멀티셋

수학에서 다중 집합(또는 가방 또는 mset)은 ^[1]집합과 달리 각 요소에 대해 여러 인스턴스를 허용하는 집합 개념을 수정한 것입니다.각 요소에 대해 주어진 인스턴스 수를 멀티셋에서 해당 요소의 다중성이라고 합니다.그 결과, $요소$ $a$ 와 요소 b만을 포함하지만 요소의 배수가 다른 무한대의 멀티셋이 존재합니다.

${a,$ $b}$ 집합에는 { $a,$ $b}$ 이(가) 다중 집합으로 표시될 때 각각 다중성 1을 갖는 $요소$ a 및 $b$ 만 포함됩니다.
다중 집합 { $a,$ $a,$ $b}$ 에서 $요소$ a는 다수 2를 $가지며$ , b는 다수 1을 가진다.
멀티세트 { $a,$ $a,$ $a$ , $b,$ $b}$ 는 $모두$ 다수 3을 가진다.

이러한 오브젝트는 모두 같은 요소로 구성되기 때문에 같은 집합이지만 멀티셋으로 볼 때 모두 다릅니다.집합과 마찬가지로 튜플과는 대조적으로 순서는 멀티셋을 구별하는 데 중요하지 $않으므로$ { $a,$ $a,$ b} $및$ { $a,$ b}은 동일한 멀티셋을 나타냅니다 $.$ 집합과 멀티셋을 구별하기 위해 대괄호를 포함하는 표기법을 사용하는 경우가 있습니다. 멀티셋 ${a, a$ , $b}$ 은 [ $a,$ $a,$ $b]$ ^[2]로 나타낼 수 있습니다.

멀티셋의 카디널리티는 모든 요소의 곱셈의 합계입니다.예를 들어 멀티셋 ${a,$ $a, b$ , $b,$ b, $c$ }에서 $멤버$ a, $b$ , $c$ 의 배수는 각각 2, 3, 1이므로 이 멀티셋의 카디널리티는 6이다.

도날드 ^[3]^{: 694}크누스에 따르면 니콜라 고베르 드 브루인은 1970년대에 멀티셋이라는 단어를 만들었다.하지만, 다중 집합의 개념은 다중 집합이라는 단어의 주화보다 수 세기 앞서 있다.크누스는 1150년경에 다중 집합의 순서를 설명한 인도 수학자 바스카라차랴가 다중 집합의 첫 번째 연구를 했다고 합니다.이 개념에는 목록, 번치, 가방, 힙, 샘플, 가중치 세트,^[3]^{: 694} 컬렉션, 스위트 등 다른 이름이 제안되거나 사용되고 있습니다.

역사

Wayne Blizard는 "고대에 숫자 n은 종종 n개의 획, 집계표 또는 ^[4]단위로 표현되었다"고 주장하면서 다중 집합을 추적했다.스트로크, 집계 마크 또는 단위는 구분할 수 없는 것으로 간주되기 때문에 이와 유사한 객체 집합은 다중 집합입니다.이는 수학이 등장하기 전부터 사람들이 암시적으로 멀티셋을 사용했음을 보여준다.

이 구조에 대한 실질적인 요구는 여러 번 멀티셋을 재발견하여 문학에 다른 ^[5]^{: 323}이름으로 등장시켰다.예를 들어, QA4와 같은 초기 AI 언어에서 중요한 역할을 했습니다. QA4는 Peter Deutsch의 ^[6]용어인 bag로 불렸습니다.멀티셋은 집약, 힙, 번치, 샘플, 가중치 세트, 오카렌스 세트 및 파이어셋(최종 반복 요소 세트)^[5]^{: 320}^[7]이라고도 불립니다.

비록 멀티셋이 고대부터 암묵적으로 사용되었지만, 그들의 명시적 탐구는 훨씬 후에 일어났다.멀티셋에 대한 최초의 알려진 연구는 1150년경 인도의 수학자 바스카라차랴가 ^[3]^{: 694}멀티셋의 순서를 기술한 것에 기인한다.Marius Nizolius (1498–1576)의 연구는 다중 ^[8]집합의 개념에 대한 또 다른 초기 참조를 포함하고 있다.Athanasius Kircher는 하나의 요소를 ^[9]반복할 수 있을 때 다중 집합 순열의 수를 구했습니다.Jean Prestet은 1675년에 ^[10]다중 집합 순열을 위한 일반적인 규칙을 발표했다.존 월리스는 1685년에 ^[11]이 규칙을 더 자세히 설명했다.

다중 집합은 리차드 ^[12]^{: 114}^[13]데데킨드의 작품에서 분명히 나타났다.

다른 수학자들은 다중 집합을 공식화했고 20세기에 그것들을 정확한 수학적 구조로 연구하기 시작했다.예를 들어, Whitney(1933)는 일반화 집합("특성 함수가 양수, 음수 또는 ^[5]^{: 326}^[14]^{: 405}0의 정수 값을 취할 수 있는 집합")을 설명했습니다.먼로(1987)는 다중 집합과 그 형태소의 범주 Mul을 조사하여 다중 집합을 "동일한 종류의" 요소 사이의 등가 관계를 갖는 집합으로 정의하고 다중 집합 간의 형태론을 정렬을 존중하는 함수로 정의하였다.그는 또한 다중 집합에서 자연수까지의 함수 f(x)를 도입하여 다중 집합에서 요소 x의 다양성을 제공하였다.먼로는 멀티셋과 멀티넘버의 개념은 둘 다 ^[5]^{: 327–328}^[15]유용하지만 종종 무차별적으로 혼합된다고 주장했다.

