이산형 파장 변환

JPEG2000에서 사용되는 2D 이산 파장 변환의 예.원본 영상은 하이패스 여과되어 3개의 큰 영상이 생성되며, 각각 원본 영상에서 밝기의 국소적 변화(상세)를 설명한다.그런 다음 저역 통과 필터링 및 다운스케일링되어 근사 영상을 생성하며, 이 영상은 고역 통과 필터링되어 세 개의 작은 상세 영상을 생성하며, 저역 통과 필터링되어 왼쪽 상단에서 최종 근사 영상을 생성한다.^{[clarification needed]}

수치해석 및 기능해석에서 이산파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형파형다른 파장 변환과 마찬가지로 푸리에 변환에 비해 이 변환이 갖는 주요 장점은 주파수 및 위치 정보(시간 내 위치)를 모두 캡처하는 시간 분해능이다.

예

하르 웨이블렛

최초의 DWT는 헝가리 수학자 알프레드 하르에 의해 발명되었다.${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\$의 숫자로 대표되는 입력의 경우, Har wavelet 변환은 입력 값을 쌍으로 구성하여 차이를 저장하고 합을 전달하는 것으로 간주할 수 있다.이 과정은 반복적으로 반복되며, 다음 척도를 입증하기 위해 합계를 쌍으로 구성하여 ${\displaystyle {2n}^{}}$- $[\displaystyle 2^{n}-1}$의 차이와 최종 합계로 이어진다.

도베키스 웨이브렛

가장 흔하게 사용되는 이산형 파장 변형 세트는 1988년 벨기에의 수학자 잉그리드 다우베키스에 의해 공식화되었다.이 공식은 암묵적 어미 웨이브렛 함수의 점진적으로 미세한 이산형 샘플링을 생성하기 위해 반복 관계를 사용하는 것에 기초한다. 각 분해능은 이전 척도의 2배이다.그녀의 논문에서 다우베치스는 파랑의 가족을 파생시켰는데, 그 중 첫 번째가 하르 파랑이다.이 분야에 대한 관심은 그 이후 폭발적으로 증가했고, 다우베키스의 원래 웨이브렛의 많은 변형이 개발되었다.^[1][2][3]

듀얼 트리 복합 웨이브릿 변환(DRW)WT)

듀얼 트리 복합 웨이브릿 변환(DUWT)은 이산 웨이브릿 변환(DWT)의 비교적 최근에 개선된 것으로, 다음과 같은 중요한 추가 특성이 있다.그것은 2차원 이상에서 거의 변함없고 방향적으로 선택적이다.이것은 미확정 DWT보다 상당히 낮은$$$2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$ ${\$ 2$^{d}$의 중복 인자로 이것을 달성한다.다차원(M-D) 듀얼 트리 ℂWT는 분리할 수 없지만 계산적으로 효율적이고 분리 가능한 필터 뱅크(FB)에 기반한다.^[4]

다른이들

Other forms of discrete wavelet transform include the LeGall-Tabatabai (LGT) 5/3 wavelet developed by Didier Le Gall and Ali J. Tabatabai in 1988 (used in JPEG 2000 or JPEG XS ),^[5][6][7] the Binomial QMF developed by Ali Naci Akansu in 1990,^[8] the set partitioning in hierarchical trees (SPIHT) algorithm developed by Amir Said with William A.1996년 펄먼,^[9] 미확정 파월렛 변환(다운샘플링이 생략된 경우), 뉴랜드 변환(주파수 공간에서 적절히 구성된 상단 모자 필터로부터 파월렛의 정형화된 기초가 형성되는 경우)이다.웨이브릿 패킷 변환은 이산 웨이브릿 변환과도 관련이 있다.복잡한 웨이브렛 변환은 또 다른 형태다.

특성.

하르 DWT는 일반적으로 웨이블렛의 바람직한 특성을 보여준다.첫째, $O{\displaystyle }$( $){\displaystyle O(n)}$ 연산$$, 둘째, 입력의 주파수 내용 개념뿐만 아니라 시간적 내용, 즉 이러한 주파수가 발생하는 시간까지 포착한다.이러한 두 특성을 결합하면 FWT(Fast Wavelet Transform)가 기존의 FFT(Fast Fourier Transform)의 대안으로 자리잡게 된다.

