산술 수열의 거듭제곱 합계를 계산하는 다항식

이 페이지는 현재 병합 중입니다. 논의 후, 이 페이지를 Faulhaber의 공식에 통합하기 위한 공감대가 발견되었다.도움말의 지시에 따라 병합을 구현할 수 있습니다.통합 및 토론에 대한 해결. 2022년 10월에 공정이 개시되었다.

산술 수열의 거듭제곱 합계를 계산하는 다항식은 합계의 근간을 구성하는 특정 산술 수열과 선택된 일정한 지수, 음이 아닌 정수에 의존하는 변수에서의 다항식이다.이들의 정도는 항상 상수 지수를 한 단위 초과하며, 다항식 변수가 합산 덧셈의 수와 일치할 때 다항식 함수의 결과도 합계의 결과와 일치한다는 특성을 가집니다.

따라서 문제는 S ${\displaystyle {h,}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}m}$ (${\displaystyle }$n $){displaystyle S_{h,d}^{m}(n){$$displaystyle$ n$}$의 함수로서 다항식을 $찾는{\displaystyle {}_{}^{}}$ 것이다. 즉$,$ n$${\$displaystyle$ n$}$의 덧셈 합계를 계산한다$$.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(h+kd)^{m}+(h+d)^{m}+\cdots +(h+(n-1)d)^{m}}$

m$${\$displaystyle$ m$}$ $및$^[1] n {$displaystyle$ n$}$ 정수$$ 양수, $h{\displaystyle }${$displaystyle$ h$}$ 산술$$ 수열의 첫 번째 항 및 d${\displaystyle }d{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}${$displaystyle$ d$\neq$ 0$}$의 공통 차이입니다.두 개의 매개변수는 정수일 뿐만 아니라 유리, 실수, 심지어 복소수일 수도 있습니다.

역사

고대 시대

그 문제의 역사는 고대부터 시작되어 일부 특수한 사례의 그것과 일치한다.$대{\displaystyle }$/소문자 m $=$, {\$display m=$1,}은$$ 산술 급수의 첫 $번째{\displaystyle }$n개(\$style$ n$)$ 값의$$ 합계인 산술 급수 계산과 일치합니다.이 문제는 매우 간단하지만 피타고라스 학파에 의해 삼각수와의 연관성으로 이미 알려진 사례는 역사적으로 흥미롭다.

${\displaystyle 1}$+${\displaystyle }$2${\displaystyle }$+ ${\displaystyle ...}$ + ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 2 ${\displaystyle n{}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle 2}$n$$, { { $displaystyle$$$1 + $2$+ \$ldots$+$n = scap frac$ {$1}$ {2} + { \ $frac { } n$, \ $qquad$} 폴리 $니얼$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}^{}}$1, $1$($n )^{ n }$의 합계$$ 계산

m>의 $,$ {\$displaystyle$ m > $1,}$의 경우 수학 역사상 가장 먼저 발생하는 사례는 다음과 같습니다.

${\displaystyle 1}$+${\displaystyle 3}$+ ${\displaystyle ...}$ + ${\displaystyle 2}$n - ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$, \ $displaystyle$1 + $3$+ \$ldots$+$2n-1$=$n^{$2} \$qquad$} $다항식$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}^{}}$1, ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}^{}}$ ( ${\displaystyle n}$ $displaystyle S_{1,2$}^$1(n)^1$(n) {$displaystyle$ n$$}개의$$ $연속{\displaystyle }$ 오즈의 합을 계산합니다$$.아마도 피타고라스인들 스스로 잘 알려진 특성으로, 그들은 그들의 숫자를 구성할 때 다음 완벽한 제곱을 얻기 위해 홀수 점으로 구성된 그노몬을 매번 더해야 했다.

${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ …${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$3 + ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 6}$n ,$${ $displaystyle$ 1^ { $2 }$ + \ $ldots$+ $n$^ { $2 } = specfrac {$1} {3} + {\ $frac$ {2} + ${\ frac$ {$} n q$} 、$。$아르키메데스의 ^[2]작품인 Spirals에서 증명된 특성.

