실로우의 정리

수학에서, 특히 유한집단 이론 분야에서, 실로우의 이론은 노르웨이의 수학자 피터 루드비히 시로우의^[1] 이름을 딴 이론들의 모음으로, 주어진 유한집단이 포함하는 고정된 질서의 하위집단의 수에 대한 상세한 정보를 제공한다.시로우 이론은 유한집단 이론의 근본적인 부분을 형성하며 유한단순집단의 분류에 매우 중요한 응용을 가지고 있다.null

For a prime number $p$ , a Sylow p-subgroup (sometimes p-Sylow subgroup) of a group $G$ is a maximal $p$ -subgroup of $G$ , i.e., a subgroup of $G$ that is a p-group (meaning its cardinality is a power of $p,$ 또는 동등하게, 모든 그룹 요소의 순서는 $다른$ p{\ $displaystyle p}$ - g{\ $displaystyle G}$ 의 $p$ 하위 $그룹$ 이 아닌 p $p$ displaystyle $p$ $}$ )의 검정력이다 $G$ 주어진 prime $p$ $p$ 에 대한 모든 Sylow p ${\displaystyle$ p $}$ - 하위 $p$ 그룹의 집합은 때때로 ${\text{Syl}}_{p}(G)$ Syline ${\text{Syl}}_{p}(G)$ 로 기록된다 $p$ . ${\text{Syl}}_{p}(G)$ ) ${\text{Syl}_{p}(G)$ .

실로우의 이론은 라그랑주의 정리와는 부분적인 반전을 주장한다.라그랑주의 정리는 $모든$ 유한그룹 $G$ ${\displaystyle G$ $}$ 에 대해 G ${\displaystyle$ G}의 모든 부분군 순서 $G$ (원소 수)가 G $G$ 의 순서를 나눈다고 $G$ 기술하고 있다 $G$ Sylow는 $유한그룹$ G ${\displaystystyle$ G $}$ 의 순서의 모든 $p$ 주요 요인 $p$ ${\p}$ 에 대해 정리한다., $순서$ $p^{n}$ ${\displaystyle p$ $^{n}$ 의 $G$ Sylow $p$ ${\$ $displaystyle g}$ -subgroup $p$ of $G$ ${\$ displaystyle p $}$ 이 $p^{n}$ 가) $,$ $또한$ 순서 p {\ $displaystyle$ p $^{n}$ 의 $p$ 모든 $부분군$ 은 Sylow p ${\displaystyle$ p}이다 $p^{n}$ $G$ $}$ ${\displaystyle G$ 의 하위 $p$ 그룹과 그룹의 하위 그룹 $($ $p$ ${\displaystyle$ p $}$ 의 경우 $p$ 이 서로 결합된다.또한 주어진 prime $p$ ${\displaystyle$ p $}$ 에 대한 $p$ 의Sylow p {\ $displaystyle$ p $}$ - 하위 그룹의 $p$ 수는 $1{\text{ mod }}p$ $1{\text{ mod }}p$ ${\displaystyle$ 1 ${\text{mod}$ 에 해당된다 $p$ $1{\text{ mod }}p$

정리

동기

시로우 이론은 일반적으로 집단의 구조에 관한 강력한 진술이지만 유한집단이론의 적용에서도 강력하다.이는 그들이 유한 그룹 $[\displaystyle G}$ 의 카디널리티의 프라임 분해법을 사용하여 $G$ 하위 그룹의 구조에 대한 진술을 하기 때문이다. 본질적으로, 그룹에 대한 기본 수 이론적 정보를 그룹 구조로 전송하는 기술을 제공하기 때문이다.이러한 관찰로부터 유한집단을 분류하는 것은 어떤 조합/구조가 집단을 구성하기 위해 적용될 수 있는지를 알아내는 게임이 된다.예를 들어, 이러한 이론의 전형적인 적용은 $|G|=60$ = $|G|=60$ ${\displaystyle G$ = $60}$ 과 같은 고정된 카디널리티의 유한 그룹의 분류에 있다 $|G|=60$ ^[2]

성명서

한 가지 또는 다른 의미로 각각 최대치인 부분군의 집합은 집단 이론에서 공통적이다.그 놀라운 결과 여기 Syl의 경우(G){\displaystyle \operatorname{Syl}_ᆫ(G)}⁡은, 모든 회원은 실제로 서로에 대한의 가장 큰 가능한 주문이 많다:n을과 함께 G=pnm{\displaystyle G=p^{n}m};0{\displaystyle n>0}어디 p, 모든 m 나누지 않는다 같은 모양의 있다.Sylow p-subgroup $P$ 의 $|P|=p^{n}$ P $|P|=p^{n}$ = $|P|=p^{n}$ ${\$ P $=p^{n$ 즉, ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$ 는 p-group이고 ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$ : P ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$ , p ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$ ) ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$ = 1 ${\displaystyle {\text{gcd}}}(G:P ,p)=1$ 이러한 속성을 이용하여 $G$ 의 구조를 더욱 분석할 수 있다.

