나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리

나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리는 앨리어싱이라는 왜곡 유형을 피하기 위해 필요한 신호의 주파수 범위와 샘플 레이트를 연결하는 디지털 신호 처리에 필수적인 원리입니다. 이 정리는 앨리어싱 왜곡을 피하기 위해 표본 속도가 신호 대역폭의 두 배 이상이어야 한다는 것을 나타냅니다. 실제로 아날로그 신호가 샘플링될 때 또는 디지털 신호 처리 기능 내에서 샘플 레이트가 변경될 때 허용 가능한 양 이하로 앨리어싱 왜곡을 유지하기 위해 대역 제한 필터를 선택하는 데 사용됩니다.

Nyquist-Shannon 샘플링 정리는 연속 시간 신호와 이산 시간 신호 사이의 기본 다리 역할을 하는 신호 처리 분야의 정리입니다. 샘플의 이산 시퀀스가 유한 대역폭의 연속 시간 신호에서 모든 정보를 캡처할 수 있는 샘플 속도에 대한 충분한 조건을 설정합니다.

엄밀히 말하면, 이 정리는 주파수의 유한 영역 밖에서 0인 푸리에 변환을 갖는 수학 함수 클래스에만 적용됩니다. 직관적으로 연속 함수를 이산 시퀀스로 축소하고 연속 함수로 보간할 때 결과의 충실도는 원래 샘플의 밀도(또는 샘플 속도)에 따라 달라질 것으로 예상합니다. 샘플링 정리는 실제 정보가 샘플링 과정에서 손실되지 않도록 주어진 대역폭으로 대역 제한된 함수 클래스에 대한 완벽한 충실도에 충분한 샘플링 속도의 개념을 도입합니다. 함수 클래스에 대한 대역폭 측면에서 충분한 표본 비율을 표현합니다. 이 정리는 또한 샘플에서 원래의 연속 시간 함수를 완벽하게 재구성하는 공식으로 이어집니다.

신호에 대한 다른 제약 조건이 알려져 있는 경우 샘플 속도 기준이 충족되지 않을 때에도 완벽한 재구성이 가능할 수 있습니다(아래 § 비 기저대역 신호 샘플링 및 압축 센싱 참조). 일부 경우(표본 비율 기준이 만족되지 않는 경우) 추가 제약 조건을 사용하면 대략적인 재구성이 가능합니다. 보크너의 정리를 이용하면 이러한 재구성의 충실도를 확인하고 정량화할 수 있습니다.^[1]

나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리라는 이름은 해리 나이퀴스트와 클로드 섀넌을 기리고 있지만, 이 정리는 이전에 E.T.에 의해서도 발견되었습니다. 휘태커(1915년 출판)와 섀넌은 휘태커의 논문을 그의 작품에서 인용했습니다. 따라서 이 정리는 Whittaker-Shannon 샘플링 정리, Whittaker-Shannon, Whittaker-Nyquist-Shannon이라는 이름으로도 알려져 있으며 보간의 기본 정리라고도 할 수 있습니다.

서론

샘플링은 신호(예: 연속적인 시간 또는 공간의 함수)를 일련의 값(불연속적인 시간 또는 공간의 함수)으로 변환하는 과정입니다. 섀넌의 정리 버전은 다음과 같습니다.^[2]

따라서 충분한 표본 비율은 초당 ${\displaystyle \mathrm{2B}}$ ${\displaystyle 2B}$개의$$ 표본보다 큽니다. 마찬가지로 주어진 샘플 속도 ${\displaystyle {fs}_{}}$ ${\$에$$대해 제한 B< / ${\displaystyle$ B$<f_{s}/2}$에 대해 완벽한 재구성이 가능합니다

밴드 한계가 너무 높은 경우(또는 밴드 한계가 없는 경우) 재구성은 앨리어싱으로 알려진 불완전성을 나타냅니다. 이 정리의 현대적인 문장은 $x{\displaystyle }$($)$ {\$displaystyle$x($t)}$가 정확한 $빈도$ B$,$ {\$displaystyle$ B$,}$에서 사인파 성분을 포함하지 않아야 하거나 $B$ ${\displaystyle$ B$}$가 표본 비율의 ½보다 엄격하게 작아야 한다고 명시적으로 진술하는 데 주의를 기울이는 경우가 있습니다. 임계값 ${\displaystyle \mathrm{2B}}$ ${\displaystyle 2B}$를 나이퀴스트율이라고 하며$$ 샘플링할$$ 연속 시간 입력 $x{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle$ x$(t)}$의 속성입니다. $표본{\displaystyle }$ 비율은 표본이 x${\displaystyle (t)}$를 나타내기에 충분한 나이퀴스트 비율을 초과해야 합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ x$(t).$$}$임계값$$ ${\displaystyle {fs}_{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle f_{s}/2}$은 나이퀴스트 주파수라고 불리며$$ 샘플링 장비의 속성입니다. 적절하게 샘플링된 $x{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle x(t)}$의 모든 의미 있는 주파수 성분은 나이퀴스트 주파수 아래에 존재합니다$$. 이러한 부등식에 의해 설명되는 조건을 나이퀴스트 기준 또는 때로는 라베 조건이라고 합니다. 이 정리는 디지털화된 이미지의 경우 공간과 같은 다른 도메인의 기능에도 적용할 수 있습니다. 다른 도메인의 경우 $유일$한$$변경$사항$은 t, {\${\displaystyle {displaystyle}_{}}$ t$,}$ $fs$, {\$displaystyle$ f_$$${$$s}}$ 및 $B{\displaystyle }$. {\$displaystyle$ B$.}$에 기인한 측정 단위입니다.

