대칭군 표현에 대한 크로네커 곱은 크로네커 계수 를 참조하십시오. 수학 에서, 크로네커 곱은 때때로 θ로 표시되며, 블록 행렬이 되는 임의의 크기의 두 행렬 에 대한 연산 이다.이것 은 벡터로부터 행렬로의 외부 곱(같은 기호로 표시됨)의 일반화이며, 기준의 표준 선택에 관한 텐서 곱 선형 맵의 행렬을 제공한다.크로네커 곱은 완전히 다른 연산 인 일반적인 행렬 곱셈과 구별되어야 한다. 크로네커 곱은 매트릭스 직접 [1] 합니다 .
크로네커 곱은 독일 수학자 레오폴트 크로네커 (1823–1891)의 이름을 따 명명되었다. 크로네커 곱은 1858년에 이 행렬 연산을 기술한 요한 게오르크 제후스 [ de] 의 이름 을 따서 제후스 곱이라고 도 불리지만, 현재 크로네커 곱 이 가장 널리 사용되고 있습니다.[2] [3]
정의. A가 m n 행렬 이고 B가 p × q 행렬 이라면 크로네커 곱 b B는 pm × qn
A ⊗ B = [ a 11 B ⋯ a 1 n B ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 B ⋯ a m n B ] , \displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} = scdots {bmatrix}a_{11}\mathbf {B} &\cdots &\vdots \a_{1n}\mathbf {B} &\cdots\cdots\cdots \mathbf {B} 보다 명확하게:
A ⊗ B = [ a 11 b 11 a 11 b 12 ⋯ a 11 b 1 q ⋯ ⋯ a 1 n b 11 a 1 n b 12 ⋯ a 1 n b 1 q a 11 b 21 a 11 b 22 ⋯ a 11 b 2 q ⋯ ⋯ a 1 n b 21 a 1 n b 22 ⋯ a 1 n b 2 q ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 11 b p 1 a 11 b p 2 ⋯ a 11 b p q ⋯ ⋯ a 1 n b p 1 a 1 n b p 2 ⋯ a 1 n b p q ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 b 11 a m 1 b 12 ⋯ a m 1 b 1 q ⋯ ⋯ a m n b 11 a m n b 12 ⋯ a m n b 1 q a m 1 b 21 a m 1 b 22 ⋯ a m 1 b 2 q ⋯ ⋯ a m n b 21 a m n b 22 ⋯ a m n b 2 q ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 b p 1 a m 1 b p 2 ⋯ a m 1 b p q ⋯ ⋯ a m n b p 1 a m n b p 2 ⋯ a m n b p q ] . {\displaystyle{\mathbf{A}\otimes({B}}={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&, a_{11}b_{12}&, \cdots &, a_{11}b_{1q}&, \cdots &, \cdots &, a_{1n}b_{11}&, a_{1n}b_{12}&, \cdots &, a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&, a_{11}b_{22}&, \cdots &, a_{11}b_{2q}&, \cdots &, \cdots &, a_{1n}b_{21}&, a_{1n}b_{22}&, \cdots &, a_{1.N};\vdots, \ddots & &, \vdots &,&&\vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdo 및 b_{2q}\\\vdots. Ts\\a_{11}b_{p1}&, a_{11}b_{p2}&, \cdots &, a_{11}b_{pq}&, \cdots, \cdots & &, a_{1n}b_{p1}&, a_{1n}b_{p2}&, \cdots, a_{1n}b_{pq}\\\vdots &, \vdots & &,&\vdots, \ddots & &,&\vdots, \vdots & &,&\vdots \\\vdots, \vdots & &,&\vdots &,&\ddots, \vdots &, \vdots & &,&\vdots \\a_{m1}.B_{11}&, a_{m1}b_{12}&, \cdots, a_{m1}b_{1q}&, \cdots &, \cdots & &, a_{중성자의 정지 질량}b_{11}&, a_{중성자의 정지 질량}b_{12}&, \cdots &, a_{중성자의 정지 질량}b_{1q}\\a_{. M1}b_{21}&, a_{m1}b_{22}&, \cdots &, a_{m1}b_{2q}&, \cdots, \cdots & &, a_{중성자의 정지 질량}b_{21}&, a_{중성자의 정지 질량}b_{22}&, \cdots, a_{중성자의 정지 질량}b_{2q}\\\vdots, \vdots & &, \ddots &, \vdots & &,&&\vdots, \vdots, \ddots & &, \vdots \\a_{m1}b_{p1}& &, a_{m1}b_{p2}&, \cdots &, a_{m1}b_{pq}&, \cdots &, \cdots &, a_{중성자의 정지 질량}b_{p1}&.;a_{중성자의 정지 질량}b_{p2}&, \cdots &, a_{중성자의 정지 질량}b_{pq}\end{bmatrix}}. } //\ displaystyle /\!/} %(\displaystyle 사용하여 정수 나눗셈 과 나머지를 나타내고 0부터 시작하는 행렬 요소에 번호를 매기면 A ) p r v q w = a r w displaystyle otimes _{pr w a p j q i p j displaystyle A otimes B _ q b _ % j 대해서 A B r . = a i i 、 j b b 1 )% p 1 j 1 )% q + displaystyle ( A \otimes B ) _ { i , j } = a _ { \ lceil i / p \ rceil } , \ lceil j / q \ rceil } b （ 1 、 1 ）}
A 와 B가 각각 선형 변환 1 W 1 V 2 W 2 나타낸다면 , A b 텐서 곱인 1 v2 1 V → W w 2 W를 나타낸다.
