결과물

수학에서, 두 다항식의 결과물은 계수의 다항식인데, 다항식이 공통의 근원을 가지고 있는 경우(아마 필드 확장에 있을 경우), 또는 동등하게 공통 인자(계수 영역에 걸쳐)를 갖는 경우에만 0과 같다. 일부 오래된 문헌에서는 결과물을 제거제라고도 한다.^[1]

결과물은 직접 또는 판별을 통해 수 이론에 널리 사용되는데, 이는 본질적으로 다항식 및 그 파생물의 결과물이다. 합리적 또는 다항식 계수를 가진 두 다항식의 결과는 컴퓨터에서 효율적으로 계산될 수 있다. 컴퓨터 대수학의 기본 도구로, 대부분의 컴퓨터 대수 시스템에 내장되어 있는 기능이다. 원통형 대수분해, 합리함수의 통합, 이바리테 다항식(bivariate polyomial)에 의해 정의된 곡선의 도면에 특히 사용된다.

n개의 변수에 있는 n개의 동종 다항식 결과물(다변수 결과물 또는 이를 일반적인 결과물과 구별하기 위한 맥컬레이 결과물이라고도 함)은 일반적인 결과물인 맥컬레이가 도입한 일반화다.^[2] 그뢰브너 기지와 함께 효과적인 제거 이론(컴퓨터의 제거 이론)의 주요 도구 중 하나이다.

표기법

두 개의 단변 다항식 A와 B의 결과물은 일반적으로 ${\displaystyle \mathrm{res}}$res (${\displaystyle A,}$ B${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {res}$ ($A,$${\displaystyle B}$$)}$ 또는$$ ${\displaystyle \mathrm{Res}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle A,}$ B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaysty \operatorname {Res}$ ($A,B)$로 표시된다$.$$}$

결과물의 많은 적용에서, 다항식은 몇 개의 불연속성에 의존하며, 그 불연속 중 하나의 불연속 다항식을 계수로 간주할 수 있다. 이 경우 결과물을 정의하고 계산하기 위해 선택한 불확정성은 ${\displaystyle {\mathrm{res}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle A}$, B${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)$ 또는$$ ${\displaystyle {\mathrm{res}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$. ${\displaysty \operatorname {res} _{x}(A,B$) 첨자로 표시된다$.$$}$

다항식의 정도는 결과물의 정의에 사용된다. 단, d의 다항식은 선행 계수가 0인 경우 더 높은 수준의 다항식으로도 간주할 수 있다. If such a higher degree is used for the resultant, it is usually indicated as a subscript or a superscript, such as ${\displaystyle \operatorname {res} _{d,e}(A,B)}$ or ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}^{d,e}(A,B).$$}$

정의

한 필드 또는 정류 링 위에 있는 두 개의 단변 다항식의 결과는 일반적으로 실베스터 행렬의 결정요인으로 정의된다. 더 정확히 말하자면, 그렇게 합시다.

${\displaystyle A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}}$

그리고

${\displaystyle B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}}$

d도와 e의 0이 아닌 다항식이다. P ${\displaystyle i_{}}$ ${\$을(를) 기준으로$$ 표시하자. 이 경우, 벡터 공간(또는 계수가 역류 링에 속할 경우 자유 모듈)은 i보다 완전히 낮은 수준의 다항식이다. 지도

${\displaystyle \varphi :{\mathcal{P}_{e}\time {\mathcal {P}{d}\오른쪽 화살표 {\mathcal {P}_{d+e}}}}$

그런

$\displaystyle \varphi(P,Q)=AP+BQ}$

같은 차원의 두 공간 사이의 선형 지도 입니다. x의 힘(내림차순으로 나열됨)에 기초하여 이 지도는 치수 d + e의 사각 행렬로 표현되는데, A와 B의 실베스터 행렬이라고 한다(많은 저자와 기사 실베스터 행렬에서 실베스터 행렬은 이 행렬의 전이로 정의된다; 이 규약은 usu를 깨뜨리기 때문에 여기서는 사용되지 않는다.선형 지도의 행렬을 쓰기 위한 규칙).

따라서 A와 B의 결과는 결정 요인이다.

${\displaystyle{\begin{vmatrix}a_{0}&, 0&, \cdots, 0&, b_{0}&, 0&, \cdots &, 0\\a_{1}&, a_{0}&, \cdots &, 0&, b_{1}&, b_{0}&, \cdots &, 0\\a_{2}&, a_{1}&, \ddots &, 0&, b_{2}&, b_{1}&, \ddots &, 0\\\vdots &, \vdots &, \ddots &, a_{0}&, \vdots &, \vdots &, \ddots &, b_{0}\\a_{d}&, a_{d-1}&a &.Mp, \cdots, \vdots & &, b_{e}&, b_{e-1}&, \cdots, \vdots \\0&, a_{d}&, \ddots &, \vdots & &, 0&, b_{e}&, \ddots, \vdots \\\vdots &, \vdots & &, \ddot.s &a_{d-1}&\vdots &\vdots &\ddots &b_{e-1}\\0&0&\cdots &a_{d0&0&\cdots &b_{e}\end{vmatrix},},}$

a_ij 및 d 열의 e 열(a의 첫 번째 열과 b의 첫 번째 열의 길이가 같다는 사실, 즉 d = e는 결정 인자의 표시를 단순화하기 위해 여기에 있다). 예를 들어, d = 3과 e = 2를 선택하면

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{0}&0&b_{0}&0&0\\a_{1}&a_{0}&b_{1}&b_{0}&0\\a_{2}&a_{1}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\a_{3}&a_{2}&0&b_{2}&b_{1}\\0&a_{3}&0&0&b_{2}\end{vmatrix}}.}$

다항식 계수가 적분 도메인에 속하는 경우

${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}b_{0}^{d}\prod _{\begin{array}{c}1\leq i\leq d\\1\leq j\leq e\end{array}}(\lambda _{i}-\mu _{j})=a_{0}^{e}\prod _{i=1}^{d}B(\lambda _{i})=(-1)^{de}b_{0}^{d}\prod _{j=1}^{e}A(\mu _{j}),}$

여기서 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ $d \$_{1},\lambda$_{d$$},$${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{\mu e}_{}}$ e ${\$}는 각각 뿌리로서$$, 도메인을 포함하는 모든 대수적으로 닫힌 분야에서 A와 B의 곱으로 계산된다. 이것은 아래에 나타난 결과물 특성 특성화의 직접적인 결과물이다. 일반적인 정수 계수의 경우 대수적으로 닫힌 장은 일반적으로 복잡한 숫자의 장으로 선택된다.

