심플렉트릭 벡터 공간

수학에서, 공선 벡터 공간은 공선 이선형 형태를 갖춘 필드 F(예: 실제 숫자 R) 위에 있는 벡터 공간 V이다.

동조 이선형(componlectic bilinar) 형태는 다음과 같은 지도 Ω : V × V → F이다.

바이린린 주

각 변수에서 개별적으로 선형;

교대로

Ω(v, v) = 모든 v ∈ V에 대한 0 hold

비감속

모든 v Ω(u, v) = 0은 u = 0임을 의미한다.

기초 장이 2가 아닌 특성을 갖는 경우, 교대칭은 스큐 대칭과 동일하다.특성이 2인 경우, 스큐 대칭은 에 의해 암시되지만 교체를 의미하지는 않는다.이 경우 모든 공감형 형태는 대칭형이지만 그 반대는 아니다.

고정된 기준으로 작업하면 Ω은 행렬로 나타낼 수 있다.위의 조건은 이 행렬이 스큐 대칭, 비칭 및 중공(모든 대각선 입력은 0)인 것과 동등하다.이는 공간의 동시적 변환을 나타내는 공통적 행렬과 혼동해서는 안 된다.V가 유한한 차원일 경우, 홀수 크기의 모든 스큐 대칭, 중공 행렬이 0을 결정하므로 그 치수는 반드시 균일해야 한다.필드의 특성이 2인 경우 행렬이 비어 있다는 조건은 중복되지 않는다는 점에 유의한다.예를 들어 유클리드 벡터 공간의 스칼라 제품 등, 공감각형 형태는 대칭형 형태와 상당히 다르게 작용한다.

표준공백

표준 동시접속 공간은 비대칭, 스큐 대칭 행렬에 의해 주어지는 동시접속 형태를 가진²ⁿ R이다.일반적으로 Ω은 블록 행렬로 선택된다.

${\displaystyle \omega ={\nowled{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$

여기서 나는_n n × n 아이덴티티 매트릭스다.기본_n 벡터(x₁, ..., x_n, y₁, ..., y):

${\displaystyle {\i}\omega(x_{i},y_{j})=-\omega(y_{j},x_{i})=\ij}\\\omega(x_{i},x_{j})=\omega(y_{i},y_{j})&=0.\end{정렬}}}$

Gram-Schmidt 프로세스의 수정된 버전은 모든 유한 차원 동시적 벡터 공간은 Ω이 종종 Darboux 기반 또는 동시적 기반이라고 불리는 이러한 형태를 취하는 기초를 가지고 있다는 것을 보여준다.

이 표준의 동시적 형태를 해석하는 또 다른 방법이 있다.위에서 사용한 모델 공간 R은²ⁿ 많은 규범적 구조를 가지고 있어서 자칫 잘못 해석될 수 있기 때문에, 우리는 대신에 "익명" 벡터 공간을 사용할 것이다.V를 차원 n과 V의^∗ 이중 공간의 실제 벡터 공간이 되게 하라.이제 다음 형식을 갖춘 이러한 공간의 직접 합계 W = V ⊕ V를^∗ 고려하십시오.

$\displaystyle \omega(x\oplus \eta,y\oplus \xi )=\xi(x)-\eta(y)}$

이제 V의 모든 기준(v₁, ..., v_n)을 선택하고 이중 기준을 고려하십시오.

${\displaystyle \left(v_{1}^{*}},\ldots ,v_{n}^{*}\right).}$

x_i = (v_i, 0)와_i y = (0_i^∗, v)를 쓰면 기본 벡터를 W로 해석할 수 있다.이것들을 종합하면 W의 완전한 기초를 형성하고,

${\displaystyle(x_{1},\ldots,x_{n},y_{1},\ldots,y_{n}).}$

여기서 정의한 Ω 형식은 이 조의 시작과 동일한 속성을 가지고 있음을 나타낼 수 있다.한편, 모든 공동체의 구조는 V v^∗ V형식의 한 형태에 이형화되어 있다. 서브 스페이스 V는 고유한 것이 아니며, 서브 스페이스 V의 선택을 양극화라고 한다.그런 이형성을 부여하는 서브스페이스를 라그랑지아 서브스페이스 또는 단순히 라그랑지아라고 부른다.