${\displaystyle {기호}_{}}$ $T$ ≜$$1 / $fs {\displaystyle$ T$\triangleq$1/f_{s}}는 샘플 사이의 간격을 나타내기 위해 사용되며 샘플 기간 또는 샘플링 간격이라고 합니다. $함수$ x${\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle$ x$(t)}$의 샘플은 일반적으로 $n$의 모든 정수${\displaystyle }값$에 $대해$ ${\displaystyle x}$[${\displaystyle n]}$ ≜${\displaystyle }$x (n T) ${\displaystyle$x[$n]\triangleq$ x(n T)}(${\displaystyle {이전}_{}}$ 신호 처리 문헌에서는 x n {\$displaystyle$x_{n$}})$으로 표시됩니다. ${\displaystyle$ n$.$$}$또 다른 편리한 정의는 ${\displaystyle x}$[${\displaystyle n]}$ $≜$ ${\displaystyle T}$ $⋅$ x($n$ T ),${\displaystyle x[n]\triangleq$ T\cdot x(n T)이며, $이는$T {\displaystyle T}가 변함에 $따라$의 에너지를 보존합니다.

수열을 보간하는 수학적으로 이상적인 방법은 sinc 함수를 사용하는 것입니다. 시퀀스의 각 샘플은 샘플 ${\displaystyle n}$ T$,$ {\$displaystyle nT,}$의 원래 위치에서 시간 축을 중심으로 한 sinc 함수로 대체되며$$, sinc 함수의 진폭은 샘플 값 $x{\displaystyle }$[${\displaystyle n}$]로 스케일링됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ x$[n].$$}$그$$ 후, sinc 함수는 연속 함수로 합산됩니다. 수학적으로 동등한 방법은 디랙 콤을 사용하고 하나의 싱 함수를 샘플 값으로 가중된 일련의 디랙 델타 펄스와 컨벌루션하여 진행합니다. 두 방법 모두 수치적으로 실용적이지 않습니다. 대신 길이가 유한한 sinc 함수의 일부 유형의 근사치가 사용됩니다. 근사에 기인하는 불완전성을 보간 오류라고 합니다.

실용적인 디지털-아날로그 변환기는 스케일 및 지연 sinc 함수나 이상적인 디랙 펄스를 생성하지 않습니다. 대신 원래 기저 대역 신호의 가짜 고주파 복제물(이미지)을 제거하기 위해 일반적으로 로우패스 필터("안티 이미징 필터"라고 함)가 뒤따르는 스케일링되고 지연된 직사각형 펄스(0차 홀드)의 조각별 일정한 시퀀스를 생성합니다.

앨리어싱

$x{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle x(t)}$가 푸리에 변환 $X{\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle$ X$(f)}$인 경우$:$

포아송 합계 공식은 $x{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle$ x$(nT$의 표본 $x{\displaystyle (\mathrm{nT})}$ ${\$displaystyle $x(t)}$가 $X{\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle X(f)}$의 주기적 합계를 생성하기에 충분함을 나타냅니다$.$ 결과는 다음과 같습니다.

(Eq.1)

이 함수는 주기 함수이며 계수가 ${\displaystyle T}$ ⋅${\displaystyle }$x$(n$ T) ${\displaystyle T\cdot$x(nT)}인 푸리에 급수로 동등하게 표현됩니다. 이 함수는 샘플 시퀀스의 이산 시간 푸리에 변환(DTFT)이라고도 합니다.

그림과 같이 $X{\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle$ X$(f)}$의 복사본은 $샘플링{\displaystyle {}_{}}$ 속도 ${\displaystyle f_{}}$ ${\$의 배수로 이동되고$$$$ 덧셈에 의해 결합됩니다. 대역 제한 함수$({\displaystyle X(f}$) = 0$모든$f ≥ B) {\$displaystyle$(X(f) =$$${\displaystyle 0}$,{\text{모든}} f \geq B)} 및 충분히 큰 fs, {\displaystyle f_{s}}의 경우 복사본이 서로 구별되는 상태를 유지할 수 있습니다. 그러나 나이퀴스트 기준을 만족하지 않는 경우 인접 사본이 중복되며 일반적으로 명확하지 않은 $X{\displaystyle (f)}$를 식별할 수 없습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$(f).$$}$${\displaystyle {fs}_{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle f_{s}/2}$ 위의 주파수$$ 성분은 복사본 중 하나와 연결된 별칭이라고 하는 저주파 성분과 구별할 수 없습니다$$. 이러한 경우 관습적인 보간 기법은 원래 구성 요소가 아닌 별칭을 생성합니다. 표본 비율이 다른 고려 사항(예: 산업 표준)에 의해 미리 결정되는 경우 $일반적$으로 x(${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle x(t)}$는 표본이 추출되기 전에 고주파를 허용 가능한 수준으로 줄이기 위해 필터링됩니다$$. 필요한 필터 유형은 로우패스 필터이며, 이 애플리케이션에서는 안티에일리어싱 필터라고 합니다.

