파생상품시험

미적분학에서, 파생 테스트는 함수의 파생상품을 사용하여 함수의 임계점을 찾고 각 점이 국소 최대점, 국소 최소점 또는 안장점인지 여부를 결정한다. 파생 테스트는 또한 함수의 동일성에 대한 정보를 제공할 수 있다.

극단성을 찾는 파생상품의 유용성은 페르마의 정지점 정리에 의해 수학적으로 증명된다.

1차분열시험

첫 번째 파생 테스트는 함수의 단일 특성(함수가 증가하거나 감소하는 위치)을 조사하며, 해당 영역의 특정 지점을 중심으로 한다. 만약 함수 "스위치"가 점의 증가에서 감소로 증가한다면, 함수는 그 점에서 가장 높은 값을 얻을 것이다. 마찬가지로, 만약 함수 "스위치"가 그 지점에서 감소에서 증가로 바뀐다면, 그 지점에서 최소값을 얻을 것이다. 함수가 "전환"하지 못하고 계속 증가하거나 감소하면 최고 또는 최소값이 달성되지 않는다.

미적분 없이 함수의 단조성을 검사할 수 있다. 그러나 미적분은 위의 단조로운 성질을 보장하는 충분한 조건들이 있기 때문에 대개 도움이 되며, 이러한 조건들은 한 사람이 접하게 될 대부분의 기능에 적용된다.

단조도 특성에 대한 정밀한 문

정확히 말하면, f는 실제 변수의 연속적인 실제 값 함수로서, x 점을 포함하는 일부 개방된 간격에 정의된다고 가정한다.

• f가 (x - r, x)에서 약하게 증가하고 (x, x + r)에서 약하게 감소하는 양수 r > 0이 존재하는 경우, f는 x에서 로컬 최대값을 가진다. 이 문장은 또한 반대로, x가 국부 최대점인 경우 f가 (x - r, x)에서 약하게 증가하고 (x, x + r)에서 약하게 감소한다.
• f가 (x - r, x)에서 엄격히 증가하고 (x, x + r)에서 엄격하게 증가하는 양수 r > 0이 존재하는 경우, f는 (x - r, x + r)에서 엄격하게 증가하며 (x - r, x + r)에서 국소 최대치 또는 최소치를 가지지 않는다.

이 진술은 국소극단이 어떻게 정의되는지에 대한 직접적인 결과물이다. 즉, x가₀ 국부 최대점이라면 f(x) ≤ f(x - r, x + r) x in (x₀ - r, x₀ + r)에 대해 f(x) ≤ f(x₀)가 존재하며, f가 연속적이기 때문에 x₀₀ - r에서 x₀₀ + r로 증가해야 한다는 것을 의미한다.

앞의 두 경우에서 f는 x의 왼쪽이나 오른쪽으로 엄격하게 증가하거나 감소할 필요가 없는 반면, 마지막 두 경우에서 f는 엄격하게 증가하거나 감소할 필요가 있다. 그 이유는 국소 최대값과 최소값의 정의에서 불평등이 엄격할 필요가 없기 때문이다. 예를 들어 상수함수의 모든 값은 국소 최대값과 국소 최소값으로 모두 간주된다.

첫 번째 분자 테스트의 정밀한 진술

첫 번째 파생 테스트는 "증가-감소 테스트"에 따라 달라지는데, 그 자체는 궁극적으로 평균값 정리의 결과물이다. 이는 파생상품의 정의 방식과 이전 절과 결합된 기능의 국소적 감소 및 증가 연결의 직접적인 결과물이다.

f는 임계점 a를 포함하는 어떤 간격에 정의된 실제 변수의 실제 값 함수라고 가정한다. 또한 f는 a를 포함하는 개방된 어떤 간격에서 연속적이고 그 자체에서 가능한 것을 제외하고 다를 수 있다고 가정한다.

• (a - r, a)의 모든 x에 대해 f′(x) ≥ 0이 있고, (a, a + r)의 모든 x에 대해 f′(x) ≤ 0이 있는 양수 r > 0이 있는 경우, f는 a에 로컬 최대값을 가진다.
• (a - r, a) ∪ (a, a + r)의 모든 x에 대해 f′(x) > 0을 갖는 양수 r > 0이 존재한다면, f는 a에서 엄격히 증가하고 있고, 거기에 로컬 최대값도 로컬 최소값도 없다.
• 위의 조건 중 어느 것도 유지되지 않으면 시험은 실패한다. (이러한 조건은 비어 있지 않다. 예를 들어 f(x²) = x sin(1/x)과 같은 처음 세 조건 중 어느 것도 만족시키지 못하는 기능이 있다.

