동일입자

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통계역학
열역학 운동 이론
입자 통계 스핀-통계 정리 동일입자 맥스웰-볼츠만 보스아인슈타인 페르미-디락 패러스타틱스 애니오닉 통계량 브레이드 통계량
열역학적 앙상블 NVE 마이크로캐논학 NVT 규범적 µVT 그랜드 캐논어 NPH 이센탈피크-이소바르어 NPT 등온-이소바르식
모델 데비예 아인슈타인 이싱 팟츠
가능성 내부 에너지 엔탈피 헬름홀츠 자유 에너지 기브스 자유 에너지 잠재력 / 란다우 자유 에너지
과학자들 맥스웰 볼츠만 깁스 아인슈타인 에렌페스트 폰 노이만 톨먼 데비예 페르미 보스
v t

양자역학에서 동일한 입자(불분명한 입자 또는 불분명한 입자라고도 함)는 원칙적으로 서로 구별할 수 없는 입자다. 동일한 입자의 종에는 원자와 분자뿐만 아니라, 기본 입자(전자 등), 복합 아원자 입자(원자핵 등)가 포함되지만 이에 국한되지는 않는다. 퀘이파티클도 이런 식으로 행동한다. 모든 알려진 구별할 수 없는 입자는 양자 척도에서만 존재하지만 양자 통계에서 살펴본 바와 같이 가능한 모든 종류의 입자에 대한 완전한 목록이나 명확한 적용성 제한은 없다.

동일한 입자의 두 가지 주요 범주가 있다: 양자 상태를 공유할 수 있는 보손과 (Pauli 제외 원리로 설명되는) 페르미온이다. 보손의 예로는 광자, 글루온, 음소, 헬륨-4 핵 및 모든 메손 등이 있다. 페르미온의 예로는 전자, 중성미자, 쿼크, 양성자, 중성자, 헬륨-3 핵 등이 있다.

입자가 동일할 수 있다는 사실은 통계 역학에서 중요한 결과를 가져오는데 계산은 연구 대상의 동일 여부에 민감한 확률론적 주장에 의존한다. 결과적으로, 동일한 입자는 구별 가능한 입자와 현저하게 다른 통계적 행동을 보인다. 예를 들어 입자의 분간 불능성은 기브스의 혼합 역설의 해결책으로 제시되어 왔다.

입자 구분

입자를 구분하는 방법에는 두 가지가 있다. 첫 번째 방법은 질량, 전하, 스핀과 같은 입자의 본질적인 물리적 성질의 차이에 의존한다. 차이가 존재할 경우 관련 성질을 측정해 입자를 구별할 수 있다. 그러나 같은 종의 미세한 입자가 완전히 동등한 물리적 성질을 가지고 있다는 것은 실증적인 사실이다. 예를 들어, 우주의 모든 전자는 정확히 같은 전하를 가지고 있다; 이것이 바로 "전자의 전하"와 같은 것을 말하는 것이 가능한 이유다.

입자의 물리적 성질이 동등하더라도 입자를 구분하는 두 번째 방법이 남아 있는데, 이는 각 입자의 궤적을 추적하는 것이다. 각 입자의 위치를 무한정 정밀하게 측정할 수 있는 한(입자가 충돌할 때에도), 어느 입자가 어느 입자인지에 대한 모호성은 없을 것이다.

두 번째 접근법의 문제는 양자역학의 원리와 모순된다는 것이다. 양자 이론에 따르면, 입자들은 측정 사이의 기간 동안 명확한 위치를 가지지 않는다. 대신 각 위치에서 입자를 찾을 확률을 주는 파장 기능에 의해 지배된다. 시간이 흐를수록 파장 기능이 퍼져 겹치는 경향이 있다. 일단 이런 일이 일어나면, 후속 측정에서 어떤 입자 위치가 이전에 측정된 입자와 일치하는지 결정하는 것은 불가능해진다. 그러면 그 입자들은 분간할 수 없다고 한다.

양자역학적 설명

대칭 및 비대칭 상태

다음은 양자역학의 수학적 공식화에 관한 글에서 개발된 형식주의를 이용하여 위의 논의를 구체화하는 예다.

n은 단일 입자 상태를 지정하기 위한 (분해) 양자 숫자의 전체 집합을 나타내도록 한다(예를 들어 상자 문제의 입자에 대해서는 n을 파형 기능의 정량화된 파형 벡터가 되도록 한다). 단순성을 위해 서로 상호작용하지 않는 두 개의 입자로 구성된 시스템을 고려하십시오. 한 입자가 상태 n에₁ 있고, 다른 입자가 상태₂ n에 있다고 가정해 보자. 직관적으로 시스템의 양자 상태는 다음과 같이 기록된다.

