쿠메르의 정리

수학에서 금머의 정리는 주어진 이항계수를 나누는 소수 p의 최고위력 지수를 나타내는 공식이다.즉, 이항계수의 p-adic 평가를 제공한다.정리는 논문으로 증명해낸 에른스트 쿠메르(Kummer 1852년)의 이름을 따서 지은 것이다.

성명서

쿠머의 정리에서는 주어진 정수 n ≥m ≥ 0과 소수 p에 대해 p-adic 평가 $\nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)$ p $\nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)$ ( $\nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)$ ( ( $\nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)$ m $\nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)$ ) $\nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)$ ) ${\$ 는 m이 base p에서 n - m에 추가되었을 때의 운반 수와 동일하다고 $\nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)$ 밝히고 있다.

${\tbinom {n}{m}}$ ${\tfrac {n!}{m!(n-m)!}}$ ${\tbinom {n}{m}}$ ) ${\$ 을(를) n $m!(n$ - m ${\tfrac {n!}{m!(n-m)!}}$ )로 ${\tbinom {n}{m}}$ 적음으로써 증명할 수 있다 $!$ $}}}}$ 과 ${\tfrac {n!}{m!(n-m)!}}$ (와) 레전드레의 공식 사용.^[1]

예

이항계수 ${\tbinom {10}{3}}$ 10 ${\tbinom {10}{3}}$ ) ${\$ 을 ${\tbinom {10}{3}}$ (를) 나누는 2의 최대 검정력을 계산하려면 $기준$ $p$ = $2$ = $3$ $및$ $n$ - $m$ = $7$ 을 3 = $112$ $, 111$ 로₂ 쓴다.베이스 2에서 추가 $112$ + $1112$ = $1010$ 을₂ 실행하려면 3개의 운반이 필요하다.그리고 ${\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15$ (10 ${\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15$ ) ${\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15$ ${\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15$ = ${\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15$ ${\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15$ ${\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15$ ${\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15$ ${\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15$ 를 나누는 2의 가장 큰 힘은 $2$ 이다 ${\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15$ ³.

다항계수 일반화

쿠머의 정리는 다항계수 ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ , ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ … , ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ ) ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ = n ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ ! ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ ! ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ m ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ ! ${\$ { $n!$ $}{m_{1}!\cdots m_{k}!$ $}}}$ 다음과 같다 ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ .

Write the base- $p$ expansion of the integer $n$ as $n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}$ , and define ${\displaystyle S_{p}(n):$ $=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}$ 을 $S_{p}(n):=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}$ $p$ (를) 기본 $p$ ${\displaystyle$ p $}자리$ 합으로 한다.그러면