시간 문제

필터 뱅크의 속도 변화 연산자 때문에 이산 WT는 시간 변동을 일으키지 않지만 실제로 시간 내 신호 정렬에 매우 민감하다.파장 변환의 시간 변이 문제를 해결하기 위해, Mallat와 Zhong은 시간 이동에 불변하는 신호의 파장 표현을 위한 새로운 알고리즘을 제안했다.^[10]TI-DWT라고 불리는 이 알고리즘에 따르면 디아디치 시퀀스 2^j(j∈Z)를 따라 스케일 파라미터만 샘플링되고 각 시점마다 웨이브릿 변환을 계산한다.^[11][12]

적용들

이산형 파장 변환은 과학, 공학, 수학, 컴퓨터 과학에서 엄청난 수의 응용 프로그램을 가지고 있다.가장 주목할 만한 것은 신호 코딩에 사용되며, 데이터 압축의 전제조건으로 이산 신호를 보다 중복된 형태로 나타내기 위해 사용된다.보행 분석,^[13][14] 이미지 처리,^[15][16] 디지털 통신 등에서 가속의 신호 처리에서도 실용적인 응용을 찾을 수 있다.^[17][18][19]

저전력 페이스메이커 설계를 위한 바이오메디컬 신호 처리와 초광대역(UWB) 무선 통신에서도 이산파장 변환(스케일·시프트·시프트 연속)이 아날로그 필터 뱅크로서 성공적으로 구현되는 것으로 나타났다.^[20]

이미지 처리 예제

가우스 노이즈가 있는 이미지

가우스 노이즈가 제거된 이미지

파도는 종종 영상과 같은 2차원 신호를 녹슬게 하는데 사용된다.다음 예제는 표시된 노이즈 이미지에서 원치 않는 흰색 가우스 노이즈를 제거하는 세 단계를 제공한다.매트랩은 이미지를 가져오고 필터링하는 데 사용되었다.

첫 번째 단계는 파동 유형과 분해 수준 N을 선택하는 것이다.이 경우, Biorthogonal 3.5 파형을 N 레벨 10으로 선택했다.주변 픽셀 강도 값과 대비가 높아 백색 가우스 노이즈를 감지하고 필터링하기 위해 영상 처리 시 흔히 사용되는 바이오르토곤 파장이다.^[21]이러한 파장을 사용하여 파장 변환은 2차원 영상에 대해 수행된다.

이미지 파일을 분해한 후 다음 단계는 각 레벨의 임계값을 1에서 N까지 결정하는 것이다. Birgé-Massart 전략은^[22] 이러한 임계값을 선택하는 상당히 일반적인 방법이다.이 프로세스를 사용하여 개별 임계값은 N = 10 레벨에 대해 만들어진다.이러한 임계값을 적용하는 것이 신호의 실제 필터링의 대부분이다.

마지막 단계는 수정된 레벨에서 영상을 재구성하는 것이다.이것은 역파울렛 변환을 사용하여 달성된다.흰색 가우스 노이즈가 제거된 결과 영상은 원본 이미지 아래에 표시된다.어떤 형태의 데이터라도 필터링할 때는 결과의 신호 대 잡음 비율을 정량화하는 것이 중요하다.^{[citation needed]}이 경우 노이즈가 많은 영상의 SNR은 원본 대비 30.4958%, 디노이즈된 영상의 SNR은 32.5525%로 나타났다.그 결과 웨이브릿 필터링의 개선은 2.0567%^[23]의 SNR 이득이다.

다른 파장, 레벨, 임계값 전략을 선택하는 것은 다른 유형의 필터링을 유발할 수 있다는 점에 유의해야 한다.이 예에서는 흰색 가우스 노이즈를 제거하도록 선택했다.비록 문턱이 달랐지만 그만큼 쉽게 증폭될 수 있었다.

이산형 파장 변환과 이산형 푸리에 변환 사이의 차이와 유사성을 설명하려면 다음 시퀀스의 DWT와 DFT(1,0,0,0), 단위 임펄스(단위 임펄스)를 고려하십시오.

