611976-34-2(2020).

특정

외부 링크

• "Gauss quadrature formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• ALGLIB에는 숫자 통합을 위한 알고리즘 집합이 포함되어 있다(C# / C++ / 델파이 / Visual Basic / 등).
• GNU Scientific Library — C 버전의 QuadPack 알고리즘(GNU Scientific Library 참조)을 포함한다.
• 로바토 사분법에서 오일러 상수 e까지
• 통합의 가우스 4중 법칙 – 전체론적 수치법 연구소의 노트, PPT, Mathematica, Mapatica, Mapple, Mathcad
• Weisstein, Eric W. "Legendre-Gauss Quadrature". MathWorld.
• Chris Maes와 Anton Antonov의 Gaussian 4중주, Wolfram 데모 프로젝트.
• n=2 ~ n=64, mathematica 소스 코드, 고정밀(16 및 256자리) 범례-가우스 4차 가중치 및 Abscissas, mathematica 소스 코드 표.
• 임의 가중 함수 W(x), 통합 도메인 및 정밀도를 위한 가중치 생성 및 임의 가중치 생성을 위해 GNU LGPL에 따라 배포되는 Mathemathematica source code
• 부스트의 가우스 사분법.산술, 임의의 정밀도 및 근사치 순서
• 부스트의 가우스-크론로드 쿼드레이처.수학
• 가우스 사분법의 노드 및 중량