예 [ 1 2 3 4 ] ⊗ [ 0 5 6 7 ] = [ 1 [ 0 5 6 7 ] 2 [ 0 5 6 7 ] 3 [ 0 5 6 7 ] 4 [ 0 5 6 7 ] ] = [ 1 × 0 1 × 5 2 × 0 2 × 5 1 × 6 1 × 7 2 × 6 2 × 7 3 × 0 3 × 5 4 × 0 4 × 5 3 × 6 3 × 7 4 × 6 4 × 7 ] = [ 0 5 0 10 6 7 12 14 0 15 0 20 18 21 24 28 ] . {\displaystyle{\begin{bmatrix}1&, 2\\3&, 4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&, 5\\6& \otimes, 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}0&, 5\\6&, 7\\\end{bmatrix}}&2{\begin{bmatrix}0&, 5\\6&, 7\\\end{bmatrix}}\\3{\begin{bmatrix}0&, 5\\6&, 7\\\end{bmatrix}}&4{\begin{bmatrix}0&, 5\\6&, 7\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}};1\times 5&, 2\times 00& ={\begin{bmatrix}1\times &2\times 5\times 6\1\times 7\times 5\times 5\times 7\times 7\end {bmatrix}=times {bmatrix}&012&06\times 0\3\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 6\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7\tim } 마찬가지로:
[ 1 − 4 7 − 2 3 3 ] ⊗ [ 8 − 9 − 6 5 1 − 3 − 4 7 2 8 − 8 − 3 1 2 − 5 − 1 ] = [ 8 − 9 − 6 5 − 32 36 24 − 20 56 − 63 − 42 35 1 − 3 − 4 7 − 4 12 16 − 28 7 − 21 − 28 49 2 8 − 8 − 3 − 8 − 32 32 12 14 56 − 56 − 21 1 2 − 5 − 1 − 4 − 8 20 4 7 14 − 35 − 7 − 16 18 12 − 10 24 − 27 − 18 15 24 − 27 − 18 15 − 2 6 8 − 14 3 − 9 − 12 21 3 − 9 − 12 21 − 4 − 16 16 6 6 24 − 24 − 9 6 24 − 24 − 9 − 2 − 4 10 2 3 6 − 15 − 3 3 6 − 15 − 3 ] {\displaystyle{\begin{bmatrix}1&, -4&, 7\\-2&, 3&, 3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}8&, -9& \otimes, -6&, 5\\1&, -3&, -4&, 7\\2&, 8&, -8&, -3\\1&, 2&, -5&, -1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&, -9&, -6&, 5&, -32&, 36&, 24&, -20&, 56&, -63&, -42&, 35\\1&, -3&, -4&, 7&, -4&, 12&, 16&.-28&, 7&, -21&, -28&, 49\\2&, 8&, -8&, -3&, -8&, -32&, 32&, 12&, 14&, 56&, -56&, -21\\1&, 2&, -5&, -1&, -4&, -8&, 20&, 4&, 7&, 14&, -35&, -7\\-16&, 18&, 12&, -10&, 24&, -27&, -18&, 15&, 24&, -27&, -18&, 15\\-2&. 6&8&-14&3&-12&3&-12&3&-12&21\-4&16&6&-24&6&-24&6&-24&10&2&3&3&15-3&15-3&15-3&15&3&21\matrix{-4&24&-24&24&9} 특성. 다른 매트릭스 연산과의 관계 이중 선형 및 연관성 :
크로네커 곱은 텐서 곱의 특수한 경우이므로 쌍선형이며 연관성 이 있습니다.