특성.

이 절과 그 하위 절에서 A와 B는 각 d와 e의 x에 있는 두 개의 다항식이며, 그 결과물은 ${\displaystyle \mathrm{res}}$ ${\displaystyle }$( A${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B$)로 표시된다$.$$}$

특성 지정 속성

다음 특성은 정류 링 R에 계수가 있는 두 개의 다항식 결과에 대해 유지된다. R이 필드 또는 보다 일반적으로 통합된 도메인인 경우, 결과물은 이러한 특성을 만족하는 두 다항식 계수의 고유한 함수다.

• R이 다른 링 S의 하위 링인 경우 ${\displaystyle {\mathrm{res}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{res}}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( A${\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {res} _{R}(A,B)=\operatorname {res}$ $_{S}(A,B$).$}$ R$$ 또는 S에 대한 다항식으로 간주될 때 A와 B는 동일한 결과를 가진다.
• d = 0($A{\displaystyle }$= ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 0이 아닌 상수인 경우)이면 ${\displaystyle \mathrm{res}(A,}$ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$. ${\displaysty \operatorname {res}(A,B)=a_{0}^{e}.$$}$ 비슷하게$$ e = 0이면 ${\displaystyle \mathrm{res}}$ ${\displaystyle (A,}$ B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= b ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$. ${\displaystyle \operatorname {res}(A,B)=b_{0}^{d}.$$}$
• ${\displaystyle \res}(x+a_{1},x+b_{1}=b_{1}-a_{1}:{1}:{1}$
• ${\displaystyle \operatorname {res}(B,A)=(-1)^{de}\operatorname {res}(A,B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {res}(AB,C)=\operatorname {res}(A,C)\operatorname {res}(B,C)}$

제로스

• 정수 영역에 계수가 있는 두 다항식의 결과는 양도의 공통 분위가 있는 경우에만 0이다.
• 계수가 정수 영역에 있는 두 다항식의 결과는 계수를 포함하는 대수적으로 닫힌 필드에 공통 루트가 있는 경우에만 0이다.
• e보다 작은 다항식 P와 d보다 작은 다항식 Q가 존재하며, ${\displaystyle \mathrm{res}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle A,}$ B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ P${\displaystyle }$+ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Q}$ .${\displaystyle \operatorname {res}$ ($A,B)=$이다.$AP+BQ.}$ 임의의 교환 링을 통해 다항식으로 베주트의 정체성을 일반화한 것이다$$. 즉, 두 다항식의 결과물은 이러한 다항식이 생성하는 이상에 속한다.

고리 동형성에 의한 불변성

A와 B는 각 도 d와 e의 2개의 다항식이 되도록 하고, ${\displaystyle \mathrm{교호환}}$ R의 계수는 교호환 R의 계수를 다른 교호환 S로 comm${\displaystyle }$: R${\displaystyle }$→ S ${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$이다. Applying ${\displaystyle \varphi }$ to the coefficients of a polynomial extends ${\displaystyle \varphi }$ to a homomorphism of polynomial rings ${\displaystyle R[x]\to S[x]}$, which is also denoted ${\displaystyle \varphi .}$ With this notation, we have:

• $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가${\displaystyle )}$ A와 B의 도(${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \deg(\$${\displaystyle \mathrm{varphi}}$$(A)=d}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{deg<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash deg(\backslash varphi\; (A))=d\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/66628f1b2b24f4eaf19e9bd854ecdfec6a336b0c"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:14.684ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="161">}(가)}$ ${\displaystyle =}$ e ${\displaystystystyle \deg(\varphi (B)=e$})=e})=e$)})$를 유지하는 경우)$$

${\displaystyle \varphi(\operatorname {res})(A,B)=\operatorname {res}(\varphi(A),\varphi(B))}$

• ()${\displaystyle \deg(\varphi(A)}$ 및 degvarphi))}, \deg$(\displaysty$인 경우

${\displaystyle \varphi(\operatorname {res})(A,B)=0.}$

• ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle (A)}$= d ${\displaystyle \deg(\varphi(A)}=d$$}$및 deg($f<}$인 경우$$$,$ $A$의 선행 $계수$는 0 ${\displaystyle a_{$$0}$이다$.$

${\displaystyle \varphi(\operatorname {res}(A,B)=\varphi(a_{0})^{e-f}\operatorname {res}(\varphi(A),\varphi(B))}$

• () = < {\d 디스플레이 스타일 $\deg(\varphi(A))=f<d}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle (}$b) =${\displaystyle e}$, ${\display$ 스타일 $\deg(\varphi(B)=e,},$ B의 선행 계수는 ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$이면 된다$$.

${\displaystyle \varphi(\operatorname {res})(A,B)=(1-1)^{e(d-f)}\varphi(b_{0})^{d-f}\operatorname {res}(\varphi(A),\varphi(B)}).$

이러한 특성은 결정요인으로서의 결과물의 정의로부터 쉽게 추론된다. 그것들은 주로 두 가지 상황에서 사용된다. 정수 계수를 가진 다항식 결과물을 계산하기 위해서는 몇 개의 프리타임으로 계산하고 원하는 결과물을 중국어 나머지 정리로 검색하는 것이 일반적으로 더 빠르다. R이 다른 인디테마네이트의 다항식 링이고 S가 R의 일부 또는 모든 인디테마네이트를 전문화하여 얻은 링인 경우, 이러한 특성은 특성화에 의해 학위가 보존되는 것처럼 재작성될 수 있다. 두 다항식의 특화의 결과물은 결과물의 특성화다. 예를 들어 원통형 대수분해에는 이 특성이 기본이다.

