파냐노의 문제

기하학에서 파냐노의 문제는 1775년 지오반니 파냐노가 처음 밝힌 최적화 문제다.

주어진 급성 삼각형의 경우 최소 둘레의 새겨진 삼각형을 결정한다.

해결책은 직교 삼각형이며, 주어진 삼각형의 고도의 기저점에 정점이 있다.

해결책

주어진 삼각형의 고도의 기저점에 정점이 있는 직교 삼각형은 모든 삼각형의 가장 작은 둘레를 급성 삼각형으로 새기므로 파냐노의 문제의 해결책이다.파냐노의 원본 증거는 미적분법과 아버지 줄리오 카를로 데'토스키 디 파냐노가 준 중간 결과를 사용했다.그러나 후에 헤르만 슈바르츠와 리포트 페제르에 의해 여러 가지 기하학적 증거들도 발견되었다.이 교정쇄들은 둘레를 나타내는 최소한의 경로를 결정하기 위해 반사의 기하학적 특성을 사용한다.

물리적 원리

후크의 법칙을 따르는 고무 밴드를 삼각형 $틀{\displaystyle }$ A ${\displaystyle B}$ C$[\displaystyle ABC}$의 세 면 주위에 둘러서 부드럽게 미끄러질 수 있게 하는 상상을 하면 물리학의 해결책이 발견된다$.$그러면 고무줄은 탄성 에너지를 최소화하는 위치에 놓이게 되고, 따라서 전체 길이를 최소화할 수 있게 된다.이 위치는 최소 주변 삼각형을 제공한다.The tension inside the rubber band is the same everywhere in the rubber band, so in its resting position, we have, by Lami's theorem, ${\displaystyle \angle bcA=\angle acB,\angle caB=\angle baC,\angle abC=\angle cbA}$

따라서 이 최소 삼각형은 직교 삼각형이다.

참고 항목

• TSP 문제 설정, 가장 짧은 투어를 통해 각 세트 패밀리를 방문하는 일반적인 작업

참조

• 하인리히 두리: 초등 수학의 100대 문제: 그들의 역사와 해결책.도버 출판물 1965 페이지 359-360. ISBN0-486-61348-8, 문제 90(제한된 온라인 버전(Google 북스))
• 폴 J. 나힌:최소값이 가장 좋은 경우: 어떻게 수학자들이 사물을 가능한 작게(또는 크게) 만드는 많은 영리한 방법들을 발견했는가.프린스턴 대학교 프레스 2004, ISBN 0-691-07078-4, 페이지 67
• Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L.:지오메트리 재방문.워싱턴 DC: 수학.아머 1967쪽 88-89쪽
• H.A. 슈바르츠:Gesammelte Matheatische Abhandlungen, 제2권. 베를린 1890, 페이지 344-345(독일어 인터넷 아카이브 온라인)

외부 링크

• 파냐노가 문제지
• 파냐노의 수학 백과사전 문제
• 삼각형 기하학 웹사이트의 파냐노의 문제
• Weisstein, Eric W. "Fagnano's problem". MathWorld.