$display$$}=superfrac {1}{4}n^{4}+{\frac {1}{2}n^{3}+{\frac {1}{4}n^{2$},\qquad$}$$다원$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{,}^{}}$1$$($n$){$style S_{$1,$1}^3$}(n$$$){$styledisplay S_{1,$1}^$3}(n)}{\frac {1}+{3}n$}{3$}n}개 연속된 정수의 합을 계산합니다.제라사의 ^[2]니코마치 정리 결과...

앞의 두 다항식이 속한 $경우{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {중\mathrm{}}_{}^{}}$ L${\displaystyle {\text{'}}_{}^{}\mathrm{insieme}}$ S 1, ${\displaystyle {}_{}^{}}$m (${\displaystyle }$n $){$ $displaystyle S_{1,1}^{m}(n)$는 연속 정수의 거듭제곱에 대한 고전적인 문제를 구성한다.

중기

시간이 흐르면서, 많은 다른 수학자들이 그 문제에 관심을 갖게 되었고 그 해법에 다양한 기여를 했다.여기에는 이미 알고 있던 ^[2]m$+1의$$$다항식 $차수$를 구함으로써 연속 정수의 거듭제곱 문제를 재귀적으로 해결한 아랴바타, 알-카라지, 이븐 알-헤이탐, 토마스 해리오트, 요한 파우하베르, 피에르 드 페르마, 블레즈 파스칼이 포함된다.

1713년 야콥 베르누이의 가족은 그의 사후에 그의 이름을 딴 특정한 숫자에 의존하는 일반 공식과 함께 이 무한 급수의 처음 10개의 다항식이 나타나는 그의 Artis Expectandi를 출판했다. 이 공식은 베르누이 자신이 인정한 가치 있는 공헌으로 요한 포크하버에게^[4] 돌아갔다.또한 0부터 시작하는 연속 정수의$n제곱$의 $합$을 계산하는$$ $다항식{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}^{}}$ 0${\displaystyle {,}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$m (${\displaystyle n}$ $){$ $displaystyle$ $S_{0,1}^{m}(n$$)$는 1부터 시작하는 것과 매우 유사하다는 것이 즉시 명백해졌다.${\displaystyle {이}_{}^{}}$는 S${\displaystyle {}_{}^{}}$1, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}n)}$ - ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}^{}}$ 0${\displaystyle {,}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle n)}$ $=$ ${\displaystyle {}^{}}$ ({$displaystyle S_{1,1}^{m}(n$)-$S_{0,1$}^{$m}(n)=$n^{$m$$}$의 다항식이 ${\displaystyle \frac{1}{}\frac{}{}}$m${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}{}^{}\frac{}{}{}^{}}$+$$1 {{$displaystyle$m+$1}$의 형태를 $이루고{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 있는 것이 명백하기 때문이다.$^{m}+...$}의$$^[3] ${\displaystyle {단항차이}^{}}$ n$m$({$displaystyle n^{m$$})$을 빼면 ${\displaystyle \frac{1}{}}$m + ${\displaystyle {1\mathrm{n}}^{}}$ m${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ - ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$n${\displaystyle }$m${\displaystyle }$+ . {$displaystyle$ {1} {$m+1}-{\frac${1}$n^{$$m$}+...이 ${\displaystyle \frac{됩니다}{}}$$.$$\}.$

그러나 베르누이 수를 생성하는 무한급수함수의 발전을 이용한 수학적 해석의 진보로부터 이익을 얻은 칼 G. 야코비에^[5] 의해 1세기 이상 후에 파우하버의 공식의 증거가 누락되었다.

근대

1982년 A.W.F. 에드워즈는 파스칼의 동일성이 파스칼의 삼각형을 포함하는 삼각행렬로 표현될 수 있다는 것을 보여주는 기사를 발표한다.