예

가장 간단하고 자연스러운 예 중 하나는 $자연수$ n의 소수 인자의 다중 집합입니다.여기서 기본 요소 집합은 $n$ 의 소인수 집합이다.예를 들어, 숫자 120은 소인수 분해를 가진다.

120=2^{3}3^{1}5^{1

멀티셋 ${2, 2, 3,$ $5}$ 을(를) 제공합니다.

관련된 예는 대수 방정식의 해들의 다중 집합이다.예를 들어, 2차 방정식은 두 개의 해를 가지고 있다.그러나 경우에 따라 둘 다 같은 번호일 수 있습니다.따라서 방정식의 해 다중 집합은 ${3, 5}$ 일 수도 있고 {4 $,$ $4}$ 일 수도 있습니다.후자의 경우 다중도 2의 해를 가진다.보다 일반적으로, 대수의 기본 정리는 $d차$ 다항식 방정식의 복잡한 해는 항상 d차원의 $다중$ 집합을 형성한다고 주장한다.

위의 특수한 경우는 행렬의 고유값이며, 그 다항식의 다수는 보통 특성 다항식의 근으로서의 다수로 정의된다.그러나 두 개의 다른 곱셈은 고유값, 즉 최소 다항식의 근으로서의 곱셈과 A – $δI$ 의 $커널$ 의 차원으로 정의되는 기하학적 곱셈에 대해 자연스럽게 정의된다(여기서 $δ$ 는 $행렬$ A의 고유값이다).이 세 가지 곱셈은 고유값의 세 개의 멀티셋을 정의하며, 이는 모두 다를 수 있습니다. A를 단일 고유값을 갖는 요르단 정규 $형식$ 의 n × n 행렬이라고 $가정$ 합니다.그 배수성은 $n$ 이고, 최소 다항식의 근으로서의 배수성은 가장 큰 조던 블록의 크기이며, 기하학적 배수성은 조던 블록의 수입니다.

정의.

멀티셋은 순서쌍 $(A,$ $m)$ 으로 정식으로 정의할 수 있다. $여기$ 서 A는 그 별개의 요소로 이루어진 멀티셋의 기본세트이며 $m\colon A\to \mathbb {Z} ^{+}$ $m\colon A\to \mathbb {Z} ^{+}$ : A $m\colon A\to \mathbb {Z} ^{+}$ + ${\$ m $\display$ A $\to \mathbb {Z}$ ^{+}는 $m\colon A\to \mathbb {Z} ^{+}$ $A$ 에서 양의 정수 집합까지의 함수이며, 그 발생수는 다음과 같다. $숫자$ m $(a)$ 로서 멀티셋의 $nt$ a를 지정합니다.

$함수$ m을 그래프(순서대로 정렬된 $\left\{\left(a,m\left(a\right)\right):a\in A\right\}$ 쌍의 집합 $\left\{\left(a,m\left(a\right)\right):a\in A\right\}$ { ( $\left\{\left(a,m\left(a\right)\right):a\in A\right\}$ , $m$ ) $\left\{\left(a,m\left(a\right)\right):a\in A\right\}$ : $a$ A $}$ { $displaystyle \ left$ \ { \ $left$ ( a , $m$ \ $right$ ) : $a$ \ $in$ A \ $right \$ } )로 나타내면 멀티셋 {a , $a$ , a , $b$ }를 ${a$ , b $}$ 로 $쓸$ 수 있습니다 $.$ 그러나 이 표기법은 일반적으로 사용되지 않으며 보다 콤팩트한 표기가 사용됩니다.

A $=$ { $A=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ 1, $A=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ $A=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ $}$ { $displaystyle$ A=\{ $a_$ {1 $},\ldots,a_{n}\}$ 인 $A=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ $A=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ 멀티셋 $(A,$ $m)$ 은 종종 다음과 같이 표시됩니다.

\left\{a_{1}^{m(a_{1})},\ldots ,a_{n}^{m(a_{n})}\right\},\quad

\left\{a_{1}^{m(a_{1})},\ldots ,a_{n}^{m(a_{n})}\right\},\quad

\left\{a_{1}^{m(a_{1})},\ldots ,a_{n}^{m(a_{n})}\right\},\quad

(

\left\{a_{1}^{m(a_{1})},\ldots ,a_{n}^{m(a_{n})}\right\},\quad

) ,

\left\{a_{1}^{m(a_{1})},\ldots ,a_{n}^{m(a_{n})}\right\},\quad

,

\left\{a_{1}^{m(a_{1})},\ldots ,a_{n}^{m(a_{n})}\right\},\quad

(

\left\{a_{1}^{m(a_{1})},\ldots ,a_{n}^{m(a_{n})}\right\},\quad

)

}

, {

displaystyle \ left

\ {

a _

{ { { {

{1

} } , \

ldots

,

\left\{a_{1}^{m(a_{1})},\ldots ,a_{n}^{m(a_{n})}\right\},\quad

\quad a_{1}^{m(a_{1})}\cdots a_{n}^{m(a_{n})},

_ {n

}^{

m

(

a

_ {n} ) \ right \ , \

right

}

, \

ldots

\quad a_{1}^{m(a_{1})}\cdots a_{n}^{m(a_{n})},

는

\left\{a_{1}^{m(a_{1})},\ldots ,a_{n}^{m(a_{n})}\right\},\quad

\quad a_{1}^{m(a_{1})}\cdots a_{n}^{m(a_{n})},

(

\quad a_{1}^{m(a_{1})}\cdots a_{n}^{m(a_{n})},

\quad a_{1}^{m(a_{1})}\cdots a_{n}^{m(a_{n})},

1 )로 간략화되어 n

\quad a_{1}^{m(a_{1})}\cdots a_{n}^{m(a_{n})},

1 )