포아송 합산의 특수한 경우로 유도

X($)$ {\$displaystyle X($f$)\}$의 복사본("images"라고도 함)이 중복되지 않을 경우, Eq.1의 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ =$$0 ${\displaystyle$k = 0} $항$은 제품으로 복구할 수 있습니다.

위치:

$샘플링{\displaystyle }$ 정리는 X${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle X(f)}$가 $x{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle x(t)}$를 고유하게 결정하기 때문에 증명됩니다$.$

이제 남은 것은 재건을 위한 공식을 도출하는 것입니다. ${\displaystyle }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{}}$( f${\displaystyle }$) ${\displaystyle X_{s}(f)}$가 해당 영역에서 0이므로$$ H${\displaystyle }$( f${\displaystyle }$) ${\displaystyle H(f)}$ 영역을 정확하게 정의할 필요는$$ 없습니다${\displaystyle }$[${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle f_{}}$ s${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle B]}$ ${\displaystyle [B,\ f_{s}-B]}.$ 그러나 최악의 경우는 $B$ = ${\displaystyle f_{}}$ s${\displaystyle {}_{}}$/$$2, {\displaystyle B = f_{s}/2,}가 나이퀴스트 주파수일 때입니다. 그에 충분하고 모든 덜 심각한 경우에는 다음과 같은 기능이 있습니다.

$여기$서 ${\displaystyle \mathrm{rect}}$ ${\$은 직사각형 함수입니다. 따라서:^[A]

양변의 역변환은 Whittaker-Shannon 보간 공식을 생성합니다.

샘플 $x{\displaystyle (n}$ ${\displaystyle T)}$ ${\displaystyle$ $x$$(nT$를 결합하여 $x{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle$ $x$$(t)}$를 재구성하는 방법을 보여줍니다$.$

• 오버샘플링이라 불리는$fs$ {\$displaystyle f_{$$$${\displaystyle s_{}}$$}}(T$ {\$displaystyle$ T$}$의 값이 필요보다 크면 재구성 결과에 영향을 미치지 $않으며{\displaystyle }$ H$)$ {\$displaystyle H(f$))가$$ 중간 값을 자유롭게 취할 수 있는 전이 대역의 여유를 남겨주는 이점이 있습니다. 앨리어싱을 유발하는 언더샘플링은 일반적으로 가역적인 작업이 아닙니다.
• 이론적으로 보간 공식은 임펄스 응답이 ${\displaystyle \mathrm{c}(t}$/ T${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm${sinc$}($t/T)}이고${\displaystyle \underset{}{\overset{}{입력}}}$이 ∑${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}n}$ = - ∞ ∞$(n$T) ⋅ δ(t - n T), {\displaystyle \textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \delta(t-nT),$}$신호$$ 샘플에 의해 변조된 디랙 콤 함수입니다. 실용적인 디지털 아날로그 변환기(DAC)는 0차 홀드와 같은 근사치를 구현합니다. 그 경우, 오버 샘플링을 하면 근사 오차를 줄일 수 있습니다.

샤넌의 원증명

푸아송은 식 1의 푸리에 급수가 ${\displaystyle {fs}_{}}$ ${\displaystyle f_{s}$ 및 B ${\displaystyle$ $B$$}$에 관계없이$X{\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle$ X$(f)}$의 주기적인 합을 생성함을 보여줍니다$.$ 그러나 샤넌은 ${\displaystyle {fs}_{}}$ = 2 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{$s}= 2 B$}$ 경우의 급수 계수만 도출합니다$.$ 섀넌의 원래 논문을 인용하면 다음과 같습니다.

$X{\displaystyle (}$ω) {\$displaystyle X(\$omega )}를 x$(t$)${\displaystyle$x(t)}의${\displaystyle }$스펙트럼이라고 합니다. 그리고나서

$${\displaystyle x(t)={1 \over 2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega)e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ={1 \over 2\pi }\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega)e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega,}$$

$($ω) ${\displaystyle$ X$(\$omega)}는ω 2π < B ${\displaystyle \left {\tfrac$}{2\pi}}\right < B$}.$ $만약$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$ = n 2 B {\$displaystyle$ t ={\tfrac {n}{2$B$ $여기$서$$n {\$displaystyle$ n$}$은 임의의 양 또는 음의 정수입니다.

$${\displaystyle x\left ({\tfrac {n}{2B}\right)={1 \over 2\pi}\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega)e^{i\omega {n \over {2B}}\;{\rm {d}}\omega.{\text{(Eq.2)}}}$$

