보간법

수치분석의 수학적 분야에서 보간은 추정의 한 종류이며, 알려진 데이터 ^[1]^[2]포인트의 이산 집합의 범위에 기초하여 새로운 데이터 포인트를 구성(찾기)하는 방법이다.

공학 및 과학에서는 종종 표본 추출 또는 실험을 통해 얻은 다수의 데이터 점을 가지고 있는데, 이 데이터 점들은 독립 변수의 제한된 수의 값에 대한 함수의 값을 나타냅니다.종종 보간, 즉 독립 변수의 중간 값에 대한 함수 값을 추정해야 합니다.

밀접하게 관련된 문제는 복잡한 함수를 단순 함수에 의한 근사치입니다.주어진 함수에 대한 공식이 알려져 있지만 너무 복잡하여 효율적으로 평가할 수 없다고 가정합니다.원래 함수의 몇 가지 데이터 포인트를 보간하여 여전히 원본에 상당히 가까운 단순한 함수를 생성할 수 있습니다.그 결과 단순성의 이득은 보간 오류로 인한 손실을 초과할 수 있으며 계산 과정에서 더 나은 성능을 제공할 수 있습니다.

에피트로코이드상의 유한한 점 세트의 보간.빨간색 점은 빨간색 점에서만 추론된 파란색 보간 스플라인 곡선으로 연결됩니다.보간된 곡선은 원래의 에피트로코이드 곡선보다 훨씬 더 간단한 다항식을 가지고 있다.

예

다음 표에 알 수 없는 $f(x)$ f ( $f(x)$ $)\displaystyle$ f $(x$ 의 값을 나타냅니다.

표에 표시된 데이터 점의 그림입니다.

$x$	$f(x)$
0	0
1	0	.	8415
2	0	.	9093
3	0	.	1411
4	−0	.	7568
5	−0	.	9589
6	−0	.	2794

보간은 x $x=2.5.$ 중간 지점에서 함수를 추정하는 방법을 제공합니다. $(\displaystyle x=2.5).$ $}$

우리는 정확도, 비용, 필요한 데이터 포인트 수 및 결과 보간 함수의 부드러움과 같은 특성에서 다른 보간 방법을 설명한다.

부분 상수 보간법

부분적 상수 보간 또는 가장 가까운 인접 보간.

가장 간단한 보간 방법은 가장 가까운 데이터 값을 찾아 동일한 값을 할당하는 것입니다.단순한 문제에서는 선형 보간(아래 참조)이 거의 쉽기 때문에 이 방법을 사용할 가능성이 낮지만, 고차원 다변량 보간에서는 속도와 단순성 측면에서 유리한 선택이 될 수 있다.

선형 보간법

선형 보간이 중첩된 데이터 그림

가장 간단한 방법 중 하나는 선형 보간(lerp라고도 함)입니다.위의 f(2.5) 추정 예제를 고려해 보십시오.2.5는 2와 3 사이의 중간이므로 f(2.5)를 f(2) = 0.9093과 f(3) = 0.1411 사이의 중간으로 취하는 것이 타당하며, 이는 0.5252를 산출한다.

일반적으로 선형 보간은 (x_a,y_a)와 (x_b,y_b)와 같은 두 개의 데이터 점을 사용하며 보간은 다음과 같이 지정됩니다.

\displaystyle y=y_{a}+\left(y_{b}-y_{a}\right) {\frac {x_{b}-x_{a}}}{\text{\left(x,y\right)}

{y-y_{a}} {y_{b}-y_{a}}} = specfrac {x-x_{a}} {x_{b}-x_{a}}}

{y-y_{a}} {x-x_{a}} = flac {y_{b}-y_{a}} {x_{b}-x_{a}}}

위의 방정식에서는 ( $(x,y)$ $(x_{a},y_{a})$ a , $(x_{a},y_{a})$ a $(x_{a},y_{a})$ ) { $displaystyle$ ( x $_$ { $a$ , $y$ _ { $a$ ) } $(x,y)$ ( ( ( ( $(x,y)$ ( $(x,y)$ x , y $(x,y)$ ){ $display$ style ( $x$ , y $)$ $(x,y)$ } $사이$ 의 $(x_{a},y_{a})$ $(x,y)$ 새로운 $(x_{b},y_{b})$ 의 $(x_{a},y_{a})$ 가 ( $x$ $(x_{a},y_{a})$ a , $(x_{a},y_{a})$ a ) $(x_{b},y_{b})$ } ~ $x$ , y b $display$ $a$ } 사이의 $(x_{b},y_{b})$ 의 기울기와 동일함을 나타내고 있습니다 $.$

선형 보간은 빠르고 쉽지만 매우 정확하지는 않습니다.또_k 다른 단점은 x점에서 보간법을 구분할 수 없다는 것입니다.