변수 변경 시 비등도

• ${\displaystyle \operatorname {res}(A(x+a), B(x+a))=\operatorname {res}(A(x),B(x)})$
• ${\displaystyle \operatorname {res}(A(ax),B(ax)=a^{de}\operatorname {res}(A(x),B(x))}$
• If ${\displaystyle A_{r}(x)=x^{d}A(1/x)}$ and ${\displaystyle B_{r}(x)=x^{e}B(1/x)}$ are the reciprocal polynomials of A and B, respectively, then

${\displaystyle \operatorname {res}(A_{r},B_{r}=(-1)^{de}\operatorname {res}(A,B)})$

즉, 변수의 선형적이고 투영적인 변화에서는 결과물이 0인 속성이 불변함을 의미한다.

다항식 변경 시 불변성

• a와 b가 0이 아닌 상수(즉, 불확정 x와 독립된 상수)이고 A와 B가 위와 같다면,

${\displaystyle \operatorname {res}(A,bB)=a^{e}b^{d}\operatorname {res}(A,B)}$

• A와 B가 위와 같고, C가 A – CB의 정도가 Δ인 또 다른 다항식이라면,

${\displaystyle \operatorname {res}(A-CB,B)=b_{0}^{\delta -d}\operatorname {res}(A,B)}$

• 특히, B가 모닉이거나, C < A – DG B인 경우,

${\displaystyle \operatorname {res}(A-CB,B)=\operatorname {res}(A,B),}$

그리고, f = deg C > deg A – deg B = d – e인 경우

${\displaystyle \operatorname {res}(A-CB,B)=b_{0}^{e+f-d}\operatorname {res}(A,B)}$

이러한 속성은 다항식 및 그 모든 변형에 대한 유클리드 알고리즘에서 두 개의 연속 잔존자(또는 유사 제거자)의 결과물이 계산하기 쉬운 인자에 의해 초기 다항식의 결과물과 다르다는 것을 암시한다. 반대로, 이것은 마지막 남은 부분이나 사이비 리마인더의 값에서 초기 다항식의 결과물을 추론할 수 있게 한다. 이것은 위와 같은 공식을 사용하여 하위 결과 다항식을 의사-제거자로 얻고, 그 결과물을 마지막 0의 의사-제거자로 사용하는 하위 결과물-시료-시퀀스 알고리즘의 시작 아이디어다(결과물이 0이 아닌 경우). 이 알고리즘은 정수에 대한 다항식 또는 보다 일반적으로 정확한 구획(즉, 분수를 포함하지 않음) 이외의 구획이 없는 적분영역에 대해 작동한다. $O{\displaystyle }$ ( d${\displaystyle e}$) ${\displaystyle O(de)}$ 산술$$ 연산을 수반하는 한편, 표준 알고리즘을 가진 실베스터 행렬의 결정인자를 계산하려면 $O{\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle d}$+ ${\displaystyle e{}^{}}$) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle O(d+e)^{3}$ 산술$$ 연산을 필요로 한다.

일반 속성

이 절에서는 두 개의 다항식을 고려한다.

${\displaystyle A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}}$

그리고

${\displaystyle B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}}$

d + e + 2 계수가 구별되지 않는 경우. 내버려두다

${\displaystyle R=\mathb {Z} [a_{0},\ldots ,a_{d},b_{0},\ldots ,b_{e}]}$

이러한 불분명한 숫자에 의해 정의된 정수 위에 다항식 링이 된다. ${\displaystyle \mathrm{결과물}}$ res${\displaystyle (}$ (${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$ )$${\$displaystyle \operatorname {res}$ ($A,B)}$은 d 및 e의 일반 결과물이라고 종종 불린다$$. 그것은 다음과 같은 특성을 가지고 있다.

• ${\displaystyle \mathrm{res}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle \operatorname {res}(A,B)}$은 절대적으로 수정할 수 없는 다항식이다.
• $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$이(가) A와 B에 의해 $생성$된 R${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle R[x]}$의 이상이라면 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\cap$ R$}$은 ${\displaystyle \mathrm{res}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ )${\displaysty \opername {res}(A,B)$에 의해 생성된 주요 이상이다$.$

동질성

d와 e의 일반적 결과물은 다양한 방법으로 동질적이다. 더 정확히 말하자면:

• ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…의 도 e의 동질,${\displaystyle d_{}}$ .${\displaystyle a_{0},\ldots,a_{d}.$$}$
• b ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$b ${\displaystyle e_{}}$. ${\displaystyle b_{0},\ldots ,b_{e}$에서 d의 동질이다.$}$
• ${\displaystyle {모든}_{}}$ 변수 $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 및$$ $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$. ${\displaystyle b_{j}$에서 d + e의 균일하다.$}$
• ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle b_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 가중치 i(즉, 각 계수의 가중치는 기본 대칭 다항식으로서의 정도)를 부여하면$$ 전체 가중치 de의 준균형이다.
• If P and Q are homogeneous multivariate polynomials of respective degrees d and e, then their resultant in degrees d and e with respect to an indeterminate x, denoted ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}^{d,e}(P,Q)}$ in § Notation, is homogeneous of degree de in the other indeterminates.

제거 속성

Let ${\displaystyle I=\langle A,B\rangle }$ be the ideal generated by two polynomials A and B in a polynomial ring ${\displaystyle R[x],}$ where ${\displaystyle R=k[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$ is itself a polynomial ring over a field. A와 B 중 하나 이상이 x의 단수일 경우:

• ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)\in I\cap R}$
• 이상 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\cap R}$ 및 R$$ ${\displaystyle {\mathrm{res}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (A}$, ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B)}$은 동일한 대수 집합을 정의한다$$. 즉, 대수적으로 닫힌 필드의 요소의 ntuple은 ${\displaystyle {\mathrm{res}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle A}$, B${\displaystyle }$)의 0인 경우에만$$ $I{\displaystyle }$$∩$ R ${\$$displaystyle$ $I$$\cap$ R$} 요소$의 공통 0이다$.$$}$
• 이상 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\cap R}$은(는) 주 이상 R ${\displaystyle {\mathrm{res}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (A${\displaystyle ,}$ B${\displaystyle }$) .${\displaystyle$ R$\operatorname {res} _{x}(A,B$)와 동일한 급진성을 가지고 있다$$$.$$}$ 즉, $I{\displaystyle }$ R {\$displaystyle I\cap R}$의 각 요소는 ${\displaystyle {\mathrm{res}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( A${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$. ${\displaysty \operatorname {res} _{x}(A,B$)의 배수의 검정력을 가진다$$$.$$}$
• ${\displaystyle {\mathrm{res}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$의 모든 요소를 ${\displaysty I\$cap R.}로$나눈다.$

첫 번째 주장은 결과자의 기본 재산이다. 다른 주장들은 두 번째 주장과 관련된 즉각적인 귀결로서 다음과 같이 증명할 수 있다.