A ⊗ ( B + C ) = A ⊗ B + A ⊗ C , ( B + C ) ⊗ A = B ⊗ A + C ⊗ A , ( k A ) ⊗ B = A ⊗ ( k B ) = k ( A ⊗ B ) , ( A ⊗ B ) ⊗ C = A ⊗ ( B ⊗ C ) , A ⊗ 0 = 0 ⊗ A = 0 , {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{A}\otimes,{A}\otimes \mathbf{A}및{C},\\(\mathbf{B}+\mathbf{C})\otimes \mathbf =\mathbf{A}\otimes{B}+\mathbf \mathbf,{C}\otimes \mathbf{B}및{A},\\(k\mathbf{A})\otimes \mathbf =\mathbf{B}\otimes{A}+\mathbf \mathbf, =\mathbf{A}\otimes(k\mathbf{B})=(\mathbf{B}+\mathbf{C})&.k(\mathbf{A } \otimes \mathbf {B} ,\\(\mathbf {A} \otimes \mathbf {C} &=\mathbf {A} \otimes (\mathbf {C} \otimes \mathbf {C} ),\\\\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {A} \mathbotimes 여기 서 A, B , C 는 행렬 , 0은 0 행렬, k 는 스칼라 행렬입니다.비가환 :
일반적 b B a A는 다른 행렬이다.단 b B 및 a [4] 같은 치환 행렬 P 와 Q가 존재 한다는 것을 의미합니다.
B ⊗ A = P ( A ⊗ B ) Q . \displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} = \mathbf {P} , \mathbf {B} , \mathbf {Q} . } A 와 B가 정사각형 행렬 이라면, A and B a A는 짝수 치환 이며, 즉 P = Q T 취할
행렬 P [5] 완벽 한r 행렬 p ,q 있습니다 여기 r = display
S p , q = [ I r ( 1 : q : r , : ) I r ( 2 : q : r , : ) ⋮ I r ( q : q : r , : ) ] {\displaystyle \mathbf {S} _{p,q}=display{bmatrix}\mathbf {I} _{r} (1:q:r,:)\\mathbf {I} _{r} (2:q:r,:)\vdots \\mathbf {I} _{r:} 여기 서 MATLAB 콜론 표기법은 서브매트릭스를 나타내기 위해 사용 되며r I r × r 아이덴티티 매트릭스이다.Ar R m n displaystyle mathbb A in mathbb _ 1 times _ b r R n 2 displaystyle mathbb B in mathb R ^ 2 times
B ⊗ A = S m 1 , m 2 ( A ⊗ B ) S n 1 , n 2 T \displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B})\mathbf {S} _{n_1},n_{2}} {{{\f {T}}) 혼합 제품 속성:
A , B , C 및 D가 행렬 곱 AC 와 BD 를 형성할 수 있는 크기의 행렬이라면,
( A ⊗ B ) ( C ⊗ D ) = ( A C ) ⊗ ( B D ) . \displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ) = (\mathbf {AC} ) \otimes (\mathbf {BD} ) } 이것은 일반적인 행렬 곱과 크로네커 곱을 혼합하기 때문에 혼합곱 특성 이라고 불립니다.
그 결과로서
A ⊗ B = ( I 2 ⊗ B ) ( A ⊗ I 1 ) = ( A ⊗ I 1 ) ( I 2 ⊗ B ) . (\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} =(\mathbf {I_{2}} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I}) =(\mathbf {A} \mathbf {A}) } 특히, 아래에서 전치 속성을 사용하면 다음과 같이 됩니다.
A = Q ⊗ U \displaystyle \mathbf {A} = \mathbf {Q} \otimes \mathbf {U} } Q 와 U는 직교 (또는 유니터리)이고, A도 직교(resp., 유니터리)입니다.
혼합 Kronecker 매트릭스 벡터 곱은 다음과 같이 쓸 수 있다.
( A ⊗ B ) v = VEC ( B V A T ) \displaystyle \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right)\mathbf {v} =\operatorname {vec}(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{T})} 여기 = vec - 1 ( v displaystyle \mathbf V operatorname {vec } 1}(\mathbf { v})} 벡터 displaystyle mathbf } Hadamard 곱(요소별 곱셈):
혼합 제품 속성은 요소별 제품에도 적용됩니다. A 와 C가 같은 크기의 행렬 이라면 B와 D 는 같은 크기의 행렬이다.
( A ⊗ B ) ∘ ( C ⊗ D ) = ( A ∘ C ) ⊗ ( B ∘ D ) . \displaystyle(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\display(\mathbf {C} \mathbf {D})=(\mathbf {A} \display \mathbf {B} \mathbf {D})\otimes(\mathbf {D}) } Kronecker 제품의 반대:
따라서 b B는 A 와 B 가 모두 가역일 경우에만 가역 이며, 이 경우 역수는 다음과 같이 주어진다.