$- 그렇죠 - 기초부터 시작하자K^{4}:{4}:$^[7][8]

이 예제는 5차 행렬의 선택에 의해 제한되지만 고차 행렬로 쉽게 확장할 수 있습니다.방정식은 $N{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle A\stackrel{}{}}$→ A $→$ A${\vec {S}$ → A {\$vec {S$}} $display$ 、 A -$$ { $displaystyle$ A$$^ {-$1}$ 、 A${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ $DISPLAY →$ ${\displaystyle S\stackrel{}{}}$ → S $display$ 。베르누이 수를 직접 사용하지 않고 다항식 계수에 직접 도달합니다.Edwards 이후의 다른 저자는 멱합 문제의 다양한 측면을 다루고 Vandermonde ^[10]벡터와 같은 유용한 도구에서 문제의 매트릭스 경로와 측면을 연구합니다.다른 연구자들은 전통적인 분석 경로를 통해 계속 탐색하고 기하 급수에 대한 연속 정수의 합의 문제를 일반화한다.

$다항식{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle S_{}^{}}$ h${\displaystyle {,}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ m$(\$의 계수는 베르누이 다항식의 함수로써의 합의 결과 표현이나 스털링 숫자와 첫 번째의 r-휘트니 숫자와 관련된 공식으로서 재귀 공식과 다른 방식으로 수론에 흥미로운 방식으로 구한다.그리고 두 번째 종류 마지막으로, 에드워즈의 매트릭스 접근법은 산술적 수열로도 일반화되었다.

행렬법에 의한 해법

일반적인 문제는 최근에 이항 계수와 파스칼의 삼각형을 알고 쉽게 구성할 수 있는 이항 행렬을 사용함으로써 해결되었다.산술 수열과 $양$의 정수${\displaystyle }$m을 결정하는 $파라미터{\displaystyle }$h(\$displaystyle$ h$)$ 및$$$d{\displaystyle }$(\$displaystyle$ d$$$)$를 선택하면 m${\displaystyle }$+ $(\displaystyle$ m$+1})$의 다항식이 $다음$과 같은 거듭제곱 합계에 해당하는 것으로 나타났습니다.

${\displaystyle S_{h,d}^{r-1}=c_{1}n+{2}n^{2}+\ldots +c_{r}n^{r},\qquad {text{con}}r=1,2,\ldots,m+1,}$

삼각형 $행렬{\displaystyle }$ G${\displaystyle (h,}$ ${\displaystyle d)}$ 행 $(\displaystyle$ r$$$)$ $=$ ${\displaystyle T(h,}$ d${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {}^{}}$-$$${\displaystyle (\{}$$displaystyle$ G$(h,d$)=$T(h,d)A^{-1})$의 다항식 계수 요소 + $(\displaystyle$ m$+1$

다음은 0부터 3까지의 지수로 주어진 산술 수열의 다항식을 제공하는 특정 경우 $m{\displaystyle }$ $= 3의$$$해법 $공식$이다.

$디스플레이 스타일S_{h,d}^{0}(n)\\S_{h,d}^{1}(n)\\S_{h,d}^{2}(n)\\S_{h,d}^{3}(n)\\end{pmatrix}=(begin{pmatrix}1&0\h&d&0\h^{2}&0\hd^{2}&0\h^{3}&3h^{d}{pmatrix})$

m(부정수가 아닌 정수)의 다른 값으로 쉽게 확장할 수 있는 방정식은 다음과 같이 요약되고 일반화됩니다.

$displaystyle$$T(h,d)A^{-1}n{\vec {V}}(n)}$ 또는$$ G${\displaystyle (h,}$ d${\displaystyle )}$ $=$ ${\displaystyle T(h}$, d${\displaystyle ){}^{}}$ - $(\$d$)$ = $T(h,d)$ A$^{-$1})와 함께 배치함

${\displaystyle {S}_{h,d}(n)=G(h,d)n{\vec {V}}(n)}$ ^[15]

다음은 행렬과 Vandermonde 벡터의 엄밀한 정의입니다.

