컴팩트 클로즈드 카테고리

범주 이론에서, 수학의 한 분야인, 콤팩트하게 닫힌 범주는 이중 물체를 다루는 일반적인 맥락이다.이중 물체의 개념은 유한차원 벡터 공간의 이중의 보다 친숙한 개념을 일반화한다.그래서 콤팩트한 폐쇄형 범주의 동기부여 사례는 FdVect로, 물체로는 유한차원 벡터공간, 형태론으로는 선형지도를 가지는 범주로, 단조형 구조로는 텐서형 제품을 가지고 있다.또 다른 예로는 카르트 단노이드 구조와 함께 객체로서, 그리고 형태론으로서 관계를 가지는 카테고리인 Rel이 있다.

대칭 콤팩트 클로즈드 카테고리

대칭 단면체 범주$({\displaystyle C\mathbf{}}$ ,${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle I}$)$${\$displaystyle(\mathbf {C}$,\$otimes, I)$는 모든 $개체{\displaystyle }$ A${\displaystyle c\mathbf{}}$ C ${\$가) 이중 개체를$$ 가진 경우 소형으로 닫힌다.이것이 잡으면 이중 물체는 정관 이형성에까지 고유하며, $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ A$^{*}$로 표시된다$.$

좀 더 자세히 설명하자면, $개체{\displaystyle {}^{}}$ A$∗{\$ A$^{*}}$는 ${\displaystyle {단위}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A}$ : I${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ → ${\displaystyle A}$ $⊗$ A {\$displaystyle \eta_${A$}$라고 하는 두 가지 형태론을 갖추고 있다면$$ A ${\$$displaystystyle$ $A}$의 $이중$이라고 불린다$$.$I\to A^{*}\time A}$와 상담 $the{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\otimes }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A:$$등식을$만족하는 A^{*}\$to I$

$\displaystyle \lambda _{A}\circle (\varepsilon _{A}\otimes A)\circle \alpha _{A,A^{*},A}^{-1}\circ(A\otimes \eta _{A}\circle \rho _{A}^{1}=\mathrm {id} _{A}})$

그리고

${\displaystyle \rho _{A^{*}}\circ (A^{*}\otimes \varepsilon _{A})\circ \alpha _{A^{*},A,A^{*}}\circ (\eta _{A}\otimes A^{*})\circ \lambda _{A^{*}}^{-1}=\mathrm {id} _{A^{*}},}$

여기서 $\lambda {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda ,\rho }$은(는) 각각 왼쪽과 오른쪽에 있는 단위의 도입부$$, $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은(는) 연관부이다.

명확성을 위해 위의 구성을 도식으로 다시 작성한다.$({\displaystyle C\mathbf{}}$, ${\displaystyle \otimes }$ ,${\displaystyle I}$) ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$이(가) 압축적으로 닫히려면$$ $다음$과 같은 합성물이 i d ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 같아야 한다$.$

${\displaystyle A{\xrightarrow {\cong }}A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta }}A\otimes (A^{*}\otimes A){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes A^{*})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon \otimes A}}I\otime A{\xrightarrow {\cong }A}$

및 $i{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\ast }^{}}_{}}$ ${\$:

${\displaystyle A^{*}{\xrightarrow {\cong }}I\otimes A^{*}{\xrightarrow {\eta \otimes A^{*}}}(A^{*}\otimes A)\otimes A^{*}{\xrightarrow {\cong }}A^{*}\otimes (A\otimes A^{*}){\xrightarrow {A^{*}\otimes \epsilon }}A^{*}\otimes I{\xrightarrow {\cong }}A^{*}}$

정의

보다 일반적으로${\displaystyle }$(${\displaystyle C\mathbf{}}$, ${\displaystyle \otimes }$, ${\displaystyle I}$) ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$은(는) 단조 범주로서, 사전$$ 그룹 문법의 경우와 같이 반드시 대칭적인 것은 아니라고 가정한다.The above notion of having a dual ${\displaystyle A^{*}}$ for each object A is replaced by that of having both a left and a right adjoint, ${\displaystyle A^{l}}$ and ${\displaystyle A^{r}}$, with a corresponding left unit ${\displaystyle \eta _{A}^{l}:$$I{\displaystyle {}_{}^{}}$$\to A\otimes$ A$^{l$ 오른쪽 단위 ${\displaystyle A_{}^{}}$: ${\displaystyle I}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ r${\displaystyle {}^{}{r}^{}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \eta _{A}^{r}:$$I\to A^{r}\otimes$ A$\},$ ${\displaystyle \mathrm{왼쪽}}$ 상담 ${\displaystyle {}^{}A}$→ I ${\displaystyle \varepsilon _{A}^{l}:$$A^{l}\time A\to I$ 와 오른쪽 상담 $coun{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$→ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}^{r}:$$A^{r}\{r$}\to $I}$ $.$이러한 조건은 각각 정체성인 네 가지 yanking 조건을 충족해야 한다.

${\displaystyle A\to A\ote I{\xrightarrow {\eta ^{r}}A\otimes(A^{r}\otimes A)\to(A^{r})\to(A\otime A^{r})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}}}나는 A를 종종 한다.$

${\displaystyle A\to I\ote A{\xrightarrow {\eta ^{l}}(A\otimes A^{l}\otimes A){\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}}A에 종종$

그리고

${\displaystyle A^{r}\to I\otime A^{r}{\xrightarrow {\eta ^{r}}}\otimes A^{r}\time A^{r}\time (A\otimes A^{r})\xrighrigrow {\\\\\ipsilon ^{{{{{\}}}}}}}}}}}}}}A^{r}\여러 번 I\to A^{r}}$

${\displaystyle A^{l}\to A^{l}\time I{\xrightarrow {\eta ^{l}}}A^{l}\otimes(A\otimes A^{l}\otimes A)\to(A^{l}\otimes A^{l}}{\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}}}}}}I\time A^{l}\to A^{l}}}$

즉, 일반적인 경우, 콤팩트한 폐쇄 범주는 좌경 및 우경강성 둘 다이며, 중경화된다.