다음 오차 추정치는 선형 보간이 매우 정확하지 않음을 보여줍니다.우리가 보간하고자 하는 함수를 g로 나타내며, x가 x와_b x 사이에_a 있고 g가 두 배 연속적으로 미분된다고 가정합니다.그러면 선형 보간 오류는

f(x)-g(x)\leq C(x_{b}-x_{a})^{2}\quad {text{where}\display C=sq frac {1}{8}\max _{r\in [x_{a},x_{b}}}}} g'(r'(r)}}'{{a)}}

즉, 오차는 데이터 점 사이의 거리 제곱에 비례합니다.다항식 보간 및 스플라인 보간(아래 설명)을 포함한 일부 다른 방법의 오차는 데이터 지점 간 거리의 높은 검정력에 비례합니다.이 방법들은 또한 보다 부드러운 보간물을 생산한다.

다항식 보간법

다항식 보간이 적용된 데이터의 그림

다항식 보간은 선형 보간법의 일반화이다.선형 보간은 선형 함수입니다.이제 이 보간사를 더 높은 차수의 다항식으로 바꿉니다.

위에 제시된 문제를 다시 생각해 보세요.다음 6차 다항식은 7개의 모든 점을 통과합니다.

{{displaystyle f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x.}

x = 2.5로 치환하면 f(2.5) = ~0.59678임을 알 수 있습니다.

일반적으로 n개의 데이터 점이 있는 경우, 모든 데이터 점을 통과하는 n-1의 다항식이 정확히 하나 있습니다.보간 오차는 데이터 지점과 검정력 n 사이의 거리에 비례합니다.또한 보간은 다항식이므로 무한히 미분할 수 있다.다항식 보간이 선형 보간 문제의 대부분을 극복한다는 것을 알 수 있습니다.

그러나 다항식 보간법에는 몇 가지 단점도 있다.보간 다항식을 계산하는 것은 선형 보간과 비교하여 계산 비용이 많이 든다(계산 복잡도 참조).또한 다항식 보간은 특히 끝점에서 진동 아티팩트를 나타낼 수 있습니다(런지 현상 참조).

다항식 보간은 선형 보간과 달리 표본의 범위를 벗어난 국소 최대값과 최소값을 추정할 수 있습니다.예를 들어, 위의 보간법은 로컬 최대값이 x f 1.566, f(x) and 1.003이고 로컬 최소값이 x 4 4.708, f(x) - -1.003입니다.그러나 이러한 최대값과 최소값은 함수의 이론적 범위를 초과할 수 있습니다. 예를 들어, 항상 양의 함수는 음의 값을 갖는 보간법을 가질 수 있으며, 따라서 역수직 점근선을 포함할 수 있습니다.

보다 일반적으로, 특히 독립 변수의 매우 높거나 낮은 값에 대한 결과 곡선의 모양은 상식에 반할 수 있습니다. 즉, 데이터 포인트를 생성한 실험 시스템에 대해 알려진 것과 반대됩니다.이러한 단점은 스플라인 보간을 사용하거나 체비셰프 다항식으로 주의를 제한함으로써 줄일 수 있다.

스플라인 보간법

스플라인 보간이 적용된 데이터 그림

선형 보간은 각 구간 [x_k,x_k+1]에 대해 선형 함수를 사용합니다.스플라인 보간은 각 구간에서 저차 다항식을 사용하며, 서로 부드럽게 맞도록 다항식 조각을 선택합니다.그 결과 생성되는 함수를 스플라인이라고 합니다.

예를 들어 자연 입방 스플라인은 부분 입방체이며 2배 연속 미분 가능하다.게다가 그 두 번째 도함수는 끝점에서 0이다.위 표의 점을 보간하는 자연 입방 스플라인은 다음과 같습니다.

f())={\begin{경우}-0.1522x^{3}+0.9937x,&,{\text{만약}}x\in[0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&,{\text{만약}}x\in[1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&,{\text{만약}}x\in[하루에 2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&,{\text{만약}}x\in[3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,&,{\text{만약}.}x\in[4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282, &{\text{if}}x\in [5,6]\end {case}

이 경우 f(2.5) = 0.5972가 됩니다.

