소거이론
Elimination theory정류 대수학 및 대수 기하학에서, 제거 이론은 다항식 방정식의 시스템을 해결하기 위해 여러 변수의 다항식 사이의 일부 변수를 제거하기 위한 알고리즘 접근법의 고전적인 이름이다.
고전적 제거 이론은 바르텔 반 데어 바덴의 모더네 대수학 제1판(1930년)의 소거 이론에 관한 장에서 설명한 것처럼 다변량 결과물에 대한 프랜시스 맥컬레이의 연구로 절정에 이르렀다. 그 후 제거 이론은 컴퓨터 대수학에 필요한 그뢰브너 베이스와 같은 다항식 방정식을 푸는 새로운 방법들이 도입되기 전까지 거의 30년 동안 대부분의 대수 기하학자들에게 무시되었다.
역사와 현대 이론과의 연결
제거 이론의 분야는 다항식의 시스템을 푸는 방법의 필요성에 의해 동기 부여되었다.
첫 번째 결과 중 하나는 해결책의 수(Bézout time에서 두 변수의 다항식 두 개의 경우)를 경계하는 베주트의 정리였다.
베주트의 정리를 제외하면 일반적인 접근법은 문제를 하나의 변수에서 하나의 방정식으로 줄이기 위한 변수를 제거하는 것이었다.
선형 방정식의 경우는 크레이머의 통치의 낡은 방법이 제거에 의해 진행되지 않고, 방정식의 수가 변수의 수와 같아야만 작동하는 가우스 제거에 의해 완전히 해결되었다. 19세기에 이것은 헤르미테 정상형과 스미스 정상형을 가진 선형 디오판틴 방정식과 아벨리아 집단으로 확대되었다.
20세기 이전에는 결과물을 포함한 여러 종류의 제거제와 다양한 종류의 차별이 도입되었다. 일반적으로 이러한 제거제는 변수의 다양한 변화에도 불변하며 불변 이론에서도 기본이 된다.
이러한 모든 개념은 그 정의에 연산 방법이 포함되어 있다는 점에서 효과적이다. 1890년경 데이비드 힐버트는 비효과적인 방법을 도입했고, 이는 20세기 전반의 대수 기하학자들이 대부분 "제거"를 시도하도록 이끈 혁명으로 보여졌다. 그럼에도 불구하고 힐버트의 Nullstellensatz는 다항식 방정식의 시스템이 상수 방정식 1 = 0을 얻기 위해 미지의 모든 것을 제거할 수 있는 경우에만 해법이 없다고 주장하기 때문에 제거 이론에 속하는 것으로 간주될 수 있다.
제거 이론은 레오폴드 크로네커의 연구로 절정에 달했고, 마침내 다변량 결과물과 U-결과물을 도입한 맥컬레이는 판데르 바덴의 모더네 대수학 제1판(1930)의 제거 이론에 관한 장에서 설명한 다항식 방정식의 시스템에 대한 완전한 제거 방법을 제공했다.
후에 제거 이론은 구식으로 간주되어 후속판인 모더네 대수학에서 삭제되었다. 그것은 일반적으로 컴퓨터가 도입되기 전까지는 무시되었고, 그리고 보다 구체적으로 컴퓨터 대수학을 다루었는데, 이는 단순히 존재와 구조적인 결과보다는 효율적 제거 알고리즘의 설계에 다시 관련성을 갖게 했다. 이러한 제거 이론의 갱신을 위한 주요 방법은 1970년경에 도입된 그뢰브너 베이스와 원통형 대수분해다.
논리 연결
부울 만족도 문제에서 보듯이 제거 이론에는 논리적인 측면도 있다. 최악의 경우, 계산적으로 변수를 제거하는 것은 아마도 어려울 것이다. 정량화 제거란 어떤 이론에서는 모든 공식이 정량화되지 않은 공식과 동등하다는 것을 설명하기 위해 수학적 논리에 사용되는 용어다. 대수적으로 폐쇄된 분야에 대한 다항식 이론의 경우인데, 여기서 제거 이론은 알고리즘적으로 정량화 제거 방법을 효과적으로 만드는 방법의 이론으로 볼 수 있다. 실수에 대한 정량화 제거는 계산 대수 기하학에서 기본인 또 다른 예다.
참고 항목
참조
- 이스라엘 겔판드, 미하일 카프라노프, 안드레이 젤레빈스키, 판별자, 결과자, 다차원 결정자. 수학: 이론 & 응용 프로그램. 버크호이저 보스턴, 주식회사, 보스턴, MA, 1994. x+523 pp. ISBN0-8176-3660-9
- Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
- 데이비드 콕스, 존 리틀, 도날 오셔, 대수 기하학 사용. 개정 제2판. 수학 대학원 교과서 제185권. 스프링거-베를라크, 2005, xi+558 pp, ISBN 978-0-387-20733-9
