단스킨 정리

볼록 분석에서 단스킨의 정리는 형태의 함수의 파생상품에 대한 정보를 제공하는 정리다.

그 정리는 최적화에 응용이 있는데, 여기서 미니맥스 문제를 해결하는 데 쓰이기도 한다.J. M. Danskin이 1967년 단스킨의 모노그래프에서 부여한 원래의 정리는 방향성 함수의 최대치 a (볼록할 필요는 없음)의 방향성 파생에 대한 공식을 방향성을 달리하여 제공한다.

더 일반적인 조건으로의 확장은 디미트리 베르체카스에 의해 1971년에 증명되었다.

성명서

다음 버전은 "비선형 프로그래밍"(1991)에서 증명되었다.^[2]$\varphi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \phi (x,z)}$이(가) 두 인수의 연속 함수라고 가정해 보십시오.

여기서 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$는 콤팩트 세트다.$또한{\displaystyle }$$z$${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \phi (x,z)}$이(가) 모든 ${\displaystyle z}$에 대해$$ $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $x$$}$에서 볼록하다고 가정하십시오$.$$}$

이러한 조건에서 단스킨의 정리는 함수의 볼록성과 차별성에 관한 결론을 제공한다.

이러한 결과를 설명하기 위해 Z ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle Z_{0}(x)}$을(를) 최대화하는 점 집합을 다음과$$ 같이 정의한다.

그러면 단스킨의 정리는 다음과 같은 결과를 제공한다.

볼록도

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$은(는) 볼록하다.

방향파생상품

$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y$ D ${\displaystyle y{}_{}}$(${\displaystyle x}$ ),${\displaystyle D_{y}\ f(x)$로 표시된 방향으로$$ $f{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)}$의 방향 파생 모델은 다음과 같다$$.

$${\displaystyle D_{y}f(x)=\max _{z\in Z_{0}(x)\phi '(x,z;y),}$$

여기서 $\varphi {\displaystyle {}^{}(x,}$ ${\displaystyle z;}$ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \phi '(x,z;y)}$은 y${\displaystyle }방향$의 $x$ ${\displaystyle$ $x$$}$에서 $\varphi {\displaystyle (,}$ ${\displaystyle z}$) 함수 ϕ$(\$$displaystyle$ $\phi,$z$)$의 방향 파생 $모델$이다$.$

파생상품

${\displaystyle f(x)}$ is differentiable at ${\displaystyle x}$ if ${\displaystyle Z_{0}(x)}$ consists of a single element ${\displaystyle {\overline {z}}}$. In this case, the derivative of ${\displaystyle f(x)}$ (or the gradient of ${\displaystyle f(x)}$ if ${\displaystyle x}$$(\displaystyle x}$은(는) 벡터)에 의해 제공됨

$${\displaystyle {\frac {\frac}{\frac x}={\fract \phi(x,{\overline {z}){\propertle x}}.}$$

하위 차동

If ${\displaystyle \phi (x,z)}$ is differentiable with respect to ${\displaystyle x}$ for all ${\displaystyle z\in Z,}$ and if ${\displaystyle \partial \phi /\partial x}$ is continuous with respect to ${\displaystyle z}$ for all ${\displaystyle x}$, then the subdifferential o${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 제공됨$$

$${\displaystyle \partial f(x)=\mathrm {conv} \left\{\frac {\partial \phi(x,z)}{\partial x}:z\in Z_{0}(x)\right\}}}}}}}}$$

여기서 $c{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{v}}$ ${\$ {$mathrm}은($는) 볼록한 선체 작동을 나타낸다$$.

확장

1971년 박사 과정베르체카스(Proposition A.22)의 논문은 보다 일반적인 결과를 입증하는데, ${\displaystyle \varphi (\cdot ,}$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi(\cdot ,z)}$이(가) 다를 필요가 없다.Instead it assumes that ${\displaystyle \phi (\cdot ,z)}$ is an extended real-valued closed proper convex function for each ${\displaystyle z}$ in the compact set ${\displaystyle Z,}$ that ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {dom} (f)),}$ the interior of the effective$f{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ f$,}$의 도메인이 비어$$ 있지 않으며,${\displaystyle }$$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$pi }$이($)$${\displaystyle \mathrm{int}(\mathrm{dom}}$int$) {int$}(\operatorname${dom})(f)\times$ Z 설정에서 연속됨$$.$}$ 그러면$$ ${\displaystyle \mathrm{int}(\mathrm{dom}}$ ${\displaystyle (f)}$, ${\displaystyle \operatorname {int}(\operatorname {dom}(f)))$의 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 $있는{\displaystyle }$ f ${\displaystyf}$의 하위$$ 차등식이 제공됨$$

여기서 ${\displaystyle \partial (x}$, z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \partial \phi($${\displaystyle x}$$,z)}$은$($는) $Z{\displaystyle }$. ${\displaystyle z$$}$에 대한$$ x {\$displaystyle x}$에서$(,$z${\displaystyle }$)의 하위 차등이다$.$$}$

참고 항목

• 최대 정리
• 봉투정리
• 핫텔링 보조정리

참조