${\displaystyle n_{1}\rangele n_{2}\rangele }$

여기서 첫째로 기록된 상태는 입자 1을 위한 것이고, 둘째로 작성된 상태는 입자 2를 위한 것이다(따라서 ${\displaystyle n{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{2}\rangele n_{1}\rangele$ $\}\}).$ 이때 입자 2가 상태 n을 차지하는 동안 입자₁ 1은 상태₂ n을 차지한다. 이것은 단순히 개별 공간으로부터 결합된 시스템의$$ 텐서형 제품 공간 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\otimes$ H$}$의 기초를 구성하는 표준적인 방법이다. 이 표현식은 구별 가능한 입자에 유효하지만, n 1 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$2$$ $displaystyle n_{1}\rangele n_{2}\rangele }$과 n ${\displaystyle 2{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{2}\rangele n_{1}\rangele }$이 일반적으로 분산되기 때문에 구별할 수 없는 입자에 적합하지 않다.전대의 주

• "입자 1은 n 상태를₁, 입자 2는 n 상태를₂ 점유한다" 1 "입자₂ 1은 n 상태를, 입자 2는 n₁ 상태를 점유한다"

두 상태는 복잡한 위상 인자에 의해 기껏해야 다른 경우에만 물리적으로 동등하다. 분간할 수 없는 두 입자의 경우, 입자 교환 전의 상태는 교환 후의 상태와 물리적으로 동등해야 하므로 이 두 상태는 기껏해야 복잡한 위상 인자에 의해 다르다. 이 사실은 두 개의 분리가 불가능한 (그리고 상호 작용하지 않는) 입자에 대한 상태가 다음의 두 가지 가능성에 의해 주어진다는 것을 암시한다.

${\displaystyle n_{1}\rangele n_{2}\rangele \pm n_{2}\rangele n_{1}\rangele }$

합이 되는 상태를 대칭이라고 하는 반면, 차이를 포함하는 상태를 대칭이라고 한다. 더 완전히, 대칭상태는 그 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle n_{1},n_{2};S\rangele \equiv{\mbox{constant}\time {\bigg (}n_{1}\rangele n_{2}\n_{1}\rangele n_{1}\rangele {\bigg )}}}}}}}}}}}}$

비대칭 상태가 그 형태를 갖는 동안

${\displaystyle n_{1},n_{2};A\rangele \equiv {\mbox{constant}\time {\bigg(}n_{1}\rangele n_{2}\rangele - n_{1}\rangele n_{1}\rangele {\\bigg )}}}}}}}}}$

n과₁ n이₂ 같을 경우 대칭적 표현은 0을 주는데, 이는 정상화될 수 없으므로 상태 벡터가 될 수 없다는 점에 유의한다. 즉, 둘 이상의 동일한 입자가 비대칭 상태를 차지할 수 없다(하나의 비대칭 상태는 하나의 입자만이 점유할 수 있다). 이것은 파울리 배타원리로 알려져 있으며, 원자의 화학적 성질과 물질의 안정성에 대한 근본적인 원인이다.

교환대칭

대칭 및 비대칭 상태의 중요성은 궁극적으로 경험적 증거에 기초한다. 동일한 입자가 다음과 같이 대칭이 혼합된 상태를 차지하지 않는 것은 자연의 사실로 보인다.

${\displaystyle n_{1},n_{2};?\rangele ={\mbox{big}}\bigg (}n_{1}\rangele n_{2}\rangele +i n_{2}\rangele n_{1}\rangele {\bigg )}}}}}}}}$

나중에 논의될 이 규칙에는 실제로 예외가 있다. 한편, 교환 대칭이라고 알려진 다분자 상태의 특정한 대칭을 조사함으로써 대칭과 대칭 상태가 어떤 의미에서는 특별하다는 것을 알 수 있다.

교환 연산자라고 하는 선형 연산자 P를 정의한다. 두 개의 상태 벡터의 텐서 곱에 작용하는 경우 상태 벡터의 값을 교환한다.

