필터 설계

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필터 설계는 일련의 요건을 충족하는 신호 처리 필터를 설계하는 프로세스이며, 그 중 일부는 모순될 수 있습니다.그 목적은, 각각의 요건을 만족시키는 필터를 유용하게 하기 위해서 충분한 정도로 실현하는 것입니다.

필터 설계 프로세스는 각 요건이 최소화되어야 하는 오류 함수에 기여하는 최적화 문제로 설명할 수 있습니다.설계 프로세스의 일부분은 자동화할 수 있지만, 일반적으로 좋은 결과를 얻으려면 경험이 풍부한 전기 엔지니어가 필요합니다.

디지털 필터의 디자인은 믿을 수 없을 정도로 복잡한 ^[1]주제이다.필터는 쉽게 이해하고 계산할 수 있지만, 필터의 설계와 구현의 실제적인 과제는 매우 중요하며 고급 연구의 대상입니다.

일반적인 설계 요건

설계 프로세스에서 고려되는 일반적인 요건은 다음과 같습니다.

• 필터에 특정 주파수 응답이 있어야 합니다.
• 필터에는 특정 위상 편이 또는 그룹 지연이 있어야 합니다.
• 필터에 특정 임펄스 응답이 있어야 합니다.
• 필터는 원인이어야 합니다.
• 필터는 안정적이어야 합니다.
• 필터는 현지화되어야 합니다(펄스 또는 스텝 입력으로 인해 제한된 시간 출력이 발생합니다).
• 필터의 계산 복잡도는 낮아야 합니다.
• 필터는 특정 하드웨어 또는 소프트웨어에 구현해야 합니다.

주파수 함수

중요한 파라미터는 필요한 주파수 응답입니다.특히, 반응 곡선의 경사와 복잡성은 필터 순서와 실현 가능성을 결정하는 요소이다.

1차 재귀 필터에는 주파수에 의존하는 컴포넌트가1개만 있어요즉, 주파수 응답의 기울기가 옥타브당 6dB로 제한됩니다.많은 목적으로는, 이것만으로는 불충분합니다.더 가파른 경사를 얻으려면 고차 필터가 필요합니다.

원하는 주파수 함수와 관련하여 각 주파수에 대해 결과 주파수 함수가 원하는 것에 근접하는 것이 얼마나 중요한지를 설명하는 가중치 함수도 함께 존재할 수 있다.무게가 클수록 가까운 근사치가 중요합니다.

주파수 함수의 일반적인 예는 다음과 같습니다.

• 로우패스 필터는 불필요한 고주파 신호를 차단하는 데 사용됩니다.
• 하이패스 필터는 고주파를 상당히 잘 통과하므로 불필요한 저주파 컴포넌트를 차단하는 필터로서 도움이 됩니다.
• 대역 통과 필터는 제한된 주파수 범위를 통과합니다.
• 대역정지 필터는 특정 범위 이상 및 이하의 주파수를 통과시킵니다.매우 좁은 밴드 스톱 필터는 노치 필터라고 불립니다.
• 미분기는 주파수에 비례하는 진폭 응답을 가진다.
• 로우 쉘프 필터는 모든 주파수를 통과시키지만 지정된 양만큼 쉘프 주파수보다 낮은 주파수를 증가 또는 감소시킵니다.
• 높은 쉘프 필터는 모든 주파수를 통과시키지만 지정된 양만큼 쉘프 주파수보다 높은 주파수를 증가 또는 감소시킵니다.
• 피크 EQ 필터는 파라미터 이퀄라이저에서 일반적으로 사용되는 주파수 응답의 피크 또는 딥을 만듭니다.

단계 및 그룹 지연

• 올패스 필터는 변경되지 않은 모든 주파수를 통과하지만 신호의 위상은 변경됩니다.이 유형의 필터를 사용하여 재귀 필터의 그룹 지연을 균등화할 수 있습니다.이 필터는 페이저 효과에도 사용됩니다.
• Hilbert 변압기는 진폭을 변경하지 않은 정현파를 통과하지만 각 정현파 위상을 ±90° 이동시키는 특정 올패스 필터입니다.
• 부분 지연 필터는 모든 주파수에 대해 지정된 일정한 그룹 또는 위상 지연을 갖는 올패스입니다.