DFT에는 직교 기준(DFT 매트릭스):

${\displaystyle {\bmatrix}1&1&1&1\\1&-i-1&i\\1&1&1&1&1&i-end{bmatrix}}}}$

길이 4 데이터에 대한 Har wavelet이 있는 DWT는 다음 행에서 직교 기준을 가진다.

${\displaystyle {\bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1-1\\1&1&0&0\\nd{bmatrix}}}$

(표기법을 단순화하기 위해 정수를 사용하므로, 기초는 직교(직교)가 아니라 직교(직교)가 된다.)

예비 관측치에는 다음이 포함된다.

• 사인파는 주파수에 따라서만 차이가 난다.첫 번째는 사이클을 완료하지 않고, 두 번째는 전체 사이클을 1회 완료하며, 세 번째는 사이클을 2회 완료하며, 네 번째는 사이클(한 사이클을 반대 방향으로 완료하는 것과 동일)을 3회 완료한다.위상의 차이는 주어진 기본 벡터에 복합 상수를 곱하여 나타낼 수 있다.
• 대조적으로 파도는 주파수와 위치를 모두 가지고 있다.이전과 같이 첫 번째 사이클은 제로 사이클을 완료하고, 두 번째 사이클은 한 사이클을 완료한다.그러나 세 번째와 네 번째의 주파수는 모두 같은 주파수로, 첫 번째 주파수의 두 배다.빈도가 다르기 보다는 위치가 다르다. 세 번째는 처음 두 원소에 대해 0이 아닌 것이고, 네 번째는 두 번째 원소에 대해 0이 아닌 것이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(1,0,0,0)&={\frac {1}{4}}(1,1,1,1)+{\frac {1}{4}}(1,1,-1,-1)+{\frac {1}{2}}(1,-1,0,0)\qquad {\text{Haar DWT}}\\(1,0,0,0)&={\frac {1}{4}}(1,1,1,1)+{\frac {1}{4}}(1,i,-1,-i)+{\frac {1}{4}}(1,-1,1,-1)+{\frac {1}{4}}(1,-i,-1,i)\qquad {\text{DFT}\end{aigned}}$

DWT는 (1,1,1,1,1) 용어가 평균 신호값을 제공하고 (1,1,1,–1,–1) 용어는 신호를 도메인의 왼쪽에 배치하며 (1,–1,0,0)는 신호를 왼쪽 측면에 배치하고, 어떤 단계에서 잘라내도 신호의 하향 샘플링을 산출한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\\&\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0,0\right)\qquad {\text{2-term truncation}}\\&\left(1,0,0,0\right)\end{aligned}}}$

푸리에 시리즈를 자르는 시간 영역 아티팩트(무작동 및 링잉)를 표시하는 sinc 함수.

대조적으로 DFT는 다양한 주파수의 파장의 간섭에 의해 시퀀스를 표현하므로 시리즈를 자르면 시리즈가 저역 통과 필터링된 버전이 나온다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\\&\left({\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\qquad {\text{2-term truncation}}\\&\left(1,0,0,0\right)\end{aligned}}}$

특히 중간 근사치(2항)는 다르다.주파수 영역 관점에서는 이것이 더 나은 근사치지만, 시간 영역 관점에서는 단점이 있다. 즉, 밑줄을 보여준다. 원래의 시리즈는 어디에서나 음이 아니지만, 값들 중 하나는 음이다. 그리고 우향은 웨이블렛 변환과 달리 0이 아닌 곳에서 울림이다.반면에 푸리에 근사치는 피크를 정확하게 표시하며, 모든 점에는 오류가 있지만 모든 점은 $정확$한 값의${\displaystyle }$1/$[\displaystyle$ 1$/4}$ 이내에 있다.대조적으로 파장 근사치는 왼쪽 반에 피크를 배치하지만 첫 번째 지점에는 피크가 없으며, 절반 값(반사 위치)에 대해서는 정확하게 맞지만 다른 값에 대해서는$$ 오차 $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ $[\디스플레이$ 스타일 $1/2]$가 있다.

이것은 이러한 변환들 사이의 트레이드오프의 종류를 보여주고, 특히 과도현상을 모델링할 때 DWT가 어떻게 선호되는 동작을 제공하는지를 보여준다.

정의

변환의 한 수준

신호 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 DWT는 일련의 필터를 통과하여 계산한다$$.먼저 샘플은 임펄스 $반응{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$이(가) 있는 로우패스 필터를 통과하여 다음$$ 두 가지를 합치게 된다.