${\displaystyle P{\bigg (} \psi \rangle \pi \rangele {\bigg )}\equiv \pi \psi \rangele }$

P는 에르미트인이자 단일민족이다. 단일성이기 때문에 대칭 연산자로 볼 수 있다. 이 대칭은 입자에 부착된 라벨 교환(즉, 단일 입자 힐버트 공간에 부착된 라벨 교환) 아래의 대칭으로 설명될 수 있다.

분명히 $P{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P^{2}=1}($ID 연산자)이므로 P의 고유값은 +1과 -1이다. 해당 고유 벡터는 대칭 및 비대칭 상태:

${\displaystyle P_n_{1},n_{2};S\rangele =+ n_{1},n_{2};S\rangele }$

${\displaystyle P_n_{1},n_{2};A\rangele =- n_{1},n_{2};A\rangele }$

즉, 입자 라벨의 교환 하에서 대칭 및 비대칭 상태는 본질적으로 변하지 않는다: 힐버트 공간의 다른 곳에서 "회전"되는 것이 아니라 +1 또는 -1의 인수로만 곱해진다. 이것은 입자 라벨이 물리적인 의미를 가지고 있지 않다는 것을 나타내며, 이전의 구별할 수 없는 가능성에 대한 논의와 일치한다.

P가 에르미트인이라는 사실이 상기될 것이다. 결과적으로, 그것은 시스템을 관측할 수 있는 것으로 간주될 수 있는데, 이것은 원칙적으로 어떤 상태가 대칭인지 또는 대칭인지 알아내기 위한 측정을 실시할 수 있다는 것을 의미한다. 더욱이 입자의 등가성은 해밀턴어를 다음과 같이 대칭적인 형태로 쓸 수 있음을 나타낸다.

${\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}:{2}}:{p_{2}^{2}}:{{p_{2}}+U(x_{1}-x_{2})+V(x_{1}+V(x_{2})}}$

그런 해밀턴 사람들이 감화 관계를 만족한다는 것을 보여주는 것은 가능하다.

$왼쪽[P,H\오른쪽]=0}$

하이젠베르크 방정식에 따르면 이는 P의 값이 운동 상수라는 것을 의미한다. 양자 상태가 초기에 대칭(대칭)이면 시스템이 진화하면서 대칭(대칭)으로 유지된다. 수학적으로 이것은 상태 벡터가 P의 두 개의 아이겐스페이스 중 하나에 한정되어 있으며, 힐버트 공간 전체에 걸쳐 범위가 허락되지 않는다고 말한다. 따라서, 그러한 공간은 시스템의 실제 힐버트 공간으로 취급되는 것이 좋을 것이다. 이것은 포크 스페이스의 정의 뒤에 있는 생각이다.

페르미온과 보손

대칭 또는 대칭의 선택은 입자의 종에 의해 결정된다. 예를 들어 광자 또는 헬륨-4 원자를 설명할 때는 대칭 상태를, 전자나 양성자를 설명할 때는 대칭 상태를 항상 사용해야 한다.

대칭 상태를 나타내는 입자를 보손이라고 한다. 대칭 상태의 특성은 많은 동일한 보손들로 구성된 시스템의 통계적 특성에 중요한 영향을 미친다. 이러한 통계적 속성은 보스-아인슈타인 통계로 설명된다.

비대칭 상태를 보이는 입자를 페르미온이라고 한다. 비대칭은 동일한 페르미온들이 동일한 양자 상태를 공유하는 것을 금지하는 파울리 배제 원칙을 낳는다. 많은 동일한 페르미온의 시스템은 페르미-디락 통계에 의해 설명된다.

패러스타트리즘도 가능하다.

특정 2차원 시스템에서는 혼합대칭이 발생할 수 있다. 이 이국적인 입자들은 Anyon으로 알려져 있고, 그들은 부분적인 통계에 따른다. 애니온의 존재에 대한 실험적인 증거는 분수 양자 홀 효과에 존재하는데, 이는 MOSFET의 반전층을 형성하는 2차원 전자 기체에서 관측되는 현상이다. 땋은 통계로 알려진 또 다른 유형의 통계가 있는데, 이는 플렉톤으로 알려진 입자와 관련이 있다.

스핀-통계학적 정리는 동일한 입자의 교환 대칭과 스핀을 연관시킨다. 보손은 정수 스핀을, 페르미온은 반정수의 스핀을 가지고 있다고 명시하고 있다. 아무렇게나 회전은 분량이다.