\quad a_{1}^{m(a_{1})}\cdots a_{n}^{m(a_{n})},

\ \ \ \ \ \ \ 、 { n

。

여기서 1과 같은 상위 지수는 생략됩니다.예를 들어 멀티세트 {a, a, b}는 { $\{a^{2},b\}$ $\{a^{2},b\}$ , $\{a^{2},b\}$ b $\{a^{2},b\}$ }({ $displaystyle$ \{a $^{2}b\})$ $a^{2}b.$ $.({displaystyle$ a $^{2}b)$ 로 $\{a^{2},b\}$ 쓸 수 있습니다.}멀티셋의 $a^{2}b.$ 요소가 숫자일 경우 통상적인 산술연산과 혼동될 수 있으며, 일반적으로 문맥에서 제외될 수 있다 $.$ 반면에, 후자의 표기법은 산술의 기본 정리에 의해 주장되는, 양의 정수의 소인수 분해가 유일하게 정의된 다중 집합이라는 사실과 일치한다.또한 단항³² xy는 다중 집합 {x, x, x, y, y}에 해당합니다.

멀티셋은 (어떤 큰 양의 정수가 아닌) 모든 요소의 배수가 1인 경우 일반 집합에 대응합니다.인덱스 패밀리 $(a i) i \in I$ 는 인덱스 세트 I에 따라 i가 달라지며 멀티셋(때로는 { $a i}$ 로 기록됨)을 정의할 수 있습니다.이 뷰에서 멀티셋의 기본 세트는 패밀리의 이미지로 제공되며, $요소$ x의 다중성은 i $=$ $a_{i}=x$ ${\displaystyle a_{i$ }= $x$ 가 $a_{i}=x$ 인덱스 값 $i$ 의 수입니다.이 기사에서는 승수가 유한하다고 간주한다. 즉, 어떤 요소도 가족 내에서 무한히 많이 발생하지 않는다. 무한 다집합에서조차, 어떤 요소도 발생하지 않는다.

개별 요소의 배수가 양의 정수 대신 무한 기수가 되도록 함으로써 다중 집합의 정의를 확장할 수 있지만, 모든 속성이 이 일반화로 이어지는 것은 아닙니다.

기본 속성 및 조작

다중 집합의 요소들은 보통 $고정$ 된 집합 U, 때로는 우주라고 불리며, 이것은 종종 자연수의 집합이다.특정 멀티셋에 속하지 않는 U의 $요소$ 는 이 멀티셋에서 멀티시티0을 갖는다고 불립니다.그러면 멀티셋의 다중도 함수가 $U$ 에서 음이 아닌 정수의 $\mathbb {N}$ N $(\displaystyle \mathbb$ { $N})$ 까지 $\mathbb {N}$ 확장됩니다.이는 이들 함수와 요소가 $U$ 에 있는 멀티셋 간의 일대일 대응관계를 정의합니다.

이 확장된 다중도 함수는 일반적으로 다중도 함수라고 불리며, 원소를 포함하는 우주가 고정된 경우 다중 집합을 정의하는 데 충분합니다.이 다중도 함수는 서브셋의 인디케이터 함수를 일반화한 것으로, 이 함수와 몇 가지 속성을 공유합니다.

$우주$ U에서 $멀티셋$ A $(\displaystyle$ A $)$ 의 $A$ 지원은 멀티셋의 기본 세트입니다.다중도 $함수$ m $displaystyle$ m을 사용하면 다음과 같은 특징이 있습니다.

}

=\left\{x\in U\mid m_{A}(x)>0\

right

\operatorname {Supp} (A):=\left\{x\in U\mid m_{A}(x)>0\right\}

멀티셋의 지원이 유한한 경우 또는 카디널리티가 유한한 경우 멀티셋은 유한합니다.

A =\sum _{x\in \operatorname {Sup} (A)}m_{A}(x)=\sum _{x\in U}m_{A}(x)

한정되어 있습니다.빈 멀티셋은 빈 지원(기본 세트)을 가진 고유한 멀티셋이며, 따라서 카디널리티 0 입니다.

세트의 통상적인 동작은 서브셋에 인디케이터 기능을 사용하는 것과 유사한 방법으로 다중성 함수를 사용하여 멀티셋으로 확장할 수 있다.다음에서 $A$ 와 B는 $주어진$ $우주$ U 내의 멀티셋이며, $m_{A}$ m ${{\$ style $m_{}$ 를 가진다. $A}$ $m_{B}.$ $.$ {style $m_{B}$ $표시$ . $}$

포함: $A$ 는 B( $A$ denoted B $)$ 에 $포함$ 된다.

m_{A}(x)\leq m_{B}(x)\quad \forall x\in U

유니언: $A$ 와 $B$ 의 유니언(일부 컨텍스트에서는 최대 또는 최소 공통배수라고 함)은 다중도 함수를^[13] 가진 $멀티셋$ C입니다.

m_{C}(x)=\max(m_{A}(x),m_{B}(x)\quad \forall x\in U

교점: $A$ 와 $B$ 의 교점(일부 컨텍스트에서는 최소 또는 최대 공약수라고 함)은 다중성 함수를 가진 다중 $집합$ C입니다.

m_{C}(x)=\min(m_{A}(x),m_{B}(x)\quad \forall x\in U

Sum: $A$ 와 $B$ 의 합은 다중도 함수를 가진 다중 $집합$ C입니다.

m_{C}(x)=m_{A}(x)+m_{B}(x)\quad \forall x\in U.