다항식 보간과 마찬가지로 스플라인 보간은 선형 보간보다 작은 오차를 발생시키는 반면, 보간은 다항식 보간에서 사용되는 고차 다항식보다 부드럽고 평가하기가 쉽습니다.그러나 기본 함수의 글로벌성은 컨디셔닝 불량으로 이어집니다.Boost에 구현된 것과 같은 소형 지원 스플라인을 사용하면 이 문제를 완전히 완화할 수 있습니다.크레스에서 ^[3]수학과 토론을 했다.

유사 보간법

기초적인 필드 이산화에 따라 다른 보간재가 필요할 수 있다.목표점에서 함수를 추정하는 다른 보간법과 달리, 모방 보간법은 필드의 유형(스칼라, 벡터, 의사 벡터 또는 의사 스칼라)에 따라 목표선, 영역 또는 볼륨 상의 필드의 적분을 평가한다.

모방 보간법의 주요 특징은 스톡스의 정리 및 발산 정리를 포함한 벡터 미적분 항등식이 충족된다는 것이다.그 결과, 모사 보간으로 선, 면적 및 볼륨 ^[4]적분을 절약할 수 있습니다.예를 들어, 라인 적분은 적분 ^[5]경로의 끝점에서 전위차를 주기 때문에 라인 적분을 보존하는 것이 바람직할 수 있다.모사 보간은 적분경로의 길이에 관계없이 적분경로의 끝점에서 전위를 보간함으로써 얻은 오차와 동일함을 보증한다.

선형, 쌍선형 및 삼선형 보간도 보존되는 필드 값(필드의 적분이 아님)일지라도 모방적인 것으로 간주됩니다.선형 보간과는 별도로 면적 가중 보간은 ^[6]개발된 최초의 모방 보간 방법 중 하나로 간주할 수 있다.

함수 근사

보간은 함수를 근사하는 일반적인 방법입니다. $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]$ $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ f : $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ [ $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ , $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ ] $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ f $:[$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]$ $,$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]$ b $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]$ $\mathbb {R} },$ $s:[a,b]\to \mathbb {R}$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]$ [ a , $b$ ]{ $style$ x $_$ { $1}$ , $x$ {2} , $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]$ \display, $x_{n}$ \ $ina$ , b } 의 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]$ $s:[a,b]\to \mathbb {R}$ s $s:[a,b]\to \mathbb {R}$ 를 $s:[a,b]\to \mathbb {R}$ 할 수 있습니다 $s:[a,b]\to \mathbb {R}$ $isplaystyle$ f $(x_{i$ }) $=s(x_{i})$ 는 $f(x_{i})=s(x_{i})$ i $i=1,2,\dots ,n$ , $i=1,2,\dots ,n$ , $i=1,2,\dots ,n$ (\ $displaystyle$ i $=1,$ 2 $,\display, n)($ $즉,$ 이 시점에서\ $displaystyle$ s $}$ 가 f ${display$ f $}$ 를 $f$ $f$ ).일반적으로 보간법은 좋은 근사치일 필요는 없지만 잘 알려져 있고 종종 합리적인 조건이 있습니다.예를 들어 f $f\in C^{4}([a,b])$ C $f\in C^{4}([a,b])$ ( [ $f\in C^{4}([a,b])$ a , $f\in C^{4}([a,b])$ $){$ $\|f-s\|_{\infty }\leq C\|f^{(4)}\|_{\infty }h^{4}$ f $\in$ C $^{ 4 （$ [ a , $b$ ] $f\in C^{4}([a,b])$ ） } } $\|f-s\|_{\infty }\leq C\|f^{(4)}\|_{\infty }h^{4}$ 4 $\|f-s\|_{\infty }\leq C\|f^{(4)}\|_{\infty }h^{4}$ $\|f-s\|_{\infty }\leq C\|f^{(4)}\|_{\infty }h^{4}$ ( f ( $\|f-s\|_{\infty }\leq C\|f^{(4)}\|_{\infty }h^{4}$ ) $\|f-s\|_{\infty }\leq C\|f^{(4)}\|_{\infty }h^{4}$ $\|f-s\|_{\infty }\leq C\|f^{(4)}\|_{\infty }h^{4}$ { $display \$ s \ $le$ } $q$ q givenq ( ( ( given given $given$ given given given given given for $\|f-s\|_{\infty }\leq C\|f^{(4)}\|_{\infty }h^{4}$ given given given for given given given given given given given for given given given given4 by given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given given $h\max _{i=1,2,\dots ,n-1}|x_{i+1}-x_{i}|$ i + $h\max _{i=1,2,\dots ,n-1}|x_{i+1}-x_{i}|$ - $h\max _{i=1,2,\dots ,n-1}|x_{i+1}-x_{i}|$ $h\max _{i=1,2,\dots ,n-1}|x_{i+1}-x_{i}|$ {\ $displaystyle h\max _{i=1,2,\display,n-1} x_{i+1}-x_{i} }$ $C$ C {\ $displaystyle$ C $}$ 는 $C$ ^[7]상수입니다.

