스털링 변환

조합수학에서 숫자 { a_n : n = 1, 2, 3, ...}의 순서 {n = 1, 2, 3, ...}의 스털링 변환은 순서 {b_n : n = 1, 2, 3, ...}이(가) 제공

${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{\n\n\\k\end}\right\a_{k}}}}}$

여기서${\displaystyle }${${\displaystyle n\begin{array}{c}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}k\\ \}\end{array}}$ ${\$은 두 번째 종류의 스털링 번호로, 또한 s$$(n,k)(자본 S 포함)를 나타내며, 이는 크기 n을 k 부분으로 나눈 파티션 수입니다.

역변형은

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=1}^{ns(n,k)b_{k}}}$

여기서 s(n,k) ( 소문자 s 포함)는 첫 번째 종류의 스털링 번호다.

Berstein과 Sloane(아래 참조)은 다음과 같이 기술한다_n. "만약 a가 1, 2, ..., n(모든 라벨이 구별되는 일반적인 라벨 구조), b는_n 1, 2, ..., n(반복 허용)이라고 라벨을 붙인 객체의 수입니다."

만약

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\nft }{a_{n}\overn!}}x^{n}}}$

공식적인 파워 시리즈인데

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\nft }{b_{n} \overn!}}x^{n}}}$

위와 같이 a와_n b를_n 가지고,

${\displaystyle g(x)=f(e^{x}-1).\,}$

마찬가지로 역 변환은 함수 ID 생성으로 이어진다.

${\displaystyle f(x)=g(\log(1+x))).}$

참고 항목

• 이항 변환
• 함수 변환 생성 중
• 요인 및 이항 항목 목록

참조

• Bernstein, M.; Sloane, N. J. A. (1995). "Some canonical sequences of integers". Linear Algebra and its Applications. 226/228: 57–72. arXiv:math/0205301. doi:10.1016/0024-3795(94)00245-9..
• 크리스토 N.보야지예프, 이항 변환, 이론 및 표에 대한 노트, 스털링 변환(2018), 월드 사이언티픽 부록.