준동질 다항식

대수에서 다변량 다항식

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }x^{\alpha }{\text{, where }}\alpha =(i_{1},\dots ,i_{r})\in \mathbb {N} ^{r}{\text{, and }}x^{\alpha }=x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{r}^{i_{r}},}$

is quasi-homogeneous or weighted homogeneous, if there exist r integers ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{r}}$, called weights of the variables, such that the sum ${\displaystyle w=w_{1}i_{1}+\cdots +w_{r}i_{r}}$ is the same for all nonzero terms of f.이 합 w는 다항식의 무게 또는 정도를 말한다.

준균형이라는 용어는 다항식 f가 만약의 경우에 한해서만 준균형이라는 사실에서 유래한다.

${\displaystyle f(\data ^{w_{1}x_{1},\ldots,\dots,\data ^{w_{r}x_{r}}=\displayda ^{w}f(x_{1}},\ldots,x_{r}}}}}}}}}}})}$

계수를 포함하는 모든 필드의 모든$$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 대해.

다항식 $f{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{n}}}$은(는$$) 무게가 ${\displaystyle 1_{}}$이고, ${\displaystyle w_{},}$ $,$ w {\$displaystyle w_1},\ldots, w_{r}$인 경우에만 준균형이다.

${\displaystyle f(y_{1}^{w_{1}^,\ldots ,y_{n}^{w_{n}}}}}}}}$

$y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 동종 다항식이며$,$ 특히 동종 다항식은 항상 준동종이며, 모든 중량은 1과 같다.

$다항식$은 모든$α$ {\displaystyle \$alpha$}이(가) 동일한$$ 부착 하이퍼플레인에 속하는 경우에만 준균종이다.As the Newton polytope of the polynomial is the convex hull of the set ${\displaystyle \{\alpha \mid a_{\alpha }\neq 0\},}$ the quasi-homogeneous polynomials may also be defined as the polynomials that have a degenerate Newton polytope (here "degenerate" means "contained in some affine hyperplane").

소개

다항식 $f{\displaystyle (x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= 5 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$+ x ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {9\mathrm{}}^{}}$- 2 ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\displaystyle {12}^{}}$ ${\$을 고려하십시오.그러나 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle \lambda }$ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(\lambda x,\$$lambda$ y$)}$을$($를) 고려하는 대신, 동질성을 테스트하기 위해$$ 쌍$({\displaystyle {\lambda 3\mathrm{}}^{}}$,$λ$)을 $사용$한다.

${\displaystyle f(\data ^{3}x,\data y)=5(\data ^{3}x)^{3}+(\data ^{3}x)(\data y)^{9}-2(\da y)^{12}=\data ^{12}f(x,y)=.}$

$우리$는 f${\displaystyle (x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle f(x,y$)}이(가) 유형(3,3), (1₁,9) 및 (0,12₂)의 세 쌍이 모두 선형 $방정식{\displaystyle \mathrm{}}$ 3 ${\displaystyle {i\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {i\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 3i_{1}+1i_{2}=12$를 충족하기 때문에 이형은 준동종 다항식이라고$$ 말한다$.$특히 $f{\displaystyle (x}$ ,$){\displaystyle f(x,y)}$의 뉴턴 폴리토프가 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 안쪽에$$ ${\displaystyle \mathrm{등식}}$ 3${\displaystyle x}$ +${\displaystyle }$y = ${\displaystyle 12}${\$displaystyle 3x+y=12}$를 가진 아핀 공간에 놓여$$ 있다고 한다$.$

The above equation is equivalent to this new one: ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}x+{\tfrac {1}{12}}y=1}$. Some authors^[1] prefer to use this last condition and prefer to say that our polynomial is quasi-homogeneous of type ${\displaystyle ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{12}})}$.

위에서 언급한 바와 같이 도 d의 동질 $다항식{\displaystyle }$ g${\displaystyle (x}$ ,${\displaystyle y}$ )$${\$displaystyle$ g$(x,y)}$은 유형 (1,1)의 준동종 다항식일 뿐이다. 이 경우 모든 지수 쌍은 ${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {i\mathrm{}}_{}}$2 = ${\displaystyle d}${\$displaystyle 1i_{$1}+$1i_{$2i_{2i_{$2$} 등식을 만족하게 된다.$}}=d}$.

정의

f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$을(를) r 변수 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$… x ${\displaystyle r_{}}$ ${\$ x$=x_{1}\ldots x_{r}$의 다항식이 되도록$$$$ 하고, 계수는 정류 링 R에 넣는다.우리는 그것을 유한한 금액으로 표현한다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathb{N} ^{r}}{r}a_{x^{\x^{\xa }}},\alpha =(i_{1}, ldots,i_{r}),a_{\mathb {R}.}}$

We say that f is quasi-homogeneous of type ${\displaystyle \varphi =(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{r})}$, ${\displaystyle \varphi _{i}\in \mathbb {N} }$, if there exists some ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ such that

${\displaystyle \langle \langle \langle =\sum _{k}^{r}i_{k}\varphi _{k}=a}$

${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\alpha }{}_{}}${$$0 {\$displaystyle$ a_${\property }\neq$ 0$}$이(가) $있을{\displaystyle {}_{}}$ 때마다$$.

참조