집합의 분리 결합의 일반화라고 볼 수 있다.그것은 주어진 우주의 유한 다중 집합 위에 교환 모노이드 구조를 정의합니다.이 모노이드는 우주를 기반으로 하는 자유 교환 모노이드입니다.

차이: $A$ 와 B의 $차이$ 는 다중성 함수를 가진 다중 $집합$ C입니다.

m_{C}(x)=\max(m_{A}(x)-m_{B}(x),\quad \forall x\in U.

2개의 멀티셋이 서포트되고 있는 경우는, 2개의 멀티셋이 절단됩니다.이는 교차가 빈 다중 집합이거나 합계가 합계와 같다고 말하는 것과 같습니다.

유한 멀티셋에 대한 포함-제외 원칙이 있는데, 유한 멀티셋의 유한 결합은 두 개의 멀티셋 합계의 차이이다: 첫 번째 합계에서 우리는 주어진 멀티셋의 홀수 수의 모든 가능한 교차점을 고려하는 반면, 두 번째 합계에서 우리는 a의 모든 가능한 교차점을 고려한다.n 지정된 멀티셋의 ^{[citation needed]}짝수.

멀티셋 카운트

7세트(왼쪽)의 3개 서브셋 간 바이젝션
및 5 세트의 요소가 포함된 3 멀티셋(오른쪽)
이것은

\textstyle {7 \choose 3}=\left(\!\!{5 \choose 3}\!\!\right)

(

\textstyle {7 \choose 3}=\left(\!\!{5 \choose 3}\!\!\right)

3 )

=

( (

\textstyle {7 \choose 3}=\left(\!\!{5 \choose 3}\!\!\right)

3

\textstyle {7 \choose 3}=\left(\!\!{5 \choose 3}\!\!\right)

)

\textstyle {7 \choose 3}=\left(\!\!{5 \choose 3}\!\!\right)

{

displaystyle \textstyle {

7

\choose

3)=\

left(\!\!)

를 나타내고 있습니다.

{5 \ choose 3

\!\right

$카디널리티$ k의 멀티셋 수는 $카디널리티$ n의 유한 집합에서 가져온 요소를 사용하여 멀티셋 계수 또는 멀티셋 번호라고 불립니다.이 번호는 ( $\textstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)$ k $\textstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)$ 라고 $\textstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)$ 기재되어 있습니다. ${n \choose k}$ $\!\right$ 는 이항계수와 유사한 표기법이다. 예를 들어 (Stanley, 1997)에서 사용되며, ( ${\tbinom {n}{k}}$ k $)$ 의 ${\tbinom {n}{k}}$ " $n$ $choose$ $k$ "와 유사하게 $발음$ 할 수 있다. (n k $)\$ display style ${tbinom$ {n $}{k}{$ k ${\tbinom {n}{k}}$ 이항계수를 포함하는 이항분포와 마찬가지로 음의 빈이 있다.다중 집합 계수가 발생하는 전체 분포입니다.다중 집합 계수는 다항 정리에서 발생하는 관련 없는 다항 계수와 혼동해서는 안 됩니다.

다중 집합 계수의 값은 다음과 같이 명시적으로 지정할 수 있습니다.

\displaystyle \left(\!)!{n \choose k} \!\!\right)={n+k-1 \choose k}=contrac {(n+k-1)!}{k!,(n-1)!}={n(n+1)(n+2)\cdots(n+k-1)\over k!}

여기서 두 번째 식은 이항 계수로서 사용됩니다. 실제로 많은 저자는 별도의 표기법을 피하고 이항 계수만 씁니다.따라서 이러한 멀티셋의 수는 $카디널리티$ n + $k$ - $1$ 세트의 $카디널리티$ k의 서브셋 수와 동일합니다.이항 계수와의 유추는 위의 식에서 분자를 상승 요인 검정력으로 써서 강조할 수 있다.

\displaystyle \left(\!)!{n \choose k} \!\!\오른쪽)={n^{\overline {k}} \over k!}}

하강 요인 검정력을 사용하여 이항 계수의 식을 일치시키려면:

({displaystyle {n \choose k}={n^{\언더라인 {k}}\over k!}).}

n을 임의의 복소수라고 $해도$ , 어느쪽이든 잘 정의되어 있습니다.

예를 들어 카디널리티 2의 $집합$ {1, $2$ $}($ $n$ = 2, k $=$ 3)에서 가져온 요소를 포함하는 $카디널리티$ $3$ 의 $다중$ $집합이 4개$ 있습니다. 즉, {1, 1, 2 $,$ 2, $2}.$ 카디널리티 4 $($ $n + k$ - $1$ )의 $집합$ { $1,$ 2, 3, $4}$ 에는 카디널리티 3의 하위 집합이 4개 있습니다. 즉, { $1,$ 2, $3$ - 1 $},$ { $1$ $,$ 4 $},$ {1, 3, $4}.$

위에 주어진 다중 집합 계수와 이항 계수의 동일성을 입증하는 한 가지 간단한 방법은 다음과 같은 방법으로 다중 집합을 표현하는 것입니다.먼저 { $a, a,$ $a,$ $a,$ $a,$ $b,$ $b,$ $c,$ $c$ , c, $d,$ $d,$ d, $d,$ $d$ , $d,$ $d$ }(6 $as$ , 2 bs, $3$ cs, $7$ ds)를 나타내는 멀티셋의 표기를 검토합니다.