${\displaystyle y[n]=(x*g)[n]=\sum \sum \do_{k=-\infit }^{\infit }{x[k]g[n-k]}}}}}}}}}}$

신호는 하이패스 필터 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ h$}$를 사용하여 동시에 분해된다$.$출력은 (하이패스 필터에서) 상세 계수와 (로우패스에서) 근사 계수를 제공한다.두 필터가 서로 연관되어 있고 4각 미러 필터로 알려져 있는 것이 중요하다.

필터 분석 블록 다이어그램

그러나 이제 신호 주파수의 절반은 제거되었기 때문에 니키스트의 규칙에 따라 샘플의 절반은 폐기될 수 있다.위의 다이어그램에 있는$$ 저역-통과 $필터{\displaystyle }$g {\$displaystyle$ g$}$의 필터 출력은 2에 의해 하위 샘플링되고 이전 버전의 컷오프 주파수의 절반인$$ 고역-통과 필터 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$을 통해 다시 전달하여 추가로 처리된다.

${\displaystyle y_{\mathrm {low}}}}[n]=\sum \sum \do_{k=-\infit }^{\infit }{x[k]g[2n-k]}}}}}}}}}}$

${\displaystyle y_{\mathrm {high}}}}}[n]=\sum \sum \do_{k=-\infit }^{\infit }{x[k]h[2n-k]}}}}}}}}}}}}$

각 필터 출력의 절반만이 신호를 특징짓기 때문에 이 분해능은 시간 분해능을 절반으로 줄였다.그러나 각 출력에는 입력의 주파수 대역이 절반으로 되어 있어 주파수 분해능이 두 배로 높아졌다.

하위 샘플링 연산자 $▼{\displaystyle }$ ${\displaystyle \downarrow }$ 사용

$[\displaystyle(y\downarrow k)][n]=y[kn]}$

위의 요약은 좀 더 간결하게 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle y_{\mathrm {low}}=(x*g)\downarrow 2}$

${\displaystyle y_{\mathrm {high}}=(x*h)\downarrow 2}$

그러나 후속 다운샘플링을 사용하여$$ 완전한 콘볼루션 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ast }$ g ${\displaystyle x*g}$을(를) 계산하는 것은 계산 시간을 낭비할 것이다.

리프팅 체계는 이 두 가지 계산이 인터리브되는 최적화다.

캐스캐이딩 및 필터 뱅크

이러한 분해를 반복하여 고역 및 저역 통과 필터로 분해된 주파수 분해능과 근사계수를 더욱 증가시킨 다음 하향 샘플링한다.이것은 다른 시간 빈도 로컬라이제이션의 하위 공간을 나타내는 노드를 가진 이진수 트리로 표현된다.그 나무는 여과 은행으로 알려져 있다.

3단 필터 뱅크

위 다이어그램의 각 레벨에서 신호는 저주파와 고주파로 분해된다.분해 프로세스로 인해 입력 신호는 ${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\$의 배수여야 하며 여기서$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은 수준 수입니다.

예를 들어 32개의 검체, ${\displaystyle {주파수}_{}}$ 범위 0 ~ f ${\$ 분해$$ 수준 3개가 포함된 신호, 4개의 출력 척도가 생성된다.

레벨	주파수	샘플
3	${\displaystyle }$${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ~ $f{\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle 8\mathrm{}}$ ${\displaystyle {f_{n}/8}$	4
	${\displaystyle f_{}}$ /${\displaystyle {}_{}8\mathrm{}}$ ${\displaystyle {f_{n}/8}$ ~ $f{\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle {f_{n}/4}$	4
2	${\displaystyle f_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle {f_{n}/4}$ ~ ${\displaystyle f}$ / ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {f_{n}/2}}$	8
1	${\displaystyle {}_{}}$$f$ ${\displaystyle n_{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle {f_{n}/2}}$ ~ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$	16

DWT의 주파수 영역 표시

어미 웨이브와의 관계

웨이블렛의 필터뱅크 구현은 주어진 어미 웨이블렛 ${\displaystyle \psi }$( t${\displaystyle }$) ${\디스플레이$ 스타일 $\psi (t)}$에 대한 이산형 자식 웨이블렛 집합의 웨이블렛 계수를 계산하는 것으로 해석할 수 있다$.$ 이산 웨이블렛 변환의 경우, 어미 웨이블렛은 두 개의 힘에 의해 이동되고 크기가 조정된다.