As at least one of A and B is monic, a ntuple ${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$ is a zero of ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$ if and only if there exists ${\displaystyle \alpha }$ such that ${\displaystyle (\beta _{1$$}},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$은 A와 B의 공통 영이다. Such a common zero is also a zero of all elements of ${\displaystyle I\cap R.}$ Conversely, if ${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$ is a common zero of the elements of ${\displaystyle I\cap R,}$ it is a zero of the resultant, and there exists ${\displaystyl$$e \$${\displaystyle {}_{}}$ $}$ 이러한$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}{\beta \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \dots }$ , ${\displaystyle {\beta }_{}}$n , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle$(\$beta _${1$},\ldots,\beta _{n},\alpha )}$은 A와 B의 공통 0이다. 그래서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\cap R}$과$($) ${\displaystyle R_{}}$ res x ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle A}$, B${\displaystyle }$) {\$displaystyle$R\$operatorname {res} _{x$}(A$,B)$은 정확히 같은 0을 갖는다$$.

연산

이론적으로 결과물을 뿌리 차이의 산물로 표현하는 공식을 사용하여 계산할 수 있었다. 그러나 일반적으로 루트가 정확히 계산되지 않을 수 있기 때문에 그러한 알고리즘은 비효율적이고 수치적으로 불안정할 것이다. 결과물이 각 다항식의 뿌리의 대칭함수인 만큼, 대칭 다항식의 기본 정리를 이용하여 계산하기도 할 수 있지만, 이것은 매우 비효율적일 것이다.

결과물은 실베스터 행렬(및 베즈아웃 행렬)의 결정인자이므로, 결정인자를 계산하기 위한 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다. 여기에는 O ( $n{\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ) $displaystyle O(n^{3}})$ 산술$$ 연산이 필요하다$.$ 알고리즘이 더 복잡하게 알려져 있으므로(아래 참조), 이 방법은 실무에서 사용되지 않는다.

다항식 변경에 따른 § Invariance에서 결과물의 연산은 다항식용 유클리드 알고리즘과 강하게 관련된다. 이것은 d와 e의 두 다항식의 결과물 연산이 계수 분야의 $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle e}$) ${\displaystyle O(de)}$ 산술$$ 연산에서 수행될 수 있음을 보여준다.

그러나 계수가 정수, 합리적 숫자 또는 다항식인 경우, 이러한 산술 연산은 동일한 순서의 계수에 대한 다수의 GCD 계산을 의미하며 알고리즘을 비효율적으로 만든다. 이 문제를 해결하고 계수의 분율 및 GCD 계산을 피하기 위해 하위 결과물 사이비 제거 시퀀스를 도입했다. 보다 효율적인 알고리즘은 계수의 고리 동형성 하에서의 결과자의 좋은 행동을 이용하여 얻는다: 정수 계수를 가진 두 다항식의 결과물을 계산하기 위해서, 그 결과물을 충분히 많은 프라임 숫자로 계산한 다음, 그 결과를 중국의 나머지 정리로 재구성한다.

정수와 다항식의 빠른 곱셈을 사용하면 더 좋은 시간 복잡성을 가진 결과물과 가장 큰 공통점들을 알고리즘으로 사용할 수 있는데, 이것은$$ 곱셈의 복잡성 순서에 해당하며, 입력 크기의 로그(${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (s}$ ${\displaystyle (d}$ ${\displaystyle +e}$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle \logs(d+$e)}, 여기서 s는 s이다. 입력 다항식 숫자의 상한).

다항식 시스템에 적용

결과물은 다항식의 시스템을 해결하기 위해 도입되었고 그러한 시스템을 해결하기 위한 알고리즘이 존재한다는 가장 오래된 증거를 제공했다. 이들은 주로 알 수 없는 두 개의 방정식 시스템을 위한 것이지만 일반 시스템을 해결할 수도 있다.

알 수 없는 두 개의 방정식이 있는 경우

두 다항식의 시스템 고려

${\displaystyle {\begin}P(x,y)&#0\Q(x,y)&#0,\end{aigned}}}$

여기서 P와 Q는 각각의 총 도 d와 e의 다항식이다. 그러면 $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{res}}_{}^{}}$ y ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle e_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle P}$, Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle R=\operatorname {res} _{y}^{d,e}(P,Q)}}$는 x의 다항식이며, 일반적으로 de(§ 동질성의 속성에 의해)이다. R의 x의 값α{\displaystyle \alpha}은 뿌리 만일 둘 중 하나가 β{\beta\displaystyle} 대수적으로 닫힌 분야에서는 계수가 들어 있는 존재하는 것처럼 P(α, β))Q(α, β);0{P(\alpha ,\beta)=Q(\alpha ,\beta)=0\displaystyle}, 또는 deg⁡(P(α, y))<> 일고 있는다고{\displaystyle \de.g($P(\alpha ,y)$와 $deg$ (Q(, )) <e${\displaystyle \deg(Q(\alpha ,y))><e}($$이{\displaystyle }$ 경우 p와 Q는 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x=\alpha }$에 대해 무한대에 공통 루트가 있다고 한다.

Therefore, solutions to the system are obtained by computing the roots of R, and for each root ${\displaystyle \alpha ,}$ computing the common root(s) of ${\displaystyle P(\alpha ,y),}$ ${\displaystyle Q(\alpha ,y),}$ and ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q).$$}$

Bézout의 정리는 P와 Q의 정도의 산물인$$${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathrm{res}}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (P}$, ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \deg \left(\operatorname {res} _{y}(P,Q)\leq de}$의 값에서 비롯된다$.$ 실제로 변수의 선형 변경 후 결과물의 각 루트 x에 대해 y의 값이 정확히 하나 있다고 가정할 수 있으며, 이러한 값은 (x, y)가 P와 Q의 공통 0이다. 이것은 공통의 0의 수가 결과물의 정도, 즉 P와 Q의 정도라는 것을 보여준다. 일부 기술적 측면에서, 이 증거는 무한대에서 승수와 0을 세면서, 0의 수는 정확히 도의 산물이라는 것을 보여주기 위해 확장될 수 있다.