다음의 이론들은 1872년 루드비히 시로우가 처음 제안하고 증명했으며, 수학자 안날렌에 발표되었다.null

정리 (1) — 유한 그룹 $G$ 의 순서의 다중성 $n$ 을 갖는 모든 주요 인자 $p$ 에 대해 $,$ $p^{n}$ $p^{n}$ {\ $displaystyle$ p $^{n}$ 의 $G$ 의 Sylow p-subgroup이 존재한다 $p^{n}$

다음과 같은 약한 버전의 정리 1은 아우구스틴루이 카우치(Augustin-Louis Cauchy)에 의해 처음 증명되었으며, 카우치(Cauchy)의 정리라고 알려져 있다.null

Corolarary — $G$ 의 순서를 나누는 유한 그룹 $G$ 와 소수 $p$ 에 주어진 다음 $G$ 에 순서 $p$ 의 요소(따라서 이 요소에 의해 생성되는 주기적 부분군)가 존재한다.^[3]

정리 (2) — 유한군 $G$ 와 소수 $p$ 를 주어 $G$ 의 모든 Sylow p-subgroup은 서로 결합된다.즉, $H$ 와 $K$ 가 $G$ 의 Sylow p-subgroup이면 g $g^{-1}Hg=K$ - $g^{-1}Hg=K$ $g^{-1}Hg=K$ $g^{-1}Hg=K$ = $g^{-1}Hg=K$ $g^{-1}Hg=K$ 인 요소가 $g\in G$ $있다$ $g^{-1}Hg=K$

정리 (3) — $p$ 는 유한군 $G$ 의 순서의 다중성 $n$ 을 갖는 주요 인자가 되어 $G$ 의 순서가 $p^{n}m$ $p^{n}m$ $p^{n}m$ 로 작성될 수 있도록 하며 $p^{n}m$ $n>0$ 서 n $n>0$ > 0 ${\displaystyn n>0}$ 과 $n>0$ $p$ 는 $m$ 을 분할하지 않는다. $n_{p}$ $n_{p}$ ${\$ 을 $G$ 의 Sylow p-subgroup의 수로 한다 $n_{p}$ .그런 다음 다음을 보류하십시오.

$n_{p}$ $n_{p}$ ${\$ 은(는) g에서 시로우 $p-분군$ 의 지수인 $m$ 을 나눈다 $n_{p}$ .
$n_{p}\equiv 1{\bmod{p}}$
$n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ $n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ = G $n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ : $n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ $n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ ( $n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ ) $displaystyle n_{p}= G:N_{G}(P)$ $n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ 여기서 $P$ 는 $G$ 와 $N_{G}$ $N_{G}$ 의 Sylow p-subgroup이며 N G ${\$ 는 노멀라이저를 나타낸다 $N_{G}$ .

결과들

Sylow 이론은 소수 $p$ {\ $displaystyle p$ $}$ 의 $p$ 경우 모든 $p$ Sylow p {\ $displaystyle p^{n}$ 의 순서가 $p^{n}$ 하다는 것을 암시한다 $p^{n}$ 반대로 하위 $p^{n}$ 이 p ${\$ $displaystyle$ p $^{n}$ 를 순서 p ${\displaystyp}$ -subgroup을 $p$ 가지고 $있으면$ 모든 oope이다. $Thherlow$ p $p$ -subgroup $p$ .최대성 조건 때문에 H $H$ 이 $H$ (가) $G$ $G$ 의 p ${\$ $displaystyle p}$ - 하위 $p$ 그룹인 경우 $G$ $H$ $H$ 은(는) $p^{n}$ $p^{n}$ ${\$ 의 $p$ 하위 그룹이다 $H$ $p^{n}$

