볼록 분석에서 단스킨의 정리는 형태의 함수의 파생상품에 대한 정보를 제공하는 정리다.
![{\displaystyle f(x)=\max _{z\in Z}\phi (x,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd78c5af4d984012f151958a76087f4d9b35554a)
그 정리는 최적화에 응용이 있는데, 여기서 미니맥스 문제를 해결하는 데 쓰이기도 한다.J. M. Danskin이 1967년 단스킨의 모노그래프에서 부여한 원래의 정리는 방향성 함수의 최대치 a (볼록할 필요는 없음)의 방향성 파생에 대한 공식을 방향성을 달리하여 제공한다.
더 일반적인 조건으로의 확장은 디미트리 베르체카스에 의해 1971년에 증명되었다.
성명서
다음 버전은 "비선형 프로그래밍"(1991)에서 증명되었다.[2]( , ) 이
(가) 두 인수의 연속 함수라고 가정해 보십시오.
![{\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\times Z\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbced20bd828dc55f4149a2005f51e6f697bd46d)
여기서 는
콤팩트 세트다.( , ) 이(가) 모든 에 대해
에서 볼록하다고
가정하십시오
이러한 조건에서 단스킨의 정리는 함수의 볼록성과 차별성에 관한 결론을 제공한다.
![{\displaystyle f(x)=\max _{z\in Z}\phi (x,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd78c5af4d984012f151958a76087f4d9b35554a)
이러한 결과를 설명하기 위해 Z ) 을(를) 최대화하는 점 집합을 다음과
같이 정의한다.![{\displaystyle Z_{0}(x)=\left\{{\overline {z}}:\phi (x,{\overline {z}})=\max _{z\in Z}\phi (x,z)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7077cd4304d60016653bae1611900a198b59be28)
그러면 단스킨의 정리는 다음과 같은 결과를 제공한다.
- 볼록도
- ( ) 은
(는) 볼록하다.
- 방향파생상품
-
D ( ),로 표시된 방향으로
( x) 의 방향 파생 모델은 다음과 같다
.![{\displaystyle D_{y}f(x)=\max _{z\in Z_{0}(x)}\phi '(x,z;y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684d44174ca384e31caf1a989748744fdbd183e0)
여기서 y) 은
y의
에서
) 함수 ϕ z의 방향 파생 이다
- 파생상품
is differentiable at
if
consists of a single element
. In this case, the derivative of
(or the gradient of
if 은
(는) 벡터)에 의해 제공됨![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial \phi (x,{\overline {z}})}{\partial x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f21b113cb76c61cb68d08c2dda15683b37dcbb)
- 하위 차동
- If
is differentiable with respect to
for all
and if
is continuous with respect to
for all
, then the subdifferential o( x) 이(가) 제공됨![f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
![{\displaystyle \partial f(x)=\mathrm {conv} \left\{{\frac {\partial \phi (x,z)}{\partial x}}:z\in Z_{0}(x)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab8d45d19f29b4bc6ddc7bfe8f7f3bcc45fc9c8)
여기서 {는) 볼록한 선체 작동을 나타낸다
.
확장
1971년 박사 과정베르체카스(Proposition A.22)의 논문은 보다 일반적인 결과를 입증하는데, z) 이
(가) 다를 필요가 없다.Instead it assumes that
is an extended real-valued closed proper convex function for each
in the compact set
that
the interior of the effective, f의 도메인이 비어
있지 않으며, 이(int}(\operatorname Z 설정에서 연속됨
. 그러면
, 의
모든 에
f 의 하위
차등식이 제공됨![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![{\displaystyle \partial f(x)=\operatorname {conv} \left\{\partial \phi (x,z):z\in Z_{0}(x)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30944b7f1b46342a3f26457d9b0c5e7e7398c61b)
여기서 , z) 은
는) . 에
대한
x {\에서
z)의 하위 차등이다
참고 항목
참조