명시적으로, 아래에서 정의한 대로 라그랑의 하위 공간을 주어진 다음, 기준 선택(x₁, ..., x_n)은 Ω(x_i, y_j) = Δ로_ij 보완을 위한 이중 기준을 정의한다.

복잡한 구조와의 유사성

그냥 모든symplectic 구조 한 형태 V⊕ V∗, 벡터 공간에 모든 복잡한 구조를 동형은 형식 V의 ⊕ V이 구조들을 이용하는 동형은 n-manifold, 2n-manifold로의 접선 다발은 대부분 복잡한 구조물이고, n-manifold, 2n-manifol으로 여겨지의 여접 다발을 가지고 있다.d는 동정적 구조를 가지고 있다: T_∗(TM^∗)_p = T_p(M) ⊕(T_p(M)).^∗

라그랑지아 서브 스페이스와 복잡한 유사점은 실제 서브 스페이스로, 복합화가 전체 스페이스인 서브 스페이스다.W = V ⊕ J V. 위의 표준 공통점 형태에서 볼 수 있듯이, R의²ⁿ 모든 공통점 형태는 C의ⁿ 표준 복합체(헤르미티아) 내측 제품의 상상의 부분(반선형)과 이형성이 있다.

부피 양식

Ω은 n차원 리얼 벡터 공간 V, Ω Ω² ((V)에서 교대 이선형 형태로 한다.그 다음 n이 짝수인 경우와 Ω = Ω^n/2 ∧ ...인 경우에만 Ω이 비감속이다. ∧ Ω은 볼륨 형식이다.n-차원 벡터 공간 V의 볼륨 폼은 n-폼 e₁^∗ ∧의 0이 아닌 배수 ... ∧ e_n^∗ 여기서₁ e, e₂, ... e는_n V의 기초가 된다.

이전 절에서 정의한 표준기준에 대해서는 다음과 같다.

${\displaystyle \nomega^{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}x_{1}^{*}\i1b \i1\i1\i1\i1}{n1}^}\i1\i1\i1\i1\i1\i1\i1\i1\i1b \i1n}y_{n}y_{n}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

순서를 바꾸면 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle \omega^{n}=x_{1}^{*}\reason y_{1}^{*}\reason \b \reason x_{n}^{*}\reason y_{n}^{*}}}.}$

저자는 Ωⁿ 또는 (-1)^n/2Ω을ⁿ 표준 볼륨 형태로 다양하게 정의한다.교번제품의 정의에 n!의 인자가 포함되어 있는지 여부에 따라 n!의 인자도 가끔 나타날 수 있다.볼륨 형식은 공통 벡터 공간(V, Ω)에 대한 방향을 정의한다.

심프렉틱 맵

(V, Ω) 및 (W, ρ)가 동시 벡터 공간이라고 가정한다.그 다음, 풀백(pullback^∗)이 (f =)(u, v) = ((f(u), f(v)로 정의되는 pullback(pullback) 형태, 즉 fρ^∗ = Ω을 보존하는 경우 선형 지도 f : V → W를 commonlectic map이라고 한다.심포렉틱 맵은 볼륨과 방향을 보존한다.

심플렉틱 그룹

V = W일 경우, V의 선형 동시적 변환이라고 한다.특히 이 경우 Ω(f(u), f(v) = Ω(u, v)을 가지므로 선형 변환 f는 동심원형을 보존한다.모든 동시적 변환 집합은 그룹을 형성하며, 특히 Sp(V) 또는 때때로 Sp(V, Ω)로 표시되고, 공감적 그룹이라고 불리는 Lie 그룹을 형성한다.매트릭스 형태에서 동시 선택적 변환은 동시 선택적 매트릭스에 의해 주어진다.

서브 스페이스

W를 V의 선형 하위 공간이 되게 한다.하위 공간이 될 W의 공통 보완 요소 정의

${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V\mid \omega(v,w)=0{\mbox{{w\}모든 }w\in W\}.}$

공통 보완 요소는 다음을 충족한다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\왼쪽(W^{\perp }\\오른쪽)^{\perp }&=W\\dim W+\dim W^{\perp }=\dim V.\end{정렬}}}$

단, 직교 보완과 달리 W^⊥ ∩ W가 0이 될 필요는 없다.다음 네 가지 경우를 구분한다.