정리2의 매우 중요한 결과는 $n_{p}=1$ n $n_{p}=1$ = 1 ${\displaystyle n_{p}=1$ }이 $n_{p}=1$ $($ $)$ G {\ $displaystyle G}$ 의 Sylow $p$ {\ $displaystyle$ p $}-$ subgroup이 $p$ 정상 $G$ 서브그룹이라고 말하는 것과 같다는 것이다.단, S $S_{4}$ ${\$ 와 같이 정상 서브그룹을 가지고 있지만 정상적인 Sylow 하위그룹이 없는 그룹이 있다 $S_{4}$

무한 그룹에 대한 실로우의 정리

무한 그룹에 대한 시로우 이론의 아날로그가 있다.무한 그룹의 Sylow p-subgroup을 p-subgroup(즉, 그 안의 모든 요소에는 p-power order가 있음)으로 정의하는데, 이는 그룹 내의 모든 p-subgroup 중 포함을 최대화한다.그러한 하위 그룹은 조른의 보조정리부에 의해 존재한다. $\operatorname {Cl} (K)$ Cl $\operatorname {Cl} (K)$ ( K $\operatorname {Cl} (K)$ ) $\operatorname {Cl}(K)$ 은(는) 하위 그룹 $K\subset G$ ⊂ $K\subset G$ $K\subset G$ 의 결합성 클래스 집합을 나타냄 $\operatorname {Cl} (K)$

Theorem — If $K$ is a Sylow $p$ -subgroup of $G$ , and $n_{p}= \operatorname {Cl} (K)$ is finite, then every Sylow $p$ -subgroup is conjugate to $K$ , and $n_{p}\equiv 1{\bmod {p}}$ .

예

D에서₆ 반사는 Sylow 2-subgroup에 해당하므로 모든 반사는 공극이다.

Sylow 부분군의 간단한 예시와 Sylow 이론은 n-gon D의_2n dihedral 그룹이다.n 홀수의 경우 2 = 2는¹ 순서를 나누는 2의 가장 높은 검정력이며, 따라서 순서 2의 부분군은 실로 하위집단이다.이것들은 반사에 의해 생성되는 집단이며, 그 중 n은 있고, 그것들은 모두 회전하에서의 결합이다; 기하학적으로 대칭의 축은 꼭지점과 측면을 통과한다.null

D에서₁₂ 반사는 더 이상 Sylow 2-subgroup에 해당되지 않으며, 두 개의 결합 등급으로 분류된다.

대조적으로, n이 짝수라면, 4는 집단의 순서를 나누며, 순서 2의 하위 그룹은 더 이상 시로우 하위군이 아니며, 사실 두 정점을 통과하는지 두 개의 얼굴을 통과하는지 여부에 따라 기하학적으로 두 개의 결합 등급으로 나뉜다.이것들은 외부 자동형성에 의해 관련되는데, 이형성들은 di/n을 통한 회전에 의해 나타낼 수 있는데, 이는 이형성 그룹에서 최소 회전의 절반이다.null

또 다른 예는 GL₂(F_q)의 Sylow p-subgroup인데, 여기서 p와 q는 모두 아벨리안인 프라임 imes 3과 $p$ ≡ 1 $(mod$ $q)$ 이다.GL₂(F_q)의 순서는 $(q 2$ - 1 $)(q 2$ - $q) =$ ( $q)$ + $1)(q$ - 1)이다 $. 2$ $q$ = $pm n$ + $1$ 이후 $GL 2 (F q)의 순서$ 는²ⁿ p m³이다 $.$ 따라서 정리 1에 의해 시로우 p-subgroup의 순서는 p이다²ⁿ.

그러한 부분군 P 중 하나는 대각선 행렬의 집합이다[ ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$ ] ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$ {\ $displaystyle {\bmatrix}x^{im}&0\&x^{jm}\end{bmatrix}}},$ x는 F의_q 어떤 원시 루트다.F의_q 순서는 $q$ - $1$ 이므로 원시 뿌리의 순서는 q - 1로 되어 있는데, $이$ 는^{(q − 1)/pⁿ} x 또는 x와^m 그 모든 힘이 p의 힘인 순서를 가지고 있음을 의미한다.그래서 P는 모든 원소들이 p의 힘인 주문을 갖는 부분군이다. $a$ 와 b 둘 다에 대한 p 선택이ⁿ 있어 P = $p$ 를²ⁿ 만든다.이는 모든 대각선 행렬이 통근하므로 P는 아벨리안인 시로우 p-분군임을 의미하며, 정리 2에서는 모든 시로우 p-분군은 서로 결합한다고 기술하고 있기 때문에 GL₂(F_q)의 시로우 p-분군은 모두 아벨리안이다.null