일반사례

얼핏 보면, 결과물이 방정식의 일반적인 다항식 시스템에 적용될 수 있을 것 같다.

${\displaystyle P_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}=0}$

$\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle P_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n}=0}$

알 수 없는 하나를 제거하기 위해$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대해$$ 모든 쌍$({\displaystyle P_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle (P_{i},P_{j}})$의 결과물을 계산하고 일변량 다항식을 얻을 때까지 프로세스를 반복한다. 불행히도, 이것은 제거하기 어려운 많은 가짜 해결책을 도입한다.

19세기 말에 도입된 방법은 k - 1 new $indeterminates{\displaystyle {}_{}}$ U${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 연산$$ 등 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle \operatorname {res} _{x_{n}(P_{1},U_{2}P_{2}+\cdots +U_{k})P_{k}).}$

This is a polynomial in ${\displaystyle U_{2},\ldots ,U_{k}}$ whose coefficients are polynomials in ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1},}$ which have the property that ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$ is a common zero of these polynomial 계수, 단변 다항식 ${\displaystyle P_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {\alpha }_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)$${\$displaystyle P_{i}(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n-1},x_{n})$가 0인 경우에만, 아마도 무한대에 있을 수 있다. 이 과정은 일변량 다항식을 찾을 때까지 반복될 수 있다.

정확한 알고리즘을 얻으려면 두 가지 보완을 방법에 추가해야 한다. 첫째, 각 단계에서 마지막 변수의 다항식 정도가 전체 정도와 같도록 변수의 선형 변경이 필요할 수 있다. 둘째로, 어떤 단계에서든 결과물이 0이면, 이는 다항식이 공통 인자를 가지고 있다는 것과 용액이 두 가지 요소, 즉 공통 인자가 0인 경우와 계속하기 전에 이 공통 인자를 감안하여 얻은 것을 의미한다.

이 알고리즘은 매우 복잡하고 시간 복잡성이 크다. 따라서, 그것의 관심은 주로 역사적이다.

기타 응용 프로그램

수 이론

다항식의 판별은 다항식의 기본적 도구로서 다항식의 결과물과 그 파생물의 선도계수에 의한 몫이다.

If ${\displaystyle \alpha }$ and ${\displaystyle \beta }$ are algebraic numbers such that ${\displaystyle P(\alpha )=Q(\beta )=0}$, then ${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta }$ is a root of the resultant ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}$$(P(x),Q(z-x)),}$ and ${\displaystyle \tau =\alpha \beta }$ is a root of ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),x^{n}Q(z/x))}$, where ${\displaystyle n}$ is the degree of ${\displaystyle Q(y)}$. Combined with the fact that ${\displaystyle 1$$/\beta }$은(는) $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle Q^{}(}$1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y^{n}Q(1/y)=0}$의 루트로서$,$ 이는 대수적 숫자 집합이 필드임을 보여준다.

$K{\displaystyle }$${\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle K(\alpha )}$을(를) 최소 다항식으로 P${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ $\alpha }$을$(를)$ 갖는$$$$ 원소 $\alpha {\displaystyle }$, ${\$$displaystyle$ \alpha }에 의해 생성된 대수적 필드 확장이 되도록$$ 한다. $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$ (${\displaystyle \alpha }$ )${\displaystyle \beta \in K(\alpha )}$의 모든 요소는 $\beta {\displaystyle }$${\displaystyle }$= ${\displaystyle Q}$( ${\displaystyle \alpha }$ )${\displaystyle }$,${\displaystyle \beta$= Q$(\alpha$ )로 쓸$$수 있으며, 여기서$$$$ Q ${\displaystystylease$ Q}은$$다항식이다$$. 그러면 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$은(는) ${\displaystyle {res}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}(P}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle z}$- Q${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(x), z-Q(x)$의 루트이고, 이$$ 결과물은 $\beta {\displaystyle }$. ${\displaystyle \beta.$

대수 기하학

다항식 P(x, y)와 Q(x, y)의 0으로 정의된 두 개의 평면 대수 곡선이 주어진 결과물은 교차점 계산을 허용한다. More precisely, the roots of ${\displaystyle \operatorname {res} _{y}(P,Q)}$ are the x-coordinates of the intersection points and of the common vertical asymptotes, and the roots of ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q)}$ are the y-coordinates of the intersection points and of the com수평 점근법

합리적인 평면 곡선은 모수 방정식으로 정의될 수 있다.

${\displaystyle x={\frac {P(t)}{R(t)}}},\qquad y={\frac {Q(t)}{R(t)}},}$

여기서 P, Q, R은 다항식이다. 곡선의 암묵적 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {res} _{t}(xR-P, yR-Q).}$

이 곡선의 정도는 P, Q, R의 가장 높은 도로서 결과물의 총 도와 같다.

상징적 통합

상징적 통합에서, 합리적인 분수의 해독제를 계산하기 위해, 일부분분분분해효소를 "합리적인 부분"으로 분해하는데 사용하는데, 이것은 항정신성이 합리적인 분수의 합인 "합리적인 부분"과 형태의 합리적인 분수의 합인 "합리적인 부분"이다.

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}},}$

여기서 Q는 사각형 없는 다항식이고 P는 Q보다 낮은 수준의 다항식이다. 그러한 함수의 해독제는 반드시 로그와 일반적으로 대수적 숫자(Q의 뿌리)를 포함한다. 사실, 해독제는

${\displaystyle \int{\frac {P(x)}{Q(x)}dx=\sum _{Q(\alpha )=0}{\frac {P(\alpha )}{Q'(\alpha )}}}}\Q(x-\alpha),}}}$

그 합이 Q의 모든 복잡한 뿌리에 걸쳐 있다.

이 식에 포함되는 대수적 숫자의 수는 일반적으로 Q의 정도와 동일하지만 대수적 숫자가 적은 식을 계산할 수 있는 경우가 자주 발생한다. 라자드-리오부-트라거 방법은 대수적 숫자로 계산하지 않고 대수적 숫자의 수가 최소인 식을 생성했다.

