순위(선형 대수)

선형 대수학에서 $행렬$ A의 등급은 행렬 ^[1]^[2]^[3]A의 열에 의해 생성되거나 확장된 벡터 공간의 차원이다.이는 A의 $선형$ 독립 열의 최대 수에 해당합니다.이 값은 ^[4]행에 걸쳐 있는 벡터 공간의 치수와 동일합니다.따라서 순위는 A에 $의해$ 부호화된 선형 방정식과 선형 변환 시스템의 "불균등성"의 척도이다.등급에는 여러 가지 동등한 정의가 있습니다.행렬의 순위는 행렬의 가장 기본적인 특징 중 하나입니다.

순위는 일반적으로 순위 $(A)$ 또는 $rk(A)$ ^[2]로 표시되며, $순위$ ^[i] $A$ 와 같이 괄호가 작성되지 않는 경우도 있습니다.

주요 정의

이 섹션에서는 행렬의 등급에 대한 몇 가지 정의를 제공합니다.다양한 정의가 가능합니다.이들 중 몇 가지는 대체 정의를 참조해 주세요.

$A$ 의 열 순위는 $A$ 의 열 공간의 차원이고 $A$ 의 열 순위는 $A$ 의 열 공간의 차원입니다.

선형 대수의 기본 결과는 열 순위와 행 순위가 항상 같다는 것입니다. (이 결과의 두 가지 증명은 § 열 순위 = 행 순위 아래에 나와 있습니다.)이 수(즉, 선형 독립 행 또는 열의 수)를 단순히 $A$ 의 순위라고 합니다.

행렬의 순위가 행과 열의 수보다 작은 동일한 차원의 행렬에 대해 가능한 한 큰 행렬과 같으면 행렬은 전체 순위를 갖는다고 합니다.행렬은 완전한 순위를 가지지 않으면 순위 결손이라고 한다.행렬의 순위 결손은 행과 열 수 중 작은 행과 열의 수와 순위 사이의 차이입니다.

선형 지도 또는 연산자 $\Phi$ (\ $displaystyle \Phi)$ 의 $\Phi$ 순위는 이미지의 ^[5]^[6]^[7]^[8]치수로 정의됩니다.

(\displaystyle \operatorname {rank} (\Phi):=\dim(\operatorname {img} (\Phi ) ) 。

\dim

서

\dim

dim {

displaystyle \dim}

은

\dim

벡터 공간의 치수이고

\operatorname {img}

{

displaystyle \operatorname {img}

은

\operatorname {img}

맵의 이미지입니다.

예

매트릭스

(\displaystyle {bmatrix}1&1&\2&-3&1\3&0\end {bmatrix})

랭크 2: 첫 번째 두 열은 선형 독립적이므로 순위가 2 이상이지만 세 번째 열은 첫 번째 두 개의 선형 조합(첫 번째 열에서 두 번째 열을 뺀 값)이므로 세 개의 열은 선형 종속적이므로 순위가 3보다 작아야 합니다.

매트릭스

({displaystyle A=bgin{bmatrix}1&1&2\-1&0&2\end{bmatrix})

랭크 1: 0이 아닌 열이 있으므로 순위는 양수이지만 열의 쌍은 선형 종속됩니다.마찬가지로, 전치(transpose)는

A^{\mathrm {T}}=syslog {bmatrix}1&-1\\0&0\2&-2\end {bmatrix

A

의 등급은 1이다.실제로,

A

의 열 벡터는

A

의 전치 행 벡터이므로, 행렬의 열 순위가 행 순위와 같다는 진술은 행렬의 순위가 전치 행의 순위와 같다는 진술과 같다. 즉, 순위(

A) = 순위

(

A T)

이다.

매트릭스 순위 계산

행 형식에서 순위 지정

행렬의 순위를 찾는 일반적인 접근 방식은 행렬을 기본 행 연산에 의해 보다 단순한 형태(일반적으로 행 형식)로 줄이는 것입니다.행 연산에서는 행 공간이 변경되지 않으며(따라서 행 순위가 변경되지 않음) 반전할 수 있으므로 열 공간을 동형 공간에 매핑합니다(따라서 열 순위가 변경되지 않음).행 형식이 되면 행 순위와 열 순위 모두에서 순위가 명확하게 동일하며 피벗 수(또는 기본 열) 및 0이 아닌 행 수와 동일합니다.

$예$ 를 들어, 행렬 A는 다음과 같습니다.