N 입자

위의 논의는 N입자의 경우에 쉽게 일반화된다. 양자 숫자 n₁, n₂, ..., n을_N 가진 N개의 입자가 있다고 가정합시다. 입자가 보손이라면, 입자 라벨의 교환 하에서 대칭인 완전 대칭 상태를 차지한다.

${\displaystyle n_{1}n_{2}\cdots n_{{N};S\rangele ={\sqrt {\frac {\prod_{n}m_{n}!}{{N!}}\sum _{p}\{p(1)\right\rangele \left n_{p(2)\right\rangele \cdots \left n_{p(N)}\right\rangele }}$

여기서 합계는 N 원소에 작용하는 순열 p에 따라 모든 다른 상태를 인수한다. 합계에 남은 제곱근은 정상화 상수다. 수량 m은_n 각 단일 입자 상태 n이 N-입자 상태에 나타나는 횟수를 의미한다. σ_nn m = N에 유의하십시오.

같은 맥락에서 페르미온은 완전히 대칭성이 없는 상태를 차지한다.

${\displaystyle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangele ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\operatorname {sgn}(p)\좌측 n_{p(1)\우측\랑글 \좌측 n_{p(2)\우측\랑글 \cdots \좌측 n_{p(N)}\우측\랑글 \}}}}}}$

여기서 sgn(p)은 각 순열의 부호(예$:$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가$$) 짝수 수의 전이(${\displaystyle \mathrm{transitions}}$)로 구성된$$ 경우 + 1 {\$displaystyle$ -1}, 홀수인 경우 - 1 ${\displaystyle -1})$이다. 각 단일 입자 상태는 페르미온 상태에서 한 번만 나타날 수 있으므로 ${\displaystyle {becausen}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 항은$$ 없다는 점에 유의하십시오. 그렇지 않으면 그 합은 다시 비대칭으로 인해 0이 되어 물리적으로 불가능한 상태를 나타낼 것이다. 이것이 많은 입자에 대한 파울리 배제의 원칙이다.

이 주들은 다음과 같이 정상화되었다.

${\displaystyle \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle =1,\qquad \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle =1.}$

측정

대칭(대칭) 상태의 N 보손(페르미온) 시스템이 있다고 가정해 보십시오.

${\displaystyle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S/A\rangele }$

그리고 측정은 다른 이산 관측 가능성의 집합인 m에 대해 수행된다. 일반적으로 이것은 한 입자에 대해 m₁, 다른 입자에 대해 m 등의₂ 결과를 산출한다. 입자가 보손(페르미온)인 경우 측정 후 상태는 대칭(대칭)으로 유지되어야 한다.

${\displaystyle m_{1}m_{2}\cdots m_{N};S/A\rangele }$

m 측정에 대한 특정 결과를 얻을 확률은

${\displaystyle P_{S/A}\left(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N}\right)\equiv {\big }\left\langle m_{1}\cdots m_{N};S/A\, \,n_{1}\cdots n_{N};S/A\right\rangle {\big }^{2}}$

라는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \sum _{m_{1}\leq m_{2}\leq \dots \leq m_{N}(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N}=1}$

총 확률이 1이라는 걸 증명하는 거지 각 다중 입자 상태가 두 번 이상 계수되지 않도록 하기 위해 합계를 m₁, ..., m의_N 순서에 따른 값으로 제한해야 한다.

파동기능 표현

지금까지 논의에는 별개의 관측 자료만 포함되었다. 위치 x와 같은 연속적인 관측 가능으로 확장할 수 있다.

연속 관측 가능한 고유 상태는 이산 관측 가능성과 같은 단일 값이 아니라 관측 가능한 값의 최소 범위를 나타낸다는 점을 기억하십시오. 예를 들어, 입자가 ψ⟩ 상태일 경우, 어떤 위치 x를 둘러싸고 있는 볼륨 dx³ 영역에서 입자를 찾을 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle x \cHB \rangele ^{2}\;d^{3}$

그 결과, 연속적인 고유상태 x⟩은 단합 대신 델타 함수로 정규화된다.

${\displaystyle \langle x'\angle =\cHB ^{3}(x-x')}$

대칭 및 대칭 다중 입자 상태는 이전과 동일한 방식으로 연속적인 고유상태에서 구성할 수 있다. 그러나 다음과 같은 다른 정규화 상수를 사용하는 것이 관례다.

