허수

i의 모든 거듭제곱은 값을 가정합니다. 푸른 지역에서

i = i

i = -1

i = -i

i = 1

i = i

i = -1

i = -i

i = 1

i = i

i = -1

나는 통합의 4번째 뿌리입니다.

허수는 허수 단위 i에 그 성질 i = -1로 정의되는 실수입니다. 허수 bi의 제곱은 -b입니다². 예를 들어, 5i는 허수이고, 그 제곱은 -25입니다. 숫자 0은 실수이면서 허수인 것으로 간주됩니다.^[3]

원래 17세기에 르네 데카르트에^[4] 의해 경멸적인 용어로 만들어졌고 허구적이거나 쓸모없는 것으로 여겨졌던 이 개념은 레온하르트 오일러(18세기)와 오귀스트랭 루이 카우치(19세기 초), 칼 프리드리히 가우스(19세기 초)의 연구를 따라 널리 받아들여졌습니다.

실수 a에 허수 bi를 더해 a+bi 형태의 복소수를 만들 수 있는데, 여기서 실수 a와 b는 복소수의 실수부와 허수부로 각각 불리게 됩니다.^[5]

역사

그리스의 수학자이자 공학자인 알렉산드리아의 영웅이 음수의 제곱근을 포함하는 계산을 처음으로 제시한 사람으로 유명하지만,^[6][7] 1572년에 복소수의 곱셈에 대한 규칙을 처음으로 세운 사람은 라파엘 봄벨리입니다. 이 개념은 Gerolamo Cardano의 작품에서와 같이 이전에 인쇄물에 등장했습니다. 그 당시 허수와 음수는 잘 이해되지 않았고, 한때 0이 그랬던 것처럼 일부 사람들은 허구이거나 쓸모없는 것으로 여겼습니다. 르네 데카르트를 포함한 많은 다른 수학자들은 허수의 사용을 느리게 받아들였는데, 그는 허수라는 용어를 만들어내고 그것을 경멸한다는 의미로 사용했습니다.^[8][9] 허수의 사용은 레온하르트 오일러 (1707–1783)와 칼 프리드리히 가우스 (1777–1855)의 업적이 있기 전까지 널리 받아들여지지 않았습니다. 복소수가 평면에서 점으로서 갖는 기하학적 의미는 Caspar Wessel (1745–1818)에 의해 처음으로 기술되었습니다.^[10]

1843년 윌리엄 로완 해밀턴은 평면에 있는 허수의 축에 대한 아이디어를 4차원 공간의 4차원 상상계로 확장시켰는데, 그 공간에서 3차원은 복소 분야의 허수와 유사합니다.

기하학적 해석

기하학적으로 허수는 복소수 평면의 수직축에서 발견되며, 이를 통해 실수축에 수직으로 제시할 수 있습니다. 허수를 보는 한 가지 방법은 표준 숫자선이 오른쪽으로 양의 크기가 증가하고 왼쪽으로 음의 크기가 증가하는 것을 고려하는 것입니다. x축의 0에서 y축은 "양" 방향이 위로 올라가면서 그려질 수 있고, "양" 가상수는 위로 갈수록 크기가 커지고, "음" 가상수는 아래로 크기가 커집니다. 이 수직 축은 종종 "상상 축"이라고 하며 ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle i\mathbb {R},}$ $I$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathbb {I},}$ 또는 ℑ로 표시됩니다.

이 표현에서 –1의 곱셈은 원점에 대해 반원인 180도 회전에 해당합니다. i의 곱셈은 원의 1/4인 원점을 기준으로 90도의 반시계 방향 회전에 해당합니다. Both these numbers are roots of ${\displaystyle 1}$: ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$, ${\displaystyle i^{4}=1}$. In the field of complex numbers, for every ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle 1}$ has nth roots ${\displaystyle \varphi _{n}}$, φ n =$1$ {\displaystyle \varphi_{n}^{n}=1}을 의미하며, 이를 통일의 뿌리라고 합니다. 첫 번째 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$번째$$ 단일 루트를 곱하면 원점에 대해 ${\displaystyle \frac{\mathrm{360n}}{}}$ ${\$도 회전합니다.

복소수에 곱하는 것은 복소수의 인수에 의해 원점 주위를 회전하는 것과 같으며, 그 크기만큼 스케일링이 뒤따릅니다.^[13]

음수의 제곱근

음수 제곱근의 주값으로 표현되는 허수를 사용할 때는 주의해야 합니다.^[14]

${\displaystyle 6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.}$

다음과 같이 표기되기도 합니다.

${\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{(fallacy)}}{=}{\sqrt {(-1)}}={\sqrt {1}}=1.}$

변수가 적절하게 제한되지 않을 때 등식 $xy$ = ${\$displaystyle ${\sqrt${xy}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}가 실패함에 따라 오류가 발생합니다. 이 경우 숫자가 모두 음수이므로 동등성이 유지되지 않습니다. 이는 다음을 통해 입증할 수 있습니다.

${\displaystyle {\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},}$

여기서 x와 y는 모두 양의 실수입니다.

참고 항목

• 옥토니언
• −1

수계 복잡한 ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ 진짜 ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$ 합리적인 ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$ 정수 ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ 자연의 ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ 0 : 0 1: 1 소수 합성수 음의 정수 분수 유한 십진법 다이아딕 (무한쌍성) 반복 십진법 무리수 대수 무리수 초월적 허수

메모들

참고문헌

서지학

• Nahin, Paul (1998). An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1.는 가상 표현의 많은 응용에 Nahin, Paul (1998). An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1.대해 설명합니다.

외부 링크

• 허수가 실제로 존재한다는 것을 어떻게 보여줄 수 있을까요? – 허수의 존재를 논하는 글
• 5번 프로그램 4 BBC 라디오 4번 프로그램
• 왜 허수를 사용할까요? 허수의 기본적인 설명과 사용