임펄스 응답

필터의 주파수 함수와 임펄스 응답 사이에는 직접적인 대응 관계가 있습니다. 즉, 전자는 후자의 푸리에 변환입니다.즉, 주파수 함수에 대한 요건은 임펄스 응답에 대한 요건이며, 그 반대도 마찬가지입니다.

그러나, 특정 애플리케이션에서는 필터의 임펄스 응답이 명시적일 수 있으며, 설계 프로세스는 다른 모든 요구 조건이 주어진 요청 임펄스 응답에 가능한 한 가까운 근사치를 생성하는 것을 목표로 한다.

경우에 따라서는 서로 독립적으로 선택된 필터의 주파수 함수와 임펄스 응답을 고려하는 것이 적절할 수도 있습니다.예를 들어 필터의 특정 주파수 함수와 결과 필터가 신호 영역에서 가능한 한 작은 유효 폭을 갖는 것을 모두 원할 수 있습니다.후자의 조건은 필터의 원하는 임펄스 응답으로서 매우 좁은 함수를 고려함으로써 실현될 수 있지만, 이 함수는 원하는 주파수 함수와 관련이 없습니다.설계 프로세스의 목표는 이러한 모순되는 설계 목표를 가능한 한 충족시키려 하는 필터를 실현하는 것입니다.

인과 관계

구현이 가능하려면 시간 의존 필터(실시간 작동)가 원인이어야 합니다. 필터 응답은 현재 및 과거의 입력에만 의존합니다.표준적인 접근방식은 이 요건을 마지막 단계까지 미루는 것입니다.결과 필터가 원인이 아닌 경우 적절한 시간 이동(또는 지연)을 통해 원인이 될 수 있습니다.필터가 대규모 시스템의 일부인 경우(통상 그렇듯이), 이러한 유형의 지연은 시스템 전체의 동작에 영향을 미치기 때문에 신중하게 도입해야 합니다.

실시간으로 작동하지 않는 필터(예: 영상 처리용)는 원인이 아닐 수 있습니다.예를 들어, 원인 필터의 그룹 지연이 에르미트 비원인 필터에 의해 취소되는 제로 지연 재귀 필터의 설계를 허용합니다.

안정성.

안정적인 필터는 모든 제한된 입력 신호가 제한된 필터 응답을 생성하도록 보장합니다.이 요건을 충족하지 않는 필터는 경우에 따라서는 무용지물 또는 유해한 것으로 판명될 수 있습니다.예를 들어 FIR 필터 등의 피드포워드 회선만을 사용하는 등, 특정의 설계 어프로치에 의해서 안정성을 확보할 수 있습니다.한편, 피드백 회선에 근거하는 필터는, 다른 이점이 있기 때문에, 이 클래스의 필터에 불안정한 필터가 포함되어 있는 경우에서도, 바람직할 가능성이 있습니다.이 경우 불안정성을 방지하기 위해 필터를 신중하게 설계해야 합니다.

지역

특정 용도에서는 국소 현상으로 설명할 수 있는 구성 요소를 포함하는 신호를 처리해야 합니다. 예를 들어 펄스나 스텝은 일정 시간 지속됩니다.신호에 필터를 적용하면 직관적으로 국소현상의 지속시간이 필터 폭만큼 연장된다.이는 때때로 필터의 임펄스 응답 기능의 폭을 가능한 짧게 유지하는 것이 중요하다는 것을 의미합니다.

푸리에 변환의 불확도 관계에 따라 필터 임펄스 응답 함수의 폭과 주파수 함수의 폭의 곱은 일정 상수를 넘어야 한다.즉, 필터의 인접성에 대한 모든 요구사항은 주파수 함수의 폭에 대한 경계를 의미하기도 합니다.따라서 필터의 임펄스 응답 함수와 주파수 함수의 인접성에 대한 요구사항을 동시에 충족할 수 없을 수 있다.이것은 요건에 모순되는 전형적인 예입니다.