$\displaystyle [ A ] _ { r , c } c > r , \ { \ binom { r } { c - 1 } , \ text { if } c leq r , \ end { cases } \ qquad [ T ( h , d ) ] _ r , r , cases = begin { case }\end{case}\qquad [{\vec {V}}(n)]_{r}=「begin{case}1,&{\text{if}}r=1,\n^{r-1}&{\text{if}}}r>1]\end {case}}$

m ${\displaystyle =}$ $경우{\displaystyle }$({$displaystyle$ m$=3)$결과는 다음과$$ 같습니다.

${\displaystyle n'vec {V}}(n)=n{\begin{pmatrix}1\n\n^{2}\\end{pmatrix}=nbegin{pmatrix}n\n^{2}\n^{3}\n^{4}\end{pmatrix}}\text:}}\vec {S}}_{h,d}(n)=begin{pmatrix}S_{h,d}^{0}(n)\\S_{h,d}^{1}(n)\\S_{h,d}^{2}(n)\\S_{h,d}^{3}(n)\\end{pmatrix}=\sum _{k=0}^{n-1}{\vec {V}(h+kd)}$

행렬 A는 이미 본 Edwards의 하위 삼각형 행렬로, 비늘 요소에서 각 행의 마지막 요소를 제거한 파스칼의 삼각형을 재현합니다.$반면{\displaystyle }$T ( ${\displaystyle h}$,${\displaystyle d}$ ) ${{$ $displaystyle T$($$h , d )$$${\displaystyle {\}}^{}}$의 요소는 ${\displaystyle {\mathrm{r}}^{}}$ -$$1${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle ...}$, ${\displaystyle \mathrm{m}}$+ $1$. { \ $displaystyle r =$1, $\ldots$, m + 1 $\}$의 전력 개발$({\displaystyle h{}^{}}$+$$ )의 모노메일이 됩니다$.$

${\displaystyle T}$( ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$ $){$ $displaystyle$T ($0$ ,$1$ )는 행별$$ 곱의 중성 요소입니다.이 경우 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$displaystyle$$Edwards가 발견$한 A$^{-1}n${\vec {V$}}(n$$)}$

이 특정 사례에서 일반적인 것을 증명하기 위해, 방정식의 왼쪽에 있는 두 개의 멤버에 $행렬{\displaystyle }$ T${\displaystyle (h}$${\displaystyle ,d}$${\displaystyle )}$ {$displaystyle$ T$(h$$,d$)}(h$$$,d$$)$ ${\displaystyle V\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ (${\displaystyle n)}$ ${\displaystyle =V}$ (${\displaystyle h}$+ $)$ {$dev} {DVE$}를 곱하면 충분하다.

연속된 홀수의 거듭제곱의 합계

우리는 이전 공식을 사용하여 연속 확률의 제곱을 더하는 문제를 해결합니다.^[16]승산은 첫 번째 $요소{\displaystyle }$ h ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle$ h$=1$}$$및 $이유{\displaystyle }$ d ${\displaystyle =2}$.$${\$displaystyle$ d$=$$2인$ 산술 수열과 일치합니다.} 홀수의$$ 거듭제곱 합계를 계산하는 처음 5개의 다항식을 찾기 위해 m = 4로 설정했다$.$$계산$된${\displaystyle }$T(${\displaystyle 1,2}$)$${$displaystyle$T(1$,2)}$는 다음과 같습니다.

$= &0amp;0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&\petrix}:{p;{p;{p;{p;{p;{0}:{p;{0}:{p;{p;{p;{p;{p;{}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}&0\-{\frac {1}{30}}&0&{\frac {1}{2}&{\frac {1}{5}\\\end{pmatrix}}&{\frac {1}{1}{2}}&{\frac {\frac {1}}}$

그러므로 우리는

${\displaystyle G(1,2)=T(1,2)A^{-1}=begin{pmatrix}1&0&0&0\0&1&0&0&0&0\{\frac{1}{3}}&0&{\frac{4}&0&0&0&0&0&0&0&0&0}={frac}}$

이 시점에서 m ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle$ m= 4 {\displaystyle m$=4}$에 $대한{\displaystyle }$ 일반 방정식 S$$,$2$($n)$ ${\displaystyle \stackrel{}{=}G\stackrel{}{}}$ (1, ${\displaystyle 2}$) n ${\vec {V}$ ($n)$ ${\displaystyle =}$ G ($1$, 2 ) → G ( n ) 、$displaystyle$ m = 4 ( n ) } 및 손상된$$ 제품에 대한 일반 $방정식{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$:

$={n1}:{k=0}(를){n1}:{n1}:{n1}:{n1}:{n1}:{n1}:{n1}:{n1}:{n {1}:&0&{3}:&{3}:&{p;{ncamp;{p;{p;{p;{p;{p;{n{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{4}\n^{5}\\end{pmatrix}=cap{pmatrix}n\n\n{2}\-{\frac {1}{3}n+{frac {3}{3}n}n{4}\n^{4}\\\\\n^2}=n^2}}\{\frac {7}{15}n-{\frac {8}{3}}n^{3}+{\frac {16}{5}n^{5}\\end{pmatrix}.}$

마지막 줄(${\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 5}$ {$style$ r= 5$}$ {$display$ r=$5$ )을 사용하여 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {S}_{1,2}^{4}=blac {7}{15}n-{\frac {8}{3}+{\frac {16}{5}n^{5}}$

다른 행을 사용합니다.

${\displaystyle {S}_{1,2}^{3}=-n^{2}+2n^{4};\quad}$ ${\displaystyle {S}_{1,2}^{2}=-{\frac {1}{3}n+{\frac {4}{3}n^{3};\frac }$ ${\displaystyle {S}_{1,2}^{1}=n^{2};\quad}$ ${\displaystyle {S}_{1,2}^{0}=n.}$

1로 시작하는 연속 정수의 합계

$m{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ $({displaystyle$ m$=3$)을$$ 선택하고 Pascal의 삼각형에 해당하는${\displaystyle {}^{}}$A -$$({$displaystyle$ A$^{-1})$ 및$$ T(1,1)를 $계산$했습니다.

${\displaystyle\begin{pmatrix}S_{1,1}^{0}(n)\\S_{1,1}^{1}(n)\\S_{1,1}^{2}(n)\\x{px}:{p;{p;{p;{p;{p;{0}:{p;{0}:{p;{p;{p;{p;{p;1}:n^{2}:{2}}:n^{2}:n^{2}:n^{2}:{2}:n^{2}:n^{2}:n+{\frac {1}{3}\{\frac {1}{4}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}n^{4}\end{pmatrix}}}$

0으로 시작하는 연속 정수의 합계

$m{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ $({displaystyle$ m$=3$)을$$ 선택하고 A${\displaystyle {}^{}}$-$$({$displaystyle$ A$^{-1})$ 및$$ T(0,1) 단위 행렬을 $계산$했습니다.

$디스플레이 스타일S_{0,1}^{0}(n)\\S_{0,1}^{1}(n)\\S_{0,1}^{2}(n)\\{0}:{p;{p;{p;{p;{0}:{p;{0}:{0}:{p;{p;{p;{p;{p;{1}:n^{2}:{2}}:n^{2}:n^{2}:n^{2}:{2}:n^{2}:n^{2}:n+{\frac {1}{3}\{\frac {1}{4}}n^{2}-{\frac {1}{2}n^{3}+{\frac {1}{4}n^{4}\end{pmatrix}}}$

진행 -1,3,7,11,15...

$다시{\displaystyle }$ m ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ m$=3$ $계산$된 T${\displaystyle (}$ - ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$4$$) {$displaystyle$ T$(-1,4$는 이전 단락의 결과와 관련 속성을 활용했습니다.

$0pm;{n1};{n1};{n1};{n1};{n1};{n1};{n1}:{n2};{n1};{n2};{n1}:{1}:n^{2}:n^{2}:n^{3}+{3}+{3}+{3}:{3}:n^{3}:n^{2}{4}}n^{4}\end{pmatrix}=pmatrix}n\-3n+2n^{2}}\{\frac {23}{3}}n-12n^{2}+{\frac {16}{3}n^{3}\15n+46n^{2}-48n^{3}+64n^{4}\end{pmatrix}}}$

파울하버 공식의 일반화

$행렬{\displaystyle }$G ( ${\displaystyle h}$,${\displaystyle d}$ )$${$displaystyle$ G$(h$, $d)}$는 다음과^[17] 같은 방법으로 베르누이 다항식의 함수로 표현될 수 있다.