비대칭 콤팩트 클로즈드 범주는 언어학, 범주형 그래머 영역, 특히 그룹 전 그래머에서 응용 프로그램을 찾는데, 여기서 문장의 워드 오더를 포착하기 위해 구별되는 좌우 대칭이 필요하다.이러한 맥락에서 콤팩트한 폐쇄형 단면체 범주를 (Lambek) 프리그룹이라고 한다.

특성.

콤팩트 클로즈드 카테고리는 단면 클로즈드 카테고리의 특별한 경우로, 다시 클로즈드 카테고리의 특별한 경우다.

소형 폐쇄형 범주는 정확히 대칭적인 자율 범주다.그들은 또한 *자율적이다.

모든 소형 폐쇄 범주 C는 추적을 허용한다.즉, 모든 형태론 $f{\displaystyle }$ : A${\displaystyle :}$ ${\displaystyle C}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \otimes }$ C ${\displaystyle f:$$A\time C\to B\time C$ 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {Tr_{A,B}^{C}} (f)=\rho _{B}\circ (id_{B}\otimes \varepsilon _{C})\circ \alpha _{B,C,C^{*}}\circ (f\otimes C^{*})\circ \alpha _{A,C,C^{*}}^{-1}\circ (id_{A}\otimes \eta _{C^{*}})\circ \rho _{A}^{-1}:A\to B}$

제대로 된 흔적이라고 보여질 수 있어It helps to draw this diagrammatically: ${\displaystyle A{\xrightarrow {\cong }}A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta _{C^{*}}}}A\otime$$s (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\;\;f\otimes C^{*}\;\;}}(B\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\cong }}B\otimes (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {B\otimes \varepsilon _{C}}}B\otimes I{\xrightarrow {\cong }}B.$$}$

예

표준적인 예로는 유한차원 벡터 공간을 객체로, 선형 지도를 형태론으로 하는 FdVect 범주가 있다.여기서 $∗{\$는 벡터 공간 $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$의 일반적인 이중이다$.$

어떤 집단의 유한차원 표현 범주도 콤팩트하게 폐쇄된다.

모든 벡터 공간을 객체로 하고 선형 지도를 형태론으로 하는 Vect 범주는 압축적으로 닫히지 않으며 대칭 단면체 폐쇄형이다.

심플렉스 카테고리

심플렉스 범주는 비대칭 소형 폐쇄 범주의 예를 구성하는 데 사용할 수 있다.심플렉스 범주는 0이 아닌 유한 서수(전체 순서 집합으로 표시)의 범주로, 형태는 순서 보존(모노톤) 맵이다.우리는 화살표 범주로 이동하여 단면체 범주로 만들므로, 물체는 원래 범주의 형태론이며, 형태론은 통근 사각형이다.그러면 화살표 범주의 텐서 제품은 원래 합성 연산자가 된다.왼쪽과 오른쪽은 최소 및 최대 연산자다. 특히, 단조 지도는 오른쪽 연산자가 있다.

${\displaystyle f^{r}=\supp\{m\in \m\in \mathb {N} \mid f(m)\leq n\}}$

그리고 좌의정.

${\displaystyle f^{l}=\inf\{m\in \m\in \mathb {N} \mid n\leq f(m)\}}$

좌우 단위 및 상담자는 다음과 같다.

${\displaystyle {\mbox{id}\leq f^{l}\qquad{\mbox{(왼쪽 장치)}}}$

${\displaystyle \,{\mbox{id}\leq f^{r}\rembox \\\\mbox{(오른쪽 단위)}}}$

${\displaystyle f^{l}\f\req {\mbox{id}}\qquad{\mbox{(왼쪽 상담)}}}$

${\displaystyle f\beat f^{r}\leq {\mbox{id}}\qquad {\mbox{(오른쪽 상담)}}}$

얀킹 조건 중 하나는 다음과 같다.

${\displaystyle f=f\box{id}\\leq f\box (f^{r}\f)=(f\f\f^{r})\f\leq {\mbox}\f=f.}$

다른 사람들도 비슷하게 따른다.서신은 $\le {\displaystyle }${\$displaystyle \leq}$ 대신$$화살표$$${\displaystyle }$→$${\$displaystyle \to }$을(를) 쓰고 함수 구성 for$$${\displaystyle \otimes }$을(를) 사용하여 더 명확하게 할 수 있다$.$

단도 콤팩트 카테고리

컴팩트하게 닫힌 단도 대칭 단면형 범주는 단도 소형 범주다.

강체분류

대칭이 아니라 위의 이중성 공리를 준수하는 단일성 범주를 강성 범주로 한다.모든 물체가 왼쪽(오른쪽)의 이중(resp. left)을 갖는 단면형 범주를 왼쪽(resp. right) 자율 범주라고도 한다.모든 물체가 왼쪽과 오른쪽 이중 모두를 갖는 단면체 범주를 자율 범주라고 부르기도 한다.또한 대칭인 자율 범주는 소형 폐쇄 범주가 된다.

참조

Kelly, G.M.; Laplaza, M.L. (1980). "Coherence for compact closed categories". Journal of Pure and Applied Algebra. 19: 193–213. doi:10.1016/0022-4049(80)90101-2.