계산의 복잡성

모든 설계에서 일반적으로 요구되는 것은 필터 응답을 계산하는 데 필요한 연산(더하기 및 곱셈)의 수가 가능한 한 적다는 것입니다.컴퓨팅 자원의 제한, 전력 자원의 제한, 시간의 제한 등, 특정의 애플리케이션에서는, 이러한 요구가 엄격한 요건입니다.마지막 제한은 실시간애플리케이션에서는 일반적인 것입니다.

필터가 다른 계산 복잡성을 가질 수 있는 방법은 여러 가지가 있습니다.예를 들어 필터의 순서는 작업 수에 거의 비례합니다.즉, 하위 필터를 선택하면 계산 시간을 줄일 수 있습니다.

이산 필터의 경우 계산 복잡도는 필터 계수의 수에 다소 비례합니다.필터에 계수가 많은 경우, 예를 들어 단층 촬영 데이터 등의 다차원 신호의 경우, 0에 충분히 가까운 것을 제거함으로써 계수의 수를 줄이는 것이 적절할 수 있다.멀티레이트 필터에서는 입력 신호가 다운샘플링(예를 들어 임계 주파수에 대한)되고 필터링 후 업샘플링되는 대역폭 한계를 이용하여 계수의 수.

계산의 복잡성과 관련된 또 다른 문제는 분리 가능성입니다. 즉, 필터를 2개 이상의 단순한 필터의 합성곱으로 작성할 수 있는지 여부와 방법입니다.특히 이 문제는 이미지 처리에 사용되는 다차원 필터(예: 2D 필터)에 중요합니다.이 때, 수평 방향의 1D 필터와 수직 방향의 1D 필터의 회전수로서 필터를 분리할 수 있으면, 계산의 복잡도를 큰폭으로 저감 할 수 있다.필터 설계 프로세스의 결과는 예를 들어 원하는 필터를 분리 가능한 필터 또는 분리 가능한 필터의 합으로 근사하는 것이 될 수 있다.

기타 고려사항

또, 필터의 실장 방법도 결정할 필요가 있습니다.

• 아날로그 필터
• 아날로그 샘플링필터
• 디지털 필터
• 기계 필터

아날로그 필터

선형 아날로그 필터의 설계는 대부분 선형 필터 섹션에서 다룹니다.

디지털 필터

디지털 필터는 유닛 임펄스에 대한 응답 방법에 따라 다음 두 가지 기본 형식 중 하나로 분류됩니다.

• 유한 임펄스 응답(FIR) 필터는 각 출력 샘플을 마지막 N개의 입력 샘플의 가중치 합계로 나타냅니다.여기서 N은 필터 순서입니다.FIR 필터는 보통 비재귀적입니다.즉, 피드백을 사용하지 않기 때문에 본질적으로 안정적입니다.이동 평균 필터 또는 CIC 필터는 일반적으로 (피드백을 사용하는) 재귀적인 FIR 필터의 예입니다.FIR 계수가 대칭인 경우(대부분의 경우), 이러한 필터는 선형 위상이기 때문에 많은 애플리케이션에서 중요한 모든 주파수의 신호를 균등하게 지연시킵니다.FIR 필터의 오버플로를 회피하는 것도 간단합니다.주요 단점은 스마트하게 설계된 IIR 모델보다 훨씬 더 많은 처리 및 메모리 리소스가 필요할 수 있다는 것입니다.FIR 필터는 일반적으로 IIR 필터보다 설계하기 쉽습니다. 파크스-매클렐런 필터 설계 알고리즘(리메즈 알고리즘에 근거)은 매우 우수한 필터를 반자동으로 설계하는 데 적합한 방법 중 하나입니다(방법론 참조).
• 무한 임펄스 응답(IIR) 필터는 아날로그 필터에 대응하는 디지털 필터입니다.이러한 필터에는 내부 상태가 포함되어 출력과 다음 내부 상태는 이전 입력과 출력의 선형 조합에 의해 결정됩니다(즉, FIR 필터는 보통 피드백을 사용하지 않습니다).이론적으로, 그러한 필터의 임펄스 반응은 완전히 사라지지 않는다.따라서 IIR라는 이름은 실제로는 컴퓨터 산술의 유한한 해상도를 고려하면 사실이 아니다.IIR 필터는, 통상, 같은 퍼포먼스의 FIR 필터보다 적은 컴퓨팅 자원을 필요로 합니다.그러나 피드백으로 인해 상위 IIR 필터는 불안정성, 산술 오버플로 및 한계 사이클에 문제가 있을 수 있으며 이러한 함정을 방지하기 위해 신중한 설계가 필요합니다.또한 위상 시프트는 본질적으로 주파수의 비선형 함수이기 때문에 이러한 필터를 통한 시간 지연은 주파수에 의존하며, 이는 많은 상황에서 문제가 될 수 있습니다.2차 IIR 필터는 종종 '비쿼드'라고 불리며, 고차 필터의 일반적인 구현은 비쿼드를 계단식으로 연결하는 것입니다.비쿼드 계수를 계산하는 데 유용한 참고 자료는 RBJ Audio EQ Cookbook입니다.