왼쪽에는 샘플링 지점의$$ $x{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle$ x$(t)}$ 값이 있습니다. 오른쪽의 적분값은 - B {\$displaystyle$$}~B {\displaystyle$ B} ${\displaystyle \mathrm{구간}}$을 기본 주기로 하여 X$($ω) ${\displaystyle$ X$(\backslash$omega)} 함수의 푸리에 시리즈 확장에서 본질적으로 n번째 계수로 인식됩니다. 즉, $샘플$ $x{\displaystyle (n}$/ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle B)}$ ${\displaystyle$ x$(n$/ $2B)}$의 값이 X${\displaystyle (}$ω) ${\displaystyle$ $X$$(\backslash$omega)}의 시리즈 확장에서 푸리에 계수를 결정합니다. $따라서$ X$($$$ω) ${\displaystyle$ X$(\backslash$omega)}는 B $\{\backslash$displaystyle B}보다$$큰 $주파수$의 경우 0이고${\displaystyle }낮은$의 경우 X( ω) ${\$displaystyle X(\omega)}는 푸리에 계수가 결정되면 결정됩니다. $그러나$ X$($ω) {\$displaystyle X(\$omega)}는 원래${\displaystyle \mathrm{함수}}$ x$(t$) ${\displaystyle$x(t)}를 완전히 결정합니다. 왜냐하면 함수는 스펙트럼을 알고 있으면 결정되기 때문입니다. 따라서 원래 샘플은 함수 $x{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle$ x$(t)}$를 완전히$$ 결정합니다.

섀넌의 정리 증명은 그 시점에서 완료되었지만, 그는 위에서 논의한 바와 같이 현재 휘태커-섀넌 보간 공식이라고 불리는 sinc 함수를 통한 재구성에 대해 계속 논의합니다. 그는 그 당시에 렉(직사각 함수)과 싱 함수 사이의 푸리에 쌍 관계가 잘 알려져 있었기 때문에 싱 함수의 속성을 도출하거나 증명하지 않습니다.^[4]

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$을 n번째 샘플로$$ 지정합니다. $그런{\displaystyle }$ 다음 x(${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle$ x$(t)}$ 함수는 다음과 같이 표시됩니다$$.

$${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}{\sin(\pi (2Bt-n)) \over \pi (2Bt-n)}.}$$

다른 증명에서와 마찬가지로 원래 신호의 푸리에 변환의 존재가 가정되므로, 이 증명은 샘플링 정리가 밴드 제한 정지 랜덤 프로세스로 확장되는지 여부를 말하지 않습니다.

메모들

다변수 신호 및 영상에 적용

표본 추출 정리는 일반적으로 단일 변수의 함수에 대해 공식화됩니다. 따라서 이 정리는 시간 의존적 신호에 직접 적용할 수 있으며 일반적으로 해당 맥락에서 공식화됩니다. 그러나 표본 추출 정리는 임의로 많은 변수의 함수로 간단히 확장할 수 있습니다. 예를 들어, 그레이스케일 이미지는 행 및 열 샘플 위치의 교차점에 위치한 픽셀(그림 요소)의 상대적 강도를 나타내는 실수의 2차원 배열(또는 행렬)로 종종 표현됩니다. 따라서 각 픽셀을 고유하게 지정하려면 행에 하나, 열에 하나씩 두 개의 독립 변수 또는 인덱스가 필요합니다.

컬러 이미지는 일반적으로 세 개의 개별 그레이스케일 이미지의 합성으로 구성되며, 하나는 빨간색, 녹색 및 파란색, 또는 줄여서 RGB의 세 가지 기본 색상을 나타냅니다. 색상에 3-벡터를 사용하는 다른 색상 공간으로는 HSV, CIELAB, XYZ 등이 있습니다. 시안, 마젠타, 옐로우 및 블랙(CMYK)과 같은 일부 색상 공간은 4차원으로 색상을 나타낼 수 있습니다. 이 모든 것은 2차원 샘플링 도메인에 대한 벡터 값 함수로 처리됩니다.

1차원 이산 시간 신호와 마찬가지로, 샘플링 해상도, 즉 픽셀 밀도가 불충분할 경우 이미지가 앨리어싱(eliasing)을 겪을 수도 있습니다. 예를 들어, 주파수가 높은 줄무늬 셔츠의 디지털 사진(즉, 줄무늬 사이의 거리가 작음)은 카메라의 이미지 센서에서 샘플링할 때 셔츠의 별칭을 유발할 수 있습니다. 앨리어싱은 모이레 패턴으로 나타납니다. 이 경우 공간 영역에서 더 높은 샘플링을 위한 "해결책"은 셔츠에 가까이 다가가거나 더 높은 해상도의 센서를 사용하거나 광학적으로 이미지를 흐리게 한 후 광학적 저역 통과 필터를 사용하여 이미지를 획득하는 것입니다.

또 다른 예는 여기 벽돌 패턴에 나와 있습니다. 상단 이미지는 샘플링 정리의 조건이 만족되지 않을 때의 효과를 보여줍니다. 소프트웨어가 이미지의 크기를 조정하면(아래쪽 이미지에 표시된 썸네일과 동일한 프로세스) 이미지는 먼저 저역 통과 필터를 통해 이미지를 실행한 다음 이미지를 다운샘플링하여 모아레 패턴이 표시되지 않는 더 작은 이미지가 됩니다. 상단 이미지는 저역 통과 필터링 없이 이미지를 다운샘플링할 때 발생하는 작업으로, 앨리어싱 결과입니다.