응용 프로그램 예

실로우의 정리는 유한집단의 p-subgroup의 존재를 보장하고 있기 때문에, 프라임파워 질서의 집단을 좀더 면밀하게 연구해 볼 가치가 있다.대부분의 예들은 특정한 질서의 집단이 단순하지 않다는 것을 증명하기 위해 실로우의 정리를 이용한다.소순위의 집단의 경우, Sylow의 정리의 일치조건은 보통 부분군의 존재를 강요하기에 충분한 경우가 많다.null

예-1: p < q가 있는 순서 pq, p, q의 그룹.
예제-2: 순서 30 그룹, 순서 20 그룹, 순서 pq², p 및 q 구별되는 프리타임 그룹이 응용 프로그램의 일부다.
예제-3: (주문 60명 그룹):주문 G = 60, G가 둘 이상의 Sylow 5-subgroup을 가지고 있다면 G는 간단하다.

순환군주문

일부 비우량 숫자 n은 모든 순서 n의 그룹이 순환하는 것과 같다.sylow 이론을 사용하면 n = 15가 그러한 숫자임을 알 수 있다.G를 순서 15 = 3 · 5의 그룹으로 하고 n을₃ Sylow 3-subgroup의 수로 한다.그런 다음 n₃ $\mid$ $\mid$ 5와 $\mid$ n₃ ≡ 1(mod 3)을 표시한다.이러한 제약 조건을 만족하는 유일한 값은 1이므로 순서 3의 부분군은 하나뿐이며, (별도의 결합체가 없기 때문에) 정상이어야 한다.마찬가지로 n은₅ 3을 나누어야 하고 n은₅ 1(모드 5)과 같아야 한다. 따라서 순서 5의 단일 정규 부분군을 가져야 한다.3과 5는 복음이기 때문에 이 두 부분군의 교차점은 사소한 것이므로 G는 순서 3과 5의 그룹, 즉 순서 15의 순환집단인 내부직접생산물임에 틀림없다.따라서 순서 15의 그룹(이형성까지)은 하나밖에 없다.null

소규모 그룹은 단순하지 않음

좀 더 복잡한 예로는 주기적이지 않은 가장 작은 단순 그룹의 순서를 포함한다.번사이드의 p^a q^b 정리는 집단의 순서가 한 두 개의 주요 권력의 산물이라면 해결이 가능하므로 집단이 단순하지 않거나 원시 질서이며 주기적인 것이라고 기술하고 있다.이것은 모든 그룹이 30까지 주문하는 것을 제외한다. (= 2, 3, 5).null

G가 단순하고 G = 30이면 n은₃ 10( = 2 · 5), n은₃ 1(모드 3)이어야 한다.따라서 n₃ = 10, 즉 4와 7은 모두 10을 나누지 못하기 때문에 n₃ = 1이면 위와 같이 G는 정상적인 부분군 순서 3을 가질 수 있으므로 단순할 수 없다.그 다음 G는 순서 3의 10개의 뚜렷한 순환 하위 그룹을 가지며, 각각 순서 3의 2개 요소(정체성 포함)를 가진다.이것은 G가 순서 3의 적어도 20개의 구별되는 요소를 가지고 있다는 것을 의미한다.

또한 n은₅ 6( = 2 · 3)을 나누어야 하고 n은₅ 1(모드 5)을 나누어야 하기₅ 때문에 n = 6이다.그래서 G는 또한 순서 5의 24개의 구별되는 요소들을 가지고 있다.그러나 G의 순서는 30에 불과하므로 단순한 순서 30의 집단은 존재할 수 없다.null

다음으로 G = 42 = 2 · 3 · 7을 가정해 보자.여기서 n은₇ 6( = 2 · 3)을 나누어야 하고 n은₇ 1(모드 7)과 같아야 하므로₇ n = 1. 따라서 전과 같이 G는 단순할 수 없다.null

반면 G = 60² = 2 · 3 · 5의 경우 n₃ = 10, n = 6은₅ 완벽하게 가능하다.그리고 실제로 가장 작은 단순비순환군은 A로₅, 5개 원소 이상의 교번집단이다.오더 60, 오더 5의 24주기 순열, 오더 3의 20주기 순열이다.