({displaystyle A=bgin{bmatrix}1&1\-2&-3&1\3&5&0\end{bmatrix})

는 다음 기본행 연산을 사용하여 축소행-에켈론 형식으로 만들 수 있습니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}{\begin{bmatrix}1&, 2&, 1\\-2&, -3&, 1\\3&, 5&, 0\end{bmatrix}}&\xrightarrow(R_{2}}{\begin{bmatrix}1&, 2&, 1\\0&, 1&, 3\\3&, 5&, 0\end{bmatrix}}\xrightarrow(R_{3}}{\begin{bmatrix}1&, 2&, 1\\0&, 1&, 3\\0&, -1&, -3\end{bmatrix}}\\&, \xrightar.연속{R_{2}+R_{3}\to R_{3}}\,\,{\begin{bmatrix}1&, 2&, 1\\0&, 1&, 3\\0&, 0&, 0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\toR_{1}{begin{bmatrix}1&-5\\0&3\0&0&0\end{bmatrix}}~\end { aligned}}

마지막 행렬(행 형태)에는 0이 아닌 두 개의 행이 있으므로

행렬

A의 순위는 2입니다.

계산

컴퓨터의 부동소수점 계산에 적용하면 기본적인 가우스 소거(LU 분해)를 신뢰할 수 없으며 대신 순위 공개 분해를 사용해야 합니다.효과적인 대안은 특이값 분해(SVD)이지만, 피벗을 사용한 QR 분해(일명 순위 공개 QR 인수분해)와 같이 비용이 덜 드는 다른 선택사항이 있으며, 이는 여전히 가우스 제거보다 수치적으로 강력하다.순위 수치 결정에는 SVD의 특이값과 같은 값이 0으로 처리되어야 하는 경우를 결정하는 기준이 필요하다. 이는 매트릭스와 응용 프로그램 모두에 따라 달라지는 실질적인 선택이다.

열 순위 증명 = 행 순위

행 축소를 사용한 증명

행렬의 열과 행 순위가 동일한 형태라는 사실은 선형 대수의 기본이다.많은 증거가 제시되었다.가장 기초적인 것 중 하나는 ①열에서 ②열로 스케치를 했다.다음은 이 증거의 변형입니다.

행 순위와 열 순위가 모두 기본 행 연산에 의해 변경되지 않음을 쉽게 알 수 있습니다.가우스 소거가 초등행 연산에 의해 진행됨에 따라 행렬의 축소행 에셜론 형식은 원래의 행렬과 동일한 행 순위와 동일한 열 순위를 가진다.추가 기본 열 연산을 통해 행렬을 0 행과 열로 둘러싸인 항등 행렬의 형태로 배치할 수 있습니다.다시 말하지만 행 순위도 열 순위도 변경되지 않습니다.이 결과 매트릭스의 행 순위와 열 순위가 모두 0이 아닌 엔트리의 수여야 합니다.

우리는 이 결과에 대한 두 가지 다른 증거를 제시한다.첫 번째는 벡터의 선형 조합의 기본 속성만 사용하며 모든 필드에서 유효합니다.이 증거는 Wardlaw(2005)^[9]에 기초하고 있다.두 번째는 직교성을 사용하며 실수의 행렬에 유효하며, 이는 맥키우(1995)^[4]에 기초한다.두 증거 모두 배너지와 로이(2014)^[10]의 책에서 찾을 수 있다.

선형 조합을 사용한 증명

A를 $m$ × $n$ 행렬이라고 $하자$ . $A$ 의 열 순위를 r로 $하고$ c, $...,$ $c$ 를_r $A$ 의 열 공간의 기준으로 $합니다 1$ . $이들$ 을m × r $행렬$ C의 열로 배치한다.A의 $모든$ 열은 $C$ 의 r $열의$ 선형 조합으로 표현될 수 있습니다.즉, A = $CR$ 인 $r$ × $n$ $행렬$ R이 있음을 의미한다. $R$ 은 $A$ 의 ih 열을 $C$ 의 r $열의$ 선형 조합으로 제공하는 계수로 구성된 행렬입니다.즉, $R$ 은 A의 $기둥$ 공간( $C$ )의 기저에 대한 배수를 포함하는 행렬이며, 이 배수는 A 전체를 $형성$ 하기 위해 사용된다.이제 $A$ 의 각 행은 $R$ 의 $r$ 행의 선형 조합으로 지정됩니다.따라서 $R$ 의 행은 $A$ 의 행공간의 스패닝세트를 형성하고 Steinitz 교환에 의해 $A$ 의 행랭크는 r을 $초과$ 할 수 없습니다.이는 A의 $행$ 순위가 $A$ 의 열 순위보다 작거나 같다는 것을 증명합니다.이 결과는 어떤 매트릭스에도 적용할 수 있으므로 $A$ 의 전치에도 적용하십시오. $A$ 의 전치 행 순위는 $A$ 의 열 순위이고 $A$ 의 전치 행 $순위$ 는 A의 열 순위이므로 역 부등식이 성립하며 $A$ 의 열 순위와 동일함을 얻을 수 있습니다(순위 인수분해 참조).

