산술 급수

Arithmetic progression

산술적 수열 또는 산술적 수열은 연속된 항의 차이가 일정하게 유지되도록 하는 수열입니다.예를 들어 시퀀스 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...는 공통차가 2인 산술 급수이다.

산술 수열의 첫 번째 1{\}이고 연속되는 멤버의 공통 d {\ d인 경우 수열의n {\번째 과 같습니다.

n + ( -) \ \} = ,

그리고 일반적으로

n m+ ( - ) { \_ { n } =_ { } + ( n - m )

산술 급수의 유한 부분은 유한 산술 급수라고 불리며 때로는 그냥 산술 급수라고 불리기도 한다.유한한 산술 급수의 합을 산술 급수라고 한다.

2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40
14 + 11 + 8 + 5 + 2 = 40

16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80

2 + 5 + 8 + 11 + 14의 합계 계산.시퀀스가 반전되어 기간별로 추가되면 결과 시퀀스는 첫 번째 숫자와 마지막 숫자의 합(2 + 14 = 16)과 같은 단일 반복 값을 갖게 됩니다.따라서 16 × 5 = 80은 합계의 두 배이다.

유한한 산술 급수의 부재의 합을 산술 급수라고 한다.예를 들어 다음과 같은 합계를 생각해 보겠습니다.

이 합계는 추가할 항의 n(여기서 5)을 취하여 수열의 첫 번째 숫자와 마지막 숫자의 합(여기서 2 + 14 = 16)을 곱한 다음 2로 나누면 빠르게 구할 수 있다.

위의 예에서는 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있습니다.

이 수식은 1 의 모든 에 적용됩니다.다음은 예를 제시하겠습니다.

파생

첫 번째 정수 1+2+의 합을 구하는 공식의 애니메이션 증거...+n.

위의 공식을 도출하려면 먼저 산술 급수를 두 가지 다른 방법으로 표현합니다.

두 방정식의 양변을 더하면 d 취소와 관련된 모든 항이 다음과 같이 됩니다.

양변을 2로 나누면 방정식의 공통 형식이 생성됩니다.

대체 형식은 치환을 다시 적용하면 발생합니다. 1+ ( - ) \ _ { n } =_ {1} + ( n - 1) :

또한 시리즈의 평균 값은 다음 으로 계산할 수 있습니다. S /n \ _ { } / :

이 공식은 이산 균등 분포의 평균과 매우 유사합니다.

제품.

초기 요소1 a, 공통 차이 d n개의 요소를 모두 갖는 유한 산술 수열의 부재의 곱은 닫힌 식에서 결정된다.

여기서 \ 감마 함수를 나타냅니다./ \ 음수이거나 0인 공식은 유효하지 않습니다.

이는 1× × × { 1 \\ \ n}의 수열의 곱이 n { n 계수에 의해 주어진다는 사실에서 일반화한 것이다.

m m\n은 다음과 같이 지정됩니다.

파생

서 x n 상승 계수를 나타냅니다.

반복식 ( +) () \ \ + 1) \ z> { z > 에 유효합니다.

하도록

{\ m 양의 정수이고 {\ z 양의 복소수입니다.

1/ d> { _ { / > } ,

k=- 1 ( 1 d+ ) = +n ) 1 d ) { = 0 }^{\ \ _ { a _ { a _ { { { { { { { }} + \ right } { } {} } { }

그리고 마지막으로

예 1

8, 23 3, 8, 28,\은 50번째 까지 n + (- } + ( 산술 수열의 곱은 다음과 같습니다.

예 2

처음 10개의 홀수,,,, 곱은 다음과 같습니다({3, 5, 7 19).

= 654,729,075

표준편차

산술 수열의 표준 편차는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

서 n{\ n 진행 중인 항의 d {\ d 용어 간의 공통 차이입니다.이 공식은 이산형 균등 분포의 표준 편차와 매우 유사합니다.

교차로

두 개의 이중 무한 산술 급수의 교차는 비어 있거나 중국의 나머지 정리를 사용하여 찾을 수 있는 또 다른 산술 급수이다.이중 무한 산술 급수군의 각 수열 쌍이 비어 있지 않은 교차를 갖는 경우, 모든 수열에서 공통되는 수열 즉, 무한 산술 급수가 헬리 [1]형성합니다.그러나 무한히 많은 산술 급수의 교집합은 그 자체가 무한 급수라기보다는 하나의 숫자일 수 있다.

역사

불확실한 reliability,[2] 젊은 카를 프리드리히 가우스의 초등 학교에 한 일화에 따르면 1부터 100까지,{.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion을 곱하여는 정수의 합을 계산하기 위해 이 방법을 재 발명했죠.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}은 합에 각 쌍의 값들에 의해 숫자의n/2 쌍 n+1.[해명 필요한].하지만, 이 이야기의 진실과 상관없이, 가우스가 이 공식을 발견한 첫 번째 사람은 아니며, 어떤 사람들은 그 기원이 [3]기원전 5세기 피타고라스로 거슬러 올라간다는 것을 발견한다.고대에는 아르키메데스, 히피클레스, 디오판토스,[4] 중국에서는 장취지안, 인도에서는 아리아바타, 브라흐마굽타, 바스카라 2세,[5] 중세 유럽에서는 알쿠인,[6] 디쿠일,[7] 피보나치,[8] 사크로보스[9], 그리고 익명의 해설가들에게 알려져 있었다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ Duchet, Pierre (1995), "Hypergraphs", in Graham, R. L.; Grötschel, M.; Lovász, L. (eds.), Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2, Amsterdam: Elsevier, pp. 381–432, MR 1373663. 특히 섹션 2.5, "지옥의 특성", 393–394를 참조하십시오.
  2. ^ Hayes, Brian (2006). "Gauss's Day of Reckoning". American Scientist. 94 (3): 200. doi:10.1511/2006.59.200. Archived from the original on 12 January 2012. Retrieved 16 October 2020.
  3. ^ 회엽, J."Unknown Heritage" : 잊혀진 수학적 정교함의 궤적의 흔적.아치, 히스트정확한 Sci. 62, 613~654(2008)https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y
  4. ^ Tropfke, Johannes (1924). Analysis, analytische Geometrie. Walter de Gruyter. pp. 3–15. ISBN 978-3-11-108062-8.
  5. ^ Tropfke, Johannes (1979). Arithmetik und Algebra. Walter de Gruyter. pp. 344–354. ISBN 978-3-11-004893-3.
  6. ^ The Mathemical Gazette, 76, #475(1992년 3월), 102–126페이지, John Hadley와 David Singmaster를 날카롭게 하는 문제.
  7. ^ 로스, H.E. & Knott, B.I(2019) 삼각수와 제곱수에 관한 디쿠일(9세기), 영국 수학사 저널, 34:2, 79-94, https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687
  8. ^ Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.
  9. ^ Katz, Victor J. (edit.) (2016). Sourcebook in the Mathematics of Medieval Europe and North Africa. Princeton University Press. pp. 91, 257. ISBN 9780691156859.
  10. ^ Stern, M.(1990). 74.23 A 산술 수열의 합계의 중세적 도출.수학관보, 74(468), 157-159.doi:10.2307/3619368

외부 링크