산술 급수

산술적 수열 또는 산술적 수열은 연속된 항의 차이가 일정하게 유지되도록 하는 수열입니다.예를 들어 시퀀스 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...는 공통차가 2인 산술 급수이다.

산술 수열의 첫 번째 $항이{\displaystyle {}_{}}$ 1$${\$displaystyle a_{1$}이고 연속되는 멤버의 공통 $차이$가$$d {\$displaystyle$ d$\}$인 경우 수열의$$n {\$displaystyle$$$$a_{n$번째$$ $$은 $다음$과 같습니다.

${\displaystyle a_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$+ (${\displaystyle n}$ -${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle d}$\ $displaystyle$\$a_{n$} =$a_{1}+(n-1)d$ ,

그리고 일반적으로

${\displaystyle a_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$m${\displaystyle }$+ (${\displaystyle n}$ -${\displaystyle m}$ )$$ { $displaystyle$\$a$_ { n } =$a$_ { $m$} + ( n - m ) $d$

산술 급수의 유한 부분은 유한 산술 급수라고 불리며 때로는 그냥 산술 급수라고 불리기도 한다.유한한 산술 급수의 합을 산술 급수라고 한다.

합

유한한 산술 급수의 부재의 합을 산술 급수라고 한다.예를 들어 다음과 같은 합계를 생각해 보겠습니다.

${\displaystyle 2+5+8+11+14}$

이 합계는 추가할 항의 수 n(여기서 5)을 취하여 수열의 첫 번째 숫자와 마지막 숫자의 합(여기서 2 + 14 = 16)을 곱한 다음 2로 나누면 빠르게 구할 수 있다.

${\displaystyle {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

위의 예에서는 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle 2+5+8+11+14=subscfrac {5(2+14)}{2}=subscfrac {5\times 16}{2}=40.}$

이 수식은 1$({$ 및$$ $({$의 모든 $실수$에 적용됩니다.다음은 예를 제시하겠습니다.

${\displaystyle \frac {3}{2}\right}+\frac {1}{2}+{\frac {3\frac {3}+{\frac {1}{2}={\frac {2}}={{\frac {1}{2}}{\right}}}}={\frac {}}}}}}.}$

파생

위의 공식을 도출하려면 먼저 산술 급수를 두 가지 다른 방법으로 표현합니다.

$\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)}$

$\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.}$

두 방정식의 양변을 더하면 d 취소와 관련된 모든 항이 다음과 같이 됩니다.

$(\displaystyle\2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).}$

양변을 2로 나누면 방정식의 공통 형식이 생성됩니다.

$({displaystyle S_{n}=squalfrac {n}{2}})(a_{1}+a_{n}).}$

대체 형식은 치환을 다시 적용하면 발생합니다.${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle }$+ (${\displaystyle n}$ -${\displaystyle 1}$ )$$ \ $displaystyle a$_ { n } =$a$_ {1} + ( n - 1) $d$ :

${\displaystyle S_{n}=snfrac {n}{2}} [2a_{1}+(n-1)d]}$

또한 시리즈의 평균 값은 다음 $방법$으로 계산할 수 있습니다. S${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ /$$n \ $displaystyle S$_ { $n$} / $n$ :

$({displaystyle {a}}=subscfrac {a_{1}+a_{n}}}{2}).}$

이 공식은 이산 균등 분포의 평균과 매우 유사합니다.

제품.

초기 요소₁ a, 공통 차이 d 및 n개의 요소를 모두 갖는 유한 산술 수열의 부재의 곱은 닫힌 식에서 결정된다.

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\frac _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {a_{1}{\frac {a_{d}}}{\Gamma \frec\frech\fright}{{{{n}}}}{{{\fright}}}}}{\frech}}}{{{{{{{{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서$(\displaystyle$ \$Gamma)$는 감마 함수를 나타냅니다.${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$/$$ \ $displaystyle a_{1}/d}$ 가$$ 음수이거나 0인 $경우{\displaystyle {}_{}}$ 공식은 유효하지 않습니다.

이는 1${\displaystyle }$× ${\displaystyle 2}$× ${\displaystyle \times }$ ×$$ { $displaystyle$1 \$times$\ $cdots$\ $times$ n$$}의 수열의 곱이 n$!$ { $displaystyle$ n$!}$의 계수에 의해 주어진다는 사실에서 일반화한 것이다.

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times (n-2)\times (n-1)\times n}$

m$\displaystyle$ m$}$ 및$n$\$displaystyle$n은$$ 다음과 같이 지정됩니다.

$(m-1)!}}.}$

파생

${{displaystyle}{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\cdots_{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\flac _{k=0}^{n-1}d\leftfrac {a_{1}}{k\right}=d\leftflac {a_{1}}{d}\leftflac {a_1}}{right}d\flac {a_1\flight}}\flac {d}\flight}\flight}\flac {a_flight}{a_frac {a_flight}{{{{{{{{{{{n}}}}}}}}}}}\&=d^{n}\flash _{k=0}^{n-1}\leftflac {a_{1}}+k\right)=d^{n}{\flac {a_{1}}{d}\right}\flac {a_{d}\flight}}^{\overline {n}}\end {aligned}}$

${\displaystyle {여기}^{}}$서 x n$(\$은 상승 계수를 나타냅니다.

반복식${\displaystyle }\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle z}$ +${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle z\mathrm{\delta }}$ (${\displaystyle z}$) \ $displaystyle$\ $Gamma ( z$ + 1) $=$$z$ \$감마(z$ z> { $displaystyle$ z > $0$ 에 유효합니다.