직교성을 사용한 증명

A를 행 순위가 $r$ 인 실수의 엔트리가 있는 $m$ × $n$ 행렬이라고 $하자$ .따라서 $A$ 의 행 공간의 치수는 $r$ 입니다. $x 1, x 2$ , $\dots,$ $x$ 를_r A 행 $공간$ 의 기준으로 합니다. $벡터 1$ Ax, $Ax 2, \dots,$ $Ax$ 는_r 선형적으로 독립적이라고 주장합니다.그 이유를 확인하려면 스칼라 $계수 1$ c $, c 2$ , $\dots,$ $c r$ :

0=c_{1}A\mathbf {x} _{1}+c_{2}A\mathbf {x} _{2}+\cdots + c_{r}A\mathbf {x}_{r}=A(c_{1}\mathbf {x}_{1}+c_{2}\mathbf {x}_{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x}=A\mathbf {v} ,

여기

서 v =

cx 11

+

cx 22 +

θ +

cx r r

.우리는 두 가지 관찰을 한다: (

a

) v는

A

의 행 공간에 있는 벡터의 선형 조합이며, 이는 v가

A

의 행 공간에 속한다는

것

을 의미한다. 그리고 (b) Av =

0

이므로,

벡터

v는 A의

모든

행 벡터에 직교하고, 따라서

A

의 행 공간에 있는 모든 벡터에 직교한다.사실 (a)와 (b)는 모두 v가 그 자체와 직교한다는

것

을

의미

하며, 이는 v =

0

또는 v의

정의

에 따라

c_{1}\mathbf {x}_{1}+c_{2}\mathbf {x}_{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x}_{r}=0.

그러나

x

는_i A의

행

공간의 기준으로 선택되었기 때문에 선형 독립적이라는 것을 기억하십시오.즉, c =

c 2

=

c r

=

0임

을₁

의미

합니다.

따라서 1

Ax,

Ax 2, \dots,

Ax

는_r 선형적으로 독립적입니다.

$각 i$ Ax는 A의 기둥 공간에 $있는$ 벡터입니다. $따라서 1$ Ax, $Ax 2, \dots,$ $Ax$ 는_r $A$ 의 열 공간에 있는 r개의 $선형$ 독립 벡터 집합이므로 A의 $열$ 공간의 차원(즉, $A$ 의 열 순위)은 적어도 $r만큼$ 커야 합니다.이는 A의 $행$ 순위가 A의 $열$ 순위보다 크지 않음을 증명합니다.이제 이 결과를 $A$ 의 전치법에 적용하여 역부등식을 구하고 앞의 증명과 같이 결론을 내립니다.

대체 정의

이 섹션의 모든 정의에서 $행렬$ A는 임의의 $필드$ F 위의 $m$ × $n$ 행렬로 간주된다.

이미지 치수

$행렬$ A $(\displaystyle$ A $A$ 가 지정되면 연관된 선형 매핑이 있습니다.

f:F^{n}\mapsto F^{m

정의하다

f(x)=Ax.

A의

등급은

f

의

f

의 치수입니다

f

이 정의는 특정 행렬 없이 선형 지도에 적용할 수 있다는 장점이 있습니다.

무효 등급

위와 같은 선형 $매핑$ f가 주어졌을 때, 순위는 n에서 $f$ 의 커널의 차원을 뺀 $값$ 이다.순위-무질성 정리에 따르면 이 정의는 앞의 정의와 동등합니다.

열 순위 – 열 공간의 치수

일차 독립 기둥 c1의 AA의 등급은 최대한 많은, c2,…, ckm그리고 4.9초 만{\displaystyle \mathbf{c}_{1},\mathbf{c}_{2},\dots ,\mathbf{c}_{k}};Fm에서는의 자세한 내용은 세로 줄 공간이 부분 공간 A, 그것이 실제의 이미지의 기둥에 의해 생성되는 세로 줄 공간의 치수이다. tA)와 관련된 선형 맵 $f$ ).