• • • • • • • • • • • • • • • • • •

이것은 $카디널리티$ n = 4의 일련의 요소로 이루어진 $카디널리티$ k = 18의 멀티세트이다.이 표기법에 사용되는 도트와 세로선을 모두 포함한 글자 수는 18 + 4 - 1 입니다.세로줄의 수는 4 - 1 입니다.카디널리티 18의 멀티셋 수는 18 + 4 - 1 문자 중 4 - 1 세로줄을 배치하는 방법의 수이며, 따라서 카디널리티 18 + 4 - 1 문자 중 카디널리티 4 - 1의 서브셋의 수이며, 마찬가지로 18 + 4 - 1 문자 중 18개의 도트를 배치하는 방법의 수이며, 18 + 4 - 1 문자 중 18개의 도트의 수를 나타냅니다.카디널리티 18 + 4 - 1 세트의 카디널리티 18의 서브셋.이것은

{4+18-1\choose 4-1}={4+18-1\choose 18}=1330,

멀티셋 계수와 그 등가성의 값은 다음과 같습니다.

\displaystyle \left(\!)!{4 \ choose 18 } \!\!\right)={21 \choose 18}=black {21!}{18!,3!}={21 \choose 3}

{{displaystyle = cdot {\color {red}{\mathfrak {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}\cdot {\cdot 21}\cdot 20cdot 20cdot }\cdott 17\cdot 18}}}}}},

{\displaystyle = cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 16\cdot 17\cdot 18\;\mathbf \cdot 20\cdot 21} {,1\cdot 2\cdot 4\cdot 5\cdot 17\cdot 17\cdot 17\cdot 18\cdot 18\times,

= scdot frac {19\cdot 20\cdot 21}{1\cdot 2\cdot 3)}

이항계수와 다중집합계수 사이의 관계로부터, $일련$ 의 카디널리티 n에서 $카디널리티$ k의 멀티셋 수를 쓸 수 있다.

\displaystyle \left(\!)!{n \choose k} \!\!\right)=param1)^{k}{-n \choose k}.}

또한.

\displaystyle \left(\!)!{n \choose k} \!\!\right)=\left(\!\!{k+1 \choose n-1} \!\!\right)}

반복관계

다중 집합 계수에 대한 반복 관계는 다음과 같이 제공될 수 있다.

\displaystyle \left(\!)!{n \choose k} \!\!\right)=\left(\!\!{n \choose k-1} \!\right)+\left(\!\!{n-1\choose k}\!\!\right)\mbox{{}n,k>0}

와 함께

\displaystyle \left(\!)!{n\choose 0}\!\!\right)=1,\mathbb {N},\mathbb {and},\mathbb \left(\!\!){0 \choose k} \!\!\right)= 0,\cisco k> 0.}

위의 반복은 다음과 같이 해석할 수 있다.[ $n]$ $\{1,\dots ,n\}$ { $\{1,\dots ,n\}$ , $\{1,\dots ,n\}$ $\{1,\dots ,n\}$ $}$ { $displaystyle \{1,\$ displaystyle, $n\}}$ 을 $\{1,\dots ,n\}$ 소스 세트로 합니다 $.$ 크기가 0인 다중 집합은 항상 정확히 하나이며 n = $0$ 이면 초기 $조건$ 을 제공하는 더 큰 다중 집합은 없습니다.

여기서 n, $k$ > $0$ 의 $경우$ 를 생각해 봅시다.[ $n]$ 에서 요소를 가진 $카디널리티$ k 의 멀티셋에는, $최종$ 요소n 의 인스턴스가 포함되어 있는 경우와 포함되지 않는 경우가 있습니다.이 경우 n을 1회 $삭제$ 하면 [ $n]$ 의 요소의 $카디널리티 k$ - 1의 멀티셋이 남습니다.이러한 멀티셋은 모두 발생할 수 있습니다.이러한 멀티셋은, 합계가 됩니다.

\left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)

{n \choose k-1}

\right)}

개의

\left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)

가능성.

n이 표시되지 않는 $경우$ 원래 멀티셋은 [n - 1 $]$ 의 요소를 가진 $카디널리티$ k의 멀티셋과 동일합니다.그 중 다음과 같은 요소가 있습니다.

\displaystyle \left(\!\!{n-1 \choose k}\!\!\right)}

따라서,

\displaystyle \left(\!)!{n \choose k} \!\!\right)=\left(\!\!{n \choose k-1} \!\right)+\left(\!\!{n-1\choose k}\!\!\right)}

시리즈 생성 중

다중 집합 계수의 생성 함수는 매우 간단합니다.

\displaystyle \sum _{d=0}^{\infty}\left(\!\!){n \choose d} \!\!\right)t^{d}=paramfrac{1}{(1-t)^{n}}}}.}

멀티셋은 모노메일과 일대일로 대응하므로 $\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)$ ( $\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)$ ) \ $displaystyle \left(\!\!)$ ${n \choose d}$ $\!\right)}$ 은 $\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)$ 또한 n개의 불확정 $차수$ d의 단수이다. $따라서$ 위의 급수는 다항식 링 $k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$ [ $k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$ , $k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$ … , $k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$ n $k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$ . { display $style$ k $[x_{1},\ldots,x_{n}}$ 의 힐버트 급수이기도 합니다. $}$

$\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)$ ( $\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)$ $)\$ style $\left(\!\)$ 로 표시됩니다. ${n \choose d}$ $\!\right)}$ 는 $\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)$ $n$ 의 다항식이며, $n$ 의 복소수에 대해 잘 정의되어 있다.

음의 이항 급수에 대한 일반화 및 연결

곱셈 공식은 n을 임의의 수α(음수, 실수, 복소수)로 대체함으로써 다중 집합 계수의 정의를 확장할 수 있도록 한다.