샘플링 정리는 카메라 시스템에 적용되며, 장면과 렌즈는 아날로그 공간 신호원을 구성하고 이미지 센서는 공간 샘플링 장치입니다. 이러한 각 구성 요소는 해당 구성 요소에서 사용할 수 있는 정확한 해상도(공간 대역폭)를 나타내는 변조 전송 함수(MTF)를 특징으로 합니다. 렌즈 MTF와 센서 MTF가 일치하지 않을 때 앨리어싱 또는 블러링의 영향이 발생할 수 있습니다. 센서 장치가 샘플링한 광학 이미지에 센서보다 높은 공간 주파수가 포함된 경우 언더 샘플링은 저역 통과 필터 역할을 하여 앨리어싱을 줄이거나 제거합니다. 샘플링 스팟의 면적(픽셀 센서의 크기)이 충분한 공간 안티-에일리어싱을 제공할 만큼 충분히 크지 않은 경우, 광학 이미지의 MTF를 줄이기 위해 별도의 안티-에일리어싱 필터(optical low-pass filter)가 카메라 시스템에 포함될 수 있습니다. 스마트폰 카메라의 그래픽 처리 장치는 광학 필터가 필요한 대신 디지털 필터로 앨리어싱을 제거하는 디지털 신호 처리를 수행합니다. 디지털 필터는 또한 높은 공간 주파수에서 렌즈의 대비를 증폭하기 위해 샤프닝을 적용하며, 그렇지 않으면 회절 한계에서 빠르게 떨어집니다.

샘플링 정리는 위 또는 아래 샘플링과 같은 후처리 디지털 이미지에도 적용됩니다. 소프트웨어로 구현된 디지털 필터링으로 앨리어싱, 블러링, 샤프닝의 효과를 조정할 수 있으며, 이는 반드시 이론적 원리를 따릅니다.

임계빈도

> ${\displaystyle f_{s}> 2B}$의 필요성을 설명하려면 다음 공식에서$$θ${\displaystyle$ \theta}의 다른 값으로 생성된 사인파 계열을 고려합니다

${\displaystyle {fs}_{}}$ = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle B}${\$displaystyle$ f_{$s$}=2B} 또는 이와 동등한 T = 1 / 2 B {\displaystyle T = 1/2B}일 경우 샘플은 다음과 같이 제공됩니다.

θ$${\displaystyle \theta}의 값에 상관없이. 그런 종류의 모호성이 샘플링 정리 조건의 엄격한 부등식의 이유입니다.

비 기저대역 신호의 샘플링

Shannon이 논의한 바와 같이:^[2]

대역이 0 주파수에서 시작하는 것이 아니라 일부 더 높은 값에서 시작하고, 0 주파수 케이스의 선형 변환(물리적으로 단일 사이드 밴드 변조에 해당)으로 증명될 수 있는 경우에도 유사한 결과가 적용됩니다. 이 경우 기본 펄스는 단일 사이드 밴드 변조에 의해 ${\displaystyle \sin }$⁡(${\displaystyle x}$ ) / $x$ ${\displaystyle \sin($x)/x}에서 얻어집니다.

즉, 베이스 밴드 성분이 없는 신호를 샘플링하기 위한 충분한 무손실 조건이 존재하며, 이는 최고 주파수 성분과 반대로 0이 아닌 주파수 간격의 폭을 포함합니다. 자세한 내용과 예제는 표본 추출을 참조하십시오.

예를 들어, FM 라디오 신호를 100~102MHz의 주파수 범위에서 샘플링하려면 204MHz(상기 주파수의 2배)로 샘플링할 필요가 없고 오히려 4MHz(주파수 간격의 2배)로 샘플링하면 됩니다.

대역 통과 조건은 열린 주파수 대역을 벗어난 모든 음이 아닌 f {\displaystyle f}에 $대해$ X${\displaystyle (f)}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\$displaystyle X(f) = 0$}$입니다.

일부 음이 아닌 $정수$ N ${\displaystyle N}$의 경우$.$ 이 공식은 $N$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$N = $0}$인 경우와 같이 정상 기저대역 조건을 포함합니다$.$

해당 보간 함수는 지정된 대역의 상단 및 하단 가장자리에 컷오프가 있는 이상적인 벽돌-벽 대역 통과 필터의 임펄스 응답이며, 이는 한 쌍의 로우패스 임펄스 응답 간의 차이입니다.

예를 들어, 다수의 비연속 대역을 점유하는 신호에 대한 다른 일반화도 가능합니다. 표본 추출 정리의 가장 일반적인 형태조차도 증명 가능한 참된 역수를 갖지 않습니다. 즉, 샘플링 정리의 조건이 만족되지 않는다고 해서 반드시 정보가 손실된다고 단정할 수는 없지만, 공학적 관점에서는 일반적으로 샘플링 정리가 만족되지 않으면 정보가 손실될 가능성이 높다고 가정하는 것이 안전합니다.

