렙체츠 고정점 정리

수학에서 렙체츠 고정점 정리란 X {\$displaystyle X}$의 호몰로지 그룹에 유도된 매핑의 흔적을 이용하여 콤팩트 위상학적 $공간{\displaystyle }$ X ${\$$displaystyle$ X$}$에서 그 자체로$$ 연속 매핑의 고정점을 세는 공식으로, 1926년에 처음 그것을 밝힌 솔로몬 렙체츠의 이름을 따서 명명되었다$.$.

이 계산은 고정점수 지수라고 하는 고정점에서 귀속된 다중성을 전제로 한다.정리의 약한 버전은 고정된 점이 없는 맵핑은 다소 특별한 위상적 특성(원 회전과 같은)을 가지고 있어야 한다는 것을 보여주기에 충분하다.

형식명세서

정리의 형식적인 진술을 위해서.

$X\displaystyle f\colon X\오른쪽 화살표 X\,}$

콤팩트한 삼각형 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 그 자체로 이어지는$$ 연속형 맵이다.다음을 기준으로$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의$\Lambda _{f}$ Lefschz 수 ${\displaystyle {정의}_{}}$

${\displaystyle \Lambda _{f:=\sum _{k\geq 0(-1)^{k}\mathrm {tr}(f_{*}H_{k})(X,\mathb {Q}),}}$

합리적인 계수를 가진$$ $X{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $X}$의 단수 호몰로지 그룹인$$H${\displaystyle {}_{}X\mathbb{}}$, Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle H_{k}(X,\mathb {Q}$)에서$$ $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ f$}$에 의해 유도된 선형 지도의 매트릭스 트레이스의 교대(완료) 합계.

렙셰츠 고정점 정리(regency point organization)의 간단한 버전은 다음과 같이 기술하고 있다.

$\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0\,}$

그 $다음{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f}$에는 적어도 하나의 고정된 지점이 있다. $즉{\displaystyle }$, X ${\displaystyle X}$에 f${\displaystyle (x}$) = ${\displaystyle x}${\$displaystyle f(x)=x}$와 같은 $하나{\displaystyle }$ 이상의 x ${\displaystystyle x$}가 존재한다$.$ 사실, Lefschez 숫자는 동질학 수준에서 정의되었기 때문에 결론은 연장될 수 있다.$[\displaystyle f]$도 고정점을 가지고$$ 있다.

${\displaystyle {그러나}_{}}$ 일반적으로 정반대되는 것은 아니라는 점에 유의하십시오. : $f{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$에 고정$$ 포인트가 있더라도 0일 수 있다$$.

증거의 스케치

첫째, 단순 근사 정리를 적용함으로써, $f{\displaystyle }${\$displaystyle$ f$}$에 고정 지점이 없으면$,$$$(X {\$displaystyle$ X}을$($를) 세분화한 $후{\displaystyle }$),$$f {\$displaystyle$ f$}$는 고정 지점이 없는 단순 지도(즉, 각 단순함을 다른 심플렉스)에 동일시한다는 것을 보여준다.이는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 단순 체인 콤플렉스에서 유도된 선형 맵 행렬의 대각선 값이 모두 0이어야 함을$$ 의미한다.그런 다음, 일반적으로 렙체츠 숫자도 앞서 언급한 선형 지도의 행렬 추적의 교대 합계를 사용하여 계산할 수 있다는 점에 주목한다(이는 오일러 특성이 동질학 집단의 관점에서 정의를 갖는 것과 거의 동일한 이유로 적용된다; 오일러 특성과 관련된 내용은 아래를 참조).특히 고정점 없는 단순도의 경우 대각선 값이 모두 0이므로 트레이스는 모두 0이다.

렙슈츠-홉 정리

렙체츠-라고도 알려진 더 강력한 형태의 정리.Hopf 정리, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 미세하게 많은 고정점만 가지고$$ 있다면, 다음 사항을 기술한다.

${\displaystyle \sum _{x\in \mathrm {Fix}(f)i(f,x)=\Lambda _{f}}$

여기서 $F{\displaystyle \mathrm{}}$ i ${\displaystyle \mathrm{x}}$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \mathrm {Fix} (f)}$은 f ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $f}$및 $i{\displaystyle }$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$${\displaystyle i($$f,x)}$의 고정점 $집합이다.$^[1] 이 정리에서 벡터 필드에 대한 Poincaré-Hopf 정리를 추론한다.

오일러 특성과의 관계

유한 CW 콤플렉스에 있는 ID 맵의 렙체츠 번호는 $각{\displaystyle {}_{}}$ f${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\$을(를) ID 매트릭스로 생각할 수 있다는$$ 것을 깨달음으로써 쉽게 계산할 수 있으며, 따라서 각 추적 용어는 단순히 적절한 호몰로지 그룹의 차원일 뿐이다.따라서 ID 맵의 렙체츠 번호는 공간의 베티 번호의 교대 합과 같으며, 이는 오일러 특성 ${\displaystyle \chi }$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \chi (X)}$과 동일하다$.$ 따라서 우리는 다음과 같은 결과를 얻었다.