( A ⊗ B ) − 1 = A − 1 ⊗ B − 1 . {\displaystyle(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B})^{-1}=\mathbf {A}^{-1}\times \mathbf {B}^{-1}. } 무어-펜로즈 유사 역행의 [6]
( A ⊗ B ) + = A + ⊗ B + . \displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^+}=\mathbf {A}^{+}\times \mathbf {B}^{+}. } 카테고리 이론의 언어에서 크로네커 제품(그리고 더 일반적인 텐서 제품)의 mixed-product 속성 사실에 있는 개체 자연수 n을 가진 사람들은 범주 MatF 분야 F에 매트릭스의monoidal 범주를 보여 줍니다, morphisms의 스녀 → m 있n×m와 엔트리에서 F, 구성원은 규정한 매트릭스 곱셈 연산에서도, 정체성이다. 화살표 는 단순히 n 항등 행렬n I이고, 텐서 곱은 크로네커 [7]
매트 는F 유한 차원 벡터 공간의 등가 범주 FinVect 에F 골격 범주이며, 개체는 유한 차원 벡터 공간 V이고, 화살표는 F-선형 지도 V W 범주의 등가는 F에 대한 모든 유한 차원 벡터 공간 V에서 기저를 동시 에 선택하는 것과 같다. 행렬의 요소는 선택된 기치에 대한 이러한 매핑을 나타낸다. 그리고 마찬가지로 크로네커 곱은 선택된 기수에 대한 텐서 곱의 표현이다. 전치 :
전이와 켤레 전이 는 크로네커 곱에 분포한다.
( A ⊗ B T = A ⊗ B displaystyle mathbf A } times mathbf mathbf times mathbf B times { B } times } } } 결정 요인:
A를 n n B m × m 행렬로 한다 . 그리고나서
A ⊗ B = A m B n . \displaystyle \left \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right = \left \mathbf {A} \right ^{m} \left \mathbf {B} \right ^{n}. } A의순서 이고 B의 지수는순서 이다. 크로네커의 합과 지수 :
만약 A n × n 이고, B 가 m × m 이고k 내 가 k × k 항등 행렬을 의미한다면, 우리는 때때로 크로네커 합이라고 불리는 것을 다음과 같이 정의할 수 있다.
A ⊕ B = A ⊗ I m + I n ⊗ B . \displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} = \mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m} + \mathbf {I} \otimes \mathbf {B} } 이것은 두 행렬의 직합 다릅니다 . 이 연산은 리 대수의 텐서 곱과 관련이 있다.
일부 수치 [8] 지수 공식은 다음과 같습니다.
exp ( N ⊕ M ) = exp ( N ) ⊗ exp ( M ) \displaystyle \exparam\mathbf {N} \oplus \mathbf {M} } = \exp(\mathbf {N} )\otimes \exp(\mathbf {M})} 크로네커 합계는 비상호작용 시스템 의 [citation needed 앙상블을 고려할 때 물리학에서 자연 스럽게 나타난다. H를 k번째 계통의 해밀턴이라고 하자k . 그럼 합주단의 해밀턴 총계는
H T o t = ⨁ k H k . {\displaystyle H_{\mathrm {Tot}}=\bigoplus _{k} H^{k}. 추상 속성 스펙트럼 :
A 와 B가 각각 크기 n 과 m의 정사각형 행렬이라고 가정 합니다.μ 1 , ..., μ 를n A 의 고유값 으로 하고 1 μ m B 의 고유값(다수에 따라 나열 )으로 한다.그러면 A b B 고유값 은 다음과 같습니다.
λ i μ j , i = 1 , … , n , j = 1 , … , m . \displaystyle \dots _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots,n,j=1,\ldots,m} 따라서 크로네커 산물의 추적 과 결정 인자는 다음과 같이 주어진다.
tr ( A ⊗ B ) = tr A tr B 그리고. 멈추다 ( A ⊗ B ) = ( 멈추다 A ) m ( 멈추다 B ) n . \displaystyle \operatorname {tr}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B})=\operatorname {tr} \mathbf {A} \mathbf {A} \det(\mathbf {A} \mathb} = {mathbimes} 특이치 :
A 와 B가 직사각형 행렬이라면 이들 의 특이값 을 고려할 수 있다.A에 0이 아닌 r개의 특이값이 있다고 A 가정 합니다.
σ A , i , i = 1 , … , r A . \displaystyle _{\mathbf {A},i},\qquad i=1,\ldots,r_{\mathbf {A}}.} 마찬가지로, B 의 0이 아닌 단수값을 다음과 같이 나타낸다.
σ B , i , i = 1 , … , r B . \displaystyle _{\mathbf {B},i},\qquad i=1,\ldots,r_{\mathbf {B}}.} 그러면 크로네커 곱 b B는 0이 아닌 rr 특이값을 갖는다 A B
σ A , i σ B , j , i = 1 , … , r A , j = 1 , … , r B . \displaystyle \mathbf {A},i}\display_{\mathbf {B},j},\qquad i=1,\ldots,r_{\mathbf {A}},j=1,\ldots,r_{\mathbf {B}}}}}. 행렬의 순위 는 0이 아닌 단수값의 수와 같기 때문에, 우리는 다음과 같은 것을 발견한다.
