보르티시 방정식

유체 역학의 복티시티 방정식은 유체의 흐름, 즉 유체의 국소 회전(벡터 미적분학의 관점에서 이것은 유체의 굴곡)과 함께 이동하면서 유체의 입자 $Ω$ 의 진화를 설명한다. 그 방정식이 있습니다:Dω Dt=∂ ω ∂ t+(u⋅ ∇)ω)(ω ⋅ ∇)너 − ω(⋅ 너∇)+1ρ 2∇ ρ×∇ p+∇×(∇ ⋅ τ ρ)+∇×(Bρ){\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{D{\boldsymbol{\omega}}}{Dt}}&={\frac{\partial{\boldsymbol{\omega}}}{\partial지}}+(\mathbf{u}\.cdo $t \nabla ){\boldsymbol {\omega }}\\&=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} -{\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {u} )+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nabla \times \left({\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}\right)+\nabla \times \left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)\end{aligned}}}$

어디.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-pars.Er-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}D/Dt은 재료 미분 연산자, u는 유속, ρ은 지역의 유체 밀도, p는 국내 압력, τ은 점성 응력 텐서와 B는 신체의 힘의 합을 나타냅니다. 오른쪽의 첫 번째 출처 용어는 보텍스 스트레칭을 나타낸다.

이 방정식은 압축 가능한 뉴턴 액에 대해 농축된 토크와 선 힘이 없을 때 유효하다.

비압축성(즉, 낮은 마하 수)과 등방성 유체의 경우, 보수적인 신체 힘을 가진 등방성 유체의 경우 방정식은 vorticity 전송 방정식으로 단순화된다.

{\displaystyle{\boldsymbol {\omega }}{D}}{Dt}}=\왼쪽({\boldsymbol {\omega }}}}\cdot \nabla \right)\mathbf {u}+\nu \nu \nabla ^{2}}}}}}

여기서 $ν$ 은 키네마틱 점성이고 $\nabla 2$ 은 라플라스 연산자다.

2차원 및 등방성 유체로서 보수적인 신체 힘을 가진 압축 불가능한 경우(즉, 낮은 마하 수), 등방성 유체의 경우 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}{Dt}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega}}}}

여기서 $ν$ 은 키네마틱 점성이고 $\nabla 2$ 은 라플라스 연산자다.

물리적 해석

왼쪽의 $DΩ / Dt$ 라는 용어는 vorticity 벡터 $Ω$ 의 재료 파생물이다. 그것은 움직이는 액체 입자의 vorticity의 변화 속도를 설명한다. 이러한 변화는 흐름의 불안정성 $(\partial//\partial t$ , 불안정한 조건) 또는 유체 입자가 한 지점에서 다른 지점으로 이동할 때의 움직임( $u$ ∙ $\nabla,$ 대류 조건)에 기인할 수 있다.
우측의 ( $Ω$ ∙ $\nabla)$ $u$ 라는 용어는 유속 구배로 인한 vorticity의 스트레칭이나 기울기를 나타낸다. $(Ω$ ∙ $\nabla)$ $u$ 는 벡터 수량인데, $Ω$ ∙ $\nabla$ 은 스칼라 차동 연산자, $\nabla u$ 는 9 element 텐서 수량이다.
$Ω (\nabla$ ∙ $u)$ 이라는 용어는 유량 압축성으로 인한 vorticity의 스트레칭을 설명한다. 연속성에 대한 Navier-Stokes 방정식, 즉 ${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)&=0\\\Longleftrightarrow \nabla \cdot \mathbf {u} &=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {dv}{dt}}\end{aligned}}$ 여기서 $v$ = $1 / 4$ 은 유체 소자의 특정 볼륨이다. $∙$ ∙ $u$ 를 흐름 압축성의 척도로 생각할 수 있다. 때로는 부정적인 기호가 용어에 포함되기도 한다.
$용어$ 1/ $22 \nabla ρ$ × $\nabla p$ 는 바로 바로클린어다. 그것은 밀도와 압력 표면의 교차점에 의한 vorticity의 변화를 설명한다.
$\nabla$ × $(\nabla$ ∙ $τ / ρ)$ 라는 용어는 점성 효과에 의한 vortic의 확산을 설명한다.
$\times\times B$ 라는 용어는 외체의 힘에 의한 변화를 규정한다. 이것들은 중력이나 전자기력처럼 유체의 3차원 영역에 걸쳐 퍼져 있는 힘이다. (벽에 끌리는 것과 같은) 표면이나 선(메니스크 주위의 표면 장력 같은) 위에서만 작용하는 힘과 대조적으로.

단순화

보수적인 체력의 경우 × $B$ = $0$ .
바오티방성 액의 경우 $\nabla ρ$ × $\nabla p$ = $0$ . $이$ 는density density = $0인$ 일정한 밀도 유체(불압력 유체 포함)에도 해당된다. 이 유체는 비압력적인 흐름과 같지 않기 때문에, 이 용어는 비압력적인 용어를 소홀히 할 수 없다는 점에 유의한다.
비점성 유체의 경우 점성 텐서 $τ$ 은 0이다.