${\displaystyle \j,k}(t)={\frac {1}{{1}{\sqrt{2^{j}}}\propert \left\frac{t-k2^{j}}{2^{j}}\right)}$

여기서 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$은(는) 척도 $매개변수$이고 k$${\$displaystyle k}$은(는) 시프트 매개변수로서 둘 다 정수다.

Recall that the wavelet coefficient ${\displaystyle \gamma }$ of a signal ${\displaystyle x(t)}$ is the projection of ${\displaystyle x(t)}$ onto a wavelet, and let ${\displaystyle x(t)}$ be a signal of length ${\displaystyle 2^{N}}$. In the case of a child wavelet in the discrete fam위쪽에,

${\displaystyle \jk}=\int _{-\inflt }^{{}x(t){\frac {1}{\sqrt{2^{j}}}\frac \reflt\{t-k2^{j}}{2^}}\right}dt}$

이제 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j$$}$을(를) 특정 척도로$$ 고정하여 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$$}}$만 $함수$가 되도록$$ 하십시오.In light of the above equation, ${\displaystyle \gamma _{jk}}$ can be viewed as a convolution of ${\displaystyle x(t)}$ with a dilated, reflected, and normalized version of the mother wavelet, ${\displaystyle h(t)={\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\psi \left({\frac {-t$$}{2^{j}}}\$$right{\displaystyle \mathrm{})\},}$ ${\displaystyle 1^{}}$, 2 ${\displaystyle {j\mathrm{}}^{}{}^{}}$ 2 ${\displaystyle j^{}}$. ${\displaystyle .,}$ ${\displaystyle 2^{}}$ N$${\$displaystyle$1,$2^{j},2^{2j},...,2^{N}$ 지점에서 샘플링$.$ 그러나 이것은 이산형 파장 변환의 $레벨$ j ${\displaystyle j}$에서 상세 계수가 제공하는 정확한 값이다.따라서, ${\displaystyle \mathrm{적절한}}$ h${\displaystyle }$[ n${\displaystyle }$]$${\$displaystyle$ h$[$$n]}$ $및$ g [$n]$의 선택에 있어, 필터 뱅크의 상세 계수는 주어진 어미 웨이블렛 $\psi {\displaystyle }$( $){\displaystyle \psi (t)$에 대한 개별 자식 웨이블렛 세트의 웨이블렛 계수와 정확히 일치한다$.$

예를 들어, 어미 ${\displaystyle \mathrm{웨이블렛}}$이 ${\displaystyle [}$ =${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$, - 1 ${\displaystyle ]}${\$displaystyle \psi =[1,-$1]}인 이산형 하르 웨이블렛을 참조하십시오$.$그러면 이 파장의 확대, 반영 및 정규화된 $버전$은 h${\displaystyle }$[ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$= 1 ${\displaystyle \frac{\sqrt{2\mathrm{}}}{}}$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle h[n]={\frac{1}{\sqrt{2}}}[-1,1$이 되는데, 이는 실제로 이산 하르 파파파파파파파도 변환을 위한 하이패스 분해 필터인 것이다.

시간 복잡성

이산형 웨이브릿 변환의 필터뱅크 구현은 고속 푸리에 변환의 경우 O(N 로그 N)와 비교했을 때 특정 경우 O(N)만 사용한다.

$g{\displaystyle }$[ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle g[n]}$ 및$$ h ${\displaystyle [n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle h[n]}$이(가) 모두 일정한 길이인$$ 경우(즉, 길이는 N과 무관함), ${\displaystyle x}$∗ h ${\displaystyle x*h}$ 및 $x$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystystyle x*g}$은 각각 O(N) 시간이 걸린다.웨이블렛 필터 뱅크는 이 두 개의 O(N) 경련을 각각 수행한 다음, 신호를 크기 N/2의 두 갈래로 분할한다.그러나 $g{\displaystyle }$[${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle g[n]}$과($$FFT와 대조적으로 위쪽 가지와 아래쪽 가지를 모두 반복적으로 분할한다).이로 인해 다음과 같은 관계가 반복된다.

