역행도

수학에서, 그리고 특히 범주 이론에서, 공통 다이어그램은 동일한 시작과 끝점을 가진 다이어그램의 모든 방향 경로가 동일한 결과를 이끌어내는 다이어그램이다.^[1]대수학에서 방정식이 작용하는 범주 이론에서 역학 도표가 역할을 한다고 한다(2002년, 섹션 1.7 참조).null

설명

대응 다이어그램은 종종 세 부분으로 구성된다.

• 객체(정점이라고도 함)
• 형태론(화살표 또는 가장자리라고도 함)
• 경로 또는 복합 재료

화살표 기호

대수 텍스트에서 형태론의 유형은 다른 화살표 사용으로 나타낼 수 있다.

• 단형성(주입성 동형성)은 $\hookrightarrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$로 라벨을 붙일 수 있다$.$^[2]
• 경구동형(굴절동형)은 $\twoheadrightarrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle \twohead$ rightarrow $}$로 라벨을 붙일 수 있다$.$
• 이형성(비주적 동형성$)$은 → ~ {\$displaystyle {\sim$}{\$hrightarrow }}}$로 라벨을 표시할 수 있다$.$
• 점선 화살표는 일반적으로 표시된 형태론이 존재한다는 주장을 나타내며(그림의 나머지 부분이 포함될 때마다) 화살표는 선택적으로${\displaystyle \mathrm{}}$optionally ${\displaystyle \exists }$로 라벨을 표시할 수 있다$.$
  • 형태론이 추가로 고유할 경우 점선 화살표에 !${\displaystyle !}$ 또는$$${\displaystyle \mathrm{}}$or${\displaystyle !}$ ${\displaystyle \exists!}$라는 레이블이 붙을 수 있다$.$

동시성 확인

균등성은 유한한 변수의 폴리곤(단 1개 또는 2개 포함)에 대해 타당하며, 모든 폴리곤 하위 다이어그램이 역순이면 도표가 역순이다.null

다이어그램이 명확하지 않을 수 있다는 점에 유의하십시오. 즉, 다이어그램의 다른 경로 구성이 동일한 결과를 제공하지 않을 수 있다.null

구

"이 정류 도표" 또는 "점화 도표"^[2]와 같은 구절을 사용할 수 있다.null

예

첫 번째 이형성 정리를 표현한 왼쪽 도표에서 삼각형의 $공칭도는{\displaystyle }$f = ${\displaystyle f\stackrel{}{}}$ ~${\displaystyle \pi }$ π { { { { { { { ${\displaystyle$ f$={\tilde{f$}\$circ \$pi $\}\}.$ 오른쪽 도표에서 사각형의 공칭은 ${\displaystyle h}$= ${\displaystyle k}$= $=k\circ$\cirg$}을 의미$한다$.$

아래 다이어그램이 통근하려면 다음 세 가지 동일성이 충족되어야 한다.

1. $(\displaystyle r\circle h\circle g=H\circle G\circle l})$
2. $디스플레이 스타일 m\circle g=G\circle l}$
3. $(\displaystyle r\circle h=H\circle m}$

여기서는 마지막 두 가지로부터 첫 번째 평등이 따르기 때문에, 도표가 통근하기 위해서는 (2)와 (3)이 참임을 보여주는 것으로 충분하다.그러나 일반적으로 평등 (3)은 다른 두 가지로부터 따르지 않기 때문에, 도표가 통근한다는 것을 보여 준다면 일반적으로 평등도 (1)과 (2)만 갖는 것은 충분하지 않다.null

다이어그램 추적

도표추적(diotic search라고도 함)은 특히 호몰로지 대수학에서 사용되는 수학적 증거의 방법인데, 여기서 교감 도표의 원소를 추적하여 어떤 형태론의 속성을 확립한다.다이어그램 추적에 의한 증명서는 일반적으로 주입 지도나 허탈 지도 또는 정확한 시퀀스와 같은 다이어그램의 특성을 공식적으로 사용하는 것을 포함한다.^[3]삼단논법은 구성되는데, 도표의 그래픽 표시는 단지 시각적 보조에 불과하다.원하는 요소나 결과가 생성되거나 검증될 때까지 다이어그램 주위의 요소를 "차징"하게 된다.null