따라서 보수적인 신체 힘을 가진 비논리적이고 비논리적 유체의 경우, vorticity 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

{\frac{d}}{dt}\frac\frac\\frac{\rho }}\\prechmbol {\bea }\procdot \cdla \mathbf {u}}}}

또는 보수적인 신체 힘을 가진 압축불능, 비침습성 액체의 경우,

{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u}

^[1]

추가 사례 및 단순화에 대한 간략한 검토는 또한 참조하십시오.^[2] 난류 이론의 vorticity 방정식은 해양과 대기의 흐름의 맥락에서 다음을 참조한다.^[3]

파생

vorticity 방정식은 Navier에서 도출할 수 있다.–각운동량 보존을 위한 스톡스 방정식 집중된 토크와 라인 힘이 없을 경우, 이를 얻는다.

{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {B} +{\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}

이제, vorticity는 유속 벡터의 컬로 정의된다. 모멘텀 방정식의 컬을 취하면 원하는 방정식이 나온다.

다음의 정체성은 방정식의 도출에 유용하다.

{\displaystyle{\begin{정렬}{\boldsymbol{\omega}}&=\nabla \times{u}\\\left(\mathbf{너}\cdot \nabla \right)\mathbf{u}및 \mathbf, =\nabla \left({\frac{1}{2}}\mathbf{너}\cdot\mathbf{너}\right)-\mathbf{u}\left(\mathbf{너}\times{\boldsymbol{\omega}}\right)&, =-{\boldsymbol{\omega{\boldsymbol{\omega}}\\\nabla \times \times. }}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} -\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right){\boldsymbol {\omega }}\\[4pt]\nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}&=0\\[4pt]\nabla \times \nabla \phi &=0\end{aligned}}}

여기서 $ϕ$ 은 어떤 스칼라 밭이다.

텐서 표기법

vorticity 방정식은 아인슈타인의 합계 협약과 Levi-Civita 기호 $e ijk$ :를 사용하여 텐서 표기법으로 표현할 수 있다.

{\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{D\omega_{나는}}{Dt}}&={\frac{\partial \omega_{나는}}{\partial지}}+v_{j}{\frac{\partial \omega_{나는}}{\partial x_{j}}}\\&, =\omega _{j}{\frac{\partial v_{나는}}{\partial x_{j}}}-\omega _{나는}{\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{j}}}+e_{ijk}{\frac{1}{\rho ^{2}}}{\frac{\partial \rho}{\partial x_{j}}}{{\frac \par.tial p}{\partial x_{k}}}+e_{ijk}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{km}}{\partial x_{m}}}\right)+e_{ijk}{\frac {\partial B_{k}}{\partial x_{j}}}\end{aligned}}}

특정 과학에서

대기과학

대기 과학에서 vorticity 방정식은 관성 프레임에 대한 공기의 절대 vorticity 또는 지구의 회전과 관련된 vorticity의 관점에서 명시될 수 있다. 절대 버전은

{\frac {d\eta }{dt}}=-\eta \nabla _{\text{h}}\cdot \mathbf {v} _{\text{h}}-\left({\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {k} \cdot \left(\nabla _{\text{h}}p\times \nabla _{\text{h}}\rho \right)

여기서 $η$ 은 vorticity의 극성( $z$ ) 성분, $ρ$ 은 대기 밀도, $u$ , v, w는 풍속의 성분, $\nabla h$ 은 2차원(즉 수평 성분 전용) 델이다.

참고 항목

참조

^ Fetter, Alexander L.; Walecka, John D. (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua (1st ed.). Dover Publications. p. 351. ISBN 978-0-486-43261-8.
^ Burr, K. P. "Marine Hydrodynamics, Lecture 9" (PDF). MIT Lectures.
^ Salmon, Richard L. "Lectures on Geophysical Fluid Dynamics, Chapter 4" (PDF). Oxford University Press; 1 edition (February 26, 1998).

Manna, Utpal; Sritharan, S. S. (2007). "Lyapunov Functionals and Local Dissipativity for the Vorticity Equation in $L p$ and Besov spaces". Differential and Integral Equations. 20 (5): 581–598.
Barbu, V.; Sritharan, S. S. (2000). " $M$ -Accretive Quantization of the Vorticity Equation" (PDF). In Balakrishnan, A. V. (ed.). Semi-Groups of Operators: Theory and Applications. Boston: Birkhauser. pp. 296–303.
Krigel, A. M. (1983). "Vortex evolution". Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 24: 213–223.

[1] Fetter, Alexander L.; Walecka, John D. (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua (1st ed.). Dover Publications. p. 351. ISBN 978-0-486-43261-8.

[2] Burr, K. P. "Marine Hydrodynamics, Lecture 9" (PDF). MIT Lectures.

[3] Salmon, Richard L. "Lectures on Geophysical Fluid Dynamics, Chapter 4" (PDF). Oxford University Press; 1 edition (February 26, 1998).

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