행 순위 – 행 공간의 치수

$A$ 의 순위는 A의 $선형$ 독립 행의 최대 수이며, 이것은 $A$ 의 행 공간의 차원입니다.

분해순위

$A$ 의 순위는 A $A=CR$ $A=CR$ R ${\displaystyle$ A $=CR$ 로 $A=CR$ 수 있는 $최소$ $정수$ k이다. $여기$ 서 C는 $m$ × $k$ $행렬$ , $R$ 은k × $n$ 행렬이다.실제로 모든 $정수$ k에 대해 다음과 같습니다.

$A$ 의 열 순위가 $k$ 보다 작거나 같다.
$크기$ m의 $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ 1, $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ k $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ {\ $displaystyle$ $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ \ $mathbf$ $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ { $c}$ _{ $1},\ldots,\mathbf {c$ $}$ _ ${k$ $}$ 가 $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ $존재$ 하며 $,$ $A$ 의 $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ 열은 $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ 1, $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ k {{ $displaystyle$ \ $mathbf {c}$ _{1},\ldots $}$ 의 선형 조합이 됩니다 $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$
$m\times k$ $A=CR$ $A=CR$ { $displaystyle$ A $=CR}($ k가 순위일 $경우$ 이는 A의 $순위$ 인수분해), $A=CR$ $m\times k$ $k\times n$ {\ $displaystyle$ m $\times$ k $}$ $m \times k$ C와 k × $k\times n$ { $displaystyle$ k $\times$ n $}$ $k\times n$ R이 존재한다.
$크기$ n의 $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ 의 행 $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ 1, $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ k $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ ldots $,\mathbf {r} _{$ k $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ $}$ 가 $존재$ 하며 $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ 의 모든 $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ r $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ 1, $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ {{ $displaystyle \mathbf {r} _{1},\$ ldots $}$ 의 $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ 조합이 됩니다 $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$
$A$ 의 행 순위가 k $이하$ 입니다.

실제로 다음과 같은 등가는 명백합니다 $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$ 를 들어, (1) ( ( 2 $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$ ) $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$ ( 3 $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$ ) $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$ ( ( $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$ ) $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$ ( $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$ ) \ $displaystyle$ ( $1$ ) \ Leftright $Arrow$ ( 2 ) \ Leftright Arrow $($ 3 ) \ $Leftright$ Arrow $( 5$ ) 。예를 들어, C에서 $증명$ 하는 컬럼은 다음과 같습니다. $c} _{k$ (2부터)(3)에서 (2)를 증명하려면 c $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ , $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ k {\ $displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots,\mathbf {c}$ _ ${k}$ 를 $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ $C$ 의 열로 합니다.

$(1)\Leftrightarrow (5)$ 동등한 $(1)\Leftrightarrow (5)$ ( $(1)\Leftrightarrow (5)$ ) $(1)\Leftrightarrow (5)$ ( $(1)\Leftrightarrow (5)$ 5 $(1)\Leftrightarrow (5)$ ) \ $displaystyle$ ( $1$ ) \ Leftright $화살표$ ( $5$ )에서 $(1)\Leftrightarrow (5)$ 행 랭크는 열 랭크와 동일합니다.

"화상의 차이" 특성화의 경우처럼, 이것은 선형 지도의 순위 정의로 일반화할 수 있다. $선형$ $지도$ 의 순위 f : V → $W$ 는 지도 $V$ → $X$ 및 $지도$ X → $W$ 의 구성으로서 f를 쓸 수 $있는$ 중간 $공간$ X의 최소 $치수$ k이다. 불행하게도 이 정의는 제안되지 않는다.순위를 계산하는 효율적인 방법(대안 정의 중 하나를 사용하는 것이 좋다).자세한 내용은 순위 인수를 참조하십시오.

단수값으로 순위를 매기기

$A$ 의 순위는 0이 아닌 단수값의 수와 같으며, 이는 단수값 $A=U\Sigma V^{*}$ A $A=U\Sigma V^{*}$ $A=U\Sigma V^{*}$ $A=U\Sigma V^{*}$ V $A=U\Sigma V^{*}$ {\ { \ $displaystyle$ A $= U$ \ $Sigma$ V $^$ { * $A=U\Sigma V^{*}$ } in the the the the the the the the the the 0이 아닌 대각선 요소의 수와 같습니다.