\displaystyle \left(\!)!k를 선택합니다!\!\right)=param frac {\alpha ^{\overline {k}{k!}=cdots(\alpha +1)\cdots(\alpha + 1){k(k-1)(k-2)\cdots 1}\cdots(\alpha + 1)\cdots(\text {for }k\in \mathbbb {N}(\text {\text} 및 })\alpha}.

이 정의에서는 (변수 중 하나가 1로 설정된 상태에서) 음의 이항식을 일반화하면 $\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)$ ( $\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)$ k $\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)$ ) $\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)$ \ $displaystyle \left(\!\!)$ 를 $\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)$ 호출할 수 있습니다. $k를 선택합니다!$ $\!\right)}$ 개의 $\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)$ 음이항 계수:

(1-X)^{-\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty}\left(\!\!)k를 선택합니다!\!\right)X^{k}

이 테일러 급수 공식은 X < 1인 모든 복소수 α와 X에 유효하다.그것은 또한 X에서 형식 멱급수의 동일성으로 해석될 수 있으며, 여기서 그것은 실제로 상수 계수가 1인 급수의 임의의 거듭제곱의 정의로 작용할 수 있다; 요점은 이 정의로 모든 동일성이 지수에 대해 기대하는 것을 유지한다는 것이다, 특히

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

- X

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

) -

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

(

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

) -

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

(

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

)

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

- (1

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

) -

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

(

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

-

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

) -

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

(1 - X ) - (

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

- X ) \

display

(1

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

-

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )}

X

)^{-\

alpha } (1 - X

)^{- (

1 - \ X

)^*

)

및 이러한 공식을 사용하여 다중 집합 계수의 동일성을 증명할 수 있습니다.

α가 비양수 정수 n이면 k > -n인 항은 모두 0이고 무한 급수는 유한합이 된다.그러나 양의 정수 및 유리수를 포함한 α의 다른 값의 경우 급수는 무한합니다.

적용들

멀티셋에는 다양한 ^[7]응용 프로그램이 있습니다.그것들은 조합론의 ^[16]^[17]^[18]^[19]기본이 되고 있다.다중 집합은 종종 동의어 ^[20]^[21]^[22]백을 사용하는 관계형 데이터베이스 이론에서 중요한 도구가 되었다.예를 들어 멀티셋은 데이터베이스 시스템에서 관계를 구현하기 위해 자주 사용됩니다.특히 테이블(프라이머리 키 없음)은 여러 개의 동일한 레코드를 가질 수 있기 때문에 멀티셋으로 기능합니다.마찬가지로 SQL은 멀티셋에서 작동하며 동일한 레코드를 반환합니다.예를 들어, "SELECT name from Student"를 고려합니다.학생 테이블에 "sara" 이름의 레코드가 여러 개 있는 경우 모두 표시됩니다.즉, SQL의 결과 세트가 멀티셋임을 의미합니다.세트일 경우 결과 세트 내의 반복 레코드는 삭제되었습니다.멀티셋의 또 다른 응용은 멀티그래프 모델링에 있습니다.멀티그래프에서는 주어진 두 정점 사이에 여러 개의 에지가 있을 수 있습니다.따라서 모서리를 표시하는 도면요소는 집합이 아닌 다중 집합입니다.

다른 응용 프로그램도 있습니다.예를 들어 Richard Rado는 집합군의 속성을 조사하기 위한 장치로 멀티셋을 사용했습니다.그는 이렇게 썼다. "집합이라는 개념은 구성원 중 한 명이 여러 번 발생하는 것을 고려하지 않지만, 여전히 중요한 것은 단지 이런 종류의 정보일 뿐이다.다항식 f(x)의 근 집합이나 선형 ^[5]^{: 328–329}연산자의 스펙트럼만 생각하면 된다."

일반화

멀티셋의 다양한 일반화가 도입, 연구 및 문제 해결에 적용되고 있다.

실수값 멀티셋(요소의 복수성이 임의의 실수일 수)^[23]^[24]
퍼지 멀티셋^[25]
대략적인^[26] 멀티셋
하이브리드^[27] 세트
다중성이 모든 실제 값 스텝^[28] 함수인 다중 집합
소프트 멀티셋^[29]
소프트 퍼지 멀티셋^[30]
명명된 세트(^[31]^[32]^[33]^[34]세트의 모든 일반화를 통합)

「」를 참조해 주세요.