${\displaystyle {\begin{ligned} x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangele &={\frac {\prod_{j}n_{j}!}{{N!}\sum _{p}\{p(1)\right\rangele \왼쪽 x_{p(2)\right\rangeots \cdots \left x_{p(N)}\right\rangele \\\x_{1}x_{2}cdots x_{N};A\rangele &={\frac {1}{N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn}(p)\좌측 x_{p(1)\우측\rangele \좌측 x_{p(2)\우측\rangeots \좌측 x_{p(N)}\우측\rangleend{arged}}}}}}}}}}}}}$

다체 파동 기능은 쓸 수 있지만

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle \\[4pt]&={\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{{N!}}\sum _{p}\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi \{p(N)}\[10pt]\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle \\[4pt]&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn}(p)\psi _{p(1)(x_{1})\psi _{p(2)(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\end{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서, 단방향 파동 기능은 통상적으로 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle \cHB _{n}(x)\equiv \langle x n\rangle }$

이러한 파장 기능의 가장 중요한 특성은 좌표 변수 중 두 가지를 교환하면 파장 기능이 플러스 마이너스 부호로만 변경된다는 것이다. 이것은 파동함수 표현에서 대칭과 대칭의 발현이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\\[3pt]\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=-\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\end{aligned}}}$

다체파함수는 다음과 같은 유의성을 가지고 있다: 시스템이 초기에 양자수 n₁, ..., n을_N 가진 상태에 있고 위치측정이 수행되면 x₁, x₂, ..., x_N 근처의 극소량에서 입자를 발견할 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle N!\;\왼쪽 \psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{{N}}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{N}}}}\right ^{2}\;d^{3}N}\!x}$

N!의 인자는 단일 입자 파장 기능을 유추하여 선택한 상수 정상화에 기인한다.

${\displaystyle \int \!\int \!\cdots \!\int \;\left \Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right ^{2}d^{3}\!x_{1}d^{3}\!x_{2}\cdots d^{3}\!x_{N}=1}$

각 적분은 x의 가능한 모든 값에 걸쳐 실행되기 때문에, 각 다중 입자 상태는 적분에서 N! 횟수로 나타난다. 즉, 각 사건과 관련된 확률은 적분 공간의 N! 등가점에 고르게 분포한다. 제한된 통합보다 제한되지 않은 통합으로 작업하는 것이 보통 더 편리하기 때문에 이를 반영하기 위해 정상화 상수를 선택했다.

마지막으로 비대칭파함수는 슬레이터 결정요소로 알려진 매트릭스의 결정요소로 기록될 수 있다.

${\displaystyle \Psi _{n_{1}\cdots n_{N}^{{N}}(x_{1},\ldots,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left {\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right }$

운영자 접근 방식 및 패러스타틱스

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 입자를$$ 위한 Hilbert 공간은 텐서 제품 $\otimes {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \otimes _{n}H}$에 의해 주어진다$.$ ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$의 순열 그룹은 이 공간에 입력을 허용함으로써 작용한다$$. 정의상 구별할$$ 수 없는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 입자의$$ ${\displaystyle a}$에 대한 기대값은 이러한 순열에서 불변해야 한다. 즉, 모든 $\$ H {\$displaystyle$ \$psi \in$ H} 및$$${\displaystyle }\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$n {\${\displaystyle {displaystyle}_{}}$ \sigma \$in S_{$n}}}}에 대해 ψ S n {\$displaystyle \sigma \in$ S_$}}$

${\displaystyle(\sigma \psi )^{t}a(\sigma \psi )=\psi ^{t}a\psi ,}$

또는 각${\displaystyle }\sigma {\displaystyle }$ S ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 동등하게 적용됨

${\displaystyle {\sigma }^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \sigma }$= ${\displaystyle \sigma ^{t}a\sigma =a$

두 상태는 모든 관측 가능성의 기대값이 일치할 때마다 동등하다. n {\$displaystylen}$개의$$ 동일한 입자 관측 가능으로 제한하고 따라서 위의 방정식을 충족하는 관측 가능으로 제한하면 다음 상태(정상화 후)가 동등하다는 것을 알 수 있다$.$

${\displaystyle \mathrm{\psi }~}$ ~${\displaystyle \underset{\sigma {\sigma }_{}}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{{}_{}}}$ n ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$ { { { { { { { \$$\$displaystyle \PSi \sim$ \$sim \sigma \in S_{n}\lambda _{\sigma \}\sigma \psi$