샘플링 레이트

외부 제약조건에 의해 표본률이 고정되지 않는 한 적절한 표본률을 선택하는 것이 중요한 설계 결정입니다.높은 속도는 계산 리소스 측면에서 더 많은 것을 요구하지만 안티에이리어싱 필터 측면에서 더 적은 양을 요구합니다.시스템의 다른 신호와의 간섭이나 비팅도 문제가 될 수 있습니다.

안티에일리어싱

디지털 필터 설계에서는 에일리어스 효과를 분석하고 회피하는 것이 중요합니다.대부분의 경우 입력 및 출력에 아날로그 안티에일리어싱 필터를 추가하여 나이키스트 주파수를 초과하는 주파수 성분이 발생하지 않도록 합니다.이러한 필터의 복잡도(즉, 가파른 정도)는 필요한 신호 대 잡음 비, 샘플링 속도와 신호의 최고 주파수 사이의 비율에 따라 달라집니다.

이론적 근거

설계 문제의 일부는 특정 요건이 주파수 영역에서 설명되는 반면 다른 요건은 시간 영역에서 표현되며 이러한 요건이 상충될 수 있다는 사실과 관련이 있습니다.예를 들어 임의 임펄스 응답과 임의 주파수 함수를 모두 가진 필터를 얻을 수 없다.시간과 주파수 영역 간의 관계를 나타내는 다른 효과는 다음과 같습니다.

• 시간과 주파수 영역 사이의 불확실성 원칙
• 분산 확장 정리
• 한 도메인의 점근적 행동 대 다른 도메인의 불연속성

불확도 원리

Gabor 한계에서 기술한 바와 같이 불확도 원리, 주파수 함수의 폭과 임펄스 응답 폭의 곱은 특정 상수보다 작을 수 없다.이는 특정 주파수 폭에 해당하는 특정 주파수 함수가 요구될 경우 신호 영역에서 필터의 최소 폭이 설정됨을 의미합니다.반대로 응답의 최대폭을 지정하면 주파수에서 가능한 최소폭을 결정합니다.이것은 필터 설계 프로세스가 유용한 타협점을 찾으려고 하는 모순된 요구 사항의 전형적인 예입니다.

분산 확장 정리

입력 신호의 분산은 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2$(\$ _${s}^2})$이고 필터의 분산은$$ 2(\$displaystyle$ \$sigma _{f}^2$})라고$$ 합니다.필터 응답의 ${\displaystyle {차이}_{}^{}}$인 r $(\$ _${r}^2$는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ $({displaystyle \displaystyle _{r}^$2})$$ =$s2 ({displaystyle$ \displaystyle $_{s}^$2})$$ + $f2 ({displaystyle$ \$displays}^{f}^$2})

즉, " $>$ "$\displaystyle$ \$sigma$ _${r}>\sigma$ _${f}"$ 입니다.필터 응답에서의 펄스나 스텝등의 다양한 기능의 현지화가 신호 도메인내의 필터 폭에 의해서 제한되는 것을 의미합니다.정확한 위치 파악이 요구될 경우 신호 영역에 작은 폭의 필터가 필요하며, 불확실성 원리를 통해 주파수 영역의 폭이 임의로 작을 수 없습니다.