다시 한 번, 단조성 속성에 대한 섹션의 코멘트에 대응하여, 앞의 두 경우에서는 불평등이 엄격할 필요가 없는 반면, 다음 두 경우에서는 엄격한 불평등이 요구된다는 점에 주목한다.

적용들

첫 번째 파생 테스트는 물리, 경제, 공학에서 최적화 문제를 해결하는 데 도움이 된다. 극값 정리와 연계하여, 닫히고 경계된 구간에서 정의되는 실제값 함수의 절대 최대값과 최소값을 찾는 데 사용할 수 있다. 뇌동성, 변곡점, 점근 등의 다른 정보와 함께 함수의 그래프를 스케치하는 데 사용할 수 있다.

2차분열시험(단일변수)

함수의 임계점을 설정한 후, 2차 파생 테스트는 해당 지점의 두 번째 파생상품 값을 사용하여 해당 지점이 국부 최대값인지 국부 최소값인지를 결정한다.^[1] 함수 f가 임계점 x(즉, f′(x) = 0)에서 두 번 구별할 수 있는 경우:

• ( )< 0 ${\displaystyle f"(x$$0}$인 경우, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 로컬 최대값을 갖는다$$$.$
• ( )> 0 ${\displaystyle$ f$"(x)>0$인 경우, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 로컬 최소값을 가진다$$$.$
• ${\displaystyle \mathrm{f}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ f$"(x)=0}$인 경우$,$ 테스트는 결론을 내리지 못한다.

마지막 경우에 테일러의 정리를 사용하여 더 높은 파생상품을 사용하여 f near x의 행동을 결정하는 데 사용할 수도 있다.

2차분열시험의 증거

( )> 0 ${\displaystyle$ f$"(x)>0}$이() 있다고 가정합시다( ( )<0 {\$displaystyle$ f$"(x)<0}$에 대한 증명은 유사하다). ${\displaystyle \mathrm{가정}}$으로 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ f$'(x)=0$ 그러면

${\displaystyle 0<f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'-f''(x)}{h}}}{h}\frac {f'(x+h){h}.}$

그러므로, 충분히 작은 h는 우리가 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {f'(x+h)}{h}}{h}}}$

그 말은 f′(x+h)<0{\displaystyle f'(x+h)<0}만약 h<0{\displaystyle h<0}(로 그것에게 다가서직관적으로, f){\displaystyle x}왼쪽에서 감소하고 있), f′(x+h)>0{\displaystyle f'(x+h)>0}만약 h>0{\displaystyle h>0}(직감적으로, fincreasi 있음을 의미한다.Ng우리가 바로 x라 학교). $이제{\displaystyle }$ 첫 번째 파생 테스트에 의해 f ${\displaystyle$ f$}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$에서 로컬 최소값을 갖는다$$$.$

콘크리이트 테스트

두 번째 파생상품의 관련성이 있지만 뚜렷한 용도는 함수를 한 지점에서 위쪽으로 오목하게 오목하게 오목하게 하는지 또는 아래로 오목하게 오목하게 오목하게 하는지를 결정하는 것이다. 그러나 변곡점에 대한 정보는 제공하지 않는다. 만약 f())을 ″ 특히,twice-differentiable 기능 f;0{\displaystyle f"())>0}, 만약 f())<>″을 오목하다;0{\displaystyle f"())<0}. 만약 f()))x4{\displaystyle f())=x^{4}}습니다, 그때 x=0{\displaystyle x=0}이 제로 유도 함수., 아직은 inflec을 오목하다 있다.tion 점, 따라서 두 번째 파생상품만으로는 주어진 지점이 변곡점인지 여부를 판단할 수 있는 충분한 정보를 제공하지 않는다.

고차파생성시험

고차파생상품시험 또는 일반파생상품시험은 함수의 임계점이 2차파생상품시험보다 더 다양한 기능에 대한 최대점, 최소점 또는 변곡점인지를 판단할 수 있다. 아래 나온 것처럼 2차 파생시험은 고차 파생상품시험에서 n = 1이라는 특수한 경우와 수학적으로 동일하다.

f는 구간 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ {$R}$ $\},$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ I ${\displaystyle c\\in I$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 1 ${\displaystyle n\geq$ $}$에 대해 실제 값되고 충분히 상이한 함수가 되도록$$ 한다. 또한 (n + 1)번째 파생상품은 (n + 1)번째 파생상품은 (n + 1)번째 파생상품이 0이 아닌) c의 모든 파생상품은 0이 되도록 한다.