순위 ( A ⊗ B ) = 순위 A 순위 B . \displaystyle \operatorname {rank}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B})=\operatorname {rank} \mathbf {B}. 추상 텐서 곱과의 관계:
행렬의 크로네커 곱은 선형 지도의 추상 텐서 곱에 해당합니다. 만약 벡터 V, W, X및 Yspaces 특히, 염기{v1,..., vm},{w1,..., wn},{x1,..., xd},{y1,..., ye}, 각각 제공하고, 매트릭스 A와 B를 대표하는 선형 변환 S:V→ X, T:W→ Y, 각각 적절한 기지에 매트릭스 A⊗ B:V⊗ W두 지도, S⊗ T의 텐서 제품을 나타냈다→ X⊗ V w W의 기저1 v 1 ,w 1 v 2 ,w 2 ,v 1 ,v n m 마찬가지 y Y의 기저로서 A b B(v i w j w) = (Av i Bw j i 및 j 는 적절한 [9]
V 와 W가 Lie 대수 , S V T W W가 Lie 대수 동형사상 일 때, A 와 B의 크로네커 합은 유도 Lie 대수 동형사상 v W → V w 그래프 제품과의 관계 :
두 그래프 의 인접 행렬 의 크로네커 곱은 텐서 곱 그래프 의 인접 행렬이다. 두 그래프 의 인접 행렬의 크로네커 합은 데카르트 곱 [10] 그래프 의 인접 행렬이다. 행렬 방정식 크로네커 곱은 일부 행렬 방정식을 편리하게 표현하기 위해 사용할 수 있습니다. 예 C 여기 서 A, B 및 C 는 행렬이고 행렬 X는 미지입니다."벡 트릭"을 사용하여 이 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
( B T ⊗ A ) VEC ( X ) = VEC ( A X B ) = VEC ( C ) . \displaystyle \left(\mathbf {B} ^{\mathbf {T}}\otimes \mathbf {A} \오른쪽),\operatorname {vec}(\mathbf {X})=\operatorname {c}(\mathbf {C}) {c} } 여기서 vec(X )는 X의 열 을 하나 의 열 벡터 로 적층함으로써 형성된 행렬 X의 벡터화 를 나타낸다.
이제 B 가 반전 가능한 경우 에만 등식 AXB Horn & Johnson 1991, Lemma 4.3.1).
X 와 C가 각각 열 벡터 u 와 v에 행 순서일 경우(Jain 1989, 2.8 Block Matrix 및 Kronecker Products)
v = ( A ⊗ B T ) u . \displaystyle \mathbf {v} =\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\displayf {T}}\right)\mathbf {u} .} 그 이유는
v = VEC ( ( A X B ) T ) = VEC ( B T X T A T ) = ( A ⊗ B T ) VEC ( X T ) = ( A ⊗ B T ) u . {\displaystyle \mathbf {v} =\operatorname {vec} \left(\mathbf {AXB})^{\operatorname {vec} \left(\mathbf {B} ^{\mathbf {X} ^\mathbf {T} }) mathbf {B}^{\textsf {T}}\right)\mathbf {u} .} 적용들 이 공식의 적용 예는 랴푸노프 방정식의 문서를 참조하십시오. 이 공식은 행렬 정규 분포가 다변량 정규 분포의 특수한 경우임을 보여주는 데도 유용합니다. 이 공식은 2D 영상 처리 작업을 매트릭스-벡터 형식으로 표현하는 데도 유용합니다.
또 다른 예로는 행렬을 아다마르 곱으로 인수분해할 수 있는 경우 위의 공식을 사용하여 행렬 곱셈을 더 빠르게 수행할 수 있습니다. 이는 radix-2 FFT 및 Fast Walsh-Hadamard 변환 에서처럼 재귀적으로 적용될 수 있습니다. 알려진 행렬을 두 개의 작은 행렬의 하다마르 곱으로 나누는 것은 "가장 가까운 크로네커 곱" 문제로 알려져 있으며, SVD 를 사용하여 정확하게 해결할[11] 행렬을 최적 방식으로 두 개 이상의 행렬의 아다마르 곱으로 분할하는 것은 어려운 문제이며 진행 중인 연구의 주제이다. 일부 저자는 이를 텐서 분해 문제로 [12] [13]
크로네커 곱은 최소 제곱법 과 연계하여 손눈 교정 [14]
관련 매트릭스 연산 관련된 2개의 매트릭스 연산은 분할 된 매트릭스에서 동작하는 트레이시-싱과 카트리-라오 제품 이다. m n 행렬 A를 m × n j 블록i ij 분할 p × q 행렬 pk × q 블록ℓ kl δi i m δj j n δk k p δℓ qℓ
트레이시-싱 제품 Tracy-Singh 제품은 다음 과 같이 정의됩니다[15] [16] [17]
A ∘ B = ( A i j ∘ B ) i j = ( ( A i j ⊗ B k l ) k l ) i j \displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} \right)_{ij} =\left(\mathbf {A} _{ij} \otimes \mathbf {B} \right)_{ij} =\left(\light) 그 말은 융점의(ij)-th subblock × nq A제품 ∘{\displaystyle \circ}B가 없다는 것을 뜻한다는 mip× njq 행렬 Aij∘{\displaystyle \circ}B는(kℓ)-th subblock와 같습니다 mipk×njqℓ 행렬 Aij ⊗ Bkℓ.파티션의 2매트릭스에 각 쌍에 대한 기본적으로 Tracy–Singh 제품은 pairwise 크로네커 제품.