내버려두다

${\displaystyle S_{1}(r)S_{2}(r)^{2}\cdots S_{k}(r)^{k}=\operatorname {res} _{r}(rQ')-P(x), Q(x)}$

오른쪽에 나타나는 결과물의 제곱이 없는 요인이다. 트라거가 반물질이라는 것을 증명했다.

${\displaystyle \int{\frac {P(x)}{Q(x)}}}dx=\sum _{i}{k}\sum _{S_{i}(\alpha )=0}\alpha \log(T_{i})(\alpha ,x),}}}$

여기서 내부 합계는 ${\displaystyle {Si}_{}}$ ${\$의 루트에 걸쳐 실행되며($$${\displaystyle {Si}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1}${\$displaystyle S_{i}=$1}의$$ 합은 0이며, 빈 합은 ${\displaystyle T_{}}$ i${\displaystyle (r}$ ,${\displaystyle x}$ )$${\$displaystytle T_{i}(r,x)$는 x의 다항식 i이다. The Lazard-Rioboo contribution is the proof that ${\displaystyle T_{i}(r,x)}$ is the subresultant of degree i of ${\displaystyle rQ'(x)-P(x)}$ and ${\displaystyle Q(x).}$ It is thus obtained for free if the resultant is computed by the subresultant pseudo-remainder sequence.

컴퓨터 대수

이전의 모든 어플리케이션, 그리고 많은 다른 어플리케이션들은 그 결과물이 컴퓨터 대수학의 기본적인 도구라는 것을 보여준다. 사실 대부분의 컴퓨터 대수 시스템은 결과물 계산의 효율적인 구현을 포함한다.

균질 결과물

결과물은 또한 두 개의 독립체에서 두 개의 동종 다항식에 대해 정의된다. 각각의 총 도 p와 q의 두 개의 동종 다항식 P(x, y)와 Q(x, y)가 주어진 경우, 이들의 동종 결과물은 선형 지도의 단항식 기반에 걸쳐 행렬의 결정 요인이다.

$AP+BQ,}$

여기서 A는 q - 1의 이바리산 동종 다항식을, B는 p - 1의 동종 다항식을 초과한다. 즉, P와 Q의 동질적 결과물은 p와 q의 다항식(x)으로 간주될 때 P(x, 1)와 Q(x, 1)의 결과물이다.

${\displaystyle \operatorname {Res}(P(x,y), Q(x,y))=\operatorname {res} _{p,q}(P(x,1), Q(x,1)).}$

(약칭의 자본화에 대한 표준 규칙은 없지만, 두 결과물을 구분하기 위해 "Res"의 자본화를 사용한다.)

동질적 결과물은 본질적으로 일반적인 결과물과 동일한 성질을 가지며, 본질적으로 두 가지 차이점이 있다: 다항식 뿌리 대신 투영 선에서 0을 고려하며, 다항식의 정도는 고리 동형성 하에서는 변하지 않을 수 있다. 즉,

• 계수를 포함하는 대수적으로 닫힌 필드 위에 0이 아닌 공통 0이 있는 경우에만 적분 영역에 대한 두 동종 다항식의 결과물은 0이다.
• P와 Q가 정류 링 R에 계수가 있는 2개의 이바리테이트 동종 다항식인 경우${\displaystyle ,}$ $그리고{\displaystyle }$ $→$ : ${\displaystyle R}$ → ${\displaystyle S}$ {\$displaystyle$ \$varphi \colon$ R\$to S}$ R의 링 동형성을 다른 정류 링 S로 확장한 다음, $\phi {\displaystyle }$ ${\displaysty \varphi }$을 R에 대한 다항식으로 확장한다.

${\displaystyle \operatorname {Res}(\varphi(P),\varphi(Q)=\varphi(\operatorname {Res})(P,Q)).}$

• 0이 되는 균일한 결과물의 특성은 변수의 투영적 변화에서 불변한다.

통상적인 결과물의 모든 속성은 동질적 결과물과 유사하게 확장될 수 있으며, 결과 속성은 통상적인 결과물의 해당 속성과 매우 유사하거나 단순하다.

맥컬레이의 결과물

다변량 결과물 또는 다변량 결과물이라고도 불리는 프랜시스 소워비 맥컬레이의 이름을 딴 맥컬레이의 결과물은 n개의 단일 다항식 결과물에 대한 동종 결과물의 일반화다.^[3] Macaulay의 결과물은 이러한 n개의 동종 다항식 계수의 다항식으로서 계수를 포함하는 대수적으로 폐쇄된 필드에 다항식이 공통적으로 0이 아닌 용액이 있는 경우 또는 동등하게 다항식으로 정의된 n 하이퍼 표면이 n –1차원 프로제(proje)에 공통 0이 있는 경우에만 소멸된다.천공 다변량 결과물은 그뢰브너 베이스와 함께 효과적인 제거 이론(컴퓨터의 제거 이론)의 주요 도구 중 하나이다.

동질적인 결과물처럼 맥컬레이는 결정 인자로 정의될 수 있으며, 따라서 링 동형성 하에서 잘 동작한다. 그러나 단일 결정요인으로 정의할 수는 없다. 일반 다항식에서는 먼저 정의하기가 더 쉽다는 것이다.

일반 동종 다항식의 결과물

n 변수에서 d의 동종 다항식은 최대값을 가질 수 있다.

${\displaystyle {\binom {n+d-1}{n-1}={\frac {(n+d-1)!}}{{(n-1)!\,d!}}}$

계수; 이러한 계수가 구별되는 불변 계수인 경우 일반 계수라고 한다.

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle P_{}}$ ${\$을 각 도 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$,${\displaystyle d_{}}$ .${\displaystyle {}_{}}$.$${\$displaystyle d_{1},\dots$,d_${n}}}$의 n개 일반적 다항식어가 되도록 한다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\binom {n+d_{i}-1}{n-1}}$

불확실한 계수 이 모든 불확정 계수에서 C를 정수 위의 다항식 링이 되게 한다. 다항식 $P{\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle P_{}}$ ${\$는 $따라서{\displaystyle }$ C${\displaystyle }$[ x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle C[x_{1},\ldots ,x_{n}}]$에 속하고 그 결과물(아직 정의해야 함)은 C에 속한다.