다이어그램 추적에 의한 증거의 예로는 일반적으로 5개의 보조정리, 뱀 보조정리, 지그재그 보조정리, 9개의 보조정리 등이 있다.null

상위 카테고리 이론에서

상위 카테고리 이론에서는 대상과 화살표뿐만 아니라 화살표 사이의 화살표, 화살표 사이의 화살표 등을 ad infinitum에서 고려한다.예를 들어, 작은 범주 Cat의 범주는 당연히 2개 범주로, 화살로는 펑커를, 그리고 펑커 사이의 화살로는 자연적 변환을 포함한다.이 설정에서 정류 다이어그램에는 이러한 높은 화살표도 포함될 수 있으며, 이러한 화살표는 종종 다음과 같은 스타일로 설명된다:${\displaystyle }${ ${\displaystyle \Rightarrow$ 예를 들어, 다음 (일부 사소한) 다이어그램은 두 범주와 , 그리고 두 개의 펑커(functors)를 함께 나타낸다.F,G: → 그리고 자연 변형α:F⇒G:

2-카테고리(수직 구성과 수평 구성이라고 함)에는 두 가지 종류의 구성이 있으며, 도표를 붙여넣기(예: 2-카테고리#Definition 참조)를 통해서도 묘사할 수 있다.null

도표(functor)를 functor로 사용

범주 C에 있는 정류 도표는 지수 범주 J에서 C까지의 functor로 해석될 수 있다. 하나는 functor를 도표라고 부른다.null

좀 더 공식적으로, 정류 도표는 포셋 범주에 의해 색인화된 도표를 시각화한 것이다.그러한 다이어그램에는 일반적으로 다음이 포함된다.

• 인덱스 범주의 모든 개체에 대한 노드,
• 형태론 집합 생성에 대한 화살표(구성으로 표현될 수 있는 ID 지도와 형태론 포함)
• 포셋 범주에 있는 두 물체 사이의 맵의 고유성에 해당하는 도표(두 물체 사이의 맵의 다른 구성의 동일성)의 공통성.

반대로, 역행 도표에서는 포셋 범주를 정의하는데, 여기서 다음과 같다.

• 개체는 노드,
• 노드 사이에 (방향) 경로가 있는 경우에만 두 물체 사이에 형태론이 있다.
• 이 형태론이 고유한 관계(지도의 어떠한 구성도 그 영역과 대상에 의해 정의된다: 이것이 공통성 공리이다).

단, 모든 도표가 통용되는 것은 아니다(도표의 개념은 엄격히 통용 도표를 일반화한다).As a simple example, the diagram of a single object with an endomorphism (${\displaystyle f\colon X\to X}$), or with two parallel arrows (${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$, that is, ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$, sometimes called the free quiver), as used in the definition of이퀄라이저는 통근할 필요가 없다.또한, 물체나 형태론의 수가 많을 때(또는 심지어 무한할 때) 도표는 지저분하거나 그리기가 불가능할 수 있다.null

참고 항목

• 수학적 도표

참조

참고 문헌 목록

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990), Abstract and Concrete Categories (PDF), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-60922-6 이제 무료 온라인 판(4.2)으로 이용 가능MB PDF).
• Barr, Michael; Wells, Charles (2002), Toposes, Triples and Theories (PDF), ISBN 0-387-96115-1 Springer-Verlag, 1983년 무료 온라인 버전 Grundlehren deramatischen Wissenschaften (278)

외부 링크

• 도표 추적하기
• WildCats는 Mathematica의 카테고리 이론 패키지다.객체, 형태론, 범주, 펑터, 자연 변환의 조작 및 시각화.