${\displaystyle [G(h,d)]_{r,c}={\text{if}}c>r,\{\frac {d^{r-1}}{r-c}{\binom {r-c}({\frac {h}{d}}}},\text{c}}}}},\frac {c},\f},\frac {c},\c},\c},\c},\c},\c},\c},\c},\c},\c},\c},\$

m ${\displaystyle =}$ $({displaystyle$ m$=5})$가 G, ) (1 (1 ) (d ) 0 d2( 1)B () 3 ) 2 )5:20:d) 및 6(예:d) {n1}:{n1}:{n1}:{n1}:{n1}:{n2}}:{n1}:{n1}:{n{2:{2}:{2}}:B{\c}:{d}:{d}:{3}:{3}:{3}:{3}:{3}:{3}:{3}:{3}:{0}p; {d^{4}:{2}:{2}:{2}:B_{2}:{2}:{2}:{2}:{f.{d}:{d^{3}:{3}:{4}:{3}:{4}:{3}:{p}:{n3}:{n3}:{n3}:{{1}:B_{1}(를) &{d:{d:{d:{d}:{d}:{n1}:{d^{5}:{5}:{Num}:{Num}:{n}:{Num}:{n}:{n}:{n}:{n}:{n2}}:&{d^{6}:{6}:{6:{6}:{6:{6}:{6:{6}$\binom {6}{6}B_{0}({\frac {h}{d}})\\end {pmatrix}}$

일반화된 Faulhaber 공식에서 파생된 것:

${\displaystyle S_{h,d}^{r-1}(n)=sum_{k=1}^{r}{\binom {r}{r-k}({\frac {h}{d}})n^{k}$

또한 잘 알려진 특수 사례도 있습니다.

${\displaystyle S_{0,1}^{r-1}(n)=sum _{k=1}^{r}{\binom {r}{k}B_{r-k}(0)n^{k}}$

${\displaystyle S_{1,1}^{r-1}(n)=sum _{k=1}^{r}{\binom {r}{k}B_{r-k}(1)n^{k}$

여기서 0에서 계산된 베르누이 다항식은 베르누이 수이고, 1에서 계산된 다항식은 ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 1$(\$ ^[18]부호가$$ 변경된 $변형$입니다.

${\displaystyle B_{}}$m ( ${\displaystyle \frac{h}{}}$ d${\displaystyle }$+${\displaystyle n}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$m ( ${\displaystyle m\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$ ) ${\displaystyle B_{}}$m -${\displaystyle {}_{}}$k ( ${\displaystyle \frac{h}{}}$d )${\displaystyle n^{}{}^{}}$k \ $display$ \$display$ B $_${ $m$} ( { \ $frac${ $h$} { $d$} + n ) = \ $sum$_ { $k = 0 }^{$m } { \ $binom$ { $m }$ { m - $k$ { d }

$({displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(h+dk)^{m-1}=bigfrac {d^{m-1}}{m}}{\bigg}{\frac {h}{d}+n}-B_{m}({\frac {h}{d}}}}{g})$

다른 것과는 달리,^[14] 문학에 매우 널리 퍼져있다.그 때문에, 다음의 2개의 특수한 케이스도 있습니다.

$\displaystyle S_{0,1}^{r-1}=\sum _{k=0}^{r-1}=bigg {1}{r}{\bigg(}B_{r}\left(n\right)-B_{r}\left(0\right)=frac_{n}{r}{r}$

${{displaystyle S_{1,1}^{r-1}=\sum _{k=0}^{r-1}=\sum _{k=1}^{n}k^{r-1}=sum frac {1}{\bigg (}B_{r}\left (1+n\R)$

레퍼런스

「 」를 참조해 주세요.

• 산술 수열
• 파울하버 공식
• 파스칼 삼각형
• 베르누이 다항식