${\displaystyle \Lambda _{\mathrm {id} }=\chi(X).\ }$

브루워 고정점 정리와의 관계

렙체츠 고정점 정리는 브루워 고정점 정리를 일반화하는데, 이 정리는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$차원$$ 폐쇄단위 디스크 ${\displaystyle D^{}}$ $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\$부터 ${\displaystyle {Dn}^{}}$ ${\$ D$^{n}}$까지 모든 연속 지도에는 고정점이 하나 이상 있어야 한다고$$ 기술하고 있다.

This can be seen as follows: ${\displaystyle D^{n}}$ is compact and triangulable, all its homology groups except ${\displaystyle H_{0}}$ are zero, and every continuous map ${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$ induces the identity map ${\displaystyle f_{\ast }:H_0(D^n,\mathbb{Q})\to H_0(D^{}}$${\displaystyle f_{*}\colon H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )\to H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )}$, whose trace is one; all this together implies that ${\displaystyle \Lambda _{f}}$ is non-zero for any continuous map ${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$.

역사적 맥락

렙체츠는 (Lefschez 1926)에서 고정점 정리를 제시했다.렙체츠의 초점은 지도의 고정된 지점이 아니라, 이제는 지도의 우연지점이라고 불리는 것에 있었다.

방향성 다지관 $X{\displaystyle }${\$displaystyle$X}에서$$ 동일한$$ 차원의 방향성 $다지관{\displaystyle }$Y {\$displaystyle Y$$}$에 이르는 두 $개$의 맵 $f$$${\$displaystyle g}$과 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$을(를) 지정하면 $f{\displaystyle }${\$displaystystyle$ g}의 Lefte로 정의된다$$.

${\displaystyle \lambda _{f,g}=\sum(-1)^{k}\mathrm {tr}(D_{X}\circle g^{*}\circle D_{Y}^{-1}\circircle f_{*}),}}}}$

where ${\displaystyle f_{*}}$ is as above, ${\displaystyle g_{*}}$ is the homomorphism induced by ${\displaystyle g}$ on the cohomology groups with rational coefficients, and ${\displaystyle D_{X}}$ and ${\displaystyle D_{Y}}$ are the Poincaré duality isomorphisms for ${\display$$스타일 X}$과(와) $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$ 각각$.$

렙체츠는 우연 번호가 0이 아닌 경우 f ${\displaystyle f}$과 g ${\displaystyle g}$이(가) 우연의 일치점을 갖는다는$$ 것을 증명했다.그는 논문에서 ${\displaystyle X}$= Y ${\$$displaystyle X$$=Y}$을(를$)$ 신원 지도로 하는$$ $것$이 더 간단한 결과를 주는데, 우리는 이것을 고정점 정리라고 알고 있다.

프로베니우스

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 요소를$$ 가진$$ 유한 $필드{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k$$}$에 걸쳐 정의된 품종으로, $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ ${\x}$은$($는) k ${\displaystytyle$ k}의 대수적 $폐쇄$에 $대한$X의 기본 변경이 되도록$$ 한다$.$The Frobenius endomorphism of ${\displaystyle {\bar {X}}}$ (often the geometric Frobenius, or just the Frobenius), denoted by ${\displaystyle F_{q}}$, maps a point with coordinates ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ to the point with coordinates ${\dis$$Playstyle x_{1}^{q},\ldots,x_{n}^{q$ 따라서 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$의 고정 지점은 $정확히$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 좌표가 있는$$ X ${\$$displaystysty$ X$}$의 지점 집합이 $(k)$로 표시된다$.$렙쉐츠 미량 공식은 이러한 맥락에서 유지되며 다음과 같이 읽는다.

${\displaystyle \#X(k)=\sum _{i}^{i}}\mathrm {tr}(F_{q}^{*}) H_{c}^{i}({\bar {X},\mathb {Q} _{\ell }).}$

$이{\displaystyle }$ 공식에는 compact ${\displaystyle$ $\ell$$}$ -adic$$ 번호의 값을 가진$$ $X$의${\$이(가$)$ 콤팩트 지지와 함께 에탈 코호몰로지(etale cohomology)에 대한 프로베니우스의 추적이 포함되며, 여기서 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystylease$ coprime $q}$이다$.$

$만약{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$이(가) 매끄럽고 등차원이면, 이 공식은 산술적인 프로베니우스 $q{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$의 관점에서 다시 쓸 수 있는데$,$ 이 공식은 동일원리학에 대한$$ $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$의 역활용이다.

${\displaystyle \#X(k)=q^{\dim X}\sum _{i}-1)^{i}\mathrm {tr}((\Phi _{q}^{-1}^{*}H^{\bar {X},\mathb {Q} _{Q} _{\ell}}}}}}}).}$

이 공식은 콤팩트한 지지대를 가진 코호몰로지보다는 일반적인 코호몰로지(cohomology)를 포함한다.

렙쉐츠 미량 공식은 유한한 분야에 걸친 대수적 스택에도 일반화될 수 있다.

참고 항목

• 고정점 정리
• 렙쉐츠제타 함수
• 홀로모르픽 렙체츠 고정점 공식

메모들

참조

• Lefschetz, Solomon (1926). "Intersections and transformations of complexes and manifolds". Transactions of the American Mathematical Society. 28 (1): 1–49. doi:10.2307/1989171. JSTOR 1989171. MR 1501331.
• Lefschetz, Solomon (1937). "On the fixed point formula". Annals of Mathematics. 38 (4): 819–822. doi:10.2307/1968838. JSTOR 1968838. MR 1503373.

외부 링크

• "Lefschetz formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]