퀘이필드

수학에서 퀘이필드는 대수적 구조$({\displaystyle Q}$,${\displaystyle }$+ ,${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle (Q,+,\cdot )}$이며 여기서 +와$$${\displaystyle }$and ${\displaystyle \cdot }$은(는) Q에 대한 이진 연산이며, 이는 사단 고리처럼 다소 약하지만 조건이 있다.모든 분열 고리, 즉 모든 분야가 퀘이필드다.

정의

퀘이필드$({\displaystyle Q}$,${\displaystyle }$+ ,${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle (Q,+,\cdot )}$은(는) 구조로$$, +와 $\cdot {\displaystyle }${\$displaystyle \cdot$\,}은$$(는) Q의 이진 연산이며, 다음과 같은 공리를 만족한다.

• ${\displaystyle (Q}$,${\displaystyle }$+${\displaystyle }$) ${\$은(는) 그룹이다.
• ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle (Q_{0},\cdot )}$은 루프인데 ${\displaystyle {여기}_{}}$서 Q 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \setminus }$ {${\displaystyle 0}$ }${\$
• ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$(${\displaystyle b}$+ ${\displaystyle c}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$+ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \forall \mathrm{}}$ ${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle }$b${\displaystyle }$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ Q ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\quad \all a,b,c\in$ Q$}($$왼쪽$ 분포도)
• ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle x}$+ c ${\displaystyle a\cdot x=$${\displaystyle b\backslash }$$cdot x+c}$에는${\displaystyle }$one a${\displaystyle ,}$b$,c\in Q,a\neq$ b$}$에 대한 $솔루션$이${\displaystyle }$정확히 $하나 있다.$

엄밀히 말하면, 이것은 좌 퀘이필드의 정의다.우량 퀘이필드는 유사하게 정의되지만, 대신 우량 분배성을 만족한다.두 가지 분배 법칙을 모두 만족시키는 퀘이필드를 반필드라고 하는데, 이 용어는 투영 기하학에서 사용된다.

가정하지는 않았지만, 공리들이 첨가 그룹${\displaystyle }$(${\displaystyle Q}$,${\displaystyle }$+ ) ${\displaystyle (Q,+)}$이(가) 아벨리안임을 암시한다는 것을 증명할 수 있다.따라서 아벨리안 퀘이필드를 언급할 때, 하나는 $({\displaystyle {Q\mathrm{}}_{}}$ 0 ,${\displaystyle {}_{}\cdot }$) ${\displaystyle (Q_{0},\cdot )}$이(가) 아벨리안임을 의미한다.

커널

퀘이필드 Q의 커널 K는 다음과 같은 모든 요소 c의 집합이다.

• $a,b\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\quad \all a,b\in Q}$
• $\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\quad \all a,b\in Q}$

이진 연산 +와 $\cdot {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$을(를) K로$$ 제한하면${\displaystyle }$(${\displaystyle K}$,${\displaystyle }$+ ,${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle (K,+,\cdot )}$이(가) 분할 링임을 알 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{이제}}$ K에 Q의 ${\displaystyle \mathrm{벡터}}$ 공간을 만들 수 있다: $v{\displaystyle }$vector l = v ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \forall \mathrm{}}$ v${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle q}$ Q${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle v}$K {\$displaystyle v\otimes$ l$=v\cdot l\quad \forall v\in Q,l\in K}$

유한분할고리는 웨더번의 정리에 의한 유한장이기 때문에 유한 퀘이필드의 알맹이 순서는 원권력이다.벡터 공간구축은 유한한 퀘이필드의 순서도 주력이어야 함을 암시한다.

예

모든 분열 고리, 즉 모든 분야가 퀘이필드다.

(우측) 퀘이필드인 근거리 필드는 "평면 근거리 필드"라고 불린다.

가장 작은 퀘이필드는 아벨리안적이고 독특하다.그들은 8개까지의 유한한 주문 분야다.분할 링이 아닌 가장 작은 퀘이필드는 순서가 9인 4개의 비아벨라니아 퀘이필드로, 홀 주니어(1959년) 하브텍스트 오류: 목표 없음: CITREFHall,_Jr.1959 (도움말) 및 웨이벨(2007년)이다.

투영 평면

$quasifield$ Q {\$displaystyle$ Q$\}$을(를$)$ 지정하면, $우리$는 3차 지도 T${\displaystyle }$: ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Q}$→ ${\displaystyle Q}$ ${\$ Q$\time Q\time$ Q$\to$ Q$\,}$을(를) 정의한다.

$\displaystyle T(a,b,c)=a\cdot b+c\quad \all a,b,c\in Q}$

그러면 (Q${\displaystyle }$, ${\displaystyle T}$ )${\디스플레이$ 스타일$(Q,T)}$이(가) 평면 테너리 링의 공리를 만족하는지$$ 확인할 수 있다$.{\displaystyle }$$({\displaystyle Q}$, ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle (Q,T)}$과(와) 연관됨은 해당 투영 평면이다.이러한 방식으로 구성된 투영 평면은 다음과 같은 특징이 있다. 이 관계의 세부사항은 홀 주니어(1959년) 하프텍스트 오류: 대상이 없음: CITREFHall,_Jr.1959 (도움말)에 제시되어 있다.투영 평면은 연관된 평면 테너리 링 중 하나(또는 모든)가 우측 퀘이필드인 경우에만 무한대의 라인에 대한 변환 평면이다.3차 고리 중 하나(또는 모든)가 좌측 퀘이필드일 경우 전단면이라고 한다.

이 비행기는 링을 고유하게 결정하지 않는다; 순서 9의 4개의 비아벨리안 퀘이필드는 모두 순서 9의 독특한 비데카니즘 번역면에 대한 테너리 링이다.이는 평면을 건설하는 데 사용되는 기본 사각형에서 다르다(Weibel 2007 참조).

역사

퀘이필드는 O에 의해 1907년 논문(베블렌-웨더번 1907)에서 처음 연구되었기 때문에 1975년 이전 문헌에서 "베블렌-웨더번 시스템"이라고 불렸다. 베블렌과 J. 웨더번.퀘이필드와 그들의 투영 평면에 대한 적용에 대한 조사는 홀(1959년)과 와이벨(2007년)에서 찾을 수 있다.

참조

• Hall, Marshall, Jr. (1959), Theory of Groups, Macmillan, LCCN 59005035, MR 0103215.
• Veblen, O.; Wedderburn, J.H.M. (1907), "Non-Desarguesian and non-Pascalian geometries" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 8 (3): 379–388, doi:10.2307/1988781, JSTOR 1988781
• Weibel, Charles (2007), "Survey of Non-Desarguesian Planes", Notices of the AMS, 54 (10): 1294–1303

참고 항목

• 근거리장
• 세미필드
• 얼터너티브 디비전 링
• 홀 시스템(홀 평면)
• 무방 비행기

외부 링크

• 하우케 클라인에 의한 퀘이필드.