예를 들어, A 와 B가 모두 2 × 2 분할 행렬 인 경우 , 예를 들어 다음과 같습니다.
A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] , B = [ B 11 B 12 B 21 B 22 ] = [ 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ] , {\displaystyle \mathbf{A}=\left[{\begin{배열}{cc}\mathbf{A}_{11}&\mathbf{A}_{12}\\\hline \mathbf{A}_{21}&\mathbf{A}_{22}\end{배열}}\right]=\left[{\begin{배열}{ccc}1&, 2&, 3\\4&, 5&, 6\\\hline 7&, 8&, 9\end{배열}}\right],\quad\mathbf{B}=\left는 경우에는{\begin{배열}{cc}\mathbf{B}_{11}&, \mathbf{B}_{12}\\\h.선 \mathbf{B}_{21}&, \mathbf{B}말이다. {22}\end {array}\right]=\left[{\carray}{c c}1&7\hline 2&5&8\3&6&9\end {array}\right],} 다음과 같은 것을 얻을 수 있습니다.
A ∘ B = [ A 11 ∘ B A 12 ∘ B A 21 ∘ B A 22 ∘ B ] = [ A 11 ⊗ B 11 A 11 ⊗ B 12 A 12 ⊗ B 11 A 12 ⊗ B 12 A 11 ⊗ B 21 A 11 ⊗ B 22 A 12 ⊗ B 21 A 12 ⊗ B 22 A 21 ⊗ B 11 A 21 ⊗ B 12 A 22 ⊗ B 11 A 22 ⊗ B 12 A 21 ⊗ B 21 A 21 ⊗ B 22 A 22 ⊗ B 21 A 22 ⊗ B 22 ] = [ 1 2 4 7 8 14 3 12 21 4 5 16 28 20 35 6 24 42 2 4 5 8 10 16 6 15 24 3 6 6 9 12 18 9 18 27 8 10 20 32 25 40 12 30 48 12 15 24 36 30 45 18 36 54 7 8 28 49 32 56 9 36 63 14 16 35 56 40 64 18 45 72 21 24 42 63 48 72 27 54 81 ] . \displaystyle \mathbf {A} \displaystyle \mathbf {B} = {\left[{\display {array} {c c}\mathbf {A} \mathbf {B} &\mathbf {A} \mathbf {A} \hline \={}&, \left는 경우에는{\begin{배열}{cccc}\mathbf{A}_{11}\otimes{B}_{11}& \mathbf, \mathbf{A}_{11}\otimes{B}_{12}& \mathbf, \mathbf{A}_{12}\otimes{B}_{11}& \mathbf, \mathbf{A}_{11}\otimes{B}_{21}& \mathbf \mathbf{A}_{12}\otimes{B}_{12}\\\hline \mathbf, \mathbf{A}_{11}\otimes{B}_{22}& \mathbf,\mathbf{A}_{12}\ot.imes\mathbf{B}_{21}&^ \mathbf{A}_{21}\otimes{B}_{11}& \mathbf Mathbf{A}, \mathbf{A}_{21}\otimes{B}_{12}& \mathbf, \mathbf{A}_{22}\otimes{B}_{11}& \mathbf, \mathbf{A}_{21}\otimes{B}_{21}& \mathbf \mathbf{A}_{22}\otimes{B}_{12}\\\hline \mathbf, \mathbf{A}_{21}\otimes{B}_{22}& \mathbf, \mathbf{A}_{\mathbf{B}_{22}\\\hline _{12}\otimes.22}\mathbf \otimes{ B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end {array}\right] \ \={}&, \left는 경우에는{\begin{배열}{ccccccccc}1&, 2&, 4&, 7&, 8&, 14&, 3&, 12&, 21\\4&, 5&, 16&, 28&, 20&, 35&, 6&, 24&, 42\\\hline 2&, 4&, 5&, 8&, 10&, 16&, 6&, 15&, 24\\3&, 6&, 6&, 9&, 12&, 18&, 9&, 18&, 27\\8&, 10&, 20&, 32&, 25&, 40&, 12&, 30&, 48\\12&하세요;15.&24&, 36&, 30&, 45&, 18&, 36&, 54\\\hline 7&, 8&, 28&, 49&, 32&, 56&, 9&, 36&, 63\\\hline 14&, 16&, 35&, 56&, 40&, 64&, 18&, 45&, 72\\21&, 24&, 42&, 63&, 48&, 72&, 27&, 54&, 81\end{배열}}\right 뻗는다. \end { aligned}} 카트리-라오 제품 블록 크로네커 제품 칼럼와이즈 카트리-라오 제품 페이스 스플릿 혼합 제품 속성[18]
A ⊗ ( B ∙ C ) = ( A ⊗ B ) ∙ C , \displaystyle \mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \displaystyle \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\displaystyle \mathbf {C}, 여기서 {\ displaystyle bullet [19] [20] } 분할 제품을 나타냅니다.