결정적 순위 – 소멸되지 않는 마이너 최대 크기

$A$ 의 순위는 $A$ 에서 0이 아닌 단수의 가장 큰 순서이다. (단조의 순서는 행렬식인 제곱 하위 행렬의 측면 길이이다.)분해 순위 특성화와 마찬가지로, 이것은 순위를 계산하는 효율적인 방법을 제공하지는 않지만 이론적으로는 유용합니다. 즉, 0이 아닌 단일 마이너가 행렬의 순위에 대한 하한(즉, 그 순서)을 확인할 수 있으며, 이는 특정 연산이 행렬의 순위를 낮추지 않는다는 것을 증명하는 데 유용할 수 있습니다.

소멸하지 않는 p-소수( $p$ × $p$ 하위 행렬이 0이 아닌 행렬)는 해당 하위 행렬의 행과 열이 선형 독립적이며, 따라서 전체 행렬의 행과 열은 선형 독립적(전체 행렬에서)이므로 행과 열 순위는 최소한 결정 순위만큼 크다. 그러나 그 반대가 덜하다.라이트포워드결정론적 순위와 열 순위의 등가성은 $n개$ 의 벡터의 스팬이 $p차원$ 을 가지면 그 $벡터들$ 의 p가 공간을 가로지른다는 진술의 강화이다(동등하게, 벡터의 서브셋인 스패닝 집합을 선택할 수 있다). 등가성은 행의 서브셋과 열의 서브셋을 동시에 함축한다.일반적으로 가역 하위행렬을 정의한다(따라서 $n개$ 의 벡터의 스팬이 $차원$ p를 갖는 $경우$ , 이러한 벡터 중 p는 공간을 가로지르며 이들이 선형 독립하는 $일련$ 의 p 좌표가 있다).

텐서 순위 – 단순 텐서의 최소 수

$A$ 의 순위는 A를 k의 순위 1 $행렬$ 의 합으로 쓸 수 $있는$ 최소 수 $k$ 이다. 여기서 행렬은 열 $벡터$ c와 행 $벡터$ r의 0이 아닌 $c\cdot r$ c $c\cdot r$ r $\displaystyle$ c $\cdot$ r로 $c\cdot r$ 쓸 수 있는 경우에만 순위 1을 갖는 것으로 정의된다.이 등급의 개념은 텐서 등급이라고 불리며, 단수값 분해의 분리 가능한 모델 해석에서 일반화될 수 있습니다.

특성.

$A$ 를 $m$ × $n$ 행렬이라고 가정하고 위와 같이 f $(x)$ = $Ax$ 로 $선형$ 맵 $f$ 를 정의한다.