맥컬레이 학위는 맥컬레이 이론의 근간인$$ $정수{\displaystyle }$D = ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle +}$ +${\displaystyle {}_{}{d}_{}}$ -${\displaystyle n}$ + ${\displaystyle 1}$,$${\$displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1,}$이다. 결과물을 정의하기 위해 C-선형 지도의 단항 기반에 걸친 행렬인 맥컬레이 행렬을 고려한다.

${\displaystyle (Q_{1},\ldots,Q_{n})\mapsto Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}}}$

각 ${\displaystyle {Qi}_{}}$ ${\$가${\displaystyle }$D - ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${\$dapplaystyle D-d_{i}$의 동종 다항식에 걸쳐 실행되며$$$$ 코도메인은 D도 동종 다항식의 C-모듈이다.

n = 2일 경우 맥컬리 행렬은 실베스터 행렬이며, 정사각형 행렬이지만, n > 2에 대해서는 더 이상 사실이 아니다. 따라서 결정인자를 고려하는 대신 맥컬레이 행렬만큼 행이 많은 사각형 하위 계수의 결정인 모든 최대 미성년자를 고려한다. 맥컬레이는 이러한 주요 미성년자에 의해 생성된 C-이상이 가장 중요한 이상이며, 이는 이들 미성년자의 가장 큰 공통적인 차별자에 의해 생성된다는 것을 증명했다. 정수 계수가 있는 다항식(다항식)으로 작업할 때, 이 가장 큰 공통점(공통점)은 부호까지 정의된다. 일반적인 Macaulay 결과물은 가장 큰 공통점이며, 각 i에 대해 0이 $x{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}^{}}$, ${\displaystyle x_{i}^{d_{i}}$의 계수를 제외한$$$$ 모든 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{i}}}}$의 계수를 0으로 대체할 때 1이 된다.

일반 맥컬레이 결과물의 속성

• 일반적인 맥컬리 결과물은 돌이킬 수 없는 다항식이다.
• P ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle P_{i}$의 계수에서$$ 도 $B{\displaystyle }$/ ${\displaystyle d{}_{}}${\$displaystyle$B$/d_${i$}}$의 동질이며, 여기서$$ $B{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 베주한 값이다.
• The product with the resultant of every monomial of degree D in ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ belongs to the ideal of ${\displaystyle C[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ generated by ${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}.$$}$

필드 위에 있는 다항식의 결과물

From now on, we consider that the homogeneous polynomials ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ of degrees ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$ have their coefficients in a field k, that is that they belong to ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}].$$}$ 이들의$$ 결과물은 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$. ${\displaystyle P_{i}$의 실제 계수에 의해 불확실한 일반 계수를 대체하여 얻은 k의 요소로 정의된다${\displaystyle {}_{}}$$}$

결과물의 주요 특성은 P ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 대수적으로 닫힌 k 확장에서 0이 아닌 공통 0을 갖는$$ 경우에만 0이라는 것이다.

이 정리의 "만일" 부분은 전항의 마지막 속성에서 비롯되며, Projective Nullstellensatz의 효과적인 버전이다. 결과물이 0이 아닌 경우

${\displaystyle \langle x_{1},\ldots,x_{n}\rangele ^{D}\subseteq \langle P_{1},\ldots,P_{n}\rangele ,}$

여기서 $D{\displaystyle }$= d ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle d_{}}$ -${\displaystyle {}_{}\mathrm{n}}$+ 1 ${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1}$은(는) 맥컬레이 학위이며,${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $\n$ \$langle$ \$langle$ x_${1},\dots }$는 최대 동종류 이상이다$$. 이것은 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle P_{}}$ ${\$의 $고유$한 공통 0,${\displaystyle }$(0, ..., 0) ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$ . .${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}$ 외에 다른 공통 0이 없음을$$ 의미한다.$}$

계산성

결과물의 연산은 계산 결정인자와 다항식 최대 공통점수로 감소될 수 있으므로, 한정된 수의 단계에서 결과물을 계산하는 알고리즘이 있다.

그러나 일반적 결과물은 엄청난 수의 인디테마나이트에 따라 매우 높은 수준의 다항식(n에서 우수함)이다. 그것은 매우 작은 n과 매우 작은 입력 다항식을 제외하고, 일반적인 결과물은 실제로 현대 컴퓨터에서도 계산이 불가능하다. 더욱이, 일반 결과물의 단수 개수는 너무 높아서, 계산이 가능하다면, n과 입력 다항식의 정도의 다소 작은 값이라도 그 결과를 사용 가능한 메모리 장치에 저장할 수 없다.

따라서 결과물을 계산하는 것은 계수가 필드에 속하거나 필드 위에 있는 소수의 독립된 다항식인 다항식에만 해당된다.

필드에 계수가 있는 입력 다항식의 경우, 결과물의 정확한 값은 거의 중요하지 않으며, 0과 동등(또는 그렇지 않음)만 중요하다. 맥컬레이 매트릭스의 순위가 행 수보다 낮은 경우에만 결과가 0이므로, 이 동등성은 맥컬레이 매트릭스에 가우스 제거를 적용하여 시험할 수 있다. 이것은 계산 $복잡성{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$ O${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle n^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle d^{O(n)},}$을(를) 제공한다. 여기서 d는 입력 다항식의 최대 수준이다.

결과물의 계산이 유용한 정보를 제공할 수 있는 또 다른 경우는 입력 다항식의 계수가 소수의 인디테터미네이트에 있는 다항식인 경우(흔히 파라미터라고 함)이다. 이 경우 결과물은 0이 아닐 경우 매개변수 공간에 초외면을 정의한다. $점$의 ${\displaystyle {좌표}_{}}$와 함께 입력$$ 다항식의 0인 x 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 값이 있는 경우에만 점은 이 하이퍼 표면에 속한다. 즉, 결과물은 입력 다항식으로부터$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$x ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 "제거"의 결과물이다.

U-결과

맥컬레이의 결과물은 다항 방정식의 시스템을 해결하기 위해 맥컬레이의 "U-결과"라고 불리는 방법을 제공한다.

Given n − 1 homogeneous polynomials ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1},}$ of degrees ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n-1},}$ in n indeterminates ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ over a field k, their U-resultant is the resultant of the n poLynomials $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\mathrm{P}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1},P_{n},$ 여기서$$.