비균일표본추출

Shannon의 샘플링 이론은 균일하지 않은 샘플링, 즉 시간적으로 동일한 간격으로 추출되지 않은 샘플의 경우에 대해 일반화될 수 있습니다. 불균일 샘플링에 대한 섀넌 샘플링 이론은 평균 샘플링 속도가 나이퀴스트 조건을 만족할 경우 밴드 제한 신호가 샘플로부터 완벽하게 재구성될 수 있다고 말합니다.^[5] 따라서 균일한 간격의 샘플은 재구성 알고리즘을 더 쉽게 만들 수 있지만 완벽한 재구성을 위한 필수 조건은 아닙니다.

비베이스밴드 및 비균일 샘플에 대한 일반 이론은 1967년 헨리 란다우에 의해 개발되었습니다.^[6] 그는 스펙트럼의 어느 부분이 점유되었는지가 선험적으로 알려진 것이라고 가정하고 평균 샘플링 속도(균일하거나 그렇지 않은 경우)가 신호의 점유 대역폭의 두 배여야 한다는 것을 증명했습니다.

1990년대 후반, 이 작업은 부분적으로 확장되어 점유된 대역폭의 양은 알 수 있었지만 실제 점유된 스펙트럼 부분은 알 수 없었습니다.^[7] 2000년대에는 압축 센싱을 사용하여 완전한 이론이 개발되었습니다(아래 추가적인 제한 하에서 나이퀴스트 비율 아래의 샘플링 섹션 참조). 특히 신호 처리 언어를 이용한 이 이론은 2009년 미샬리와 엘다의 논문에 기술되어 있습니다.^[8] 그들은 무엇보다도 주파수 위치를 알 수 없는 경우 나이퀴스트 기준의 최소 2배를 샘플링해야 한다는 것을 보여줍니다. 즉 스펙트럼의 위치를 알 수 없는 경우 최소 2배를 지불해야 합니다. 최소 샘플링 요건이 반드시 안정성을 보장하는 것은 아닙니다.

추가적인 제한 하에서 나이퀴스트율 이하의 샘플링

Nyquist-Shannon 샘플링 정리는 대역 제한 신호의 샘플링 및 재구성을 위한 충분한 조건을 제공합니다. Whittaker-Shannon 보간 공식을 통해 재구성할 때, Nyquist 기준은 또한 앨리어싱을 피하기 위해 필요한 조건입니다. 만약 샘플이 대역 한계의 두 배보다 느린 속도로 수집된다면, 일부 신호가 올바르게 재구성되지 않을 것이라는 점에서 말입니다. 그러나 신호에 추가적인 제한이 가해지면 나이퀴스트 기준은 더 이상 필요 조건이 아닐 수 있습니다.

신호에 대한 추가 가정을 활용하는 사소한 예는 최근 압축 감지 분야에 의해 제공되며, 이는 하위 나이퀴스트 샘플링 속도로 완전한 재구성을 허용합니다. 특히 일부 도메인에서 희소(또는 압축 가능)한 신호에 적용됩니다. 예를 들어, 압축 센싱은 낮은 전체 대역폭(예: 유효 대역폭 ${\displaystyle \mathrm{EB}}$ ${\displaystyle EB})$을 가질 수 있는 신호를 다루지만, 주파수 위치를 알 수 없으므로 패스밴드 기법이 적용되지 않습니다. 즉, 주파수 스펙트럼이 희박합니다. 전통적으로 필요한 샘플링 속도는 ${\displaystyle \mathrm{2B}}$ ${\displaystyle 2B}$입니다$.$ 압축 센싱 기술을 사용하여 ${\displaystyle \mathrm{신호}}$가$$2EB {\$displaystyle$2EB}보다 약간 낮은 속도로 샘플링될 경우 완벽하게 재구성될 수 있습니다$.$ 이 방법을 사용하면 재구성이 더 이상 공식으로 주어지지 않습니다. 대신 선형 최적화 프로그램에 대한 솔루션을 사용합니다.

서브 나이퀴스트 샘플링이 최적인 또 다른 예는 샘플링과 최적 손실 압축의 결합된 시스템에서와 같이 샘플이 최적의 방식으로 정량화된다는 추가적인 제약 하에서 발생합니다.^[9] 이 설정은 샘플링과 양자화의 공동 효과를 고려해야 하는 경우에 적합하며 임의 신호를 샘플링하고 양자화할 때 얻을 수 있는 최소 재구성 오차의 하한을 제공할 수 있습니다. 고정 가우스 랜덤 신호의 경우, 이 하한은 일반적으로 서브-나이퀴스트 샘플링 속도에서 달성되며, 이는 서브-나이퀴스트 샘플링이 최적의 양자화 하에서 이 신호 모델에 최적임을 나타냅니다.^[10]

역사적 배경

샘플링 정리는 1928년 해리 나이퀴스트의 연구에 의해 암시되었는데,^[11] 그는 최대 ${\displaystyle \mathrm{2B}}$ ${\$$displaystyle$ $2B$$}$개의$$ 독립적인 펄스 샘플이 $대역폭{\displaystyle }$ B {\$displaystyle$ B$}$ 시스템을 통해 전송될 수 있음을 보여주었지만$,$ 그는 연속 신호의 샘플링 및 재구성 문제를 명시적으로 고려하지 않았습니다. 거의 비슷한 시기에, Karl Küpfmüler도 비슷한^[12] 결과를 보여주었고, 그 적분을 통해 대역 제한 필터의 sin-function impulse 응답에 대해 논의했습니다. 단계 응답 사인 적분; 샘플링 정리에서 매우 중심적인 이 대역 제한 및 재구성 필터는 때때로 Küpfmüler 필터(Küpfmüler filter)라고 불립니다.