$m$ × $n$ 행렬의 순위는 음수가 아닌 정수이며 m $또는$ $n$ 보다 클 수 없습니다.그것은, $\displaystyle \operatorname {rank}(A)\leq \min(m,n).}$ $순위$ 가 min $(m,$ $n)$ 인 행렬은 전체 순위를 가지며, 그렇지 않은 행렬은 순위가 부족합니다.
0행렬만이 0등급을 가집니다.
f는 A가 $랭크n일$ $경우$ 에만(이 경우 A가 풀컬럼 랭크라고 $부릅니다$ ) 주입식(또는 "1대1")입니다.
f는 A의 $순위$ 가 m인 $경우$ (이 경우 A의 행 순위가 풀인 것으로 간주됨)에 한해 주관적(또는 "onto")입니다.
A가 정사각형 행렬(즉, $m$ = $n$ )이면 $A$ 가 $n등급$ (즉, A가 $완전등급$ )인 $경우$ 에만 A는 반전할 수 있습니다.
$만약$ $B$ 가n × $k$ 행렬이라면, $\operatorname {rank}(AB)\leq \min(\operatorname {rank}(A)\operatorname {rank}(B)$
$B$ 가 순위 $n$ 의n × $k$ 행렬이라면, $\displaystyle \operatorname {rank}(AB)=\operatorname {rank}(A).}$
$C$ 가 순위 $m$ 의l × $m$ 행렬이라면, $\displaystyle \operatorname {rank}(CA)=\operatorname {rank}(A).}$
$A$ 의 순위는 다음과 같이 $가역$ m × $m$ $행렬$ X와 $가역$ n × $n$ $행렬$ Y가 존재하는 경우에만 r과 $같다$ . ${\displaystyle XAY=begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\end{bmatrix}},$ $여기$ 서_r i는 r × ridentity 매트릭스를 나타낸다.
실베스터의 순위 부등식: A가 $m$ × $n$ $행렬$ 이고 $B$ 가n × $k$ $행렬$ 이라면^[ii], $\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB)}$ 이것은 다음 불평등의 특별한 경우이다.
프로베니우스에 의한 부등식: $AB$ , $ABC$ , $BC$ 가 정의되면^[iii], $\displaystyle \operatorname {rank}(AB)+\operatorname {rank}(BC)\leq \operatorname {rank}(B)+\operatorname {rank}(ABC)}$
하위 가감도: $\operatorname {rank}(A+B)\leq \operatorname {rank}(A)+\operatorname {rank}(B)$ $A$ 와 B가 같은 차원일 $때$ .그 결과, 랭크-k 행렬은 k개의 랭크-1 $행렬$ 의 합으로 쓸 수 있지만, 그보다 적을 수는 없다.
행렬의 순위와 행렬의 무효는 행렬의 열 수와 같습니다. (이것은 순위-무효 정리입니다.)
$만약$ A가 실수의 행렬이라면, A의 순위와 대응하는 그램 행렬의 순위는 같다.따라서, 실행렬의 경우 $\operatorname {rank}(A^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank}(AA^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank}(A)=\operatorname {rank}(A^{\mathrm {T} } })입니다.$ 이는 null 공백의 동일성을 증명함으로써 나타낼 수 있습니다.그램 행렬의 null 공간은 $A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =0.$ x에 의해 주어집니다 $.$ 벡터 x의 $A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =0.$ 은 $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Ax=\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ T $A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =0.$ x $0$ . \ $display A ^$ { \ $mathbf {$ T $} =$ 0 . 0 . } $이$ 조건이 충족되면 $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Ax=\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Ax=\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Ax=\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Ax=\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ T $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Ax=\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Ax=\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Ax=\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Ax=\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Ax=\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ 2 $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Ax=\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ . $display$ { $type$ = $0$ . $mathbf$ = 0 . $}$ ^[11]
A가 복소수 행렬이고 ${\overline {A}}$ ${\$ { $displaystyle$ { A } { $overline$ { $A$ } denotes ${\overline {A}}$ A $a *$ A $ate$ A의 공역 전치(즉 A의 $인접$ )인 $경우$ , $\operatorname {rank}(A)=\operatorname {rank}(\overline {A})=\operatorname {rank}(A^{T})=\operatorname {rank}(A^{*})=\operatorname {rank}(A^{*}A})$

적용들

행렬의 순위를 계산하는 데 유용한 응용 프로그램 중 하나는 선형 방정식 시스템의 해법 수를 계산하는 것입니다.Rouché-Capelli 정리에 따르면, 증가 행렬의 순위가 계수 행렬의 순위보다 크면 시스템은 일관성이 없다.반면 이 두 행렬의 순위가 같으면 시스템에 적어도 하나의 솔루션이 있어야 합니다.순위가 변수 수와 동일한 경우에만 솔루션은 고유합니다.그렇지 않으면 일반 솔루션에는 k개의 자유 모수가 $있습니다$ . $여기$ 서 k는 변수 수와 순위 사이의 차이입니다.이 경우(그리고 방정식 시스템이 실수 또는 복소수라고 가정하면), 방정식 시스템은 무한히 많은 해를 가집니다.

제어 이론에서 행렬의 순위는 선형 시스템이 제어 가능한지 또는 관측 가능한지를 결정하기 위해 사용될 수 있습니다.

통신 복잡도 분야에서 함수의 통신 행렬의 순위는 함수를 계산하기 위해 두 당사자가 필요로 하는 통신량에 대한 경계를 부여한다.

일반화

임의의 링에 걸쳐 랭크에서 매트릭스로의 개념에 대한 다른 일반화가 있습니다.여기서 열 순위, 행 순위, 열 공간의 차원 및 행렬의 행 공간의 차원은 다른 것과 다를 수도 있고 존재하지 않을 수도 있습니다.

행렬을 텐서라고 생각하면 텐서 랭크는 임의의 텐서로 일반화된다. 2보다 큰 텐서(행렬은 2 텐서)의 경우, 랭킹은 행렬과 달리 매우 계산하기 어렵다.

매끄러운 다양체 사이에 매끄러운 지도를 위한 등급 개념이 있다.이것은 도함수의 선형 순위와 같다.