불연속성 대 점근 거동

f(${\displaystyle t}$)를 함수로 하고 F${\displaystyle (}$ ${\displaystyle )}$) {$displaystyle$ F$(\omega)}$를 푸리에 변환으로 $합니다{\displaystyle }$.불연속인 F의 제1도함수가 $0$0({${\displaystyle {\mathrm{displaystyle}}^{}}$ n$\geq$0$\})$이라면 f는${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}}$ n$$- 1({$displaystyle t^{-n-1$과 같은 점근적 붕괴를 갖는다는 정리가 있다.

이 정리의 결과로 필터의 주파수 함수는 가능한 한 부드러워야 하며, 이로 인해 필터의 임펄스 응답은 빠른 붕괴를 가지므로 폭이 짧아야 합니다.

방법론

FIR 필터를 설계하는 일반적인 방법 중 하나는 Remez 교환 알고리즘을 기반으로 한 Parks-Mclelan 필터 설계 알고리즘입니다.여기서 사용자는 원하는 주파수 응답과 이 응답으로부터의 오류에 대한 가중치 함수 및 필터 순서 N을 지정한다.그런 다음 알고리즘은 이상으로부터 최대 편차를 최소화하는 N개 계수 집합을 찾습니다.직관적으로 N개의 계수만 사용할 수 있는 경우 원하는 반응에 가장 가까운 필터를 찾습니다.이 방법은 특히 실행이 용이하며 적어도 하나의 텍스트에는^[2] 원하는 필터와 N을 취하여 최적의 계수를 반환하는 프로그램이 포함되어 있습니다.이렇게 설계된 필터의 단점 중 하나는 통과 대역에 작은 리플이 다수 포함되어 있다는 것입니다.이는 이러한 필터가 피크 오류를 최소화하기 때문입니다.

이산 FIR 필터를 찾는 또 다른 방법은 최대값 대신 오차 제곱의 적분을 최소화하는 Knutsson 등에 설명된 필터 최적화입니다.이 접근방식의 기본 형태에서는 $필터{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {FI}_{}}$ ${\displaystyle )}$)의 이상적인 주파수 함수({${\displaystyle I}$$}(\$displaystyle $F_{I$})($오메가)$가 필터 코효율이 높은 신호 영역에서 주파수 가중치 $함수{\displaystyle }$W$(\displaystyle$ W$(\mega)$ 및$$ $좌표{\displaystyle {}_{}}$ 세트 ${\displaystyle x_{}}$k(\$displaystyle x_k})$와 함께 지정되어야 합니다.Ients가 배치되어 있습니다.

$에러{\displaystyle }$ 함수 $「\displaystyle\varepsilon」$은 다음과 같이 정의됩니다.

$(\displaystyle \varepsilon =\W\cdot (F_{I}-{\mathcal {F}}\{f\})\^{2}})$

$여기$서${\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$) {$displaystyle$ f$(x)}$는 이산 필터이고$F{\displaystyle \mathcal{}}$ {\$displaystyle {F}}는 지정$된 좌표 집합에 정의된 이산$$ 시간 푸리에 변환입니다.여기서 사용되는 규격은 ${\displaystyle {공식적}^{}}$으로 L2$(\$ L$^{2})$ 공간에$$ 대한 $일반적$인 규격입니다.$즉,$§ {\displaystyle $\varepsilon}$은 필터의 요청된 주파수 $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {FI}_{}}${\$displaystyle F_{$ 사이의 편차를 측정합니다.$I$ 및 실현된 $필터$의 ${\displaystyle \mathrm{실제}}$ 주파수 함수 F ${\displaystyle \{}$ f $} { displaystyle$ { $F}$ \ { $f$\$$} 。다만, 편차는 에러 함수를 계산하기 전에 $가중치{\displaystyle }$ 함수$$W { $displaystyle$W } 에서도 적용됩니다$$.

