홉프알제브라의 표현 이론

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추상 대수학에서 홉프 대수학의 표현은 그 기초적인 연관 대수학의 표현이다. 즉, 필드 K에 대한 Hopf 대수 H의 표현은 K-벡터 공간 V로서 작용 H × V → V가 대칭으로 표시된다(즉, (h,v)의 이미지는 hv라고 쓰여 있다). 벡터 공간 V는 H-모듈이라고 불린다.

특성.

Hopf 대수 H를 나타내는 모듈 구조는 단순히 기초적인 연관 대수 모듈로서의 구조일 뿐이다. Hopf 대수학의 추가 구조를 고려하는 주된 용도는 모든 H-모듈을 범주로 고려할 때 사용된다. 추가 구조는 H-모듈 V의 불변 요소를 정의하는 데도 사용된다. V의 원소 V는 H의 모든 H에 대해 hv = ((h)v인 경우 H의 하에서는 불변한다. 여기서 ε은 H의 상담이다. V의 모든 불변 요소의 하위 집합은 V의 하위 집합을 형성한다.

홉프 알제브라의 동기로서의 표현 범주

연관 대수 H의 경우, 두 H-모듈 V와₁₂ V의 텐서 제품₁ V v₂ V는 벡터 공간이지만 반드시 H-모듈은 아니다. 텐서 제품이 H-module에 대한 functorial 제품 운영이 되려면, V₁ ⊗ V에₂ 있는 모든 V와 H에 있는 모든 H에 대해 선형 2진법 Δ : H → H ⊗ H가 있어야 한다.

${\displaystyle hv=\Delta h(v_{(1)}\times v_{(2)}=h_{(1)v_{(1)}\times h_{(2)}v_{(2)}}}}}$

그리고₁ V v₂ V에서는 어떤 V, 그리고 A와 B에서는 H에서는

${\displaystyle \Delta (ab)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}=(ab)v=a[b]==\Delta a[\Delta a[\Delta b(v_{(1)}\otimes v_{(2)}]=(\Delta a)(\Delta b)(v_{(1)}\otimes v_{(2)})]=(\Delta a)(\Delta b).}$

아인슈타인의 합계 협약의 지표가 없는 형태인 sumless sweedler의 표기법을 사용한다. 이는 모든 a, b in H에 대해 Δ(ab) = Δ(a)Δ(b)가 있는 경우 충족된다.

For the category of H-modules to be a strict monoidal category with respect to ⊗, ${\displaystyle V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})}$ and ${\displaystyle (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}}$ must be equivalent and there must be unit object ε_H, called the trivial module, such ε_H ⊗ , V, and ε이_H 등가라는 것.

이는 모든 v-in에 대해

${\displaystyle V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3}}=(V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}}}}$

그리고 H는 H,

${\displaystyle ((\operatorname {id} \otimes \Delta )\Delta h)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}\otimes v_{(3)})=h_{(1)}v_{(1)}\otimes h_{(2)(1)}v_{(2)}\otimes h_{(2)(2)}v_{(3)}=hv=((\Delta \otimes \operatorname {id} )\Delta h)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}\otimes v_{(3)}).}$

이는 Δ가 만족하는 경우 3개의 H-모듈에 대해 유지된다.

${\displaystyle(\operatorname {id} \otimes \Delta )\Delta A=(\Delta \otimes \operatorname {id} )\Delta A.}$

사소한 모듈은 1차원적이어야 하며, 따라서 대수동형성 ism : H → F는 hv의 모든 v에_H 대해 hv = ε(h)v로 정의될 수 있다. 사소한 모듈은 F로 식별할 수 있으며, 1은 모든 v에 대해 1 ⊗ v = v = v ⊗ 1과 같은 요소다. H-모듈 V의 어떤 v, ε의_H 어떤 c, 그리고 H의 어떤 h에 대해서도 그 뒤를 따른다.

${\displaystyle (\varepsilon (h_{(1)})h_{(2)}h_{{(1)c\otimes h_{(2)v=h(c\otimes v)=h(1)}\varepsilon(h_{(2)}).}$

대수동형성의 존재 ε 만족

${\displaystyle \varepsilon (h_{(1)}h_{(2)}=h=h=h_{(1)\varepsilon (h_{(2)}}}$

사소한 모듈이 존재하기에 충분한 조건이다.

따라서 텐서 제품에 관한 H-모듈의 범주가 단면적인 범주가 되기 위해서는 H가 이러한 조건을 만족하는 지도 Δ와 ε을 갖는 것으로 충분하다. 이것이 바이알지브라 정의의 동기인데, 여기서 Δ는 콤멀티플렉스라고 하고 Δ는 카운티라고 한다.

각 H-모듈 V가 기본 벡터 공간이 이중이고 연산 *이 H-모듈의 단일 범주에 걸쳐 functorial이 되도록 이중 표현 V를 가지려면 H의 모든 H, V*의 x 및 y에 대해 선형 지도 S : H → H가 있어야 한다.

${\displaystyle \langle y, S(h)x\angle =\langle hy,x\angle .}$

여기서 ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle ,}$ , {${\displaystyle \{}$ { ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \angle }$은 이중 벡터 공간의 일반적인 쌍이다. 지도 $map{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\$ V$^{*}\$오른쪽 $화살표 \varpilon _{H}$가 H-호모형이어야 하며, 그 다음, V*의 모든 H, x, y에 대해$$,

${\displaystyle \varphi \left(h(x\otimes y)\right)=\varphi \left(x\otimes S(h_{(1)})h_{(2)}y\right)=\varphi \left(S(h_{(2)})h_{(1)}x\otimes y\right)=h\varphi (x\otimes y)=\varepsilon (h)\varphi (x\otimes y),}$

이라면 만족한다.

${\displaystyle S(h_{(1)}}h_{(2)}=\varepsilon(h)=h_{(1)S(h_{(2)}}$

H에 있는 모든 사람에게

만일 그러한 지도 S가 있다면, 그것을 대척수라고 하며, H는 홉프 대수라고 한다. 따라서 펑토릭 텐서 제품과 이중표현이 있는 모듈의 단일 범주에 대한 욕구는 Hopf 대수학의 개념에 대한 하나의 동기부여가 된다.

대수적 표현

호프 대수학에는 추가적인 구조, 즉 알헤브라스라는 표현이 있다.

H를 호프 대수학으로 하자. A가 제품 연산 μ를 가진 대수라면 : A ⊗ A → A, ρ : H ⊗ A → A는 H를 나타낸 것이고, μ가 H 등가라면 ρ은 대수에서 H를 나타낸다고 한다. 특별한 경우로서, 리 알헤브라스, 리 슈퍼알제브라스, 그룹 또한 대수학에서 대표성을 가질 수 있다.

참고 항목

• 타나카-크레인 재건 정리