텐서로서의 매트릭스

행렬 순위는 텐서 순위라고 불리는 텐서 순서와 혼동해서는 안 된다.텐서 차수는 텐서를 쓰는 데 필요한 지수의 수이며, 따라서 행렬은 모두 텐서 차수 2를 가진다.보다 정확하게는 행렬이 행 지수 하나와 열 지수 하나(공변 순서 1 및 반변 순서 1)를 갖는 텐서입니다. 자세한 내용은 텐서(내부 정의)를 참조하십시오.

행렬의 텐서 순위는 행렬을 선형 조합으로 표현하기 위해 필요한 최소의 단순 텐서 수를 의미할 수 있으며, 이 정의는 여기에서 논의된 행렬 순위와 일치한다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 대체 표기법에는 Katznelson & Katznelson(2008, 페이지 52, '2.5.1') 및 Halmos(1974, 페이지 90, § 50)의 $\rho (\Phi )$ $\rho (\Phi )$ ( $\rho (\Phi )$ ) \ $displaystyle \rho (\Phi$ ) 。
^ 증명:불평등은 rank–nullity 정리를 적용한다. $\dim \ker(A)+\dim \ker(B)\dim \ker(AB형입니다)\leq.$
^ 증명하기 위해서요 그 지도 $C:\ker(ABC)(기원전)\to \ker(AB형입니다)(B)$ 그리고injective되어 있다.따라서 우리는 커널의, 그리고 그것은 불평등의 면에서 rank–nullity 정리로 변환시킬 수 있는 차원의 측면에서 불평등을 가져옵니다.또는 M{ $displaystyle$ M $}$ 이 $M$ 선형 서브스페이스인 $\dim(AM)\leq \dim(M)$ Dim $\dim(AM)\leq \dim(M)$ ( $\dim(AM)\leq \dim(M)$ ) $display$ dim $display$ ( $\dim(AM)\leq \dim(M)$ M $\dim(AM)\leq \dim(M)$ ) \ $dim ( M$ ) $\dim(AM)\leq \dim(M)$ 。이 부등식은 $B스타일$ 의 $이미지$ 의직교보수로 정의된 $BC$ 서브스페이스에 적용됩니다 $B$ $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ ( $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ C $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ ) { $displaystyle \operatorname {rank }$ - \ $operatorname {rank$ }。A { $displaystyle$ A}의 $A$ 이미지는 치수 $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ ( $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ ) - $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ （ $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ ） { $displaystyle \operatorname {rank }$ ( $AB$ ） { $opername$ }

레퍼런스

^ 액슬러 (2015) 페이지 111-112, § 3.115, 3.119
^ ^a ^b 로만 (2005) 페이지 48, § 1.16
^ 부르바키, 대수학, ch.II, § 10.12, 페이지 359
^ ^a ^b Mackiw, G. (1995), "A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix", Mathematics Magazine, 68 (4): 285–286, doi:10.1080/0025570X.1995.11996337
^ Hefferon (20) 페이지 200, ch. 3, 정의 2.1
^ 발렌자 (1993) 페이지 71, § 4.3
^ Halmos(1974) 페이지 90, § 50
^ Wardlaw, William P. (2005), "Row Rank Equals Column Rank", Mathematics Magazine, 78 (4): 316–318, doi:10.1080/0025570X.2005.11953349, S2CID 218542661
^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
^ Mirsky, Leonid (1955). An introduction to linear algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7.

원천

Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (4th ed.). ISBN 978-1-944325-11-4.
Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-24766-1.
Valenza, Robert J. (1993) [1951]. Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 3-540-94099-5.

추가 정보

Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. ISBN 978-0-521-38632-6.
Kaw, Autar K.매트릭스 대수 입문서의 두 장: 1.벡터 [1] 및 방정식 체계 [2]
Mike Brookes: 매트릭스 레퍼런스 매뉴얼.[3]

[5] 대체 표기법에는 Katznelson & Katznelson(2008, 페이지 52, '2.5.1') 및 Halmos(1974, 페이지 90, § 50)의 $\rho (\Phi )$ $\rho (\Phi )$ ( $\rho (\Phi )$ ) \ $displaystyle \rho (\Phi$ ) 。

[12] 증명:불평등은 rank–nullity 정리를 적용한다. $\dim \ker(A)+\dim \ker(B)\dim \ker(AB형입니다)\leq.$