( A ∙ B ) ( C ⊗ D ) = ( A C ) ∙ ( B D ) , \displaystyle(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\displaystyle(\mathbf {B} \mathbf {D} ), 마찬가지로:[21]
( A ∙ L ) ( B ⊗ M ) ⋯ ( C ⊗ S ) = ( A B ⋯ C ) ∙ ( L M ⋯ S ) , \displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {L} \mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S})=(\mathbf {A} \cdots\mathbf {C} \mathbf {C}) c T ∙ d T = c T ⊗ d T , {\displaystyle \mathbf {c} ^{\displayf {T}}\bullet \mathbf {d} ^{\displaystyle {T}} =\mathbf {c} ^{\displayf {T}} ^{\mathbf {T}}}}} 여기 \ displaystyle \mathbf {c} 및 \ displaystyle \mathbf {d} [22] 벡터 입니다.
( A ∙ B ) ( c ⊗ d ) = ( A c ) ∘ ( B d ) , \displaystyle(\mathbf {A} \mathbf {B} )(\mathbf {c} \otimes \mathbf {d})=(\mathbf {A} \mathbf {c})\displaystyle(\mathbf {B} \mathbf {d} ) 여기 {\displaystyle \mathbf } {\ \mathbf d {\ {\displaystyle circ} Hadamard 곱 입니다.
마찬가지로:
( A ∙ B ) ( M N c ⊗ Q P d ) = ( A M N c ) ∘ ( B Q P d ) , \displaystyle(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {N} \mathbf {c} \otimes \mathbf {Q} \mathbf {d} =(\mathbf {A} \mathbf {D} \mathbf {M}) F C x 2 y = F 1 F )) = F x 2 y displaystyle ^ x star ） Y 여기서 {\ displaystyle \star} 컨볼루션 , displaystyle mathcal {F}}} 푸리에 변환 매트릭스입니다(이 결과는 카운트 스케치 [19] [20] 속성 이[23]
( A ∙ L ) ( B ⊗ M ) ⋯ ( C ⊗ S ) ( K ∗ T ) = ( A B ⋅ C K ) ∘ ( L M ⋯ S T ) , \displaystyle(\mathbf {A} \mathbf {L} \mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} \mathbf {T})=\mathbf {B} 여기서 {\ displaystyle \ast } Column-wise Khatri-Rao 제품 을 나타냅니다.
마찬가지로:
( A ∙ L ) ( B ⊗ M ) ⋯ ( C ⊗ S ) ( c ⊗ d ) = ( A B ⋯ C c ) ∘ ( L M ⋯ S d ) , \displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {L} \mathbf {M} ) \cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} ) = (\mathbf {A} \mathbf {M} \cdots} \cdots ( A ∙ L ) ( B ⊗ M ) ⋯ ( C ⊗ S ) ( P c ⊗ Q d ) = ( A B ⋯ C P c ) ∘ ( L M ⋯ S Q d ) , \displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {L} \mathbf {B} \otimes \mathbf {M} ) \cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} \mathbf {C} \mathbf {S} \mathbf {DF}) 여기 \ displaystyle \mathbf {c} 및 \ displaystyle \mathbf {d} 벡터 입니다.