동등성 클래스는 ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$에 있는${\displaystyle {}_n}$ n ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \otimes _{n}H}$의 수정 불가능한 하위 스페이스와 비거부적 관계에 있다$.$

분명한 두 개의 부공간은 1차원 대칭/보온적 하위공간과 반대칭/초임성 하위공간이다. 그러나 더 많은 종류의 수정 불가능한 하위 영역이 있다. 이러한 다른 불가해한 하위 영역과 연관된 상태를 파라스타티즘 상태라고 부른다.^[4] 젊은 탁자는 이 모든 수정 불가능한 하위 영역을 분류할 수 있는 방법을 제공한다.

통계적 속성

구별할 수 없는 통계적 효과

입자의 분간 불능성은 입자의 통계적 특성에 지대한 영향을 미친다. 이를 설명하려면 N개의 구별 가능한 비접촉 입자 시스템을 고려하십시오. 다시_j 한 번 n이 입자 j의 상태(즉 양자수)를 나타내도록 한다. 입자가 동일한 물리적 특성을 갖는 경우, n은_j 동일한 범위의 값에 걸쳐 실행된다. ε(n)은 상태 n에서 입자의 에너지를 나타내도록 한다. 입자가 상호작용하지 않기 때문에, 시스템의 총 에너지는 단일 입자 에너지의 합이다. 시스템의 파티션 기능은

${\displaystyle Z=\sum _{n_{1},n_{2},\ldots,n_{N}\exp \left\{-{\frac {1}{1}{k}T}}\왼쪽[\varepsilon (n_{1})+\varepsilon (n_{2})+\cdots +\varepsilon (n_{N}\right]\right\}}}}}}}}$

여기서 k는 볼츠만의 상수, T는 온도다. 이 표현은 얻기 위해 고려될 수 있다.

${\displaystyle Z=\xi ^{N}}$

어디에

${\displaystyle \xi =\sum _{n}\exp \left[-{\frac {\barepsilon (n)}{k}T}}\오른쪽.}$

입자가 같다면 이 방정식은 부정확하다. 단일 입자 상태[n₁, ..., n_N]로 설명되는 시스템 상태를 고려하십시오. Z에 대한 방정식에서, 이러한 순열 각각이 동일한 다중 입자 상태를 설명하고 있음에도 불구하고, n의 모든 가능한 순열은 합계에서 한 번 발생한다. 따라서 주의 수는 초과 계상되었다.

온도가 높으면 유효한 상태 중복 가능성을 무시하면 각 상태가 계수되는 횟수는 대략 N!이다. 올바른 파티션 함수는

${\displaystyle Z={\frac {\xi ^{N}}{N!}}.}$

이 "고온" 근사치는 페르미온과 보슨을 구별하지 않는다는 점에 유의하십시오.

구별할 수 없고 구별할 수 없는 입자의 칸막이 기능에서의 불일치는 양자역학의 출현 이전인 19세기까지 알려져 있었다. 그것은 깁스 역설로 알려진 어려움으로 이어진다. Gibbs는 Z = ξ^N 방정식에서 고전적 이상 기체의 엔트로피는

${\displaystyle S=Nk\ln \left(V\right)+Nf(T)}$

여기서 V는 기체의 부피, f는 T만의 어떤 기능이다. 이 결과의 문제는 S가 광범위하지 않다는 것이다 – N과 V를 두 배로 증가시키면 S는 그에 따라 두 배로 증가하지 않는다. 그러한 시스템은 열역학이라는 체계에 따르지 않는다.

또한 Gibbs는 Z = ξ^N/N!을 사용하면 결과가 다음과 같이 바뀐다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle S=Nk\ln \left({\frac {V}{N}\오른쪽)+Nf(T)}$

아주 광범위해 그러나 이러한 파티션 함수에 대한 수정의 이유는 양자역학이 발견되기 전까지 불명확했다.