가우스 프로세스 경유

가우스 프로세스는 강력한 비선형 보간 도구입니다.일반적으로 사용되는 많은 보간 도구는 실제로 특정 가우스 프로세스와 동일합니다.가우스 프로세스는 주어진 데이터 포인트를 정확히 통과하는 보간법을 적합시킬 뿐만 아니라 회귀, 즉 노이즈가 많은 데이터를 통과하는 곡선을 적합시키는 데도 사용할 수 있습니다.지리통계학 커뮤니티에서는 가우스 프로세스 회귀를 크리깅이라고도 합니다.

기타 양식

다른 형태의 보간은 다른 종류의 보간제를 선택하여 구성할 수 있습니다.예를 들어 유리보간은 파데 근사치를 이용한 유리함수에 의한 보간이며 삼각보간은 푸리에 급수를 이용한 삼각다항식에 의한 보간이다.또 다른 방법은 웨이브릿을 사용하는 것입니다.

Whittaker-Shannon 보간 공식은 데이터 점의 수가 무한하거나 보간할 함수에 콤팩트한 지원이 있는 경우 사용할 수 있습니다.

때로는 보간하고 싶은 함수의 값뿐만 아니라 그 도함수도 알 수 있습니다.이것은 Hermite 보간 문제로 이어집니다.

각 데이터 점 자체가 함수인 경우 보간 문제를 각 데이터 점 간의 부분 이류 문제로 보는 것이 유용할 수 있습니다.이 아이디어는 수송 이론에서 사용되는 변위 보간 문제로 이어집니다.

고차원으로

일부 1차원 및 2차원 보간 비교.
검은색과 빨간색/노란색/녹색/파란색 점은 각각 보간된 점 및 인접 표본에 해당합니다.
그들의 지상 높이는 그들의 가치와 일치한다.

다변량 보간은 둘 이상의 변수의 함수를 보간하는 것입니다.방법은 2차원에서의 쌍선형 보간과 2차원에서의 쌍방체 보간과 3차원에서의 3차원 보간을 포함한다.그리드 또는 분산된 데이터에 적용할 수 있습니다.Mimetic 보간은 n $n>3$ \ $style$ n \ $display$ $style$ n > $n>3$ \ $display style$ n $n>3$ ^[8]^[9] $3$ 으로 $n$ $일반화되어$ 있습니다.

가장 가까운 이웃
쌍선형
바이큐빅

디지털 신호 처리 중

디지털 신호 처리 영역에서 보간이란 다양한 디지털 필터링 기술(예를 들어 주파수 제한 임펄스 신호에 의한 컨볼루션)을 사용하여 샘플링된 디지털 신호(예를 들어 샘플링된 오디오 신호)를 더 높은 샘플링 레이트(업샘플링)로 변환하는 프로세스를 말한다.이 응용 프로그램에서는 신호의 원래 나이키스트 한계(즉 원래 신호 샘플링 속도의 fs/2 이상)를 초과하는 원래 신호의 앨리어스 고조파 성분을 생성하지 않고 원래 신호의 고조파 성분을 보존해야 하는 특정 요건이 있습니다.이 주제에 대한 초기적이고 상당히 초보적인 논의는 Rabiner와 Crochiere의 책 Multirate Digital Signal ^[10]Processing에서 찾을 수 있습니다.