${\displaystyle T(N)=2N+T\왼쪽({\frac {N}{2}}\오른쪽)}$

위 관계의 기하학적 직렬 확장에서 알 수 있듯이, 전체 작동에 대한 O(N) 시간을 유도한다.

예를 들어 이산형 하르 웨이브렛 변환은 선형이다. 이 경우 h${\displaystyle }$[ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle h[n]}$ 및 $g{\displaystyle }$[${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle g[n]}$이(가) 일정한$$ 길이 2이기 때문이다.

${\displaystyle h[n]=\left[{\frac {-{\sqrt{2}}\2}}:{n1}g[n]=\frac {\sqrt{2}},{\frac {\sqrt{2}},{2}}:},{\frac {\sqrt{2}}\오른쪽]}}}}}}$

웨이블렛의 위치성은 O(N) 복잡성과 결합되어 변환을 온라인(스트리밍 기반)으로 계산할 수 있음을 보장한다.이 특성은 한 번에 전체 신호에 접근해야 하는 FFT와는 확연히 대조적이다.다차원 변환에도 적용되며, 다차원 변환(예: 2-D DWT)에도 적용된다.^[24]

기타 변환

• PNG(Portable Network Graphics) 형식의 인터레이싱에 사용되는 Adam7 알고리즘은 Haar wavelet이 있는 DWT와 유사한 데이터의 멀티스케일 모델이다.DWT와는 달리 8×8 블록에서 시작하여 이미지를 디시밍(low-pass filtering, downsampling)하는 것이 아니라 다운샘플링(low-pass filtering, downsampling)하는 특정한 스케일을 가지고 있다.따라서 보다 단순한 구현의 대가로 초기 단계에서 인공물(픽셀화)을 보여주는 더 나쁜 주파수 동작을 제공한다.
  참고 항목:아담7 알고리즘
• 는 관측 모델은 y)fX{\displaystyle{\bf{y}}=f{\bf{X}에}적용되는 곱셈(또는 기하학적)분리된 작은 파도 변환[25]변종}긍정적인 정칙 함수 f{\displaystyle f}과 승법 독립적인 긍정적인 소음 X{X\displaystyle}의 EX로 상호 작용하=1${\displaystyle \mathb{E} X=1$ $W{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 웨이블렛 변환.Since ${\displaystyle f{\bf {X}}=f+{f({\bf {X}}-1)}}$, then the standard (additive) discrete wavelet transform ${\displaystyle {\cal {W^{+}}}}$ is such that ${\displaystyle {\cal {W^{+}}}{\bf {y}}={\cal {W^{+}}}f+{\cal {$$W^{+}}}{f({\bf{X}-1$${\displaystyle {)\}\}\{\{\backslash \mathcal{}}^{}}$bf${\displaystyle (\mathrm{X}}$- 1$)}$ {\$displaystyle {\\cal{W^{+}}}{f({\$bf${X}-1)}}}}}$ 세부 $계수$는 후자 $표현$에서 f$${\$displaystysty f}$의 기여로 간주할$$ 수 없다.In the multiplicative framework, the wavelet transform is such that ${\displaystyle {\cal {W^{\times }}}{\bf {y}}=\left({\cal {W^{\times }}}f\right)\times \left({\cal {W^{\times }}}{\bf {X}}\right).$$}$ 승수대수에서 파장의 '임베딩'은$$ 일반화된 곱셈 근사 및 세부 연산자를 포함한다.For instance, in the case of the Haar wavelets, then up to the normalization coefficient ${\displaystyle \alpha }$, the standard ${\displaystyle {\cal {W^{+}}}}$ approximations (arithmetic mean) ${\displaystyle c_{k}=\alpha (y_{k}+y_{k-1})}$ and details (arithmetic differences)${\displaystyle d_{k}=\alpha (y_{k}-y_{k-1})}$ become respectively geometric mean approximations ${\displaystyle c_{k}^{\ast }=(y_{k}\times y_{k-1})^{\alpha }}$ and geometric differences (details) ${\displaystyle d_k^{\ast }={\left(\frac{y_k}{y_{k-1}}\right)}^{\alpha }}$${\$displaystyle $d_{k}^{\ast }=\왼쪽({\frac {y_{k-1$}:{$k-1}}\오른쪽)^{\alpha$}}}$W{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$을(를) 사용할 때$$$.$

코드 예제

가장 간단한 형태로, DWT는 계산하기가 매우 쉽다.