$z$$$$감마(z$

$γ$$2$$감마(z$

하도록

$디스플레이 스타일감마(z)}}=\syslog _{k=0}^{m-1}(z+k)}$

$m{\displaystyle }${\$displaystyle$ m$}$은 양의 정수이고$z{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ z$}$는 양의 복소수입니다.

1/ d> { $displaystyle a$_ {$1}$ / $d$> $0$} ,

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ k${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{0n}}}}$- 1 ( ${\displaystyle a}$1 d${\displaystyle }$+ ${\displaystyle k\frac{{}_{}}{}}$) =${\displaystyle \frac{}{\frac{{\gamma \mathrm{}}_{}}{}}}$ ${\displaystyle \frac{（}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{{}_{}}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ +${\displaystyle \frac{}{}}$n ） $γ$ 1 d ） { $displaystyle _ { k$= 0 }^{$n-1}$\ $left$ \$frac { a$ _ { a _ { a _ { { { { { { { $d$}} +$k$ \ right }$= frac$ {$gammpright$ } {$Gamma$} } { $Gamma$}

그리고 마지막으로

$({displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d^{n}\cdots_{n}\cdots_{n}_{n-1}\left\frac {a_{1}}+k\right}=d^{n}{\frac{n}{\frac}{\fright}{n}{\fright}{n}}{\frac}{\frac}{\fright}{n}}{n}{n}}}}}{frac}{fr}}}$

예

예 1

$예$를${\displaystyle \mathrm{들어}}$ ${\displaystyle 3,}$ 8, ${\displaystyle 13,}$ ${\displaystyle 18,}$ 23${\displaystyle ,}$ $28…({displaystyle$3, 8, $13, 18, 23,$ 28,\$ldots$은 50번째 ${\displaystyle {항}_{}}$까지 n ${\displaystyle {}_{}3}$ +${\displaystyle 5}$ (${\displaystyle n}$-${\displaystyle 1}$ $){displaystyle a_{n$} $= 3$ +$5$ ($n-1)$로 $주어진{\displaystyle {}_{}}$ 산술 수열의 곱은 다음과 같습니다.

$\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {frac\Gamma\left(3/5+50\오른쪽)}{\Gamma\left(3/5\오른쪽)}\약 3.78438\times 10^{98}.}$

예 2

처음 10개의 홀수$({\displaystyle 1,3}$,${\displaystyle 5}$,${\displaystyle 7}$,${\displaystyle 9}$, ${\displaystyle 11,}$ ${\displaystyle 13,}$ $15$ ${\displaystyle 17,}$ $)$의 곱은 다음과 같습니다({$displaystyle (1,$3, 5, 7$, 9, 11, 13, 15, 17,$ 19).

$1$$}}$ $$= 654,729,075

표준편차

산술 수열의 표준 편차는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle \displays = d {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}$

$여기$서 n$${\$displaystyle$ n$}$은 진행 중인 항의 $수이고{\displaystyle }$d {\$displaystyle$ d$}$는 용어 간의 공통 차이입니다.이 공식은 이산형 균등 분포의 표준 편차와 매우 유사합니다.

교차로

두 개의 이중 무한 산술 급수의 교차는 비어 있거나 중국의 나머지 정리를 사용하여 찾을 수 있는 또 다른 산술 급수이다.이중 무한 산술 급수군의 각 수열 쌍이 비어 있지 않은 교차를 갖는 경우, 모든 수열에서 공통되는 수열 즉, 무한 산술 급수가 헬리 족을 ^[1]형성합니다.그러나 무한히 많은 산술 급수의 교집합은 그 자체가 무한 급수라기보다는 하나의 숫자일 수 있다.

역사

불확실한 reliability,[2] 젊은 카를 프리드리히 가우스의 초등 학교에 한 일화에 따르면 1부터 100까지,{.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion을 곱하여는 정수의 합을 계산하기 위해 이 방법을 재 발명했죠.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}은 합에 각 쌍의 값들에 의해 숫자의n/2 쌍 n+1.[해명 필요한].하지만, 이 이야기의 진실과 상관없이, 가우스가 이 공식을 발견한 첫 번째 사람은 아니며, 어떤 사람들은 그 기원이 ^[3]기원전 5세기 피타고라스로 거슬러 올라간다는 것을 발견한다.고대에는 아르키메데스, 히피클레스, 디오판토스,^[4] 중국에서는 장취지안, 인도에서는 아리아바타, 브라흐마굽타, 바스카라 2세,^[5] 중세 유럽에서는 알쿠인,^[6] 디쿠일,^[7] 피보나치,^[8] 사크로보스^[9], 그리고 익명의 해설가들에게 알려져 있었다.

「 」를 참조해 주세요.

• 기하급수
• 조화 수열
• 삼각수
• 산술 기하학적 수열
• 산술 평균과 기하 평균의 부등식
• 소수점 수열
• 선형 차분 방정식
• 일반화 산술 수열, 산술 수열로 구성된 정수 집합은 다음과 같으나 몇 가지 가능한 차이를 허용한다.
• 산술적 수열로 변이 있는 헤로니아 삼각형
• 산술 수열 문제
• 유토나티
• 산술 수열의 거듭제곱 합계를 계산하는 다항식

레퍼런스

외부 링크

• "Arithmetic series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Arithmetic progression". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Arithmetic series". MathWorld.