윌슨의 정리

윌슨의 정리 중 일부는 다음과 같이 말한다.

(p-1)!\equiv \ -1{\pmod{p}}

매 p마다슐로의 세 번째 정리로는 쉽게 이 정리를 증명할 수 있을 것이다.실제로 대칭 그룹 S에_p 있는 Sylow의 p-subgroups n은_p( $p$ - $2)!$ $반면$ 에 $n p$ ≡ 1 $(mod$ p)이다 $.$ $따라서$ ( $p$ - $2)!$ ≡ 1 $(mod$ $p)$ 자, ( $p$ - 1)! - $-1 (mod$ p $)$ null

퓨전 결과

Frattini의 주장은 정상 서브그룹의 Sylow 하위그룹이 유한집단의 인자를 제공한다는 것을 보여준다.번사이드의 핵융합 정리로 알려진 약간의 일반화는 G가 시로우 p-부분군 P를 가진 유한집단이고, 두 개의 서브셋 A와 B가 P에 의해 정상화되는 경우, A와 B는 N_G(P)-콘주게이트인 경우에만 G-콘주게이트라고 말한다.그 증거는 실로우의 정리를 간단히 응용한 것이다.B=A일^g 경우 B의 노멀라이저에는 P뿐만 아니라 P^g(A의^g 노멀라이저에 P가^g 포함되어 있기 때문에)도 포함되어 있다.실로우의 정리 P와 P는^g G뿐만 아니라 B의 노멀라이저에서도 결합된다.따라서 gh는⁻¹ B를 정규화하는 일부 h에 대해 P를 정규화한 다음^gh⁻¹ A = B^h⁻¹ = B를 정규화하므로 A와 B는 N_G(P)-콘주게이트가 된다.번사이드의 융접 정리는 반간접적 생산물이라 불리는 보다 강력한 인자를 주기 위해 사용될 수 있다: 만일 G가 시로우 p-부분군 P가 노멀라이저의 중앙에 포함되는 유한집단이라면 G는 P에 대한 정상적인 순서복사 K를 가지고 있고, G = PK와 P =K = {1}, 즉 G는 p-nilent이다.null

Sylow 이론의 덜 사소한 적용은 전체 그룹의 구조에 대해 파생된 하위 그룹의 Sylow p-subgroup이 가지고 있는 제어를 연구하는 초점 부분군 정리를 포함한다.이 제어는 유한단순집단의 분류의 여러 단계에서 이용되며, 예를 들어 시로우 2-부분군이 준직립집단인 유한단순집단을 분류하는 알페린-브라워-고렌슈타인 정리에 사용된 사례분열을 정의한다.이것들은 실로우의 정리의 결합 부분을 강화하여 결합에 어떤 종류의 원소가 사용되는지를 제어하는 J. L. 알페린의 강화에 의존한다.null

시로우 이론의 증거

실로우의 이론은 여러 방면으로 증명되어 왔으며, 그 증거 자체의 역사는 워터하우스,^[4] 샤를라우,^[5] 카사디오와 자파,^[6] 고우,^[7] 그리고 어느 정도 메오를 포함한 많은 논문의 주제다.^[8]null

실로우의 이론에 대한 하나의 증거는 다양한 창의적인 방법으로 집단 행동의 개념을 이용한다. $그룹$ G는 그 자체 또는 그 p-subgroups의 집합에 대해 다양한 방법으로 행동하며, 그러한 각각의 행동은 Sylow의 이론들 중 하나를 증명하는 데 이용될 수 있다.다음의 증거는 비엘란트의 결합적 논거에 근거한다.^[9]다음에서는 "a dives b"의 표기법으로 $a\mid b$ b ${\displaystyle a\mid$ b $}$ 을(를) 사용하고, 이 문장의 부정을 위해 $a\nmid b$ $a\nmid b$ $a\nmid b$ $a\nmid b$ 을(를) 사용한다.null

정리(1) — 유한군Gprime power p에^k 의해 분할될 수 있는 $|G|$ 명령 $|G|$ $displaystyle$ G $}$ 은(는) 순서 p의^k 하위 그룹을 가지고 있다.