「 」를 참조해 주세요. 메모들 ^ Weisstein, Eric W. "Kronecker product" . mathworld.wolfram.com . Retrieved 2020-09-06 . ^ Zehfuss, G. (1858). "Ueber eine gewisse Determinante" . Zeitschrift für Mathematik und Physik . 3 : 298–301. ^ Henderson, Harold V.; Pukelsheim, Friedrich; Searle, Shayle R. (1983). "On the history of the kronecker product" . Linear and Multilinear Algebra . 14 (2): 113–120. doi :10.1080/03081088308817548 . hdl :1813/32834 ISSN 0308-1087 . ^ Henderson, H.V.; Searle, S.R. (1980). "The vec-permutation matrix, the vec operator and Kronecker products: A review" (PDF) . Linear and Multilinear Algebra . 9 (4): 271–288. doi :10.1080/03081088108817379 . hdl :1813/32747 ^ Van Loan, Charles F. (2000). "The ubiquitous Kronecker product" . Journal of Computational and Applied Mathematics . 123 (1–2): 85–100. Bibcode :2000JCoAM.123...85L . doi :10.1016/s0377-0427(00)00393-9 ^ Langville, Amy N. ; Stewart, William J. (1 June 2004). "The Kronecker product and stochastic automata networks" . Journal of Computational and Applied Mathematics . 167 (2): 429–447. Bibcode :2004JCoAM.167..429L . doi :10.1016/j.cam.2003.10.010 ^ MacEdo, Hugo Daniel; Oliveira, José Nuno (2013). "Typing linear algebra: A biproduct-oriented approach". Science of Computer Programming . 78 (11): 2160–2191. arXiv :1312.4818 Bibcode :2013arXiv1312.4818M . CiteSeerX 10.1.1.747.2083 doi :10.1016/j.scico.2012.07.012 . S2CID 9846072 . ^ Brewer, J.W. (1969). "A note on Kronecker matrix products and matrix equation systems". SIAM Journal on Applied Mathematics . 17 (3): 603–606. doi :10.1137/0117057 . ^ ^ 를 참조해 주세요. ^ Van Loan, C.; Pitsianis, N. (1992). Approximation with Kronecker Products . Ithaca, NY: Cornell University Press. ^ King Keung Wu; Yam, Yeung; Meng, Helen; Mesbahi, Mehran (2016). "Kronecker product approximation with multiple factor matrices via the tensor product algorithm". 2016 IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics (SMC) . pp. 004277–004282. doi :10.1109/SMC.2016.7844903 . ISBN 978-1-5090-1897-0 S2CID 30695585 . ^ Dantas, Cássio F.; Cohen, Jérémy E.; Gribonval, Rémi (2018). "Learning fast dictionaries for sparse representations using low-rank tensor decompositions" . Latent Variable Analysis and Signal Separation (PDF) . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 10891. pp. 456–466. doi :10.1007/978-3-319-93764-9_42 . ISBN 978-3-319-93763-2 ^ Li, Algo; et al. (4 September 2010). "Simultaneous robot-world and hand-eye calibration using dual-quaternions and Kronecker product" (PDF) . International Journal of the Physical Sciences . 5 (10): 1530–1536. S2CID 7446157 . Archived from the original (PDF) on 9 February 2020. ^ Tracy, D.S.; Singh, R.P. (1972). "A new matrix product and its applications in matrix differentiation". Statistica Neerlandica . 26 (4): 143–157. doi :10.1111/j.1467-9574.1972.tb00199.x . ^ Liu, S. (1999). "Matrix Results on the Khatri–Rao and Tracy–Singh Products" . Linear Algebra and Its Applications . 289 (1–3): 267–277. doi :10.1016/S0024-3795(98)10209-4 ^ Liu, S.; Trenkler, G. (2008). "Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products". International Journal of Information and Systems Sciences . 4 (1): 160–177. ^ Slyusar, V.I. (1998) [27 December 1996]. "End products in matrices in radar applications" (PDF) . Radioelectronics and Communications Systems . 41 (3): 50–53. ^ a b Slyusar, Vadym (1999). "New matrix operations for DSP" (self-published lecture). doi :10.13140/RG.2.2.31620.76164/1 – via Research Gate. ^ a b Slyusar, V.I. (March 13, 1998). "A Family of Face Products of Matrices and its Properties" (PDF) . Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 1999 . 35 (3): 379–384. doi :10.1007/BF02733426 . S2CID 119661450 . ^ Slyusar, V.I. (1997-09-15). New operations of matrices product for applications of radars (PDF) . Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv. pp. 73–74. ^ Ahle, Thomas Dybdahl; Knudsen, Jakob Bæk Tejs (2019-09-03). "Almost optimal tensor sketch". arXiv :1909.01821 cs.DS ]. ^ Ninh, Pham; Pagh, Rasmus (2013). Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps . SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining. Association for Computing Machinery. doi :10.1145/2487575.2487591 .
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벡터화 연산자의 역수입니다(
![\mathbf{A} =
\left[
\begin{array} {c | c}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\
\hline
\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22}
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array} {c c | c}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\hline
7 & 8 & 9
\end{array}
\right]
,\quad
\mathbf{B} =
\left[
\begin{array} {c | c}
\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} \\
\hline
\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22}
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array} {c | c c}
1 & 4 & 7 \\
\hline
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{array}
\right]
,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53cde028551100b310943f25b2028a764436687)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ={}&\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{12}\circ \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A} _{21}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\circ \mathbf {B} \end{array}}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{c | c | c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{22}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{c c | c c c c | c | c c}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9db8d2cd6699bcf107b36674a3542ca635e19ff)
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