샘플링 정리는 본질적으로 나이퀴스트의 결과의 이중인 것으로 클로드 E에 의해 증명되었습니다. 샤넌.^[2] 수학자 E. T. 휘태커는 1915년에 비슷한 결과를 발표했습니다,^[13] J. M. 1935년 휘태커(^[14]Whittaker), 1946년 가보르(Gabor).

1948년과 1949년, 클로드 E. 섀넌은 정보 이론을 창시한 두 개의 혁명적인 기사를 발표했습니다.^[15][16][2] 1948년 섀넌에서 샘플링 정리는 "정리 13"으로 공식화됩니다. $f{\displaystyle }$(${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle f(t)}$에 W 이상의 주파수가 포함되지$$ 않는다고 하자. 그리고나서

여기서 $X$ ${\displaystyle n_{}}$ = f ($n$2 W${\displaystyle )}$ {\displaystyle X_{n} = f\left({\frac {n}{2)$W}}\right$

비록 섀넌 자신이 이것이 통신 기술에서 상식이 되는 사실이라고 쓰고 있지만, 이러한 기사들이 발표된 후에야 "섀넌의 샘플링 정리"로 알려진 정리가 통신 기술자들 사이에서 공통의 재산이 되었습니다.^[B] 그러나 그는 "그러나 분명한 중요성에도 불구하고 커뮤니케이션 이론의 문헌에 명시적으로 나타나지 않은 것 같다"고 덧붙였습니다.

다른 발견자들

샘플링 정리의 개발에서 독립적으로 발견하거나 역할을 수행한 다른 사람들은 예를 들어 Jerri와^[17] Lüke에 의해 여러 역사적 기사에서 논의되었습니다.^[18] 예를 들어, 뤼케는 Küpfmüler의 조수인 H. Raabe가 1939년 박사 학위 논문에서 이 정리를 증명했다고 지적합니다. Raabe 조건이라는 용어는 명확한 표현 기준(대역폭의 두 배 이상의 샘플링 속도)과 관련이 있습니다. 메이져링은^[19] 한 단락과 한 쌍의 각주에서 다른 발견자들과 이름들을 언급합니다.

Higgins가 지적한 바와 같이, 샘플링 정리는 위에서 언급한 바와 같이 두 부분으로 나누어 고려되어야 합니다. 첫 번째는 대역 제한 함수가 표본에 의해 완전히 결정된다는 사실을 언급하는 것이고, 두 번째는 표본을 사용하여 함수를 재구성하는 방법을 설명하는 것입니다. 샘플링 정리의 두 부분은 J. M.에 의해 다소 다른 형태로 주어졌습니다. 휘태커와 그의 앞에서도 역시 오구라에 의해. 그들은 아마도 그 정리의 첫 부분이 일찍이 1897년에 보렐에 의해 언급되었다는 사실을 알지 못했을 것입니다.^{[Meijering 1]} 우리가 보았듯이, 보렐은 또한 그 무렵에 추기경 시리즈로 알려지게 된 것을 사용했습니다. 그러나 그는 링크를 만들지 않은 것으로 보입니다. 후년에 샘플링 정리가 샤넌 앞에 코텔니코프에 의해 러시아 커뮤니케이션 커뮤니티에 제시되었다는 것이 알려졌습니다. 좀 더 함축적이고, 언어적인 형태로, 그것은 또한 Raabe에 의해 독일 문헌에 묘사되었습니다. 몇몇 저자들은 일본 문헌에 샤넌과 병행하여 소메야가 이 정리를 소개했다고 언급했습니다. 영어 문헌에서 Weston은 Shannon과 독립적으로 비슷한 시기에 그것을 소개했습니다.^{[Meijering 2]}

1. ^ 블랙을 따르는 몇몇 저자들은 샘플링 정리의 이 첫 부분이 1841년에 발표된 논문에서 코시에 의해 더 일찍 언급되었다고 주장했습니다. 그러나 코시의 논문에는 히긴스가 지적한 바와 같이 그러한 진술이 포함되어 있지 않습니다.
2. ^ 표본 추출 정리의 몇 가지 독립적인 도입이 발견된 결과, 사람들은 앞서 언급한 저자들의 이름을 포함함으로써 이 정리를 언급하기 시작했고, "휘타커-코텔니코프-샤논(WKS) 표본 추출 정리" 또는 "휘타커-코텔니코프-라베-샤논"과 같은 캐치프레이즈가 발생했습니다.약간의 표본 추출 정리". 혼란을 피하기 위해서는 "모든 청구인에게 정의를 주는 제목을 찾으려고 노력하는 것보다 표본 추출 정리"라고 부르는 것이 가장 좋을 것입니다.

— Eric Meijering, "A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing" (citations omitted)

왜 나이퀴스트?

