센도프의 추측

수학에서, 때때로 일리에프의 추측이라고도 불리는 센도프의 추측은 복합 변수의 다항 함수의 뿌리 위치와 임계점 사이의 관계에 관한 것이다.그것은 Blagovest Sendov의 이름을 따서 지어졌다.

추측에 의하면 다항식의 경우

${\displaystyle f(z)=(z-r_{1})\cdots(z-r_{n}),\qquad(n\geq 2)}$

모든 루트 r₁, ..., r을_n 닫힌 단위 디스크 z ≤ 1 안에 두고, n 루트는 적어도 하나의 임계 지점에서 1 이하의 거리에 있다.

가우스-루카스 정리에서는 모든 임계점이 뿌리의 볼록한 선체 안에 있다고 말한다.따라서 중요한 지점은 루트가 있기 때문에 유닛 디스크 내에 있어야 한다.

그 추측은 브라운샹에 의해 n < 9에 대해 그리고 타오에 의해 충분히 큰 n에 대해 증명되었다.^[1][2]

역사

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이 추측은 1959년 Blagovest Sendov에 의해 처음 제시되었다; 그는 그의 동료 니콜라 오브레쉬코프에게 그 추측을 설명했다.1967년 월터 헤이먼에 의해 루보미르 일리예프에 대한 추측이 잘못^[3] 인용되었다.^[4]1969년 메이어와 샤르마는 n < 6으로 다항식의 추측을 증명했다.1991년에 브라운은 n < 7.에 대한 추측을 증명했다. 보르체는 1996년에 그 증거를 n < 8까지 연장했다.브라운과 시앙은^[5] 1999년에 n < 9에 대한 추측을 증명했다.테렌스 타오는 2020년에 충분히 큰 n에 대한 추측을 증명했다.

참조

• G. Schmeisser, "센도프와 스메일의 추측," 근사설: Blagovest Sendov에게 바쳐진 책 (B)보조아노프, 에드.), 소피아: DARBA, 2002 페이지 353–369.

외부 링크

• 울프램 데모 프로젝트에서 폴 애벗의 기고를 받은 브루스 토렌스의 센도프의 추측