다중도 아날로그로서의 빈도(통계)
준집합
집합론
Wikdiversity의 멀티셋 파티션에 관한 학습 자료

레퍼런스

^ Cantor, Georg; Jourdain, Philip E.B. (Translator) (1895). "beiträge zur begründung der transfiniten Mengenlehre" [contributions to the founding of the theory of transfinite numbers]. Mathematische Annalen (in German). New York Dover Publications (1954 English translation). xlvi, xlix: 481–512, 207–246. By a set (Menge) we are to understand any collection into a whole (Zusammenfassung zu einem Gansen) M of definite and separate objects m (p.85)
^ Hein, James L. (2003). Discrete mathematics. Jones & Bartlett Publishers. pp. 29–30. ISBN 0-7637-2210-3.
^ ^a ^b ^c Knuth, Donald E. (1998). Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming. Vol. 2 (3rd ed.). Addison Wesley. ISBN 0-201-89684-2.
^ Blizard, Wayne D (1989). "Multiset theory". Notre Dame Journal of Formal Logic. 30 (1): 36–66. doi:10.1305/ndjfl/1093634995.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Blizard, Wayne D. (1991). "The Development of Multiset Theory". Modern Logic. 1 (4): 319–352.
^ Rulifson, J. F.; Derkson, J. A.; Waldinger, R. J. (November 1972). QA4: A Procedural Calculus for Intuitive Reasoning (Technical report). SRI International. 73.
^ ^a ^b Singh, D.; Ibrahim, A. M.; Yohanna, T.; Singh, J. N. (2007). "An overview of the applications of multisets". Novi Sad Journal of Mathematics. 37 (2): 73–92.
^ Angelelli, I. (1965). "Leibniz's misunderstanding of Nizolius' notion of 'multitudo'". Notre Dame Journal of Formal Logic (6): 319–322.
^ Kircher, Athanasius (1650). Musurgia Universalis. Rome: Corbelletti.
^ Prestet, Jean (1675). Elemens des Mathematiques. Paris: André Pralard.
^ Wallis, John (1685). A treatise of algebra. London: John Playford.
^ Dedekind, Richard (1888). Was sind und was sollen die Zahlen?. Braunschweig: Vieweg.
^ ^a ^b Syropoulos, Apostolos (2000). "Mathematics of multisets". In Calude, Cristian; Paun, Gheorghe; Rozenberg, Grzegorz; Salomaa, Arto (eds.). Multiset Processing, Mathematical, Computer Science, and Molecular Computing Points of View [Workshop on Multiset Processing, WMP 2000, Curtea de Arges, Romania, August 21–25, 2000]. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2235. Springer. pp. 347–358. doi:10.1007/3-540-45523-X_17.
^ Whitney, H. (1933). "Characteristic Functions and the Algebra of Logic". Annals of Mathematics. 34: 405–414. doi:10.2307/1968168.
^ Monro, G. P. (1987). "The Concept of Multiset". Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 33: 171–178. doi:10.1002/malq.19870330212.
^ Aigner, M. (1979). Combinatorial Theory. New York/Berlin: Springer Verlag.
^ Anderson, I. (1987). Combinatorics of Finite Sets. Oxford: Clarendon Press.
^ Stanley, Richard P. (1997). Enumerative Combinatorics. Vol. 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55309-1.
^ Stanley, Richard P. (1999). Enumerative Combinatorics. Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1.
^ Grumbach, S.; Milo, T (1996). "Towards tractable algebras for bags". Journal of Computer and System Sciences. 52 (3): 570–588. doi:10.1006/jcss.1996.0042.
^ Libkin, L.; Wong, L. (1994). "Some properties of query languages for bags". Proceedings of the Workshop on Database Programming Languages. Springer Verlag. pp. 97–114.
^ Libkin, L.; Wong, L. (1995). "On representation and querying incomplete information in databases with bags". Information Processing Letters. 56 (4): 209–214. doi:10.1016/0020-0190(95)00154-5.
^ Blizard, Wayne D. (1989). "Real-valued Multisets and Fuzzy Sets". Fuzzy Sets and Systems. 33: 77–97. doi:10.1016/0165-0114(89)90218-2.
^ Blizard, Wayne D. (1990). "Negative Membership". Notre Dame Journal of Formal Logic. 31 (1): 346–368.
^ Yager, R. R. (1986). "On the Theory of Bags". International Journal of General Systems. 13: 23–37. doi:10.1080/03081078608934952.
^ Grzymala-Busse, J. (1987). "Learning from examples based on rough multisets". Proceedings of the 2nd International Symposium on Methodologies for Intelligent Systems. Charlotte, North Carolina. pp. 325–332.
^ Loeb, D. (1992). "Sets with a negative numbers of elements". Advances in Mathematics. 91: 64–74. doi:10.1016/0001-8708(92)90011-9.
^ Miyamoto, S. (2001). "Fuzzy Multisets and their Generalizations". Multiset Processing. 2235: 225–235.
^ Alkhazaleh, S.; Salleh, A. R.; Hassan, N. (2011). "Soft Multisets Theory". Applied Mathematical Sciences. 5 (72): 3561–3573.
^ Alkhazaleh, S.; Salleh, A. R. (2012). "Fuzzy Soft Multiset Theory". Abstract and Applied Analysis.
^ Burgin, Mark (1990). "Theory of Named Sets as a Foundational Basis for Mathematics". Structures in Mathematical Theories. San Sebastian. pp. 417–420.
^ Burgin, Mark (1992). "On the concept of a multiset in cybernetics". Cybernetics and System Analysis. 3: 165–167.
^ Burgin, Mark (2004). "Unified Foundations of Mathematics". arXiv:math/0403186.
^ Burgin, Mark (2011). Theory of Named Sets. Mathematics Research Developments. Nova Science Pub Inc. ISBN 978-1-61122-788-8.

[Cantor-1] Cantor, Georg; Jourdain, Philip E.B. (Translator) (1895). "beiträge zur begründung der transfiniten Mengenlehre" [contributions to the founding of the theory of transfinite numbers]. Mathematische Annalen (in German). New York Dover Publications (1954 English translation). xlvi, xlix: 481–512, 207–246. By a set (Menge) we are to understand any collection into a whole (Zusammenfassung zu einem Gansen) M of definite and separate objects m (p.85)

[2] Hein, James L. (2003). Discrete mathematics. Jones & Bartlett Publishers. pp. 29–30. ISBN 0-7637-2210-3.

[Knuth1998-3] Knuth, Donald E. (1998). Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming. Vol. 2 (3rd ed.). Addison Wesley. ISBN 0-201-89684-2.

[Blizard1989-4] Blizard, Wayne D (1989). "Multiset theory". Notre Dame Journal of Formal Logic. 30 (1): 36–66. doi:10.1305/ndjfl/1093634995.