[13] 증명하기 위해서요 그 지도 $C:\ker(ABC)(기원전)\to \ker(AB형입니다)(B)$ 그리고injective되어 있다.따라서 우리는 커널의, 그리고 그것은 불평등의 면에서 rank–nullity 정리로 변환시킬 수 있는 차원의 측면에서 불평등을 가져옵니다.또는 M{ $displaystyle$ M $}$ 이 $M$ 선형 서브스페이스인 $\dim(AM)\leq \dim(M)$ Dim $\dim(AM)\leq \dim(M)$ ( $\dim(AM)\leq \dim(M)$ ) $display$ dim $display$ ( $\dim(AM)\leq \dim(M)$ M $\dim(AM)\leq \dim(M)$ ) \ $dim ( M$ ) $\dim(AM)\leq \dim(M)$ 。이 부등식은 $B스타일$ 의 $이미지$ 의직교보수로 정의된 $BC$ 서브스페이스에 적용됩니다 $B$ $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ ( $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ C $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ ) { $displaystyle \operatorname {rank }$ - \ $operatorname {rank$ }。A { $displaystyle$ A}의 $A$ 이미지는 치수 $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ ( $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ ) - $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ （ $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ ） { $displaystyle \operatorname {rank }$ ( $AB$ ） { $opername$ }

[1] 액슬러 (2015) 페이지 111-112, § 3.115, 3.119

[:0-2] 로만 (2005) 페이지 48, § 1.16

[3] 부르바키, 대수학, ch.II, § 10.12, 페이지 359

[mackiw-4] Mackiw, G. (1995), "A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix", Mathematics Magazine, 68 (4): 285–286, doi:10.1080/0025570X.1995.11996337

[6] Hefferon (20) 페이지 200, ch. 3, 정의 2.1

[7] Katznelson & Katznelson (2008) 페이지 52, © 2.5.1

[8] 발렌자 (1993) 페이지 71, § 4.3

[9] Halmos(1974) 페이지 90, § 50

[wardlaw-10] Wardlaw, William P. (2005), "Row Rank Equals Column Rank", Mathematics Magazine, 78 (4): 316–318, doi:10.1080/0025570X.2005.11953349, S2CID 218542661

[banerjee-roy-11] Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388

[14] Mirsky, Leonid (1955). An introduction to linear algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[i]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[ii]

[iii]

[11]

v t 선형 대수
기본 개념	스칼라 벡터 벡터 공간 스칼라 곱셈 벡터 투영 선형 스팬 선형 지도 선형 투영 선형 독립성 선형 조합 근거 기준 변경 행 및 열 벡터 행 및 열 공간 커널 고유값 및 고유벡터 전치 선형 방정식
매트릭스	블록 분해 반전 가능 작은 곱셈 순위 변혁 크레이머의 법칙 가우스 소거
쌍선형	직교성 도트 제품 내부 제품 공간 외부 제품 크로네커 곱 그램-슈미트 과정
다선형 대수	행렬식 크로스 프로덕트 트리플 프로덕트 7차원 교차곱 기하학 대수 외부 대수 바이벡터 멀티벡터 텐서 외형성
벡터 공간 구성	듀얼 다이렉트 기능 공간 몫 부분 공간 텐서 곱
숫자	부동 소수점 수치 안정성 기본 선형 대수 하위 프로그램 희박 행렬 선형 대수 라이브러리 비교
카테고리 개요 수학 포털

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순위(선형 대수)

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목차

주요 정의

예

매트릭스 순위 계산

행 형식에서 순위 지정

계산

열 순위 증명 = 행 순위

행 축소를 사용한 증명

선형 조합을 사용한 증명

직교성을 사용한 증명

대체 정의

이미지 치수

무효 등급

열 순위 – 열 공간의 치수

행 순위 – 행 공간의 치수

분해순위

단수값으로 순위를 매기기

결정적 순위 – 소멸되지 않는 마이너 최대 크기

텐서 순위 – 단순 텐서의 최소 수

특성.

적용들

일반화

텐서로서의 매트릭스

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순위(선형 대수)

주요 정의

예

매트릭스 순위 계산

행 형식에서 순위 지정

계산

열 순위 증명 = 행 순위

행 축소를 사용한 증명

선형 조합을 사용한 증명

직교성을 사용한 증명

대체 정의

이미지 치수

무효 등급

열 순위 – 열 공간의 치수

행 순위 – 행 공간의 치수

분해순위

단수값으로 순위를 매기기

결정적 순위 – 소멸되지 않는 마이너 최대 크기

텐서 순위 – 단순 텐서의 최소 수

특성.

적용들

일반화

텐서로서의 매트릭스

「 」를 참조해 주세요.

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