밴드(알지브라)

수학에서 밴드(idempotent sem그룹이라고도 함)는 모든 요소가 idempotent(즉, 자신의 제곱과 동일)인 세미그룹이다.밴드들은 A에 의해 처음 연구되고 이름지어졌다. H. 클리포드(1954); 다양한 밴드들의 격자는 1970년대 초 비류코프, 페네모어, 게르하드에 의해 독립적으로 설명되었다.^[1]반음표, 좌-제로 밴드, 우-제로 밴드, 직사각형 밴드, 정상 밴드, 좌-정규 밴드, 우-정규 밴드 및 일반 밴드, 이 격자 하단에 가까운 밴드의 특정 하위 클래스 등이 특히 관심사이며 아래에 간략하게 설명되어 있다.

밴드의 다양성

하위그룹, 동형상 이미지, 직접제품의 형성에 따라 폐쇄될 경우 한 등급의 밴드가 다양성을 형성한다.각각의 다양한 밴드들은 하나의 정의 정체성으로 정의될 수 있다.^[2]

반일율

반일격은 정확히 서로 교환되는 대역이다. 즉, 그들은 방정식을 만족하는 대역이다.

• xy = 모든 x와 y의 yx.

대역은 $x{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle y}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ $x\leq$ y$}$인 경우에만$$ x may y {\displaystyle $xy=x}$로 정의될 수 있는 사전 순서를 유도한다.$$ 동시성을 요구하는 것은 이 사전 순서가 (semilattice) 부분 순서가 된다는 것을 의미한다.

제로 밴드

좌영 대역은 방정식을 만족하는 대역이다.

• xy = x,

그것의 Cayley 테이블은 일정한 행을 가지고 있다.

대칭적으로, 오른쪽-제로 밴드는 만족스러운 밴드다.

• xy = y,

케이리 테이블이 일정한 열을 가지도록.

직사각형 밴드

직사각형 밴드는 S를 만족시키는 밴드다.

1. xyx = 모든 x에 대한 x, y ∈ S 또는 동등하게
2. xyz = 모든 x, y, z ∈ S에 대한 xz,

어떤 세미그룹에서든 첫 번째 아이덴티티는 Nowver communative semi그룹을 특징 짓기에 충분하다.

어느 곳에서도 상호 작용하는 세미그룹도 첫 번째 정체성을 내포하고 있지 않다.

모든 유연한 마그마$({\displaystyle a}$ )에서${\displaystyle }$a = ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle }$) ${\displaystyle (aaa)a=a(aa)}$ 따라서$$ 모든 원소는 정사각형과 통한다.그래서 Any Unwhere communative semigroups에서는 모든 요소가 idempotent이기 때문에 Annow communative semigroups는 사실 Nowwhere communative band이다.

따라서 어느 곳에서도 같은 조합의 세미그룹으로 분류할 수 있다.

${\displaystyle x(xyx)=(xx)yx=xy(xx)=(xx)x}$

따라서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle xyx}$과(와) 통용되며$$, ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ x${\displaystyle }$x = ${\displaystyle x}${\$displaystyle xyx=x}$ - 첫 번째 특성 식별.$$

어떤$$ 세미그룹에서든 ${\displaystyle a}$= a =$$ {\$displaystyle$ a$=aaa},$ ${\displaystyle a}$= ${\displaystyle a}$= ${\displaystyle a}$ = a = a${\displaystyle (a}$ ) = ${\displaystyle a}$= ${\displaystyle a}$ = a = a = a = a = a = a = a = a = a = a = a = a$(a)a=a$}a}a$}$는 idempotent(밴드)를 의미한다.그러면

밴드$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⟹}$( x ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle x}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle xy=yx\implies (xy)=($yx)=($yx)(xy)}$ 따라서 밴드에서는 (xy$)($xy)}

${\displaystyle xy=yx\cHB x=x(yy)x=(xy)=(xx)=yx(xx)=yx=yx=yx=y}$

어떤 세미그룹에서든 xyz = xy(zxz) = (x(yz)x)z = xz이기 때문에 첫 번째 아이덴티티는 두 번째 아이덴티티를 의미하기도 한다.