Java의 Har wavelet:

공중의 정태의 인트로[] 이산하르웨이브레트트트랜스(인트로[] 입력하다) {     // 이 함수는 input.length=2^n, n>1을 가정한다.     인트로[] 생산량 = 새로운 인트로[입력하다.길이];      을 위해 (인트로 길이 = 입력하다.길이 / 2; ; 길이 = 길이 / 2) {         // 길이는 출력 어레이의 작업 영역의 현재 길이입니다.         // 길이는 어레이 크기의 절반에서 시작하여 모든 반복은 1이 될 때까지 절반으로 감소한다.         을 위해 (인트로 i = 0; i < 길이; ++i) {             인트로 합계를 내다 = 입력하다[i * 2] + 입력하다[i * 2 + 1];             인트로 차이점 = 입력하다[i * 2] - 입력하다[i * 2 + 1];             생산량[i] = 합계를 내다;             생산량[길이 + i] = 차이점;         }         만일 (길이 == 1) {             돌아오다 생산량;         }          //다음 반복을 위해 어레이 스왑         시스템.배열복사본(생산량, 0, 입력하다, 0, 길이);     } } 

Haar, Daubechies, Coiflet 및 Legendre wavelet을 사용하여 1-D 및 2-D DWT에 대한 Java 코드를 오픈 소스 프로젝트 JWave에서 사용할 수 있다.또한, JPEG 2000 이미지 압축 표준에 사용된 C에서 이산 생체역학 CDF 9/7 웨이블렛 변환의 빠른 리프팅 구현을 여기에서 확인할 수 있다(2012년 3월 5일 기록).

위 코드의 예

"I Love Wavelets"라고 말하는 누군가의 소리 신호에 대한 이산 하어 웨이브 계수 계산의 예.왼쪽 상단에 원본 파형이 파란색으로 표시되고 오른쪽 상단에 파장 계수가 검은색으로 표시된다.하단을 따라 서로 다른 범위에 대한 파장 계수의 확대 영역 3개가 표시된다.

이 그림은 사운드 파형에 대한 Har wavelet 계수를 계산하기 위해 위의 코드를 적용한 예를 보여준다.이 예에서는 파월트 변환의 두 가지 주요 특성을 강조한다.

• 자연 신호는 어느 정도 부드러움을 가지고 있는 경우가 많으므로 웨이블렛 영역에서는 희박하게 된다.이 예에서는 시간 영역에 있는 것보다 파동 영역에는 훨씬 적은 수의 유의 구성요소가 있으며, 대부분의 유의 구성요소는 왼쪽의 응력 계수를 향한다.따라서, 자연 신호는 웨이블렛 영역에서 압축할 수 있다.
• 웨이브릿 변환은 신호를 다중 변환, 밴드패스 표현이다.이는 이 글에서 제시된 이산형 웨이브릿 변환의 필터뱅크 정의에서 직접 확인할 수 있다.For a signal of length ${\displaystyle 2^{N}}$, the coefficients in the range ${\displaystyle [2^{N-j},2^{N-j+1}]}$ represent a version of the original signal which is in the pass-band ${\displaystyle \left[{\frac {\pi }{2^{j}}},{\frac {\pi }{2^{j$$-11}\오른쪽$이러한 파장 계수의 범위를 확대하면 원래 신호와 구조가 매우 유사해 보이는 이유다.왼쪽에 더 가까운 범위(위의 표기법에서$$ 더 큰 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ j$})$는 신호를 더 강하게 표현하는 반면, 오른쪽의 범위는 더 미세한 세부사항을 나타낸다.

참고 항목

• 이산 코사인 변환(DCT)
• 웨이블렛
• 웨이블렛 시리즈
• 웨이브렛 압축
• 웨이브릿 관련 변환 목록

참조

^[1]

외부 링크

• 매트랩에 있는 Stanford의 WaveLab
• libdwt, C로 작성된 교차 플랫폼 DWT 라이브러리
• 르네 푸싱거의 웨이블렛 소개