증명

Let $G$ = $pm k$ = $p\nmid u$ $p\nmid u$ 과(와 $p\nmid u$ 같은 $pu$ 와^k+r Ω은 크기 p의^k G 하위 집합 집합을 나타낸다.왼쪽 곱셈으로 Ω에 대한 Gacts on Ω: ∈ 및 ∈ $Ω$ , $\cdot ω =$ { $\in x}.$ 지정된 집합의 경우 ω $Ω$ , 쓰기G _ω 스태빌라이저 부분군 ${$ ∈ $\cdot g ω$ = $}$ 및Gω 궤도{ $\cdot ω$ ∈ ∈ }} Ω.

증거는 $G$ 가_$ω$ 원하는^k 서브그룹을 제공하는 p 원소를 갖는 일부 ∈ $Ω$ 의 존재를 보여줄 것이다.이것은 스태빌라이저 부분군 $G$ 의_$ω$ 최대 가능한 크기인데, 어떤 고정 원소 ∈⊆의 경우, 오른쪽 코셋 $Gα$ 가_$ω$ $Ω$ 에 포함되어 있기 때문이다. 따라서 = $G ω α G ω$ $\leq ω$ = .

궤도-안정제 정리에 의해 각 $each$ Ω에 $G$ 대해 $= G ω G ω$ 를 가지며, 따라서 요인 p의 수를 계수하는 가법 p-adic 평가 ν을_p 사용하여 $ν p ( )$ + $ν p p ( )$ $= +($ ) = $k$ + $r$ 을 갖는다.즉 $, G ω$ $우리$ 가^k 찾고 있는 $Ω p$ = p의 경우 $, =($ ) = $r$ 이 있는 $반면$ $,$ 다른 Ω의 경우 $implies$ $($ ) > $r$ 이 $있는$ 것이다(0 $G ω$ < $p$ 는^k $ν p$ $($ )를_p 의미한다 $.$ $Ω$ 은 모든 구별되는 $G ω$ 궤적 $Ω$ 의 합이므로 $ν p (Ω)$ = $r$ (존재하지 않을 경우 해당 평가값이 r을 초과함)을 보여줌으로써 전형 Ω의 존재를 나타낼 수 있다.이것은 쿠머의 정리(기본 p 표기법에서 숫자는 정확히 k + r 자리 0으로 끝나기 $G$ 때문에 p를^k 빼면 r 자리에서의 운반이 수반되기 때문에)의 한 예로서, 간단한 계산으로도 알 수 있다.

\Omega  ={p^{k}m \choose p^{k}}=\prod _{j=0}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k}m-j}{p^{k}-j}}=m\prod _{j=1}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k-\nu _{p}(j)}m-j/p^{\nu _{p}(j)}}{p^{k-\nu _{p}(j)}-j/p^{\nu _{p}(j)}}}

오른쪽의 제품 내부 요인에는 p의 힘이 남아 있지 않다.따라서 $ν p (Ω)$ = $ν p (m)$ = $r$ 로 증명 완료.null

반대로 순서 p의^k 모든 부분군 H는 다음과 같은 $ω$ Ω으로 설정된다.G_ω = H, 즉 m 구별되는 코세츠 Hg 중 하나.null

보조정리 — $H$ 를 유한 p-그룹으로 하고, Ω을 $H$ 가 작용하는 유한 집합으로 하며, Ω은₀ $H$ 의 작용에 따라 고정된 Ω의 점 집합을 나타낸다.그 다음 $Ω$ ≡ $Ω 0 (mod$ )null

증명

$H$ 에 의해 고정되지 않은 원소 element $Ω$ 은 순서 $/ H H$ 의_x 궤도(H가_x 스태빌라이저를 나타내는 곳)에 놓이게 되며, 이는 가정에 $의해$ p의 배수인 것이다.결과는 $Ω$ 을 모든 구별되는 궤도에 걸쳐 $H x$ $Hx$ 와 $축소모드$ p의 합으로 쓰면서 즉시 뒤따른다.null

정리 (2) — H가 $G$ 의 p-subgroup이고 P가 $G$ 의 Sylow p-subgroup이라면 $G$ 에는 gHg⁻¹ ≤ P와 같은 요소 G가 존재한다.특히 $G$ 의 모든 Sylow p-subgroup은 서로 결합(따라서 이형성), 즉 H와 K가 $G$ 의 Sylow p-subgroup이면 $G$ 에 gHg⁻¹ = K를 갖는 요소 g가 존재한다.