보손과 페르미온의 통계적 특성

보세-아인슈타인 통계와 페르미-디락 통계로 각각 기술되는 보손과 페르미온의 통계적 행동 사이에는 중요한 차이가 있다. 대략적으로 말하면, 보손은 같은 양자 상태로 뭉치는 경향이 있는데, 이것은 레이저, 보세-아인슈타인 응축, 초유체성 같은 현상의 기초가 된다. 반면에 페르미온들은 양자 상태를 공유하는 것이 금지되어 페르미 가스 같은 시스템을 발생시킨다. 이것은 Pauli 제외 원리로 알려져 있으며, 원자(페르미온)의 전자가 모두 같은 최저 에너지 상태에 놓여 있는 것이 아니라 껍질 안의 많은 상태를 연속적으로 채우기 때문에 화학의 많은 부분을 담당한다.

페르미온, 보손, 구별 가능한 입자의 통계적 거동 사이의 차이는 두 개의 입자의 시스템을 사용하여 설명할 수 있다. 입자는 A와 B로 지정된다. 각 입자는 동일한 에너지를 가진 ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 0\rangele}$과 ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 1\rangele}$이라는 두 가지 가능한 상태로 존재할 수 있다$.$

복합 시스템은 시끄러운 환경과 상호작용하면서 시간 내에 진화할 수 있다. ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 0\rangele }$과 1${\displaystyle }${$${\$displaystyle 1\rangele }$ 상태는 정력적으로 동등하기 때문에 어느 상태도 선호되지 않기 때문에 이 과정은 상태를 무작위화하는 효과가 있다. (이것은 양자 얽힘에 관한 글에서 논의된다.) 어느 정도 시간이 지나면, 복합 시스템은 이용 가능한 각 주를 점유할 수 있는 동등한 확률을 갖게 될 것이다. 그런 다음 입자 상태를 측정한다.

If A and B are distinguishable particles, then the composite system has four distinct states: ${\displaystyle 0\rangle 0\rangle }$, ${\displaystyle 1\rangle 1\rangle }$, ${\displaystyle 0\rangle 1\rangle }$, and ${\displaystyle 1\rangle 0\rangle }$. The ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 0\rangele}$ 상태에서$$ 두 개의 입자를 얻을 확률은 0.25이고, ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ⟩${\displaystyle 1\rangele$} 상태에서$$두 개의 입자를 얻을 확률은 0.25이며, ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 0\rangele}$ 상태에서$$ 한 개의 입자를 얻을 확률은 1${\displaystyle }$⟩$${ probability}이다.$\displaystyle 1\rangele }$ 상태는$$ 0.5이다.

If A and B are identical bosons, then the composite system has only three distinct states: ${\displaystyle 0\rangle 0\rangle }$, ${\displaystyle 1\rangle 1\rangle }$, and ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}( 0\rangle 1\rangle + 1\rangle 0\rangl$$e )}$ 실험을$$수행했을 때 ${\displaystyle 0\mathrm{}}$⟩ ${\displaystyle 0\rangele }$ 상태에서$$ 2개의 입자를 얻을 확률은 현재 0.33이고, ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 1\rangele }$ 상태에서$$ 2개의 입자를 얻을 확률은 0.33이며, ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 0\ran$에서 1개의 입자를 얻을 확률은 0.33이다.$글리 }$ 상태와$$ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$⟩ ${\displaystyle 1\rangele }$ 상태의$$ 다른 상태는 0.33이다. 동일한 상태에서 입자를 찾을 확률은 구별 가능한 경우보다 상대적으로 크다는 점에 유의하십시오. 이것은 보손들이 "쿵"하는 경향이 있음을 보여준다.

If A and B are identical fermions, there is only one state available to the composite system: the totally antisymmetric state ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}( 0\rangle 1\rangle - 1\rangle 0\rangle )}$. When the experiment is performed, one particle is always in the ${\displ$$aystyle 0\rangele }$ 상태와$$ 다른 상태는 ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 1\rangele }$ 상태에$$ 있다.

그 결과는 표 1에 요약되어 있다.

표 1: 두 입자의 통계

입자들.	둘 다 0	둘 다 1	0 하나, 1
구분가능	0.25	0.25	0.5
보손스	0.33	0.33	0.33
페르미온스	0	0	1

알 수 있듯이, 두 개의 입자로 이루어진 시스템조차도 구별할 수 있는 입자, 보손, 페르미온 사이에서 다른 통계적 행동을 보인다. 페르미-디락 통계와 보스-아인슈타인 통계에 관한 기사에서는 이러한 원칙이 다수의 입자로 확대되며 질적으로 유사한 결과가 나온다.