일반화

x $(\displaystyle$ x $)$ 를 $x$ 토폴로지 공간의 변수로 $f(x)$ 하고 $f(x)$ f $x$ )(\ $displaystyle$ f $(x)$ 를 $f(x)$ Banach 공간에 매핑하면 이 문제는 "연산자의 인터폴레이션"^[11]으로 처리됩니다.연산자의 보간에 관한 고전적인 결과는 Riesz-이다.토린 정리와 마르크키에비치 정리.그 밖에도 많은 후속 결과가 있다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Sheppard, William Fleetwood (1911). "Interpolation" . In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica. Vol. 14 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 706–710.
^ Steffensen, J. F. (2006). Interpolation (Second ed.). Mineola, N.Y. ISBN 978-0-486-15483-1. OCLC 867770894.
^ Kress, Rainer (1998). Numerical Analysis. ISBN 9781461205999.
^ Pletzer, Alexander; Hayek, Wolfgang (2019-01-01). "Mimetic Interpolation of Vector Fields on Arakawa C/D Grids". Monthly Weather Review. 147 (1): 3–16. doi:10.1175/MWR-D-18-0146.1. ISSN 1520-0493.
^ Stern, Ari; Tong, Yiying; Desbrun, Mathieu; Marsden, Jerrold E. (2015), Chang, Dong Eui; Holm, Darryl D.; Patrick, George; Ratiu, Tudor (eds.), "Geometric Computational Electrodynamics with Variational Integrators and Discrete Differential Forms", Geometry, Mechanics, and Dynamics, New York, NY: Springer New York, vol. 73, pp. 437–475, doi:10.1007/978-1-4939-2441-7_19, ISBN 978-1-4939-2440-0, retrieved 2022-06-15
^ Jones, Philip. "First- and Second-Order Conservative Remapping Schemes for Grids in Spherical Coordinates". Monthly Weather Review. 127 (9): 2204–2210.
^ Hall, Charles A.; Meyer, Weston W. (1976). "Optimal Error Bounds for Cubic Spline Interpolation". Journal of Approximation Theory. 16 (2): 105–122. doi:10.1016/0021-9045(76)90040-X.
^ Whitney, Hassler (1957). Geometric Integration Theory. Dover Books on Mathematics. ISBN 978-0486445830.
^ Pletzer, Alexander; Fillmore, David. "Conservative interpolation of edge and face data on n dimensional structured grids using differential forms". Journal of Computational Physics. 302: 21–40 – via ScienceDirect.
^ R.E. 크로키에르와 L.R. 래비너(1983)멀티레이트 디지털 신호 처리.엥글우드 클리프, 뉴저지 주: 프렌티스 홀.
^ 콜린 베넷, 로버트 C샤플리, 오퍼레이터의 보간, 1988년 학술 출판사

외부 링크

시각화 및 JavaScript 소스 코드를 사용한 선형, 2차, 입방 스플라인 및 다항식 보간용 온라인 도구입니다.
솔 자습서 - 보간 요령
부스트에서 콤팩트하게 지원되는 큐빅 B-스플라인 보간.수학
부스트의 중심적 합리적 보간법.수학
부스트에서 체비셰프 변환을 통한 보간.수학

[1] Sheppard, William Fleetwood (1911). "Interpolation" . In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica. Vol. 14 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 706–710.

[2] Steffensen, J. F. (2006). Interpolation (Second ed.). Mineola, N.Y. ISBN 978-0-486-15483-1. OCLC 867770894.

[3] Kress, Rainer (1998). Numerical Analysis. ISBN 9781461205999.

[4] Pletzer, Alexander; Hayek, Wolfgang (2019-01-01). "Mimetic Interpolation of Vector Fields on Arakawa C/D Grids". Monthly Weather Review. 147 (1): 3–16. doi:10.1175/MWR-D-18-0146.1. ISSN 1520-0493.

[5] Stern, Ari; Tong, Yiying; Desbrun, Mathieu; Marsden, Jerrold E. (2015), Chang, Dong Eui; Holm, Darryl D.; Patrick, George; Ratiu, Tudor (eds.), "Geometric Computational Electrodynamics with Variational Integrators and Discrete Differential Forms", Geometry, Mechanics, and Dynamics, New York, NY: Springer New York, vol. 73, pp. 437–475, doi:10.1007/978-1-4939-2441-7_19, ISBN 978-1-4939-2440-0, retrieved 2022-06-15

[6] Jones, Philip. "First- and Second-Order Conservative Remapping Schemes for Grids in Spherical Coordinates". Monthly Weather Review. 127 (9): 2204–2210.

[7] Hall, Charles A.; Meyer, Weston W. (1976). "Optimal Error Bounds for Cubic Spline Interpolation". Journal of Approximation Theory. 16 (2): 105–122. doi:10.1016/0021-9045(76)90040-X.

[8] Whitney, Hassler (1957). Geometric Integration Theory. Dover Books on Mathematics. ISBN 978-0486445830.

[9] Pletzer, Alexander; Fillmore, David. "Conservative interpolation of edge and face data on n dimensional structured grids using differential forms". Journal of Computational Physics. 302: 21–40 – via ScienceDirect.

[10] R.E. 크로키에르와 L.R. 래비너(1983)멀티레이트 디지털 신호 처리.엥글우드 클리프, 뉴저지 주: 프렌티스 홀.

[11] 콜린 베넷, 로버트 C샤플리, 오퍼레이터의 보간, 1988년 학술 출판사

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