• W^⊥ ∩ W = {0}일 경우 W는 동일하다.이는 Ω이 W에서 비감속형 형태로 제한되는 경우에만 해당된다.제한된 형태를 가진 공감각적 하위공간은 그 자체로 공감각적 벡터공간이다.
• W는 W if W일^⊥ 경우 등방성이다. 이는 Ω이 W일 경우 0으로 제한되는 경우에만 사실이다.모든 1차원 아공간은 등방성이다.
• W는 W^⊥. W. W. W.가 Ω이 W/W의^⊥ 지수 공간 위에서 비감소형 형태로 내려가는 경우에만 등방성인 경우 등방성이다.동등하게^⊥ W는 W가 등방성인 경우에만 등방성이다.모든 코디멘션 1 하위 공간은 등방성이다.
• W = W일^⊥ 경우 Lagrangian이다. 하위공간은 등방성과 등방성 둘 다일 경우에만 Lagrangian이다.유한 차원 벡터 공간에서 라그랑지아 하위 공간은 크기가 V의 절반인 등방성 공간이다.모든 등방성 아공간은 라그랑지안 아공간으로 확장될 수 있다.

위의 표준 벡터 공간 R을²ⁿ 참조하면,

• {x₁, y₁}이(가) 확장하는 하위 공간은 동일함
• {x₁, x₂}이(가) 확장하는 하위 공간은 등방성임
• {x₁, x₂, ..., x_n, y₁}이(가) 확장하는 하위 공간은 등방성적임
• {x₁, x₂, ..., x_n}이(가) 확장하는 하위 공간은 라그랑지안이다.

하이젠베르크 군

하이젠베르크 집단은 모든 공감 벡터 공간에 대해 정의될 수 있으며, 이것이 하이젠베르크 집단이 발생하는 전형적인 방법이다.

벡터 공간은 상호 작용하는 Lie 그룹(더하기 아래)으로 생각할 수 있고, 또는 사소한 Lie 괄호와의 의미인 상호 작용하는 Lie 대수학으로 동등하게 생각할 수 있다.하이젠베르크 그룹은 그러한 정류적 리 그룹/알게브라(algebra)의 중심 확장이다. 공감적 형태는 표준 정류 관계(CCR)와 유사하게 정류를 정의하며, 다르복스 기반은 물리적으로 볼 때, 운동 운영자와 위치 운영자에 대한 표준 좌표에 해당한다.

실제로 스톤-본 노이만 정리에 의해 CCR을 만족하는 모든 표현(하이젠베르크 집단의 모든 표현)은 이러한 형태 또는 보다 단위적으로 표준적인 표현에 적절히 결합된다.

또한 벡터 공간의 (이중 투) 그룹 대수학은 대칭 대수학이고, (이중) 하이젠베르크 그룹의 그룹 대수학은 웨일 대수학이다: 중앙 확장을 정량화 또는 변형에 해당하는 것으로 생각할 수 있다.

형식적으로 필드 F에 대한 벡터 공간 V의 대칭대수는 듀얼의 그룹 대수인 Sym(V) :=F^∗[V]이며, Weyl 대수학은 (듀얼) 하이젠베르크 그룹 W(V) = F[H(V^∗)]의 그룹 대수다.그룹 알헤브라에게 패스하는 것이 역행성 펑터이기 때문에 중앙 확장 맵 H(V) → V는 포함 Sym(V) → W(V)가 된다.

참고 항목

• 연성 다지관은 각 접선 공간에 매끄럽게 분산된 닫힌 연성 형태의 부드러운 다지관이다.
• 마슬로프 지수
• 공감적 표현은 각 그룹 요소가 공감적 변환으로 작용하는 집단 표현이다.

참조

• 클로드 고드빌론(1969) "Géométrie différentielle et mécanique 분석", 헤르만
• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). "Hamiltonian and Lagrangian Systems". Foundations of Mechanics (2nd ed.). London: Benjamin-Cummings. pp. 161–252. ISBN 0-8053-0102-X. PDF
• 파울레트 리버만과 찰스-미셸 말레(1987) "증상 기하학 및 해석 역학", D. 레이델
• 장마리 수리오(1997) "다이나믹 시스템의 구조, 공감하는 물리학의 관점", 스프링거