에러 함수가 확립되면 f(x)$${$displaystyle$ f$(x)}$ $계수$에 의해 최적 필터가 주어지며, f${\displaystyle (}$x$)$ 계수 f(${\displaystyle x)}$는 $θ {displaystyle$ \varepsilon$\}$을 최소화하며, 이는 대응하는 최소 제곱 문제를 해결함으로써 얻을 수 있습니다.실제로 $(\$ L$^{2$$})$ $노름$은 주파수 영역의 이산 지점에 대해 적절한 합계를 사용하여 근사해야 합니다.그러나 일반적으로 유용한 근사치를 얻으려면 이러한 점이 신호 영역의 계수 수보다 훨씬 더 커야 합니다.

두 도메인 동시 최적화

앞의 방법은 신호 도메인 내의 원하는 필터 임펄스 응답과 관련된 추가 오차항을 대응하는 가중치 함수와 함께 포함하도록 확장할 수 있다.이상적인 임펄스 응답은 이상적인 주파수 함수와 독립적으로 선택할 수 있으며, 실제로는 유효 폭을 제한하고 신호 영역에서 결과 필터의 링잉 효과를 제거하는 데 사용됩니다.이는 이상적인 필터 임펄스 응답 함수(예: 임펄스)와 원점으로부터의 거리(예: 거리 제곱)에 따라 빠르게 증가하는 가중치 함수를 선택함으로써 이루어진다.최적 필터는 단순한 최소 제곱 문제를 해결함으로써 여전히 계산할 수 있으며, 그 결과 필터는 두 영역의 이상적인 함수에 완전히 최적인 "타협"이 된다.중요한 매개변수는 이상적인 기능에 비해 잘 맞는 것이 더 중요한 영역을 결정하는 두 가지 가중치 함수의 상대적 강도이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 디지털 필터
• 시제품 필터
• 유한 임펄스 응답 #필터 설계

레퍼런스

• A. Antoniou (1993). Digital Filters: Analysis, Design, and Applications (2 ed.). McGraw-Hill, New York, NY. ISBN 978-0-07-002117-4.
• A. Antoniou (2006). Digital Signal Processing: Signals, Systems, and Filters. McGraw-Hill, New York, NY. ISBN 978-0-07-145424-7.
• S.W.A. Bergen; A. Antoniou (2005). "Design of Nonrecursive Digital Filters Using the Ultraspherical Window Function". EURASIP Journal on Applied Signal Processing. 2005 (12): 1910. doi:10.1155/ASP.2005.1910.
• A.G. Deczky (October 1972). "Synthesis of Recursive Digital Filters Using the Minimum p-Error Criterion". IEEE Trans. Audio Electroacoustics. AU-20 (4): 257–263. doi:10.1109/TAU.1972.1162392.
• J.K. Kaiser (1974). "Nonrecursive Digital Filter Design Using the I₀-sinh Window Function". Proc. 1974 IEEE Int. Symp. Circuit Theory (ISCAS74). San Francisco, CA. pp. 20–23.
• H. Knutsson; M. Andersson; J. Wiklund (June 1999). "Advanced Filter Design". Proc. Scandinavian Symposium on Image Analysis, Kangerlussuaq, Greenland.
• S.K. Mitra (1998). Digital Signal Processing: A Computer-Based Approach. McGraw-Hill, New York, NY. ISBN 978-0-07-286546-2.
• A.V. Oppenheim; R.W. Schafer; J.R. Buck (1999). Discrete-Time Signal Processing. Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ. ISBN 978-0-13-754920-7.
• T.W. Parks; J.H. McClellan (March 1972). "Chebyshev Approximation for Nonrecursive Digital Filters with Linear Phase". IEEE Trans. Circuit Theory. CT-19 (2): 189–194. doi:10.1109/TCT.1972.1083419.
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외부 링크

• Circuit Sage의 필터 설계 문서 및 소프트웨어 목록
• dspGuru 디지털 필터 설계 소프트웨어 목록
• 아날로그 필터 설계의 상세화
• 뇌사자를 위한 예하 디지털 사운드 프로세싱 튜토리얼!이 문서에서는 (다른 토픽 간에) 필터 설계 이론에 대해 간단히 설명하고 몇 가지 예를 제시합니다.