직사각형 세미그룹의 IDempotent는 직사각형 밴드인 하위 밴드를 형성하지만 직사각형 세미그룹은 IDempotent가 아닌 요소를 가질 수 있다.밴드에서 두 번째 정체성은 분명히 첫 번째 정체성을 내포하고 있지만 그것은 특이함을 필요로 한다.두 번째 정체성을 충족시키지만 밴드는 아니며 첫 번째 정체성을 충족시키지 못하는 세미그룹이 존재한다.

직사각형 띠의 완전한 분류가 있다.임의의 집합 I와 J가 주어진 경우, 설정하여 I × J에 대한 마그마 연산을 정의할 수 있다.

$(i,j)\cdot(k,\ell )=(i,\ell )\,}$

이 수술은 연관성이 있다. 왜냐하면 어떤 세 쌍의 (i_x, j_x), (i_y, j_y), (i_z, j_z) 우리는

${\displaystyle ((i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{y}))\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})}$$$ 마찬가지로

${\displaystyle (i_{x},j_{x})\cdot ((i_{y},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z}))=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})}$

이 두 마그마 정체성은

(xy)z = xz 및

x(yz) = xz는 위의 두 번째 특성 아이덴티티와 동일하다.

또한 이 둘은 연관성(xy)z =x(yz)을 암시한다.따라서 이 두 개의 직사각형 정체성과 특이점을 만족시키는 마그마는 직사각형 띠가 된다.그래서 특징적인 정체성(별도의 4가지 마그마 정체성)을 모두 만족시키는 모든 마그마는 하나의 띠가 되고 따라서 직사각형의 띠가 된다.

위에서 정의한 마그마 연산은 직사각형 띠인데, 왜냐하면 어떤 쌍(i, j)에 대해서도 우리는 (i, j) · (i, j) = (i, j)를 가지고 있기 때문에 모든 원소는 공전(idempotent)이며, 첫 번째 카라케라시즘적 정체성은 공전(idempotent)과 함께 두 번째부터 따르기 때문이다.

그러나 첫 번째 특징과 특색을 위해 정체성만을 만족시키는 마그마는 연관될 필요가 없으므로 두 번째 특성은 세미그룹에서 첫 번째 특징으로부터만 따른다.

Any rectangular band is isomorphic to one of the above form (either ${\displaystyle S}$ is empty, or pick any element ${\displaystyle e\in S}$, and then (${\displaystyle s\mapsto (se,es)}$) defines an isomorphism ${\displaystyle S\cong Se\times eS}$).왼쪽-제로와 오른쪽-제로 밴드는 직사각형 밴드로, 사실 모든 직사각형 밴드는 왼쪽-제로 밴드와 오른쪽-제로 밴드의 직접 생산물에 대해 이형성이 있다.프라임 오더의 모든 직사각형 띠는 왼쪽이나 오른쪽 중 어느 쪽이든 제로 밴드다.직사각형 띠는 좌영 또는 우영(우영) 띠가 아니라면 순전히 직사각형이라고 한다.^[3]

In categorical language, one can say that the category of nonempty rectangular bands is equivalent to ${\displaystyle \mathrm {Set} _{\neq \emptyset }\times \mathrm {Set} _{\neq \emptyset }}$, where ${\displaystyle \mathrm {Set} _{\neq \emptyset }}$ is the category with nonempty sets as형태론으로서의 물체와 기능.이는 모든 비빈 직사각형 밴드가 한 쌍의 세트에서 오는 것과 같은 이형성일 뿐만 아니라, 이 세트들 또한 규범적인 이형성까지 독특하게 결정되며, 밴드들 사이의 모든 동형성은 세트들 사이의 함수 쌍에서 나온다는 것을 의미한다.^[4]위의 결과에서 세트 I이 비어 있는 경우, 직사각형 밴드 I × J는 J와 독립적이며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.위의 결과가 비어 있지 않은 직사각형 밴드와 비어 있지 않은 세트 쌍 사이의 동등성만을 제공하는 이유다.

Rectangular bands are also the T-algebras, where T is the monad on Set with T(X)=X×X, T(f)=f×f, ${\displaystyle \eta _{X}}$ being the diagonal map ${\displaystyle X\to X\times X}$, and ${\displaystyle \mu _{X}((x_{11},x_{12}),($$x_{21},x_{22})=(x_{11},x_{22$

일반 밴드

일반 밴드는 S가 만족하는 밴드다.