정확히 어떻게, 언제, 또는 왜 해리 나이퀴스트가 그의 이름을 표본 추출 정리에 붙였는지는 여전히 잘 알려져 있지 않습니다. 나이퀴스트 샘플링 정리라는 용어(따라서 대문자로 표기됨)는 그의 전 고용주인 벨 연구소의 책에서 일찍이 1959년에 ^{[20][verification needed]}등장했고 1963년에 다시 ^[21]등장했으며 1965년에는 대문자로 표기되지 않았습니다.^[22] 그것은 일찍이 1954년에 섀넌 샘플링 정리라고 불렸지만,^[23] 1950년대 초에 몇몇 다른 책들에 의해서는 샘플링 정리라고도 불렸습니다.

1958년 블랙맨과 투키는 나이퀴스트의 1928년 논문을 정보 이론의 샘플링 정리에 참고로 인용했지만,^[24] 그 논문은 다른 사람들처럼 연속적인 신호의 샘플링과 재구성을 다루지 않았습니다. 용어집에는 다음과 같은 항목이 포함됩니다.

Sampling theorem (of information theory)

Nyquist의 결과는 최고 주파수의 주기당 두 개 이상의 점을 갖는 등간격 데이터가 대역 제한 함수의 재구성을 허용한다는 것입니다. (카디칼 정리 참조)

Cardinal theorem (of interpolation theory)

같은 간격의 점들로 이루어진 두 배 무한 집합에서 주어진 값들이 함수의 도움으로 연속적인 대역 제한 함수를 산출하기 위해 보간될 수 있는 조건에 대한 정확한 진술

$${\displaystyle {\frac {\sin(x-x_{i})}{x-x_{i}}}.}$$

그들이 언급하고 있는 "나이키스트의 결과"가 정확히 무엇인지는 여전히 미궁 속에 남아 있습니다.

샤넌이 1949년 논문에서 표본 추출 정리를 언급하고 증명했을 때, 마이저링에 따르면 "$그$는 임계 표본 추출 간격 T = ${\displaystyle \frac{12}{}}$ ${\displaystyle \frac{W}{}}$ ${\$displaystyle T = {\frac ${$1}{$2$$W}}}$은 전신과 관련하여 이 간격의 근본적인 중요성을 발견한 Nyquist의 공로를$$인정받아 밴드 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ W$}$에 해당하는 Nyquist 간격입니다." 이것은 임계 구간에서는 나이퀴스트의 이름을 설명하지만, 정리에서는 설명하지 않습니다.

이와 비슷하게, 나이퀴스트의 이름은 1953년 해럴드 S에 의해 나이퀴스트 비율에 붙여졌습니다. 검정:

필수 주파수 범위가 $초당{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$ 사이클로$$ 제한되는 경우, 피크 간섭이 양자 단계의 절반 이하라고 가정할 때 명확하게 해결될 수 있는 초당 ${\displaystyle \mathrm{최대}}$ 코드 요소 수로 2 B ${\displaystyle 2B}$가 나이퀴스트에 의해 주어졌습니다$$. 이 속도는 일반적으로 나이퀴스트 속도 및 ${\displaystyle \frac{\mathrm{12B}}{}}$ ${\$}에서의 시그널링이라고 합니다.$B}}}$을(를) 나이퀴스트 간격이라고 합니다$$.

— Harold Black, Modulation Theory^[25] (bold added for emphasis; italics as in the original)

옥스포드 영어 사전에 의하면, 이것이 나이퀴스트 비율이라는 용어의 기원일 수도 있다고 합니다. 블랙의 사용법에서는 샘플링 레이트가 아니라 시그널링 레이트입니다.

참고 항목

• 44,100 Hz, 가청 주파수를 샘플링하는 데 사용되는 일반적인 속도는 인간 청각의 한계와 샘플링 정리에 기초합니다.
• 발리앙-낮은 정리, 샘플링 속도에 대한 유사한 이론적 하한이지만 시간-주파수 변환에 적용됩니다.
• 청-마크 정리는 샘플링 정리에 의해 신호를 복원하는 것이 잘못된 상태가 될 수 있는 조건을 지정합니다.
• 섀넌-하틀리 정리
• 나이퀴스트 ISI 기준
• 교차가 0인 상태에서 재구성
• 영차 홀드
• 디랙 빗

메모들

참고문헌

더보기

외부 링크

• 시뮬레이션을 통한 학습 부적절한 샘플링의 효과에 대한 상호작용 시뮬레이션
• 슈투트가르트 대학의 웹데모 통신 연구소에서 표본 추출과 재구성에 대한 상호작용적 발표
• 언더샘플링 및 그 응용
• 디지털 오디오의 샘플링 이론
• 샘플링 이론에 전념하는 저널
• Huang, J.; Padmanabhan, K.; Collins, O.M. (June 2011). "The Sampling Theorem With Constant Amplitude Variable Width Pulses". IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 58 (6): 1178–90. doi:10.1109/TCSI.2010.2094350. S2CID 13590085.
• Lüke, Hans Dieter (April 1999). "The Origins of the Sampling Theorem" (PDF). IEEE Communications Magazine. 37 (4): 106–108. CiteSeerX 10.1.1.163.2887. doi:10.1109/35.755459.