호모토피 클래스

입자 통계가 왜 그들이 하는 방식으로 작용하는지 이해하기 위해서는 먼저 입자가 점으로 국소화된 배설물이며 우주와 같이 분리된 입자는 상호작용을 하지 않는다는 점에 주목하라. 평평한 d차원 공간 M에서는, 어느 주어진 시간에, 동일한 두 입자의 구성을 M × M의 요소로 지정할 수 있다. 입자 사이에 중첩이 없어 직접 상호작용하지 않는 경우, 이들의 위치는 [M × M] \coincident points}의 공간에 속해야 한다. 요소(,x )는 다음 위치에 입자 I이 있는 구성을 설명한다. x 그리고 입자 II는 다음과 같다. y , 반면 (,y )은 상호 교환된 구성을 설명한다. 동일한 입자로 (,x )에 의해 기술된 상태는 (,y )에 의해 기술된 상태와 구별할 수 없어야 한다. 이제 [M × M] \ {coincident points} 공간 내에서 (,x ) ~ (,y ) 사이의 연속 경로의 호모토피 클래스를 고려한다. 만약 M이 d ≥ 3인 경우^d, 이 호모토피 클래스는 하나의 요소만 가진다. M이 R이면² 이 호모토피 클래스는 아주 많은 요소(즉, 반 바퀴 반 시계방향 교환, 1바퀴 반 회전 반 시계 반대 방향 교환, 2바퀴 반 회전 등), 반 바퀴 반 시계 방향 교환 등)를 가지고 있다. 특히 반시계방향 교환기는 반 바퀴 돌리면 반 바퀴 돌면 시계방향 교환과 반 바퀴 돌면 반 시계방향 교환이 안 된다. 마지막으로 M이 R이면 이 호모토피 수업은 비어있다.

먼저 그 d ≥ 3을 가정해 보자. [M × M] \ {coincident points}의 범용 커버 공간은 다름아닌 [M × M] \ {coincident points} 그 자체로서 물리적으로 구별할 수 없는 두 점, 즉 (,x x) 그 자체와 (,y )이므로, 두 입자를 교환하는 것만이 허용된다. 이 교환은 비자발적이므로 그 유일한 효과는 위상에 1의 제곱근을 곱하는 것이다. 루트가 +1이면 점에는 보스 통계량이 있고, 루트가 -1이면 점에는 페르미 통계량이 있다.

사례 M = R의² 경우, [M × M] \ {동시점 포인트}의 범용 커버 공간은 물리적으로 (,x )와 구별할 수 없는 점들이 무한히 많다. 이것은 반시계 반 바퀴 교환을 통해 생성된 무한 순환 그룹에 의해 설명된다. 앞의 경우와 달리, 이 교환을 연속해서 두 번 실시해도 원래의 상태가 회복되는 것은 아니기 때문에, 그러한 교환은 일반적으로 어떤 실제 θ에 대해서도 exp(iθ)에 의한 곱셈을 초래할 수 있다(단위별로, 곱셈의 절대값은 1이어야 한다). 이것을 애니소닉 통계라고 한다. 사실, 두 개의 구별 가능한 입자가 있어도, 비록 (,x )는 이제 물리적으로 (,y )와 구별할 수 있지만, 보편적 커버 공간은 여전히 물리적으로 원래 지점과 구별할 수 없는 점들을 무한히 많이 포함하고 있으며, 현재는 시계 반대 방향으로 한 바퀴 돌리면 생성된다. 그러면 이 생성기는 exp(iφ)에 의해 곱셈이 된다. 여기서 이 위상 인자를 상호 통계라고 한다.

마지막으로 케이스 M = R의 경우 공간[M × M] \{coincident points}이 연결되어 있지 않기 때문에 입자 I와 입자 II가 동일하더라도 "왼쪽 입자"와 "오른쪽 입자"와 같은 라벨을 통해 여전히 구별할 수 있다. 여기에는 상호 대칭성이 없다.

참고 항목

• 준집합 이론
• 드브로글리 가설

각주

참조

• Tuckerman, Mark (2010), Statistical Mechanics, ISBN 978-0198525264

외부 링크

• John S에 의한 동일하고 분간할 수 없는 입자의 교환. 덴커
• 양자론의 정체성과 개성 (스탠포드 철학 백과사전)
• E. 파바리니, E. 코흐, U. 슐워크의 많은 전자 주: 상관관계 물질에서의 긴급 현상, 줄리히 2013, ISBN 978-3-89336-884-6