${\displaystyle P_{n}=u_{1}x_{1}x_{1}+\cdots +u_{n}x_{n}}}}}$

계수가 새로운 불분명한 일반 선형 형태인${\displaystyle {}_{}{u\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle u_{}}$ n .${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}.$$}}$ 이러한 일반 계수에 대한$$ 표기$$ $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\${i$} 또는$ ${\displaystyle {Ui}_{}}$ ${\$ U_${i}}$는 전통적이며, U-resultant라는 용어의 기원이다.

U-resultant는 $k{\displaystyle }$ [${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle k[u_{1},\ldots ,u_{n}]$의 동종 다항식이다.$}}$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$- 1 ${\$의 공통 0이 양차원의 투영 대수 집합$$(즉, 대수적으로 닫힌 k의 확장 위에 무한히 많은 투영 0이 있는 경우에만 0이다$$. U-resultant가 0이 아닌 경우, ${\displaystyle {\mathrm{그}}_{}}$ 정도는 Bézout bound d ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$. ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n-1}}}.}$ U-resultant는 대수로 닫힌 k를 선형 형태의 제품으로 확장하는 것에 대해 인수한다$$. If ${\displaystyle \alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{n}u_{n}}$ is such a linear factor, then ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ are the homogeneous coordinates of a common zero of ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1}.}$ Moreover, 이러한 선형 요인 중 하나에서 모든 공통 0을 얻을 수 있으며, 인자로서의 다중성은 이 0에서$$ P ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 교차 다중성과 동일하다. 즉, U-resultant는 베주트의 정리를 완전히 명시적으로 제시한다.

더 많은 다항식 및 계산으로 확장

Macaulay에 의해 정의된 U-결과에 따라 방정식 시스템의 동종 다항식 개수는 ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1 ${\displaystyle n-1}$이$($가) 되어야 하며$,$ $여기$서 n {\displaystyle $n}$은 불연속수의 수입니다. 1981년에 Daniel Lazard는 다항식의 수가 ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1 ${\displaystyle n-1$과 다를 수 있는 경우로 개념을 확장했고, 결과 연산은 가우스 특유의 제거 절차에 따라 수행되고 기호 결정론 연산이 뒤따른다.

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$을(를) 한 필드에 x$$ 1, …${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle x_{1},\$$dots, d_{n}$의 ${\displaystyle {동종\mathrm{}}_{}}$ 다항식으로 한다$$${\displaystyle .}$ 일반성을 상실하지 않으면 ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$≥ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle \ge }$ d ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle d_{1}\geq d_{2}\geq \cdots \geq d_{k}$라고 가정할 수 있다.$}$ 설정 $d{\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ (\$displaystyle d_{i}=1}$k의 경우$$, 매컬레이 바운드는 D${\displaystyle }$= ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle d_{}}$ - ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1.${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{$n}-$n+1.$$}$

${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, u n,$u{$은(는) 새로운 지도가 되어$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$ + u x 1 + ⋯${\displaystyle }$+ $.$ $displaysty P_{k+1}=u_{1$}x_${n}x_{$n}x_{$n}.$$}}$ 이 경우$$, 맥컬레이 행렬은 선형 $지도$의 x${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle x_{}}$n ,$${\$displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$에 있는 단원형을 기준으로 행렬로 정의된다.

${\displaystyle (Q_{1},\ldots,Q_{k+1}\mapsto P_{1}Q_{1}Q_{1}+\cdots +P_{k+1}Q_{k+1},}}$

여기서, 각 i에 대해 ${\displaystyle {Qi}_{}}$ ${\$는 0과 D - d $i$의${\displaystyle {동종}_{}}$ 다항식으로$구성$된 선형$공간에 걸쳐$실행된다$.$

가우스 제거의 변종에 의해 맥컬레이 행렬을 줄이면 ${\displaystyle {u1\mathrm{}}_{},}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle u_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle u_{1},\ldots, u_{n}$에서 선형 형태의 제곱 행렬을 얻는다.$}$ 이 행렬의 결정요인은 U-결과물이다. As with the original U-resultant, it is zero if and only if ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$ have infinitely many common projective zeros (that is if the projective algebraic set defined by ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$ has infinitely many points over an algebraic closure of k). 원래의 U-결과와 마찬가지로, 이 U-결과가 0이 아닐 때, 대수적으로 닫힌 k의 확장에 대해 선형 인자로 인수한다. 이러한 선형 인자의 계수는 ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}$의 공통 0의 동종 좌표이며, 공통$$ 0의 다중의 좌표는 해당 선형 인자의 다중성과 동일하다.

맥컬레이 행렬의 행 수는${\displaystyle }$(${\displaystyle e}$ ${\displaystyle d{}^{}}$)${\displaystyle n^{}}$, ${\displaystyle (ed)^{n}}$보다 작으며 여기서$$ e ~ 2.7182는 일반적인 수학 상수이며 d는 ${\displaystyle P_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle P_{i}$의 도에 대한 산술 평균이다.$}$ 유한한$$ 투영 0을 가진 다항 방정식의 시스템의 모든 해법은 시간 ${\displaystyle d^{}}$ O${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle n^{}}$ )${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle$ d$^{O(n)}}}}}$이 바운드가 크지만$$, 다음과 같은 의미에서는 거의 최적이다: 모든 입력도가 같으면 절차의 시간 복잡성은 다항식이다. 예상되는 해법 수(베주트의 정리)에 있어서. 이 계산은 n, k, d가 크지 않을 때 실질적으로 실행 가능하다.

참고 항목

• 소거이론
• 하위 결과물

메모들

참조

• Gelfand, I. M.; Kapranov, M.M.; Zelevinsky, A.V. (1994), Discriminants, resultants, and multidimensional determinants, Boston: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3660-9
• Macaulay, F. S. (1902), "Some Formulæ in Elimination", Proc. London Math. Soc., 35: 3–27, doi:10.1112/plms/s1-35.1.3
• Macaulay, F. S. (1916), The Algebraic Theory of Modular Systems, The Cornell Library of Historical Mathematical Monographs, Cambridge University Press, ISBN 978-1275570412
• Salmon, George (1885) [1859], Lessons introductory to the modern higher algebra (4th ed.), Dublin, Hodges, Figgis, and Co., ISBN 978-0-8284-0150-0

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Resultant". MathWorld.