• zxyz = 모든 x, y, z에 대한 zyxz.

우리는 또한 일반적인 밴드는 S가 만족하는 밴드라고 말할 수 있다.

• axyb = 모든 a, b, x, y ∈ S에 대한 axb.

이것은 메디알 마그마를 정의할 때와 같은 방정식으로, 정상 밴드를 메디알 밴드라고도 할 수 있으며, 정상 밴드는 메디알 마그마의 예다.^[3]

좌정악대

좌정악단은 S를 만족시키는 밴드다.

• xyx = 모든 x에 대해 xy, y ∈ S

만약 우리가 sem그룹을 가지고 만약 그리고 만약 ab = b이면 b를 정의한다면, 우리는 이 sem그룹을 좌정규범대역인 경우에만 부분 주문을 얻는다.따라서 좌정규격의 대역은 양성의 연구에서도 자연스럽게 나타난다.^[5]

우익 밴드

오른쪽 정규 밴드는 S가 만족하는 밴드다.

• xyx = 모든 x에 대한 yx, y s S

어떤 우파 밴드든 반대 제품을 사용하여 좌파 정규 밴드가 된다.실제로, 모든 종류의 밴드는 '반대' 버전을 가지고 있다; 이것은 아래 그림에서 반사 대칭을 발생시킨다.

정규 밴드

정규 밴드는 S를 만족시키는 밴드다.

• zxzyz = 모든 x, y, z ∈ S에 대한 zxyz

품종 격자

포함에 의해 부분적으로 주문하면 밴드의 품종이 자연스럽게 격자를 형성하는데, 두 품종의 만남은 그들의 교차점이고 두 품종의 결합은 두 품종을 모두 포함하는 가장 작은 품종이다.이 격자의 전체 구조는 알려져 있다; 특히, 그것은 셀 수 있고, 완전하며, 분배적이다.^[1]13종의 일반 밴드로 구성된 서브라티스가 도표에 나와 있다.좌영 대역, 반밀도, 우영 대역의 다양성은 이 격자의 세 원자(비종교 최소 원소)이다.

그림에서 보여지는 각각의 다양한 밴드들은 하나의 아이덴티티로 정의된다.이것은 우연이 아니다: 사실, 모든 다양한 밴드들은 하나의 정체성에 의해 정의될 수 있다.^[1]

참고 항목

• 부울 링, 모든 요소가 (복수적으로) idempotent인 링
• 상호 작용하는 세미그룹
• 세미그룹의 특수계급
• 정교회 세미그룹
• 가역성 셀룰러 오토매틱 § 1차원 오토마타

메모들

참조

• Biryukov, A. P. (1970), "Varieties of idempotent semigroups", Algebra and Logic, 9 (3): 153–164, doi:10.1007/BF02218673.
• Brown, Ken (2000), "Semigroups, rings, and Markov chains", J. Theoret. Probab., 13: 871–938, arXiv:math/0006145, Bibcode:2000math......6145B.
• Clifford, Alfred Hoblitzelle (1954), "Bands of semigroups", Proceedings of the American Mathematical Society, 5: 499–504, doi:10.1090/S0002-9939-1954-0062119-9, MR 0062119.
• Clifford, Alfred Hoblitzelle; Preston, Gordon Bamford (1972), The Algebraic Theory of Semigroups, Moscow: Mir.
• Fennemore, Charles (1970), "All varieties of bands", Semigroup Forum, 1 (1): 172–179, doi:10.1007/BF02573031.
• Gerhard, J. A. (1970), "The lattice of equational classes of idempotent semigroups", Journal of Algebra, 15 (2): 195–224, doi:10.1016/0021-8693(70)90073-6, hdl:10338.dmlcz/128238.
• Gerhard, J. A.; Petrich, Mario (1989), "Varieties of bands revisited", Proceedings of the London Mathematical Society, 3: 323–350, doi:10.1112/plms/s3-58.2.323.
• Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford U. Press, ISBN 978-0-19-851194-6.
• Nagy, Attila (2001), Special Classes of Semigroups, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-6890-8.
• Yamada, Miyuki (1971), "Note on exclusive semigroups", Semigroup Forum, 3 (1): 160–167, doi:10.1007/BF02572956.