${\displaystyle f'(c)=\cdots=f^{(n)}=0\datable {\text{and}\dataf^{(n+1)}(c)\neq 0.}$

c가 극단인 경우와 c가 (현지) 안장점인 경우 등 네 가지 가능성이 있다.

• n이 홀수이고 ( + )( c)< ${\displaystyle$ f$^{(n+1)}(c)<0},$c는 로컬 최대값이다.
• n이 홀수이고 ( + )( )> 0 ${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$인 경우 c는 로컬 최소값이다
• n이 짝수이고 ( + )( )< ${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0},$c는 엄격히 감소하는 변곡점이다.
• n이 짝수이고 ( + )( )> 0 ${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0$이면 c는 엄격히 증가하는 변곡점이다.

n은 홀수 또는 짝수여야 하기 때문에, 이 분석 시험은 0이 아닌 파생상품이 결국 나타나는 한, f의 정지점을 분류한다.

예

${\displaystyle \mathrm{예}}$를 들어, x${\displaystyle }$=${\displaystyle \mathrm{x}{6\mathrm{}}^{}}$+ 5$(\displaystyle f(x)=x^{6}+5}$의 x${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ x$=0}$ 지점에 대해 일반 파생 모델 테스트를 수행하려고 함$.$ 이를 위해 함수의 파생상품을 계산한 다음 결과가 0이 될 때까지 관심 지점에서 평가한다.

${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 6 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 5 ${\$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0;}$ ${\displaystyle$ f$'(0)=0;}$

${\displaystyle {}^{}f}$ ${\displaystyle {″}^{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 30}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0;}$ ${\displaystyle$ f$"(0)=0;}$

${\displaystyle f^{}}$( ${\displaystyle 3{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 120}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$ f$^{3}(x)=120x^{3$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$( ${\displaystyle 3{}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0;}$ ${\displaystyle$ f$^{(3)}=0;}$

${\displaystyle f^{}}$( ${\displaystyle 4^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 360}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ $f{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 4^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0;}$ ${\displaystyle$ f$^{(4)}=0;}$

${\displaystyle f^{}}$( ${\displaystyle 5{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 720}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ f$^{(5)}(x)=$$xx{\displaystyle {}^{}}$$\},$ f${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 5}$)${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle$ f$^{(5)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{}}$( ${\displaystyle 6^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 720}$ ${\displaystyle f^{(6)}(x)=720$ $f{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}{6}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 720.}$${\displaystyle f^{(6)}(0)=no.}$

위와 같이 ${\displaystyle \mathrm{x}}$= 0 ${\displaystyle$ x$=0$ 지점에서 함수 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ $6{\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle x^{6}+5}$은(는) 양수인 6번째 파생상품을 제외하고 모든 파생상품이$$ 0과 같다. 따라서 n = 5이고 테스트에 의해 국소 최소값이 0이다.

다변량 케이스

둘 이상의 변수의 함수인 경우, 2차 파생 테스트는 임계점에서 함수의 헤시안 행렬의 고유값을 기반으로 하는 테스트로 일반화된다. 특히 모든 2차 f의 부분파생상품이 임계점 x의 인접지역에서 연속된다고 가정할 때, x에서 헤시안의 고유값이 모두 양수라면 x는 국소 최소값이다. 고유값이 모두 음수이면 x는 국소 최대값이고, 일부는 양수, 일부는 음수이면 점이 안장점이다. 헤시안 행렬이 단수일 경우 2차 파생 시험은 결론을 내리지 못한다.

참고 항목

추가 읽기

• Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (Third ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 231–267. ISBN 0-07-010813-7.
• Marsden, Jerrold; Weinstein, Alan (1985). Calculus I (2nd ed.). New York: Springer. pp. 139–199. ISBN 0-387-90974-5.
• Shockley, James E. (1976). The Brief Calculus : with Applications in the Social Sciences (2nd ed.). New York: Holt, Rinehart & Winston. pp. 77–109. ISBN 0-03-089397-6.
• Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
• Willard, Stephen (1976). Calculus and its Applications. Boston: Prindle, Weber & Schmidt. pp. 103–145. ISBN 0-87150-203-8.

참조

외부 링크

• 수학월드 "제2차 파생상품 테스트"
• 동일성과 제2차 파생시험
• 토머스 심슨의 컨버전스에서의 맥시마와 미니마 찾기 2차 파생시험 활용