[Blizard1991-5] Blizard, Wayne D. (1991). "The Development of Multiset Theory". Modern Logic. 1 (4): 319–352.

[Rulifson1972-6] Rulifson, J. F.; Derkson, J. A.; Waldinger, R. J. (November 1972). QA4: A Procedural Calculus for Intuitive Reasoning (Technical report). SRI International. 73.

[Singh2007-7] Singh, D.; Ibrahim, A. M.; Yohanna, T.; Singh, J. N. (2007). "An overview of the applications of multisets". Novi Sad Journal of Mathematics. 37 (2): 73–92.

[Angelelli1965-8] Angelelli, I. (1965). "Leibniz's misunderstanding of Nizolius' notion of 'multitudo'". Notre Dame Journal of Formal Logic (6): 319–322.

[9] Kircher, Athanasius (1650). Musurgia Universalis. Rome: Corbelletti.

[10] Prestet, Jean (1675). Elemens des Mathematiques. Paris: André Pralard.

[11] Wallis, John (1685). A treatise of algebra. London: John Playford.

[12] Dedekind, Richard (1888). Was sind und was sollen die Zahlen?. Braunschweig: Vieweg.

[syropoulos-13] Syropoulos, Apostolos (2000). "Mathematics of multisets". In Calude, Cristian; Paun, Gheorghe; Rozenberg, Grzegorz; Salomaa, Arto (eds.). Multiset Processing, Mathematical, Computer Science, and Molecular Computing Points of View [Workshop on Multiset Processing, WMP 2000, Curtea de Arges, Romania, August 21–25, 2000]. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2235. Springer. pp. 347–358. doi:10.1007/3-540-45523-X_17.

[Whitney-14] Whitney, H. (1933). "Characteristic Functions and the Algebra of Logic". Annals of Mathematics. 34: 405–414. doi:10.2307/1968168.

[15] Monro, G. P. (1987). "The Concept of Multiset". Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 33: 171–178. doi:10.1002/malq.19870330212.

[Aigner1979-16] Aigner, M. (1979). Combinatorial Theory. New York/Berlin: Springer Verlag.

[Anderson1987-17] Anderson, I. (1987). Combinatorics of Finite Sets. Oxford: Clarendon Press.

[Stanley1997-18] Stanley, Richard P. (1997). Enumerative Combinatorics. Vol. 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55309-1.

[Stanley1999-19] Stanley, Richard P. (1999). Enumerative Combinatorics. Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1.

[GrumbachMilo1996-20] Grumbach, S.; Milo, T (1996). "Towards tractable algebras for bags". Journal of Computer and System Sciences. 52 (3): 570–588. doi:10.1006/jcss.1996.0042.

[LibkinWong1994-21] Libkin, L.; Wong, L. (1994). "Some properties of query languages for bags". Proceedings of the Workshop on Database Programming Languages. Springer Verlag. pp. 97–114.

[LibkingWong1995-22] Libkin, L.; Wong, L. (1995). "On representation and querying incomplete information in databases with bags". Information Processing Letters. 56 (4): 209–214. doi:10.1016/0020-0190(95)00154-5.

[23] Blizard, Wayne D. (1989). "Real-valued Multisets and Fuzzy Sets". Fuzzy Sets and Systems. 33: 77–97. doi:10.1016/0165-0114(89)90218-2.

[Blizard1990-24] Blizard, Wayne D. (1990). "Negative Membership". Notre Dame Journal of Formal Logic. 31 (1): 346–368.

[Yager1986-25] Yager, R. R. (1986). "On the Theory of Bags". International Journal of General Systems. 13: 23–37. doi:10.1080/03081078608934952.

[Grzymala-Busse1987-26] Grzymala-Busse, J. (1987). "Learning from examples based on rough multisets". Proceedings of the 2nd International Symposium on Methodologies for Intelligent Systems. Charlotte, North Carolina. pp. 325–332.

[Loeb1992-27] Loeb, D. (1992). "Sets with a negative numbers of elements". Advances in Mathematics. 91: 64–74. doi:10.1016/0001-8708(92)90011-9.

[Miyamoto2001-28] Miyamoto, S. (2001). "Fuzzy Multisets and their Generalizations". Multiset Processing. 2235: 225–235.

[Alkhazaleh2011-29] Alkhazaleh, S.; Salleh, A. R.; Hassan, N. (2011). "Soft Multisets Theory". Applied Mathematical Sciences. 5 (72): 3561–3573.

[Alkhazaleh2012-30] Alkhazaleh, S.; Salleh, A. R. (2012). "Fuzzy Soft Multiset Theory". Abstract and Applied Analysis.

[31] Burgin, Mark (1990). "Theory of Named Sets as a Foundational Basis for Mathematics". Structures in Mathematical Theories. San Sebastian. pp. 417–420.

[32] Burgin, Mark (1992). "On the concept of a multiset in cybernetics". Cybernetics and System Analysis. 3: 165–167.

[33] Burgin, Mark (2004). "Unified Foundations of Mathematics". arXiv:math/0403186.

[34] Burgin, Mark (2011). Theory of Named Sets. Mathematics Research Developments. Nova Science Pub Inc. ISBN 978-1-61122-788-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

Search

멀티셋

네임스페이스

더

목차

역사

예

정의.

기본 속성 및 조작

멀티셋 카운트

반복관계

시리즈 생성 중

음의 이항 급수에 대한 일반화 및 연결

적용들

일반화

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

Search

멀티셋

역사

예

정의.

기본 속성 및 조작

멀티셋 카운트

반복관계

시리즈 생성 중

음의 이항 급수에 대한 일반화 및 연결

적용들

일반화

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

「」를 참조해 주세요.