증명

Ω은 $G$ 에서 P의 왼쪽 코세트의 집합이고, H가 Ω에 대해 왼쪽 곱셈으로 작용하도록 한다.Ω으로 H에 LemMA를 적용하면 $Ω 0$ ≡ $Ω = G [$ : $P] (mod$ p)가 나타난다 $.$ Now $p\nmid [G:P]$ by definition so $p\nmid \Omega _{0}$ , hence in particular $Ω 0 \neq 0$ so there exists some $gP \in Ω 0$ . With this gP, we have hgP = gP for all $h \in H$ , so g⁻¹HgP = P and therefore g⁻¹Hg ≤ P.또한 H가 Sylow p-subgroup인 경우 $gHg -1 = H$ = P가 되도록 한다⁻¹.

정리 (3) — q는 유한 그룹의 Sylow p-subgroup P의 순서를 표시한다.G. n은_p 의 Sylow p-subgroup의 수를 나타낸다.G. 그 다음 (a) $n p G$ = [ $: N G$ ( $P)]$ (여기서_G N(P)은 P의 노멀라이저), (b) $n$ 은_p $G$ / $q$ , (c) n $n p$ 1 $(mod$ $p$ )를 나눈다 $.$ null

증명

Ω은 $G$ 의 모든 Sylow p-subgroups의 집합이며, $G$ 는 Ω에 대해 결합에 의해 작용한다. $P$ ∈ $Ω$ 을 Sylow p-subgroup으로 한다.정리2에 의해 P의 궤도는 크기 n을_p 가지므로 궤도-안정제 정리 $n p = G [$ : $]$ 에 의해 이루어진다.이 그룹 조치의 경우, 스태빌라이저 $G$ 는_P { $g$ in $gPg -1$ = $P}$ = $N G (P$ )에 의해 주어진다 $.$ G. 따라서 $n p = G [$ : $N G (P)],$ 이 숫자는 $G [$ : $P] = G$ / $q$ 의 구분자임을 의미한다.

이제 P가 Ω에 대해 결합에 의해 작용하도록 하고, 다시 Ω이₀ 이 동작의 고정점 집합을 나타내도록 한다. $Q$ ∈ $Ω$ 으로₀ 하고 그 다음 $Q$ = 모든 $x$ ∈ $P$ 에 $대해 -1$ X ∈ N_G(Q)이 되도록 관찰한다.정리2에 의해 P와 Q는 특히 N_G(Q)에서 결합하며, Q는_G N(Q)에서 정상이므로, P = Q. LemMA에 의해 $Ω 0$ = Ω = $p 0$ $Ω$ = 1( $mod$ p $)$ 이 된다.null

알고리즘

주어진 집단의 시로우 서브그룹을 찾는 문제는 계산집단 이론에서 중요한 문제다.null

Sylow p-subgroup의 존재에 대한 하나의 증거는 건설적이다: H가 G의 p-subgroup이고 [G:H] 지수를 p로 나눈다면, G에서 H의 N = N(H_G)은 또한 [N : H]이 p로 나눈 값이다.즉, Sylow p-subgroup의 다주기 생성 시스템은 어떤 p-subgroup H(정체성 포함)로부터 시작하여 H의 노멀라이저에 포함되지만 H 그 자체에는 포함되지 않는 p-파워 순서 요소를 취함으로써 찾을 수 있다.이것(및 많은 개선사항)의 알고리즘 버전은 캐논에서 기술된 알고리즘을 포함하여 ^[10]버틀러에서 교과서 형태로 기술되어 있다.^[11]이 버전들은 GAP 컴퓨터 대수 체계에서 여전히 사용되고 있다.null

순열 그룹에서, 칸토르와^[12]^[13]^[14] 칸토르와 테일러에서는,^[15] 실로 p-부분군 및 그 노멀라이저가 입력의 다항 시간(집단이 발전기 수를 곱한 정도)에서 발견될 수 있다는 것이 증명되었다.이러한 알고리즘은 세레스에서 교과서 형태로 기술되고 있으며,^[16] 유한한 단순 집단의 건설적인 인식이 현실이 되면서 현재 실용화되고 있다.특히 이 알고리즘의 버전은 마그마 컴퓨터 대수 체계에서 사용된다.null

참고 항목

메모들

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참조

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외부 링크

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추상대수학/그룹 이론/위키북스의 슬로우 이론
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