가우스-루카스 정리

복소해석학에서 가우스-루카스 정리는 다항식 $P$ 의 근과 도함수 $P'$ 의 근 사이의 기하학적 관계를 제공합니다. 실수 다항식 또는 복소 다항식의 근들의 집합은 복소 평면의 점들의 집합입니다. $이$ 정리는 P $'$ 의 근들이 $모두$ P의 근들의 볼록 껍질 내에 있다는 것을 말하는데, 이것은 $P$ 의 근들을 포함하는 가장 작은 볼록 다각형입니다. $P$ 가 하나의 근을 가지고 있을 때 이 볼록한 선체는 하나의 점이고, 근이 선 위에 놓여 있을 때 볼록한 선체는 이 선의 한 부분입니다. 칼 프리드리히 가우스와 펠릭스 루카스의 이름을 딴 가우스-루카스 정리는 롤의 정리와 정신적으로 유사합니다.

다항식의 도함수들의 근의 진화를 보여주는 가우스-루카스 정리의 예시.

정식명세서

$P$ 가 복소 계수를 갖는 (불상수) 다항식일 경우, $P$ '의 모든 $0$ 은 P의 0들의 집합의 볼록한 선체에 속합니다.^[1]

특수한 경우

$P(x)=ax^{2}+bx+c$ = $P(x)=ax^{2}+bx+c$ x $P(x)=ax^{2}+bx+c$ + b $x$ + c {\displaystyle P(x) = ax^{2}+bx+c}가 2차 다항식이라면, P'(x) = 2 a x + b {\displaystyle P'(x) = 2ax+b}의 0은 P의 근의 평균임을 쉽게 알 수 있습니다. 이 경우 볼록 껍질은 두 뿌리를 끝점으로 하는 선분이며 뿌리의 평균이 세그먼트의 중간 지점임이 분명합니다.

세 개의 서로 다른 0을 갖는 3차 복소수 다항식 $P$ (입방함수)의 경우, 마든의 정리는 $P'$ 의 0이 $형성$ 된 삼각형의 중간점에 접하는 고유한 타원인 타원에서 슈타이너의 초점이라고 말합니다.

오목 사각형을 형성하는 4차 복소수 $다항식$ P(쿼트 함수)의 경우, $P$ 의 0 중 하나는 다른 3개의 볼록한 선체 내에 있습니다. $P'$ 의 3개의 0은 모두 $P$ 의 내부 0과 $P$ 의 다른 2개의 0에 의해 형성된 3개의 삼각형 중 2개에 있습니다.^[2]

또한 실수 계수의 $n차$ 다항식이 $n개$ 의 별개의 실수 0 x $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n},$ < $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n},$ $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n},$ < ⋯ < $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n},$ x n, {\ $displaystyle x_{$ 1}< $x_$ {2 $}<\cdots <$ x_{n}}인 경우, 롤의 정리를 사용하여 도함수 다항식의 0은 $[x_{1},x_{n}]$ 1 $,$ x n] ${\displaystyle$ [x_{1}] $[x_{1},x_{n}]$ 에 있음을 알 수 있습니다. $x_{n}}$ 은 $[x_{1},x_{n}]$ (는) 근 집합의 볼록한 선체입니다.

다항식의 근의 볼록 껍질

p_{n}x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}

특히 그 점을 포함합니다.

-{\frac {p_{n-1}}{n\cdot p_{n}}}.

증명

대수학의 기본 정리에 의해, P $P$ 는 $P$ 선형 인자들의 곱으로 다음과 같습니다.

P(z)=\alpha \ prod _{i=1}^{n}(z-a_{i})

복소수 $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ 2 $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ${\$ 는 $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ 다항식 $P$ 의 – 반드시 구별되는 – 0이고, 복소수 $α$ 는 $P$ 의 선행 계수이고 $n$ 은 $P$ 의 차수입니다.

$P^{'}$ ${\$ 의 $z$ $z$ 의 루트 z $z$ 에 대하여 $P'$ 만약 그것이 $P$ $P$ 의 루트이기도 하다면 $P$ 그 정리는 사소하게 참입니다. 그렇지 않으면 로그 도함수에 대해

0={\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{ z-a_{i} ^{2}}}.

이런 이유로

i

=

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {z}}{|z-a_{i}|^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {a_{i}}}{|z-a_{i}|^{2}}}

n

z

¯ z - a

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {z}}{|z-a_{i}|^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {a_{i}}}{|z-a_{i}|^{2}}}

i

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {z}}{|z-a_{i}|^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {a_{i}}}{|z-a_{i}|^{2}}}

2 =

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {z}}{|z-a_{i}|^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {a_{i}}}{|z-a_{i}|^{2}}}

∑ i = 1

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {z}}{|z-a_{i}|^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {a_{i}}}{|z-a_{i}|^{2}}}

n i ¯ z - a 2 {\displaystyle \su

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {z}}{|z-a_{i}|^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {a_{i}}}{|z-a_{i}|^{2}}}

_{i=1}^{n}{\overline {z}{z-a_{i}

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {z}}{|z-a_{i}|^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {a_{i}}}{|z-a_{i}|^{2}}}

{2}}=\su

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {z}}{|z-a_{i}|^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {a_{i}}}{|z-a_{i}|^{2}}}

_{i=1}^{n}{\frac {\overline {a_{i}}{z-a_{i}^{2}}}.

그들의 결합체를 취하고 나누면, $P$ 는P {\ $displaystyle$ P}의 근의 $z$ 합으로 z {\ $displaystyle$ z $}$ 를 얻습니다 $P$

z=\sum _{i=1}^{n}{\frac { z-a_{i} ^{-2}}{\sum _{j=1}^{n} z-a_{j} ^{-2}}}a_{i}

참고 항목

메모들

^ 마르덴 1966, 정리 (6,1).
^ Rüdinger, A. (2014). "Strengthening the Gauss–Lucas theorem for polynomials with Zeros in the interior of the convex hull". Preprint. arXiv:1405.0689. Bibcode:2014arXiv1405.0689R.

참고문헌

Lucas, Félix (1874). "Propriétés géométriques des fractionnes rationnelles". C. R. Acad. Sci. Paris. 77: 431–433.
Lucas, Félix (1879). "Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations". C. R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX: 224–226..
Marden, Morris (1966). Geometry of Polynomials. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 3 (2nd ed.). American Mathematical Society, Providence, RI.
크레이그 스몰린스키: MVT: 가장 가치있는 정리. Springer, 2017, ISBN 978-3-319-52956-1, pp. 411–414

외부 링크

"Gauss-Lucas theorem". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
볼프람 시연 프로젝트 브루스 토렌스의 루카스-가우스 정리.
가우스-루카스 정리는 상호작용적인 그림이다.

[FOOTNOTEMarden1966Theorem_(6,1)-1] 마르덴 1966, 정리 (6,1).

[2] Rüdinger, A. (2014). "Strengthening the Gauss–Lucas theorem for polynomials with Zeros in the interior of the convex hull". Preprint. arXiv:1405.0689. Bibcode:2014arXiv1405.0689R.

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